Por tanto: ? ? ( , , ) g 3 47 10 2 00 10 i j Total 12 12 = - - + - - ? ? ( , , ) 5 20 10 3 00 10 i j 12 12 + - + - - ? 1,00 10 j 12 + - " gTotal= " ? ? , , 1 73 10 4 00 10 i j kg N 12 12 - - - b) Calcula la fuerza: ? F m g G Total = . ? ? ? ( , , ) F 5 1 73 10 4 00 10 kg i j N/kg G 12 12 = - - - " FG = ? , , 0 8710 2 00 10 i j N 11 11 - - - c) U tiliza las unidades del sistema internacional para todas las magnitudes. ? ( ) ( ) W E E E m V V D E P P E P D T E T D D = - = - - = - - " Calcula el potencial total que las tres masas crean en cada uno de estos puntos: ? ? ? V V V V r G r G r G M M M T D AD BD CD AD A BD B CD C = + + = - - - ? ? ? ? / , / , V 10 3 3 6 67 10 2 10 3 3 6 67 10 3 T D 11 11 = - - - - - ? ? / , , 10 3 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 6 354 10 kg J T D 11 = - - ? ? ? V V V V r G M r G M r G M T E A E B E C E AE A BE B CE c = + + = - - - ? ? ? ? , , V 5 6 67 10 2 5 6 67 10 3 T E 11 11 = - - - - - ? ? , , 5 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 7 055 10 kg J T E 11 = - - ? ( ) W m V V D E T E T D = - - " ? ? ? ? ( , ( , )) W 5 7 055 10 6 354 10 3,51 10 J D E 11 11 11 = - - - - = =+ " - - - Interpretación: W 0 > D E " , lo que quiere decir que las fuerzas de campo desplazarán la masa de 5 kg desde el centro del triángulo al medio del vértice opuesto. d) S upón que las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son las fuerzas gravitatorias: EC D + EP D = EC E + EP E " " ? ? E m V E m V C D T D C E T E + = + ? ? ? ? ? ? ( , ) ( , ) v 0 5 6 354 10 2 1 5 5 7 055 10 E 11 2 11 + - = + - - - ? v 3,8 10 m/s E 6 = - " 3. Evalúa el resultado. Observa que el resultado numérico del problema puede cambiar si las masas se colocan en otra posición. Por ser una figura simétrica, el vector que representa el campo y la fuerza tendrán distintos componentes, pero con el mismo módulo. El valor de las magnitudes escalares (potencial y energía) es independiente de la orientación del triángulo. S O L U C I Ó N 10 Justifica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El potencial gravitatorio es nulo en el punto medio del segmento que une dos masas iguales». 11 En los puntos A (-30, 0) y B (+20, 0) se encuentran fijas dos masas puntuales de 105 kg cada una. En el punto (0, -15) se encuentra una pequeña esfera de 400 g de masa que puede moverse libremente. Teniendo en cuenta que las distancias están expresadas en metros, halla: a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la esfera en su posición inicial. b) La aceleración que experimentará la esfera justo cuando se encuentre en el punto (0, 0) entre los cuerpos A y B. c) Enuncia el principio de superposición de campos. Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solución: a) ? ? , , 1 10 3 62 10 29 i j N 9 9 + - - ; 3,84 ? 10-9 N b) 9,29 ? 10-9 i m/s2 12 Si nos desplazamos desde un punto situado a gran altura en dirección hacia la superficie de la Tierra, ¿la energía potencial gravitatoria aumentará o disminuirá? 13 Hay dos masas de 3 ? 109 kg y 6 ? 109 kg, respectivamente, en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles. a) Haz un esquema del campo gravitatorio de cada masa y del campo total en el vértice libre. b) Si la hipotenusa del triángulo mide 100 m, calcula el módulo del campo gravitatorio en dicho vértice. c) ¿En qué punto del triángulo el campo gravitatorio será nulo? Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solución: b) 8,95 ? 10-5 m/s2; c) 41,42 # m de la masa menor A C T I V I D A D E S 3. Campo gravitatorio creado por masas puntuales A B X m Y 100 m m1 = 3 ? 10 9 kg m2 = 6 ? 10 9 kg 24
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