1 5.2. El campo gravitatorio del Sol y el sistema solar Consideramos al Sol como una gran masa de forma esférica alrededor de la que giran los planetas con órbitas elípticas. En la mayoría de los casos, la excentricidad de la elipse es pequeña , por lo que podemos suponer que son ór - bitas circulares. Además, los planetas se encuentran a grandes distancias del Sol , de forma que todos ellos se pueden considerar como masas puntuales. Podemos utilizar las expresiones deducidas para una masa puntual para calcular el campo gravitatorio creado por el Sol a una di stancia r y la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce sobre un planeta colocado en ese punto: ? ? g r G M u Sol r 2 = - ; ? ? ? ? F m g r G M m u G planeta Sol planeta r 2 = = - [1] El movimiento de los planetas Tal y como enunció Newton , la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre los planetas es la fuerza centrípeta responsable de su movimiento circular. ? ? ? F m a m r v u C planeta C planeta r 2 = = - [2] Relacionando las expresiones [1] y [2]: ? ? ? r G M m m r v Sol planeta planeta 2 2 = " ? v r G MSol = [3] Conclusión : los pl anetas giran a una velo ci dad menor cuanto mayor es su distancia al Sol . La velocidad a la que gira un planeta no depende de su masa ; solo depende de la masa del Sol y de la distancia del planeta al Sol . Si relacionamos la velocidad lineal del planeta con su periodo de revolución : ? ? v r T r 2 ~ r = = y lo sustituimos en [3], obtenemos: ? ? T r r G M 2 Sol r = Elevando al cuadrado y reordenando, obtenemos: ( ) ? r T G M 2 Sol 3 2 2 r = Conclusión : para cualquier planeta que gire alrededor del Sol , r T 3 2 = cte. Se justifica así la tercera ley de Kepler. Otros sistemas planetarios En el universo podemos encontrar otros si stemas simi lares al descrito, en el que un cuerpo central de gran masa ejerce atracción gravitatoria sobre otros cuerpos de menos masa que giran a su alrededor. Dentro del sistema solar hay planetas como la Tierra , Marte, Júpiter o Saturno que tienen varios satélites girando a su alrededor. Fuera de él hay estrellas con sus propios sistemas planetarios. En todos los casos se cumple: F F G C = ; ? v r G M cuerpo que gira cuerpo central = r T cte. cuerpo que gira 3 2 = e o El valor de la constante depende de Mcuerpo central. MSol r La fuerza gravitatoria con la que la Tierra es atraída por el Sol es la fuerza centrípeta responsable de su movimiento circular alrededor del Sol . mTierra Sistema planetario K2-138 descubierto gracias a la cooperación ciudadana . Las leyes de Kepler se aplican en el descubrimiento de planetas que giran alrededor de otras estrellas. Los planetas más alejados de la estrella se mueven más lentamente alrededor de ella . 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Distancia (ua). 1 ua = 1,496 · 108 km Estrella Planetas FG v 27
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