1 EJEMPLO RESUELTO 10 CoRoT-7b, uno de los exoplanetas más pequeños conocidos, gira alrededor de la estrella CoRoT-7 en una órbita prácticamente circular de 2,58 ? 109 m de radio y un periodo de 20,5 h. La masa del planeta es 2,90 ? 1025 kg y tiene un radio de 1,07 ? 107 m. Calcula: a) La masa de la estrella CoRoT-7. b) L a aceleración de la gravedad en la superficie del planeta CoRoT-7b. c) La velocidad de escape de este planeta. Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Para resolver el problema utiliza todas las magnitudes en unidades del SI. a) Para el planeta que gira alrededor de su estrella: Relaciona v con T: ? ? v r T r 2 v p = = Sustituye en [1] y despeja la masa de la estrella: ? ? ? ( ) M G r G T r v 2 E 2 2 2 3 p = = ? ? ? ? ? ? , ( , ) ( ) ( , ) M 6 67 10 20 5 3600 2 2 58 10 1,87 10 kg E 11 2 2 9 3 30 p = = - b) Calcula g en la superficie del planeta: ? g R G m P P 2 = ? ? ? ? ( , ) , , g 1 07 10 6 67 10 2 90 10 16,89 s m 7 2 11 25 2 = = - c) L a velocidad de escape en la superficie del planeta es aquella que hace que un cuerpo en ese punto tenga una EM $ 0. ? ? ? ? E E E m v r G m m 2 1 0 M C P P 2 $ = + = - ? ? v R G m 2 scape P P e $ ? ? ? ? ? ? , , , V 1 07 10 2 6 67 10 2 90 10 1,90 10 m/s escape 7 11 25 4 $ = - r Estrella Planeta FG F F C G = ? ? ? G r M m r m v E P P 2 2 = " " ? G r M v E 2 = " [1] 15 La luz del Sol tarda 8 min y 20 s en llegar a la Tierra, y 43 min y 20 s en llegar a Júpiter. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula: a) El periodo de Júpiter orbitando alrededor del Sol. b) La velocidad orbital de Júpiter. c) La masa del Sol. Datos: TTierra alrededor del Sol = 3,15 ? 107 s; c = 3 ? 108 m/s; G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Solución: a) 3,735 ? 108 s; b) 1,312 ? 104 m/s; c) 2,013 ? 1030 kg 16 Se deja caer libremente un objeto desde una distancia «infinita» de un planeta de radio RP . Calcula: a) La masa del planeta si la intensidad de la gravedad en la superficie vale g0. b) La velocidad al llegar a la superficie del planeta. c) La velocidad del objeto al pasar por un punto A en el que la gravedad vale g0/2. RP A Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2 ; g 0 = 9,8 m/s 2; RP = 6,37 ? 106 m. Solución: a) 5,96 ? 1024 kg; b) 1,117 ? 104 m/s; c) 9,396 ? 103 m/s 17 Un agujero negro es un objeto tan masivo que tiene una velocidad de escape igual a la velocidad de la luz en el vacío. Determina el radio, denominado radio de Schwarzschild, para un agujero negro, a partir de la gravitación universal de Newton. a) Con una masa 10 veces la del Sol. b) Con una masa de 1 kg. Datos: vluz vacío = 3 ? 108 m/s; G = 6,67 ? 10−11 N ? m2/kg2; MSol = 1,99 ? 1030 kg. Solución: a) 2,95 · 104 m; b) 1,48 · 10-27 m 18 La masa de Marte (M), su radio (R) y el radio de su órbita (r) alrededor del Sol, referidos a las magnitudes de la Tierra, son, respectivamente: MMarte = 0,107 ? MTierra, RMarte = 0,532 ? RTierra, y rMarte = 1,524 ? rTierra. Determina, en relación con la Tierra: a) El periodo de rotación de Marte alrededor del Sol. b) El valor de la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte en relación con las de la Tierra. Solución: a) TMarte = 1,88 ? TTierra; b) gM = 0,378 ? gT; vescape M = 0,448 ? vescape T A C T I V I D A D E S 29
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