6. Movimiento de planetas y satélites EJEMPLO RESUELTO 11 Se ha colocado un satélite de 104 kg de masa en órbita alrededor de la Tierra a una altura igual a dos veces el radio terrestre. Calcula: a) L a energía que se le ha comunicado desde la superficie de la Tierra. b) L a fuerza centrípeta necesaria para que describa la órbita. c) El periodo del satélite en dicha órbita. Datos: g0 = 9,8 m ? s -2; RT = 6 370 km. Para resolver el problema utiliza todas las magnitudes en unidades del SI. RT RT FG a) E l satélite estará sometido en todo momento al campo gravitatorio terrestre. Por tanto, se conservará la energía mecánica. En el punto de lanzamiento hay que comunicarle una energía cinética que, sumada a su energía potencial, coincida con la energía mecánica en la órbita: ● Punto de lanzamiento: ? ? E R G M m P T T = - ● En la órbita: ? ? ? ? E E E R G M m 2 1 2 M C P T T = + = - E E E C Lanzamiento P Lanzamiento M + = E E E C Lanzamiento M P Lanzamiento = - ? ? ? ? ? ? E R G M m R G M m 2 1 2 C Lanzamiento T T T T = - - - = f p ? ? ? ? R G M m 4 3 T T = [1] Como desconoces el valor de MT , haz uso de g0: ? ? ? g G M R G M g R T T T T 0 2 0 2 = = " [2] Sustituye en [1] y calcula la EC en el lanzamiento: ? ? ? ? ? ? ? E R g R m g R m 4 3 4 3 C Lanzamiento T T T 0 2 0 = = Utiliza todos los valores en unidades del SI: ? ? ? ? ? , E 4 3 9 8 6370 10 10 4,68 10 J C Lanzamiento 3 4 11 = = b) Para el satélite que orbita, FC = FG. ? ? F G r M m C T S 2 = Hac i endo u s o de l a exp re s i ón [ 2 ] , y dado que r = 2 ? RT: ? ? ? ? ( ) , F R g R m 2 4 9 8 10 24 500 N C T T s 2 0 2 4 = = = c) La FC permite calcular la velocidad con que orbita el satélite. A partir de ella, calcula su periodo: ? ? ? ? ? ( ) ( ) F r m v r m r m r T 2 v C S S S 2 2 2 2 p = = = Reordena y sustituye los valores: ? ? ? ? ? ( ) T 24 500 10 2 6370 10 2 1,433 10 s 4 3 2 4 p = = - 4 h 20 Un satélite artificial gira en una órbita circular a 300 km de altura sobre la superficie terrestre. a) Halla la velocidad del satélite. b) Halla su periodo orbital. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6370 km. Solución: a) 7,733 ? 103 m/s; b) 5,419 ? 103 s 21 Con el fin de recoger información acerca del planeta rojo se quiere enviar tres naves a Marte para hacer de satélites «marte-estacionarios». Determina: a) Qué tipo de órbita tendrían los satélites. b) A qué altura sobre la superficie de Marte se encontrarían. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2; MMarte = 6,42 ? 1023 kg; RMarte = 3397 km; TMarte = 5,93 ? 107 s. Solución: b) 1,559 ? 106 km 22 El satélite de la NASA Terra está diseñado para recoger información sobre la superficie de la Tierra, los océanos y la atmósfera. Con estos datos conseguimos estudiar la interrelación entre los distintos medios y los sistemas biológicos existentes. El satélite sigue una órbita circular en el plano que pasa por los polos a una altura de 760 km sobre la superficie de la Tierra (circumpolar). Sabiendo que la masa del satélite es de 4,86 ? 103 kg, calcula: a) El periodo del movimiento del satélite en su órbita alrededor de la Tierra. b) La energía necesaria, que hay que suministrar, para lanzar el satélite desde la superficie de la Tierra a su órbita. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6370 km. Solución: a) 5,99 ? 103 s; b) 1,68 ? 1011 J A C T I V I D A D E S 34
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