6. Movimiento de planetas y satélites Movimiento en el campo gravitatorio Un trozo de un meteorito de 400 kg de masa se mueve directo hacia la Tierra, en caída libre, bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. A 200 km sobre la superficie de la Tierra su velocidad es de 2300 m/s. Calcula: a) Las energías cinética y potencial a 200 km sobre la superficie de la Tierra. b) La altura inicial desde la que empezó a caer suponiendo que su velocidad a esa altura fuese nula. c) ¿Qué aceleración tendría el objeto en el instante inicial? d) La velocidad y la aceleración con la que impactará el meteorito en la superficie de la Tierra. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6370 km. 1. Comprende el enunciado. Datos conocidos Resultados a obtener ● Masa, velocidad y posición de un cuerpo en caída libre. ● Energías cinética y potencial en un punto. ● Altura del punto de inicio. ● Velocidad y aceleración en el punto de impacto. Haz todos los cálculos en unidades del SI. 2. Calcula EC y Ep. a) La energía cinética es: ? ? ? ? ? ( ) E m v 2 1 2 1 400 2300 1,058 10 J C 2 2 9 = = = La energía potencial es: ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) , , E r G M m E 200 6370 10 6 67 10 5 98 10 400 2,428 10 J P T P 3 11 24 10 = - = - + =- - 3. Aplica la conservación de la energía. b) Si a la altura inicial la velocidad era nula, la energía potencial inicial era igual a la energía total a una altura de 200 km sobre la superficie: ? ? E E R h G M m E E M i P i T T C P = = - + = + " ? ? h E E G M m R C P T T = - + - " " ? ? ? ? ? ? ? , , , , h 1 058 10 2 428 10 6 67 10 5 98 10 400 6370 10 9 10 11 24 3 = - - - - " " ? h 5 10 m 500 km 5 = = " 4. Deduce la aceleración a partir de la ley fundamental de la dinámica. c) La aceleración se puede calcular a partir de la fuerza ejercida sobre el objeto y su masa. ? F m a a m F G G = = " La distancia del objeto al centro de la Tierra es RT + h. ? ? ? ? ? ? ? ? 8,45 m/s ( ) ( ) ( ) , , , a m G R h M m R h G M a 6370 10 5 10 6 67 10 5 98 10 8 45 N/kg 2 T T T T 2 2 3 5 2 11 24 = + = + = + = = - 5. Aplica la conservación de la energía. d) Cuando impacte con la superficie, el cuerpo tendrá cierta energía cinética y energía potencial: ? ? ? ? ? ? ? ? ? E E E E R h G M m m v R G M m v G M R R h 2 1 2 1 1 M i P i C Sup P Sup T T T T T T T 2 = = + - + = - = - + " " " " " e o ? ? ? ? ? , , v 2 6 67 10 5 98 10 11 24 = - " ? ? ? ? 6370 10 1 6370 10 5 10 1 3 3 5 - + = e o 3019 m/s La aceleración con la que impacta es el valor de g en la superficie de la Tierra: ? ? ? ? ? , , g R G M 6370 10 6 67 10 5 98 10 9,8 m/s T T 0 3 11 24 2 = = = - 6. Evalúa el resultado. El trozo de meteorito cae libremente a la Tierra y no orbita porque su velocidad en el punto que se indica en el apartado a) es inferior a la que se requiere para ello. Para un cuerpo que orbita: ? ? ? ? E R h G M m E 2 1 2 1 M T T P = - + = ? ? E E E E E 2 1 2 1 C P P C P + = = - " ? ? , , E 2 2 428 10 1 214 10 J C 10 10 = = S O L U C I Ó N , v a Meteorito h RT 36
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