El movimiento de satélites 47 Un satélite artificial de 200 kg orbita a una altura h sobre la superficie terrestre donde el valor de la gravedad es la tercera parte de su valor en la superficie de la Tierra. a) ¿Se realiza trabajo para mantener el satélite en órbita? Justifica tu respuesta. b) Calcula el radio, el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite. Datos: g0 = 9,8 m ? s -2 ; RT = 6,37 ? 106 m. Solución: b) 1,103 ? 107 m; 1,15 ? 104 s; -3,61 ? 109 J 48 El satélite Astra 2C, empleado para emitir señales de televisión, es un satélite en órbita circular geoestacionaria. a) Calcula la altura a la que orbita respecto de la superficie de la Tierra y su velocidad. b) Calcula la energía invertida para llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta su órbita. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ? 1024 kg; masa del satélite, m = 4500 kg. Solución: a) 3,58 ? 107 m; 3072,6 m/s b) 2,61 ? 1011 J 49 La luna Ío de Júpiter tiene una masa de 8,94 ? 1022 kg y una gravedad en su superficie de 1,81 m/s2. a) Calcula el radio de Ío (en kilómetros) y su volumen. b) Una sonda está en caída libre hacia la superficie de Ío. A 5000 km del centro de la luna la velocidad de la sonda es de 1250 m/s. ¿Qué velocidad tendrá la sonda a 2000 km del centro? Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Solución: a) 1815 km; 2,5 ? 1019 m3; b) 2267,2 m/s 50 En 1969, Michael Collins tripulaba el módulo del mando Columbia, de la misión Apollo 11, mientras Neil Armstrong y Edwin Aldrin caminaban sobre la Luna. La nave orbitaba a 100 km de altura sobre la superficie de la Luna con un periodo de 118 min. Calcula: a) La masa de la Luna y la intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar. b) La velocidad de escape desde la superficie lunar. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N? m2/kg2; RLuna = 1,74 ? 103 km. Solución: a) 7,356 ? 1022 kg; 1,62 m/s2; b) 2375,743 m/s 51 La Estación Espacial Internacional, de 280 000 kg de masa, gira a una altura media de 360 km sobre la superficie de la Tierra siguiendo una órbita circular. Debido al rozamiento con la alta atmósfera, su altura disminuye continuamente. Por este motivo, la estación ha descendido hasta una órbita circular de 340 km de altura. Calcula: a) Las velocidades orbitales a 340 km y 360 km de altura. b) La energía necesaria para recuperar la órbita inicial. c) La diferencia en el periodo de las órbitas. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6370 km. Solución: a) 7698,5 m/s; 7710,0 m/s; b) 2,47 ? 1010 J; c) 24,47 s E J E M P LO R E S U E LTO 1 3 a) S AC-D Aquarious es un satélite de observación climática y oceanográfica. Fue lanzado en junio de 2011 por un cohete que lo colocó en una órbita circular sobre la superficie de la Tierra a una altura h = 660 km. Calcula la velocidad orbital del Aquarious y el periodo de su órbita. b) D etermina el trabajo mínimo que deberían realizar los motores del satélite para pasarlo a otra órbita más alejada, que esté a un altura del doble de la primera: 2h. Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6,37 ? 106 m; MAquarious = 1350 kg. a) Para el satélite que orbita: ? ? ? ( ) F F R h G M m m R h v G C T T S S T 2 2 = + = + " Simplifica y calcula utilizando las unidades del SI: ? ? ? ? ? ? ( ) , , , v R h G M 6 3 10 660 10 6 67 10 5 9 10 7 8 T T 6 3 11 24 = + = + = - 7520,8 m/s = Relaciona T con la velocidad orbital del satélite: ? ? ( ) ( ) v R h T v R h T 2 2 T T p p = + = + " ? ? ? , ( , ) , T 7520 8 2 6 37 10 660 10 5881 5 s 6 3 p = + = b) Los motores deberían realizar un trabajo igual a la diferencia de energía entre las órbitas: ? ? ? ? ? W E E R h G M m R h G M m 2 i f M f M i T T T T = - = - + - - + " f p ? ? ? ? W G M m R h R h 1 2 1 i f T T T = + - + " e o ? ? ? ? , , W 6 67 10 5 98 10 i f 11 24 = " - ? ? ? ? ? ? ? , , 1350 6 3 10 660 10 1 6 3 10 2 660 10 1 7 7 6 3 6 3 + - + f p ? W 6,55 10 J i f 9 = " 52 Prepara una presentación acerca de los distintos tipos de satélites, LEO, MEO y GEO. Incluye su aplicación, las características de las naves, órbita o periodo, por ejemplo. 53 En un sistema formado por dos masas M1 y M2, siendo M1 > M2, se llaman puntos de Lagrange a un conjunto de cinco puntos en los que un cuerpo de masa despreciable, en el campo gravitatorio creado por ambos, tiene una órbita síncrona con la que describe M2 al girar en torno a M1. Tres de estos puntos, L1, L2 y L3, están en la línea que une M1 y M2. Localízalos en un diagrama y razona por qué la distancia que separa L1 de M1 es la menor, y la que separa L2 de M1 es la mayor. actividades finales 42
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