Esquema de las unidades 1. La cinemática de los planetas 1 La activ idad de los astrónomos en el siglo xvi permitió conocer múltiples datos acerca de las posiciones de los planetas en di stintos momentos del año. Relacionando esos datos, Johannes Kepler (1571-1630) logró asentar el modelo heliocéntrico, precisando que los planetas describen órbitas elípticas. 1.1. Las leyes de Kepler Como consecuencia de sus estudios, enunció las tres leyes del movimiento planetario o leyes de Kepler. Las leyes de Kepler son una descripción cinemática del sistema solar. Las leyes de Kepler son una descripción cinemática del si stema solar. Son leyes empíricas que no explican las causas de estos movimientos; para un análisis de estas causas hay que esperar a los trabajos posteriores de Newton. E J E M P LO R E S U E LTO 1 Imagina que en la periferia del sistema solar se detecta un nuevo planeta enano. Su distancia media al Sol es el doble que la de la órbita de Neptuno. ¿Cuánto tiempo tardará en dar la vuelta al Sol? Dato: TNeptuno = 5,17 ? 109 s. Ambos astros giran alrededor del Sol. Según la tercera ley de Kepler: ? ( ) a T a T a T T a 2 planeta planeta Neptuno Neptuno Neptuno planeta Neptuno Neptuno 3 2 3 2 3 2 3 2 & = = ? ? ? T a a T T T 2 8 planeta Neptuno Neptuno Neptuno planeta Neptuno 2 3 3 3 2 & = = ? ? ? , T 8 5 17 10 s 1,46 10 s planeta 9 10 = = 2 Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoñoinvierno dura seis días menos que el de primavera-verano. 3 La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encuentra el número de años terrestres que dura un año marciano. Solución: 1,779 años terrestres A C T I V I D A D E S 1. Producto de vectores Producto escalar de vectores. Dados dos vectores A y B que forman un ángulo a, su producto escalar ? A B es un escalar cuyo valor es: cos ? ? ? A B A B a = El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero porque cos 90° = 0. P r o du c t o v e c t o r i a l d e v e c t o re s . D a d o s d o s v e c t o re s A y B qu e f o rman un án gu l o a, su pro du c t o v e c t o r i a l A B # es un vector C, con las siguientes características: ● Módulo: sen ? ? A B A B # a = ● Dirección : es perpendicular a A y B. ● Sentido: viene determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo. El producto vectori al de dos vectores paral elos es cero porque sen 0° = 0. 2. La derivada de una función ● Derivada de la función constante: Sea y = K (constante) " dx dy 0 = ● Derivada de la función producto por un número real: Sea y = K ? x " dx dy K = ● Derivada de la función potencial: Sea y = xn " ? dx dy n xn 1 = - 3. Derivada de un producto de vectores ( ) ? ? ? d A B dA B A dB = + ( ) d A B dA B A dB # # # = + Vamos a demostrar que ? ? r d r r dr = . ° ? ? ? ? cos r r r r r r 0 = = ( ) ? ? ? ? d r r d r r r d r r d r 2 = + = [1] ( ) ( ) ? ? ? ? ? d r r d r r dr r r dr r dr 2 = = + = [2] Igualando [1] y [2]: ? ? ? ? r d r r dr r d r r dr 2 2 = = " REPASO MATEMÁTICAS 1. Modelo geocéntrico de Ptolomeo La Tierra permanece f ija en el centro del universo y todos los demás astros giran a su alrededor. Para explicar el movimient o r e t r ó g r a d o d e M a r t e , Ptolomeo (85-165) imaginó que los planetas giraban alrededor de la Tierra describiendo una órbita en espiral en l a que pequeñas circunferencias, epiciclos, desplazan su centro siguiendo una circunferencia mayor, deferente. Tanto el giro del epiciclo como el del deferent e pueden tener velocidades, direcciones y radios independientes, lo qu e expli ca l as i r regul ar i dade s obser vadas en el mov i - miento de los planetas. 2. Modelo heliocéntrico de Copérnico El Sol está en el centro del universo. La Tierra y los demás pl anetas giran a su alrededor describi endo órbitas circulares. Solo la Luna gira alrededor de la Tierra . El astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) estableció un modelo heliocéntrico que explica el movimiento retrógrado de Marte como un efecto óptico. La Tierra se desplaza en su trayectoria a mayor velocidad que Marte en la suya; esto hace que, a veces, parezca que Marte retrocede. 3. Movimiento circular uniforme ● Velocidad: es tangente a la trayectoria en cada punto. Su módulo es constante. ● Aceleración: solo tiene componente normal o centrípeta ● Fu er za : e sto s cu er po s e s - tán sometidos a una fuer - za centrípeta . F ? ? F m r v m a c c 2 " = = REPASO FÍSICA Y QUÍMICA Centro Movimiento retrógrado Deferente Epiciclo v v v a a a F F F 1 Calcula: dr d r 5 = e o . Solución: r 5 2 - A C T I V I D A D E S Primera ley de Kepler 1. Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. El afelio es la posición más alejada de la órbita , y el perihelio, la más próxima . En la figura , a y b son los semiejes de la elipse. Segunda ley de Kepler 2. Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector de posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. cte. dt dA = Tercera ley de Kepler 3. Para todos los planetas: (constante) a T k 3 2 = Donde a es el semieje mayor de la elipse. En la práctica , a es la distancia media del planeta al Sol . T es el periodo de traslación del planeta . Planeta Distancia al Sol (m) Periodo (s) T2/a3 (s2/m3) Mercurio 5,79 ? 1010 7,60 ? 106 2,98 ? 10-19 Venus 1,08 ? 1011 1,94 ? 107 2,98 ? 10-19 Tierra 1,50 ? 1011 3,16 ? 107 2,97 ? 10-19 Marte 2,28 ? 1011 5,94 ? 107 2,98 ? 10-19 Júpiter 7,79 ? 1011 3,74 ? 108 2,97 ? 10-19 Saturno 1,43 ? 1012 9,29 ? 108 2,93 ? 10-19 Urano 2,87 ? 1012 2,64 ? 109 2,95 ? 10-19 Neptuno 4,50 ? 1012 5,17 ? 109 2,94 ? 10-19 Los estudios de Kepler revelan que un planeta tarda el mismo tiempo en pasar de A a B que de C a D. En consecuencia , su velocidad es mayor en el perihelio que en el afelio. perihelio afelio A C B D a b 9 8 1. La cinemática de los planetas 1.2. El momento angular de los planetas Dado que las distancias que separan los planetas del Sol son mucho mayores que el propio radio del planeta , consideraremos a estos como puntos materiales cuya masa es la masa del planeta . Así , analizaremos el movimiento de los planetas como el de un punto material que gira con un movimiento cur vilíneo. Definición de momento angular Cuando un cuerpo describe un movimiento rectilíneo, este viene caracterizado por su momento lineal o cantidad de movimiento, p. Su variación con el tiempo permite conocer la fuerza responsable de su movimiento: p = m ? v " ( ) F ? ? dt dp dt d m v m dt d v = = = Pero cuando un cuerpo describe un movimiento cur vilíneo, en el que la cantidad de movimiento cambia continuamente en dirección y sentido, su estado de movimiento viene determinado por una nueva magnitud que denominamos momento angular, L, o momento cinético. Su variación con el tiempo también dará información de la fuerza responsable de su movimiento. Para un cuerpo de masa m que se desplaza alrededor de un punto P, como se muestra en la figura, se define su momento angular, L: L = r # p = r # (m ? v ) L es un vector cuyas características vienen determinadas por las propiedades del producto vectorial de dos vectores: ● Módulo (donde a es el ángulo que forman r y p): ;L; = ;r # p; = ;r; ? ;(m ? v ); ? sen a ● Dirección : perpendicular al plano que forman los vectores r y p. ● Sentido: vendrá dado por la regla de la mano derecha o del tornillo. La unidad del momento angular en el SI es m2 ? kg/s. Momento angular en los movimientos circulares En un movimiento circular, r tiene la dirección del radio de la circunferencia . Como v es tangente a la misma serán mutuamente perpendiculares: L = r ? m ? v ? sen a = r ? m ? v ? sen 90° L = r ? m ? v ● Para un cuerpo que se mueve con movimiento circular uniforme el módulo del momento angular L es constante, ya que en una circunferencia el radio tiene un valor constante y el cuerpo mantiene constante su masa y el módulo de la velocidad . ● Si la órbita es plana , la dirección de L será siempre perpendicular a la mi sma ; en consecuencia , t endrá una dirección constant e. Si el cuerpo avanza siempre en el mi smo sentido, también será constant e el sentido de L. Por tanto: Un cuerpo que se mueve con un movimiento circular uniforme describe una órbita plana y el momento angular L es constante. El vector L es perpendicular al plano formado por r y v. El vector r es el vector de posición del móvil respecto al centro de giro, P. P L r v R E C U E R D A Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores a y b, que se representa como a # b, es un vector perpendicular tanto a a como a b. c = a # b a b 4 Calcula el vector momento angular del minutero de un reloj. Supongamos que es un reloj en una torre y que los 250 g de masa de la aguja se concentran a 90 cm del eje. Indica su dirección y sentido. Solución: 3,53 ? 10-4 m2 ? kg/s, horizontal hacia dentro de la esfera del reloj A C T I V I D A D E S 10 1 5 Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ? 104 m/s, y en el perihelio es de 3,53 ? 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 ua, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato 1 ua = 1,496 ? 1011 m. Solución: 1,0738 ? 1011 m; 1,0893 ? 1011 m 6 Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular? A C T I V I D A D E S z Y x O L r F v ~ Conser vación del momento angular. Fuerzas centrales Como ya hemos indicado, la variación con respecto al tiempo del momento angular de un cuerpo que gira nos dará información sobre la fuerza responsable de su movimiento. ( ) ( ) ( ) F ? ? ? dt dL v m v r m a r m a r 0 # # # # = + = + = [2] es 0 porque el vector m ? v es paralelo a v. Para un cuerpo que se mueve con momento angular constante: L F dt d r 0 # = = Por l as propi edades del producto vectori al de vectores, como ni r ni F son nulos, r y F deben tener la misma dirección . Cuando esto sucede, se di ce qu e el cu er po se mu e ve bajo l a acción de una fuerza central. Una fuerza central tiene la dirección del vector de posición y forma con él un ángulo de 0° o 180°. En ambos casos, el seno = 0. 0 = % centrales sen 180 L F ? ? dt d r r F Fuerzas # = = Teorema de conser vación del momento angular Para un cuerpo sometido a fuerzas centrales la variación del momento angular se anula . L dt d 0 = Un cuerpo que gira bajo la acción de una fuerza que tiene la dirección de su vector de posición con respecto al centro de giro tendrá un vector momento angular constante, L = cte., en módulo, dirección y sentido. E J E M P LO R E S U E LTO 2 Mercurio en su órbita está a una distancia variable del Sol, ra = 70,5 ? 109 m en el afelio y rp = 46,5 ? 109 m en el perihelio. Si la velocidad en el perihelio es vp = 59,7 ? 103 m/s, ¿qué velocidad lleva en el afelio? Como Mercurio está sometido a una fuerza central, conserva el momento angular, que no cambia con el tiempo, y por tanto: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L r m v r m v v r m r m v sen sen sen sen a a a a a a a p p p a a a p p p " = = = El radio vector y la tangente forman un ángulo recto en los vértices mayores de la elipse. Por eso: ap = aa = 90° " sen ap = sen aa = 1 Sustituye y opera. ? ? ? ? ? ? ? , , , v 70 5 10 1 46 5 10 59 7 10 1 m m m/s 39,4 10 s m a 9 9 3 3 = = Cuando un cuerpo tiene un movimiento circular uniforme y describe una órbita plana , su momento angular L es constante. En una órbita elíptica , el vector r y el vector v solo son perpendiculares en el afelio y en el perihelio. Solo en esos puntos L = r ? m ? v. Perihelio Afelio Sol r v v v r r 11 1 Analizar el campo gravitatorio creado por masas puntuales con distribución geométrica En los tres vértices de un triángulo equilátero de 10 m de lado tenemos colocados cuerpos puntuales de masas 2, 3 y 0,5 kg. Calcula: a) El valor del campo gravitatorio en el centro del triángulo. b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúe en el centro del triángulo. c) El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el centro del triángulo hasta el punto medio del lado en que están las masas de 2 y 3 kg. Interpretar el signo del resultado. d) Suponiendo que la masa de 5 kg se deja en reposo en el centro del triángulo, ¿con qué velocidad llegará al punto medio del lado opuesto? Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/ kg2. 1. Comprende el enunciado. Datos conocidos Resultados a obtener Valor de tres masas y su localización en un triángulo. ● Campo gravitatorio en el centro del triángulo y fuerza sobre un cuerpo de 5 kg. ● Trabajo en un desplazamiento y velocidad con que llega. Haz todos los cálculos en unidades del SI. 2. Representa los cuerpos en la posición del enunciado. Establece un sistema de coordenadas para determinar la posición de cada uno de los cuerpos y el punto en donde se crea el campo. El centro del triángulo (D) es el baricentro; dista de cada vértice 2/3 de la altura. B A E D ( , / ) 5 5 3 3 C (0, 0) 2 2 0 4 6 8 6 4 8 10 (10, 0) 0, 5 kg 2 kg 3 kg 5, 5 3 ` j ur CD ur BD ur AD gC gA g B a) Calcula el campo en el centro del triángulo: g g g g T A B C otal = + + " ? ? ? ? ? ? g r G M u r G M u r G M u Total AD A r AD BD B r BD CD A r CD 2 2 2 = - - - " En cada caso, calculamos el vector de posición y el vector unitario con las coordenadas de los puntos inicial y final. A veces, la simetría de la composición facilita el cálculo. ● rAD es un vector con origen en el punto (0, 0) y extremo en 5, 3 5 3 f p . / r 5 5 3 3 i j AD = + " ( / ) / u r r 5 5 3 3 5 5 3 3 i j r AD AD AD 2 2 = = + + = " / / 10 3 3 5 5 3 3 2 3 2 1 i j i j = + = + " ● r BD es un vector con origen en el punto (10, 0) y extremo en ( , / ) 5 5 3 3 . / r 5 5 3 3 i j BD= - + " u 2 3 2 1 i j r BD = - + " Por simetría con el anterior. ? ? g r G M u B BD B r BD 2 = - = ? ? ? ? / , 10 3 3 6 67 10 3 2 3 2 1 m kg N m kg i j 2 2 11 2 2 = - - + = - _ f i p ? ? , , 5 20 10 3 00 10 i j kg N 12 12 = - - - ● rCD es un vector con origen en el punto 5, 5 3 _ i y extremo en 5, 3 5 3 f p . / r u 0 10 3 3 i j j CD r CD = - = - " ? ? g r G M u C CD C r CD 2 = - = ? ? ? ? / , , ( ) 10 3 3 6 67 10 0 5 m kg N m kg j 2 2 11 2 2 = - - = - _ i ? 1,00 10 j kg N 12 = - S O L U C I Ó N Sigue 23 Campo gravitatorio creado por masas puntuales 32 Indica qué dimensiones tiene la intensidad del campo gravitatorio en el sistema internacional. 33 Razona si es verdadera o falsa la siguiente afirmación y justifica la respuesta: «Si en un punto de un campo creado por varias masas la intensidad del campo es nula, también lo será el potencial gravitatorio». 34 Tres planetas de masas m1, m2 y m3 se encuentran situados en los puntos (-a, 0), (0, -a) y (0, a), respectivamente. Considerando que son masas puntuales de valores m2 = m3 = 2m1 = 4 ? 1021 kg, y siendo a = 2 ? 105 m, calcula: a) El vector campo gravitatorio originado por los tres planetas en el punto O (0, 0) m. b) El potencial gravitatorio (energía potencial por unidad de masa) originado por los tres planetas en el punto P(a, 0) m. Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solución: a) 3,335 i kg N ; b) =2,22 ? 106 J/kg 35 Dos partículas de masas 8 kg y 1 kg se encuentran en el vacío y separadas 40 cm. Calcula: a) La energía potencial inicial del sistema y el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al aumentar la separación entre las partículas hasta 80 cm. b) El trabajo necesario para separar las partículas desde la posición de partida hasta el infinito y el trabajo necesario para restablecer la distribución inicial. Dato: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solución: a) -1,334 ? 10-9 J; -6,67 ? 10-10 J; b) -1,334 ? 10-9 J; 1,334 ? 10-9 J Representación del campo gravitatorio 36 Una sonda espacial que está a 50 m de la superficie de Marte se acerca hasta que se deposita sobre ella. a) Observa los gráficos siguientes e indica, de forma justificada, cuál representa las superficies equipotenciales generadas por Marte. b) En el gráfico seleccionado, señala la posición de la superficie de mayor y la de menor potencial. Razona tu respuesta. A B C D 37 Indica si es verdadera o falsa la siguiente afirmación y justifica la respuesta: «El trabajo realizado al trasladar una masa entre dos puntos de una misma superficie equipotencial nunca es cero». Cinemática y dinámica de los planetas 27 Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta. Explica cuál o cuáles de las siguientes magnitudes permanecen constantes: a) El momento lineal. b) La energía potencial. c) El momento angular. 28 Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas: a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Es constante. 29 Alrededor de una estrella orbitan dos planetas cuya masa es mucho menor que la masa de la estrella. Uno de ellos (A) describe una órbita circular de radio RA = 1 ? 108 km y tiene un periodo de rotación de TA = 2 años. Por su parte, el planeta B sigue una órbita elíptica cuyo semieje mayor (suma de las distancias a la estrella en el apoastro y el periastro) es de 2,8 ? 108 km. Calcula: a) El periodo de rotación del planeta B. b) La masa de la estrella. c) La relación entre la velocidad lineal del planeta B en su apoastro y en su periastro. ¿En cuál de estos puntos tiene mayor velocidad? Solución: a) 4,83 años; 1,49 ? 1029 kg; b) v p = 1,8 ? vA 30 Rhea y Titan son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno al planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ? 108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno. Dato: G = 6,67 ? 10–11 N ? m2/kg2. Solución: 1,22 ? 109 m; 5,68 ? 1026 kg 31 El esquema reproduce una experiencia similar a la realizada por Cavendish en 1875 para determinar el valor de la constante de gravitación universal, G. Las esferas grandes tienen una masa de 10 kg cada una y la masa de la esfera pequeña es 0,1 kg. En un momento dado, la posición de las tres masas forma un triángulo rectángulo, como se recoge en el dibujo. a) ¿Cuál debe ser la relación entre las distancias r y R para que la atracción gravitatoria de la masa M más alejada sobre m sea la décima parte de la que ejerce la masa M más próxima? b) En ese momento, la distancia es r = 0,25 m y la fuerza de atracción entre m y la masa M más próxima es 1 nN. Con estos datos, ¿qué valor se obtendrá para G? Datos: MTierra = 5,98 ? 1024 kg; RTierra = 6370 km. Solución: a) R = 3 ? r; b) G = 6,25 · 10-11 N ? m2/kg2 actividades finales B M M m r R A C Superficie de Marte Superficie de Marte Superficie de Marte Superficie de Marte 50 m 50 m 50 m 50 m A B Apoastro Periastro R1 R2 40 Campo gravitatorio 1 El telescopio espacial James Webb A f inales de 2021 se lanzó al espacio el telescopio espacial James Webb, sucesor del famosísimo Hubble. Se trata de un telescopio capaz de obser - var en el infrarrojo, y está formado por 18 paneles que le otorgan un diámetro de 6,5 m (el Hubble tiene un espejo principal de 2,4 m de diámetro). Con el objetivo de aprovechar al máximo su potencial y obtener las imágenes más detalladas posibles, se envió a un punto del espacio situado a unos 1,5 millones de km de la Tierra , unas 4 veces la distancia Tierra-Luna . ¿Por qué ahí? Pues porque en este punto está lejos del Sol , la temperatura es muy baja y puede obser var regiones oscuras del espacio continuamente. Además, la atracción gravitatoria ejercida por el Sol y la Tierra es la idónea para mantenerlo en una órbita estable sin consumir demasiado combustible. R E C U E R D O L O Q U E S É ¿De qué depende la fuerza que el Sol ejerce sobre el telescopio Webb? ¿Qué características tiene la fuerza gravitatoria ejercida entre dos masas? ¿Cuál es la diferencia entre peso y masa? Explícalo con un ejemplo. I N T E R P R E T O L A I M AG E N El telescopio Webb está situado en una órbita alrededor del punto de Lagrange llamado L2, tal y como muestra el esquema. ¿Qué astro crees que ejercerá más fuerza sobre él, la Tierra o el Sol? ¿Por qué? ¿Se anula la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol y la Tierra en el punto donde se ha situado el telescopio Webb? ¿Y en algún punto situado en la línea que une el Sol y la Tierra? Elabora un esquema con las fuerzas que el Sol y la Tierra ejercen sobre el telescopio Webb. E N E S TA U N I DA D … 1 La cinemática de los planetas 3 Campo gravitatorio creado por masas puntuales 4 Representación del campo gravitatorio 5 Campo gravitatorio de los cuerpos celestes 6 Movimiento de planetas y satélites APLICO LO APRENDIDO Satélites meteorológicos 2 La dinámica de los planetas. Ley de la gravitación universal. Sol Luna L4 L2 L1 L3 L5 Tierra Órbita de JWST alrededor de L2 7 Viajes a través del espacio 7 6 Contenidos de la unidad. Algunas preguntas relacionan los contenidos con lo que ya se ha estudiado. Otras invitan a la reflexión o al debate a partir de alguna imagen. A lo largo de toda la unidad se incluyen numerosos ejemplos resueltos, numéricos o no, que ayudan a poner en práctica los conceptos expuestos. En el material digital de apoyo encontrarás animaciones que facilitan la asimilación de los contenidos. Las actividades acompañan el trabajo de los contenidos próximos. Una imagen y un texto iniciales presentan la unidad. Las actividades finales afianzan los contenidos y permiten relacionar unos conocimientos con otros y elaborar un análisis más profundo. Algunas páginas incorporan procedimientos o experiencias para aprender de una forma activa. En ellas se muestra paso a paso el trabajo a seguir. Antes de tratar los contenidos de cada unidad, en el repaso inicial se recuerdan contenidos de matemáticas, física o química. Los contenidos se presentan de una manera visual y con abundantes esquemas y organizadores. O R I E N T A C I O N E S P A R A E L A C C E S O A L A U N I V E R S I D A D 1 2 Calcula la energía necesaria para llevar el telescopio desde la órbita lunar hasta el punto de Lagrange. La energía necesaria depende de los puntos entre los que movemos el telescopio y de la masa de la Tierra y del telescopio. 1. La energía de un satélite en un punto se calcula a partir de la expresión numérica: ? ? E G M r m 2 1 = 2. Puesto que el enunciado no nos da información sobre la Luna, realiza los cálculos sin tener en cuenta el campo gravitatorio o el potencial creado por nuestro satélite sobre el telescopio. 3. Calcula la diferencia de energía en los puntos señalados en el enunciado (r1 y r2) y luego sustituye valores en la expresión inicial. 4. Puesto que la órbita lunar está más cerca de la Tierra que L2, la energía resultante deberá ser positiva. Hay que comprobar este hecho una vez resuelto el problema. 1 Calcula el campo gravitatorio en el punto de Lagrange alrededor del cual orbita el telescopio. En problemas de este tipo, el campo gravitatorio total es la suma vectorial de los campos gravitatorios ejercidos por cada uno de los cuerpos que intervienen. En este caso, tanto la Tierra como el Sol ejercen un campo gravitatorio sobre el telescopio. 1. Primero, puedes dibujar un esquema señalando en él la dirección y el sentido de cada uno de los campos gravitatorios. Puesto que el enunciado no nos da información sobre la Luna, realiza los cálculos sin tener en cuenta el campo gravitatorio creado por nuestro satélite sobre el telescopio. 2. A continuación, dibuja la suma vectorial sobre el esquema para conocer hacia dónde está dirigido el campo gravitatorio total. 3. Ahora, calcula el valor numérico de cada uno de los campos gravitatorios. Exprésalo de manera vectorial, eligiendo un origen de coordenadas que facilite el cálculo. En este caso el origen puede estar en el punto de Lagrange. Necesitas usar la expresión: ? g G r m 2 = 4. Finalmente, suma los campos gravitatorios componente a componente. 5. Ahora, calcula el módulo del vector campo gravitatorio. Así sabrás cuál es el valor numérico del campo. Vigila que las unidades sean las adecuadas. El telescopio espacial James Webb se encuentra desde 2022 en órbita alrededor del punto de Lagrange L2, situado a 1,5 millones de kilómetros de la Tierra , en la dirección que une a la Tierra con el Sol , y más alejado del Sol que de la Tierra (1 ua más alejado). Datos: 1 ua = 1,49 6 · 108 km ; G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2; dTierra-Luna = 38 4 0 0 0 km ; mTelescopio = 620 0 kg. Leyes de Kepler. Momento angular. Ley de la gravitación universal. Campo gravitatorio. Potencial gravitatorio. Energía cinética. C O N C E P T O S C L A V E Energía potencial gravitatoria. Energía mecánica. Fuerzas conservativas. Trabajo. ç Órbita. Satélite. Luna Sol Tierra L2 JWST 45 Además de las medidas de temperatura , presión atmosférica y humedad , el uso de imágenes obtenidas mediante satélite ha permitido mejorar notablemente los pronósticos met eorológicos, aunque solo para unos pocos dí as. Existen dos tipos de satélites meteorológicos: ● Satélites meteorológicos geoestacionarios. Tienen un periodo de 24 horas, es decir, que coincide con el de rotación de la Tierra . Esto implica que siempre están sit u a d o s s o b r e e l m i sm o p u n t o d e l a Ti e r r a , a u n o s 35 800 km de altitud . ● Satélites meteorológicos polares. Orbitan más cerca de la Tierra , a menos de 1000 km , y ofrecen imágenes de mejor resolución . Su órbita transcurre desde un polo a otro, y el periodo es más cor to qu e el de los sat élit es geoestacionarios, por lo que pasan por cualquier punto de su órbita varias veces al día. Muchos satélites son pasivos, es decir, únicamente toman imágenes. Pero también existen satélites activos capaces de transmitir una señal de radio y recibir su eco tras chocar contra la super f icie. Así se obtienen las imágenes de radar que identifican , por ejemplo, zonas donde llueve. A P L I C O L O A P R E N D I D O Especialista en meteorología ¿Qué hace? ● Estudia los fenómenos que suceden en la atmósfera y las leyes físicas por las que estos se rigen . ● Pronostica el tiempo que va a hacer en diferentes lugares del planeta : las temperaturas y los fenómenos atmosféricos que van a producirse, como precipitaciones en forma de lluvia , nieve o granizo, borrascas o anticiclones, por ejemplo. ● Lanza avisos de alerta en casos de riesgo por fenómenos atmosféricos extremos. ¿Cómo lo hace? ● Interpreta los resultados obtenidos a partir de las obser vaciones realizadas en estaciones meteorológicas. ● Se encarga de gestionar la elaboración de los mapas de isobaras, los mapas de predicción del tiempo o climogramas. ● Comunica por los canales oportunos los avisos de alerta meteorológica . P E R F I L P R O F E S I O N A L Satélites meteorológicos 1 44 Cinemática y dinámica de los planetas Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas: 1. Los planetas giran en órbitas elípticas planas. 2. Giran con velocidad areolar constante. 3. Cumplen con la relación a T k (constante) 3 2 = . Para describir el movimiento de un cuerpo que gira, se utiliza el concepto momento angular (L ). ? L r p r m v ( ) # # = = El momento angular de los planetas es constante, lo que indica que se mueven bajo la acción de una fuerza central. Newton dedujo la expresión de la fuerza gravitatoria, la fuerza central que causa el movimiento de los planetas. Campo gravitatorio creado por masas puntuales Campo gravitatorio es la región del espacio en la que se aprecia la perturbación provocada por la masa de un cuerpo. Intensidad del campo gravitatorio en un punto Campo creado por una masa puntual de masa M: ? ? g r G M u 2 r = - Es una magnitud vectorial y en el SI se mide en N/kg. La fuerza gravitatoria sobre un cuerpo de masa m colocado en ese punto del campo es: ? ? ? ? F m g r G M m ur i 2 = = - Trabajo debido a las fuerzas gravitatorias El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio depende solo del punto inicial y final del desplazamiento, y no de la trayectoria seguida. ? ? ? ? W r G M m r G M m i f f i = - " Energía potencial gravitatoria La energía potencial gravitatoria, EP, es la que posee una masa que está en el campo gravitatorio de otra(s) masa(s). ? ? E r G M m P= - Es una magnitud escalar y en el SI se mide en J/kg. Conservación de la energía mecánica Teorema de conservación de la energía mecánica: cuando un sistema se ve sometido solo a la acción de fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva. E E E E E C f P f C i P i M + = + = Potencial gravitatorio en un punto Se denomina potencial en un punto V a la energía potencial por unidad de masa en ese punto: Podemos escribirlo así: ? V m E r G M P = = - Es una magnitud escalar y en el SI se mide en J/kg. Diferencia de potencial entre dos puntos i y f de un campo gravitatorio (Vf - Vi): ? ? V V V V r G M r G M f i f i D D = - = - - - " f p Representación del campo gravitatorio Las líneas de campo son líneas tangentes al vector intensidad de campo en cada punto. Las superficies equipotenciales son regiones del espacio en las que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor. Campo gravitatorio de los cuerpos celestes Para un planeta que gira en torno a una estrella o similar: ? F F V r G M ; cuerpo que gira órbita cuerpo central G C = = Velocidad de escape es la que debe tener un cuerpo para liberarse de la atracción gravitatoria de otro cuerpo: ? V r G M escape órbita cuerpo central $ Movimiento de planetas y satélites Satélites que orbitan la Tierra Para el satélite que gira a una altura h por encima de la superficie de la Tierra: ● ? ? v r G M R h G M T T T = = + ● ? ? ? ? ( ) T G M r G M R h 4 4 p p T T T 2 3 2 3 = = + Energía de los satélites La energía mecánica de un satélite es: ? ? ? E r G M m 2 1 M= - La velocidad de lanzamiento necesaria para poner un satélite en órbita es: ? ? ? ? ( v G M R R h 2 1 2 1 T T = - + e o La energía necesaria para pasar de una órbita de radio r2 a otra de radio r3, siendo r2 < r3 es: ? ? ? ? E G M m r r 2 1 1 1 2 3 D = - f p La velocidad de escape de un satélite que está a una altura h de la superficie de un planeta de masa MP y radio RP es: ? ? v R h G M 2 escape P P $ + R E C U E R D O L O A P R E N D I D O 1 43 En Orientaciones para el acceso a la Universidad se incluyen actividades y consejos para su resolución. En la sección Aplico lo aprendido se añaden contenidos prácticos relacionados con la unidad. Tras las actividades finales, un resumen recopila los contenidos más relevantes que se acaban de estudiar. La sección Perfil profesional presenta algunas profesiones relacionadas con los contenidos de la unidad. 5
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