Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Sonia Alejo Sánchez Lourdes Pérez González José Antonio Almodóvar Herráiz Carlos Pérez Saavedra Clara Inés Lavado Campos Federico Rodríguez Merinero Silvia Marín García Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓ Sonia Alejo Sánchez Aída Moya Librero Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta. 2 E S O Matema` tiques
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 1 Nombres enters 9 1. Nombres enters _ 10 2. Operacions amb nombres enters _ 12 3. Múltiples i divisors de nombres enters _ 16 4. Factorització d'un nombre enter _ 18 5. M àxim comú divisor i mínim comú múltiple _ 20 2 Fraccions i decimals 31 1. Fraccions _ 32 2. Fraccions equivalents _ 33 3. Comparació de fraccions _ 36 4. Operacions amb fraccions _ 37 5. Operacions combinades amb fraccions _ 40 6. Nombres decimals _ 42 7. Aproximació i estimació _ 43 8. Fraccions i nombres decimals _ 44 9. Operacions amb nombres decimals _ 46 3 Potències i arrel quadrada 57 1. Potències de nombres enters _ 58 2. Notació científica _ 60 3. Potències de fraccions _ 61 4. Operacions amb potències _ 62 5. Arrel quadrada de nombres enters _ 64 6. Arrel quadrada de fraccions _ 66 4 Expressions algebraiques 77 1. Expressions algebraiques _ 78 2. Monomis _ 79 3. Operacions amb monomis _ 80 4. Polinomis _ 82 5. O peracions amb polinomis _ 83 6. Igualtats notables _ 86 5 Equacions de primer i segon grau 97 1. Igualtats algebraiques _ 98 2. Elements d'una equació _ 99 3. Equacions de primer grau _ 100 4. Equacions de segon grau _ 104 5. R esolució de problemes mitjançant equacions _ 108 6 Sistemes d'equacions 119 1. Equacions lineals _ 120 2. Sistemes d'equacions lineals _ 122 3. Resolució de sistemes d'equacions _ 123 4. Mètodes de resolució de sistemes _ 124 5. R esolució de problemes mitjançant sistemes d'equacions _ 128 2
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ' aprenentatge • Com es resolen operacions de sumes i restes amb parèntesis • Com es resolen operacions combinades amb nombres enters • Com es calculen tots els divisors d'un nombre • Com es factoritza un nombre • Com es resolen problemes utilitzant el m. c. d. o el m. c. m. • Com es treu factor comú en operacions amb nombres enters • Com es calcula un múltiple d'un nombre comprès entre uns altres dos nombres MATEMÀTIQUES I… • Canvi climàtic • Química • Història • Geografia • Clima • Transport • Tecnologia FAKE NEWS. Anàlisi de notícies Et gelaràs! (Comprensió de les instruccions i la posada en marxa d'un electrodomèstic) • Com es calcula la fracció irreductible • Com es resolen operacions amb fraccions negatives • Com es resolen operacions combinades amb parèntesis • Com es determina el tipus de nombre decimal que correspon a una fracció • Com es divideixen nombres decimals • Com es determinen nombres decimals entre dos nombres • Com es calcula el total coneguda una part MATEMÀTIQUES I… • Mòbils • Vehicles • Bàsquet • Apps • Ordinadors • Economia FAKE NEWS. Anàlisi de dades El secret de la família (Comprensió d'una recepta de cuina i modificació de quantitats) • Com es calcula el valor de la potència d'un nombre enter • Com es resolen operacions combinades amb potències i arrels • Com es calcula un producte o una divisió de potències • Com es resolen operacions quan les bases tenen factors primers comuns MATEMÀTIQUES I… • Ordinadors • Alimentació • Biologia • Literatura FAKE NEWS. Reflexió sobre l'evolució de la pandèmia Em falten dades (Anàlisi i comprensió de les mesures informàtiques de capacitat i velocitat) • Com es resolen operacions combinades amb monomis • Com s'extreu factor comú d'un polinomi • Com s'expressa un polinomi com a quadrat d'una suma o una diferència • Com s'expressa un polinomi com a producte d'una suma per una diferència • Com es calcula un coeficient d'un polinomi coneixent-ne un dels valors numèrics MATEMÀTIQUES I… • Naturalesa • Ciclisme FAKE NEWS. Anàlisi de dades geomètriques Qüestió d'imatge (Estudi de formats i mides d'imatge en vídeos i projeccions) • Com es resolen equacions de primer grau • Com es resolen equacions de primer grau amb parèntesis • Com es resolen equacions de primer grau amb denominadors • Com se sap el nombre de solucions que té una equació de segon grau • Com es resolen equacions de segon grau • Com es resolen problemes utilitzant equacions • Com es resolen equacions amb un sol denominador MATEMÀTIQUES I… • Transport • Història • Economia FAKE NEWS. Anàlisi d'ofertes. Educació financera La paràbola del llençador (Estudi del bàsquet des d'una perspectiva matemàtica) • Com es calculen solucions d'una equació lineal amb dues incògnites • Com es resol un sistema d'equacions lineals • Com es resolen problemes utilitzant sistemes d'equacions • Com es resol un sistema d'equacions amb parèntesis i denominadors MATEMÀTIQUES I… • Energia • Economia • Naturalesa • Transport FAKE NEWS. Anàlisi d'ofertes. Educació financera El cotxe fantàstic (Anàlisi de models de cotxe i el seu consum) 3
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 7 Proporcionalitat numèrica 137 1. Magnituds directament proporcionals _ 138 2. Magnituds inversament proporcionals _ 140 3. Repartiments proporcionals _ 142 4. Proporcionalitat composta _ 144 5. Percentatges_ 146 6. Augments i disminucions percentuals _ 148 8 Proporcionalitat geomètrica 159 1. Segments proporcionals _ 160 2. T eorema de Tales _ 161 3. Semblança de triangles _ 163 4. Criteris de semblança de triangles _ 164 5. Polígons semblants _ 166 6. Escales _ 168 9 Figures planes. Àrees 179 1. Teorema de Pitàgores _ 180 2. Aplicacions del teorema de Pitàgores _ 181 3. Àrea de polígons _ 184 4. Angles en els polígons _ 188 5. Longitud d'una circumferència _ 189 6. Àrea del cercle i figures circulars _ 190 7. Angles en la circumferència _ 192 10 Cossos geomètrics. Àrees i volums 203 1. Poliedres _ 204 2. Prismes. Àrees _ 206 3. Piràmides. Àrees _ 207 4. Cossos de revolució. Àrees _ 210 5. Volum d'un cos _ 212 6. Volum d'ortoedres i cubs _ 213 7. Volum de prismes i cilindres _ 214 8. Volum de piràmides i cons _ 215 9. Volum d'esferes. Figures esfèriques _ 216 11 Funcions 227 1. Concepte de funció _ 228 2. Formes d'expressar una funció _ 229 3. Estudi d'una funció _ 232 4. F uncions de proporcionalitat directa _ 235 5. Funcions lineals _ 236 12 Estadística i probabilitat 247 1. Variables estadístiques _ 248 2. Freqüències _ 249 3. Gràfics estadístics _ 251 4. Mesures estadístiques _ 254 5. Experiments aleatoris _ 256 6. Esdeveniments _ 257 7. Probabilitat. Regla de Laplace _ 258 4
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ' aprenentatge • Com es resolen problemes mitjançant una regla de tres simple directa • Com es resolen problemes mitjançant una regla de tres simple inversa • Com es fan repartiments directament o inversament proporcionals • Com es resolen problemes mitjançant una regla de tres composta • Com es resolen problemes de percentatges • Com es resolen problemes de percentatges encadenats • Com es resolen problemes de proporcionalitat per reducció a la unitat • Com es resolen problemes de mòbils MATEMÀTIQUES I… • Dinàmica • Cinètica • Energia • Publicitat • Telecomunicacions • Productes financers FAKE NEWS. Anàlisi de dades i presa de decisions Càrrega i descàrrega (Relació entre la capacitat de les bateries, el temps de càrrega i el temps d'ús) • Com es divideixen segments en parts iguals o proporcionals • Com es resolen problemes mitjançant la semblança de triangles • Com es calculen perímetres i àrees de polígons semblants • Com es calculen distàncies en un mapa • Com es representen fraccions en la recta numèrica usant el teorema de Tales • Com es determina l'escala d'un plànol MATEMÀTIQUES I… • Arquitectura • Medi ambient • Cartografia • Fotografia • Modelisme FAKE NEWS. Aplicacions de la semblança Naturalesa i diversió (Lectura i comprensió de mapes topogràfics) • Com es calculen els elements d'un quadrilàter • Com es calculen els elements d'un polígon regular • Com es calculen àrees de figures poligonals • Com es calculen àrees de figures circulars • Com es calcula la mida dels catets d'un triangle rectangle isòsceles • Com es troba l'altura d'un triangle equilàter MATEMÀTIQUES I… • Llar • Atletisme • Circulació FAKE NEWS. Anàlisi de dades Més enllà de les estrelles (Formes geomètriques en els telescopis espacials) • Com s'obté el desenvolupament pla d'un prisma o una piràmide regulars • Com es calcula l'àrea d'un prisma i d'una piràmide • Com es calcula l'àrea d'un cos de revolució • Com es calcula el volum d'un cos geomètric • Com es calcula l'àrea d'una piràmide conegudes les arestes MATEMÀTIQUES I… • Celebraciones • Cos humà • Agricultura • Esport • Meteorologia FAKE NEWS. Càlcul de volums en representacions gràfiques Una història de la llet! (Estudi de la forma, capacitat i superfície de brics de llet) • Com es representa una funció a partir de la seva equació • Cómo s'estudia i s'interpreta una funció • Com es representen funcions lineals • Com es determina l'equació d'una funció de proporcionalitat directa coneixent-ne un dels punts • Com es troba l'equació d'una funció lineal coneixent-ne dos dels punts MATEMÀTIQUES I… • Transport • Aviació FAKE NEWS. Càlcul de la depreciació d'un bé. Cada gota compta (Anàlisi crítica dels recursos hídrics i el seu ús sostenible) • Com s'elaboren taules de freqüències • Com s'interpreten gràfics estadístics • Com es calculen i interpreten les mesures estadístiques • Com es calculen probabilitats mitjançant la regla de Laplace • Com es dibuixen pictogrames • Com es calculen probabilitats mitjançant un diagrama d'arbre MATEMÀTIQUES I… • Medicina • Turisme • Reciclatge • Atzar FAKE NEWS. Anàlisi crítica de dades estadístiques Privacitat, seguretat, tranquil·litat (Estudi d'algunes maneres d'encriptar missatges) 5
6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es calcula el valor numèric d’un polinomi El valor numèric d’un polinomi és el resultat de substituir la variable x per un nombre donat. E X E M P L E P(x) = x2 - 3x + 2, per a x = 2: P(2) = 22 - 3 ? 2 + 2 = 0 Q(x, y) = 2xy2 + 3x2y, per a x = 2, y = 1: Q(2, 1) = 2 ? 2 ? 12 + 3 ? 22 ? 1 = 16 A C T I V I T A T S 2 Calcula el valor numèric de ( , ) P x y x y x y 3 2 = - + per a x = -1 i y = 3. a) 11 b) -15 c) 13 d) -12 Com es tradueix al llenguatge algebraic El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només mitjançant nombres. E X E M P L E Enunciat Expressió algebraica El triple d’un nombre " 3x La meitat d’un nombre " x 2 El quadrat d’un nombre " x2 El quadrat d’un nombre més dues unitats " x2 + 2 A C T I V I T A T S 1 Escriu en llenguatge algebraic «la diferència del triple d’un nombre i una unitat». a) 3x - 1 b) 3(x - 1) c) 3x - 3 d) (x - 1)3 Què en saps , ja? Equacions de primer i segon grau 5 Quin totxo! Per marcar el nombre de cada pàgina d ’un llibre, s’han utilitzat 3 901 xifres. Quantes pàgines té? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 97 ES0000000122267 136086_05_097_124 MATES ESO GRUP PROMOTOR_143025.indd 97 21/3/23 8:04 2. Sistemes d’equacions lineals E X E M P L E 4. Indica si aquests valors són solució del sistema x y x y 2 7 3 7 + = - = 3. a) x = 1, y = 3 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 1, y = 3 " ? ? 1 2 3 7 3 1 3 7 ! + = - 2 " No n’és solució. La segona equació no es compleix. b) x = 3, y = 2 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 3, y = 2 " ? ? 3 2 2 7 3 3 2 7 + = - = 2 " Es solución. c) x = 0, y = -7 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 0, y = -7 " ? ? ( ) ( ) 0 2 7 7 3 0 7 7 ! + - - - = 3 " No n’és solució. La primera equació no es compleix. E X E M P L E 5. Resol el sistema següent: x y x y 2 3 2 + = = - 3. Per resoldre aquest sistema s’han de trobar els parells de valors que verifiquin les dues equacions. Una manera consisteix a elaborar una taula de valors per a cada una de les equacions. Es tracta d’aïllar una incògnita i donar valors a l’altra. • En la primera equació aïllem y. Després, donem valors a x i trobem els valors de y corresponents. 2x + y = 3 " y = 3 - 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 9 7 5 3 1 -1 -3 … Recorda que les equacions lineals amb dues incògnites tenen infinites solucions. • En la segona equació, la x ja està aïllada; per tant, donem valors a y i trobem els valors de x corresponents. x = -2y x 6 4 2 0 -2 -4 -6 … y -3 -2 -1 0 1 2 3 … L’únic parell de valors que es repeteix en les dues taules és x = 2, y = -1. Diem que el parell de valors x = 2, y = -1 és solució del sistema, ja que verifica les dues equacions alhora. G E O G E B R A 11 Determina si són sistemes lineals. a) x y x y 2 4 5 3 - - = + = 3 b) x y x y 5 2 2 3 5 8 - = - + = 3 12 Comprova si x = 1 i y = -1 és solució d’aquest sistema. x y x y 2 3 5 0 - - = + = 3 13 Donats els valors numèrics x = 0 i y = 3, digues si són solució d’aquest sistema. x y x y 2 3 5 15 = + = + 3 14 R E F L E X I O N A . Si en el sistema x y x y 3 2 2 4 3 3 - = + = -3 la incògnita x pren el valor 0, quin valor haurà de prendre y perquè tots dos en siguin la solució? A C T I V I T A T S 15 Si en el sistema x y x y 3 2 5 + = + = 3 la x pren aquests valors, quins valors tindrà y en cada equació? Quina és la solució del sistema? a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 d) x = -2 e) x = -1 f ) x = 0 16 Si en el sistema x y x y 3 0 3 2 11 + = - = 3 la incògnita y pren aquests valors, quins valors tindrà x en cada equació? Quina és la solució del sistema? a) y = 1 b) y = -2 c) y = -1 d) y = 2 e) y = 0 f ) y = 3 17 Resol aquests sistemes mitjançant taules. a) x y x y 2 0 12 1 + = + = 3 b) x y x y 0 3 4 + = - = 3 c) x y x y 1 5 = = - + 3 d) x y x y 4 2 2 - = + = 3 18 REFLEXIONA. La solució del sistema x y x y 2 2 5 + = - - = 3 és x = 1, y = -3. Escriu dos sistemes amb la mateixa solució i que hi comparteixin una de les equacions. Existeix un sistema amb aquesta solució i les dues equacions diferents? A C T I V I T A T S Una solució d’un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites és una parella de nombres que fa certes les dues equacions alhora . Resoldre un sistema d’equacions lineals és trobar -ne la solució. 3. Resolució de sistemes d’equacions 6 R E P T E Esbrina el valor de a i b perquè la solució d’aquest sistema sigui x = 1 i y = -2. ax y x by 2 7 5 3 - + = - + = - 4 R E P T E Un sistema d’equacions, té sempre solució? Pot tenir més d’una solució? En un sistema d’equacionss: ax by c a x b y c + = + = l l l4 • x i y són les incògnites o variables. • a i al són els coeficients de x. • b i bl són els coeficients de y. Quan s’aïlla una incògnita en una equació, és convenient aïllar una incògnita que tingui com a coeficients 1 o -1, i així s’evita treballar amb denominadors. x + 2y = 0 " x = -2y Dues equacions lineals de les quals es busca una solució comuna formen un sistema d’equacions lineals. ax by c a x b y c + = + = l l l4 E X E M P L E 3. Esbrina si són sistemes d’equacions lineals. a) x y x y 3 2 4 5 1 + = - = " 3 És un sistema d’equacions lineals. b) x y x y 3 3 2 7 9 2 + = - + = " 3 No és un sistema d’equacions lineals, perquè la primera equació és de segon grau. 123 122 ES0000000122267 136086_06_119_136 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144711.indd 122-123 21/3/23 8:28 5. Resolució de problemes mitjançant sistemes d’equacions 37 A partir de la nota del cambrer, calcula el preu del batut i el del suc. 38 Un hotel té 23 habitacions entre dobles i triples. Ara tenen totes les habitacions completes i hi ha 49 persones allotjades. Quantes habitacions hi ha de cada tipus? 39 En un aparcament hi ha 120 vehicles entre cotxes i motos. Si se’n van 40 cotxes, el nombre de cotxes i el nombre de motos és el mateix. Quants cotxes hi ha? I motos? A C T I V I T A T S Com es resolen problemes utilitzant sistemes d’equacions Un treballador d’un magatzem cobra 6 € per cada hora treballada en horari diürn, i 9 € per cada hora que treballa en horari nocturn. Si al final de mes ha cobrat 840 € per treballar 120 hores, quantes hores ha treballat en cada torn? 1 Identifiquem les incògnites. 2 Plantegem el sistema. Cobra 6 € per cada hora treballada de dia. " Salari cobrat per les hores diürnes: 6x. Cobra 9 € per cada hora treballada de nit. " Salari cobrat per les hores nocturnes: 9y. Ha cobrat 840 €: 6x + 9y = 840 " El sistema obtingut és x y x y 6 9 840 120 + = + = 4 . Ha treballat 120 h: x + y = 120 3 R esolem el sistema. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 ? (-6) " x y x y x y x y 6 9 840 6 6 720 6 9 840 6 6 720 + = - - = - + + = - - = - " 3 4 y y 3 120 3 120 40 = = = " x y 120 + = y = 40 " x x x 40 120 120 40 80 + = = - = " " 4 Comprovem i interpretem la solució. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 x = 80, y = 40 " ? ? 6 80 9 40 840 80 40 120 840 840 120 120 + = + = = = " 2 2 Ha treballat 80 hores en l’horari diürn i 40 hores en el nocturn. El que sabem El que no sabem Cada hora del torn de dia cobra 6 €. Cada hora del torn de nit cobra 9 €. Ha guanyat 840 €. Ha treballat 120 h. Nre. d’hores treballades de dia. Nre. d’hores treballades de nut. Nre. d’hores treballades de dia: x. Nre. d’hores treballades de nit: y. 6 És important comprovar que la solució del sistema té sentit en la situació real que es resol. TAULA A 2 batuts + 4 sucs 16 € TAULA B 3 batuts + 2 sucs 12 € Obtenim dues igualtat. La solució és vàlida. Calculem el valor de x. Utilitzem el mètode de reducció. 129 ES0000000122267 136086_06_119_136 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144711.indd 129 21/3/23 8:34 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el T’HI ATREVEIXES que et proposem a l’inici de la unitat. Consolida aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades. Identifica relacions de proporcionalitat i les utilitza per resoldre problemes 61 Estudia si aquestes magnituds són proporcionals. Si ho són, indica si són directes o inverses. a) Pes d’una bossa de llimones i el seu preu. b) Espai recorregut per un avió que va a 750 km/h i temps que vola. c) Talla d’un jersei i el seu preu. d) Temps que es manté oberta una aixeta i quantitat d’aigua que en surt. e) Diners dipositats en un banc i benefici que generen anualment. f ) Gruix d’un llibre i el seu preu. g) Velocitat a la qual circula un tren i distància que recorre en una hora. h) Superfície d’una rajola i nombre de rajoles necessàries per cobrir una paret. i ) Nombre de persones que participen en la compra d’un regal i diners que hi aporten. j ) Tarifa d’un taxi i quilòmetres que recorre. k) Nombre de persones que treballen en una obra i temps que tarden a acabar-la. A C T I V I T A T S F L A I X 62 Esbrina si les magnituds A i B són directament o inversament proporcionals, o si no estan relacionades. Quan sigui possible, troba’n la constant de proporcionalitat. a) b) 63 Una empresa ha estimat que 8 persones tardaran 18 hores a fer una feina. Com es relacionen el temps i el nombre de persones? Completa l’encreuat ambn les dades que hi falten. HORITZONTALS Temps (h) Persones 1. ¿? 6 2. 16 ¿? ¿? 18 3. 2,25 ¿? VERTICALS Temps (h) Persones A. 1,5 ¿? B. ¿? 72 ¿? 36 C. ¿? 3 A 2 4 5 B 11 20 55 A 1 2 3 B 6 3 2 A B C 1 2 3 68 En Ferran ha pagat 30 cèntims per 5 fotocòpies. Completa la taula a la llibreta. Nre. de còpies 1 2 3 4 5 10 20 Cost (€) 0,30 a) Com estan relacionades les magnituds? b) Troba’n la constant de proporcionalitat. 69 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . T R À N S I T. A les carreteres catalanes hi ha uns 38 radars de tram que ajuden a reduir el nombre d’accidents. Funcionen amb dues càmeres que graven la matrícula i l’hora a la qual hi passen. Després es compara el temps emprat a recórrer la distància entre les dues càmeres, amb el mínim necessari per recórrer el tram a la velocitat màxima permesa. Hi ha relació de proporcionalitat entre el temps que tarda un cotxe que circula a una velocitat constant de 120 km/h i la distància que recorre? De quin tipus? Quina és la constant de proporcionalitat? 70 En una gerra amb 2 ℓ de suc de raïm s’afegeixen 0,2 ℓ de suc de pinya. Quant suc de pinya s’ha d’afegir a 2,5 ℓ de suc de raïm perquè la proporció sigui la mateixa? I quant suc de raïm s’ha d’afegir a mig litre de suc de pinya? 71 Copia i completa l’enunciat amb aquestes dades i resol. La solució és la dada que sobra. 9 5 15 6 En una festa hi ha … persones convidades. Repartiran … cm de gelat de barra a cada persona. Si … de les persones no volen gelat, quants centímetres se’n podran repartir entre les altres? 72 Posar parquet en un pis de 75 m2 costa 1 250 €. Quant costaria el parquet si el pis tingués 60 m2? 73 Es preveu que un edifici estarà pintat en 2 mesos si hi treballen 12 persones. Quantes persones caldrien per tenir-lo pintat en 3 setmanes? 74 I N V E S T I G A . Si el dividend es manté constant, el quocient de dos nombres és directament o inversament proporcional al divisor? 75 M AT E M ÀT I Q U E S I … A L I M E N TA C I Ó . Per fer una gerra de llimonada s’utilitzen 200 ml de suc de llimona, 200 g de sucre i 800 ml d’aigua. En 100 ml de suc de llimona hi ha 26 calories i en 100 grams de sucre hi ha 387 calories. L’aigua no té calories. Quantes calories té un got de 200 ml de llimonada? Com es resolen problemes de proporcionalitat per reducció a la unitat 76 a) He comprat 4 kg de peres per 15 €. Quant valen 3 kg de peres? b) Per fer una feina, 4 persones tarden 15 dies, quant tardaran 3 persones per fer la mateixa feina? primer. Es determina el tipus de proporcionalitat que relaciona les magnituds. a) Peres – Preu " Proporcionalitat directa b) Persones – Dies " Proporcionalitat inversa segon. Es troba la quantitat que correspon a 1 unitat de la magnitud. a) El preu d’1 kg de peres és 15 : 4 = 3,75 €. b) El temps que tarda 1 persona és 4 ? 15 = 60 dies. tercer. Si la proporcionalitat és directa, es multiplica aquest valor per la quantitat que ens demanen. Si és inversa, es divideix. a) 3,75 ? 3 = 11,25 € b) 60 : 3 = 20 dies 77 En un restaurant hi ha 4 ampolles de vi blanc per cada 8 de vi negre. Si hi ha 240 ampolles de vi negre, quantes n’hi haurà de vi blanc? I en total? 78 Set màquines tarden 28 hores a fer una feina. Quantes màquines es necessiten per fer la feina en 14 hores? 79 Durant les festes d’una localitat, en una tabalada popular, hi ha 5 nois per cada 4 noies. Si hi ha 70 nois, quantes noies hi participen? 64 Resol l’encreuat. Per fer-ho, completa les taules de proporcionalitat directa en horitzontal i les de proporcionalitat inversa en vertical. a) d) b) e) c) f ) 65 J O C . Busca les parelles que es relacionen mitjançant proporcionalitat inversa de constant k = 72. Copieu les cartes i poseu-les cap per avall per jugar al Memory. 1 8 4 2 3 36 9 6 12 24 18 72 66 I N V E N TA . Crea una taula de valors que relacioni dos dues magnituds directament proporcionals la constant de proporcionalitat de les quals sigui: a) 5 b) 8 c) 20 d) 40 Fes el mateix per a dues magnituds inversament proporcionals. 67 A la taula següent es mostra l’oferta d’uns grans grans magatzems. Quan es compren garrafes d’olie, a partir d’un determinat nombre de litres, es regalen ampolles de litre d’oli. És directament proporcional l’obsequio i la compra? Litres comprats 40 55 75 100 Litres obsequiats 1 2 3 5 d) e) f ) a) b) c) x 100 y 20 5 x 8 32 y 4 x 45 9 y 5 x 3 y 6 4 x 5 y 12 15 x 25 15 y 3 x 5 2 y 26 x 18 y 9 3 a c t i v i at s f i n a l s 7 151 150 ES0000000122267 136086_07_137_158 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144736.indd 150-151 21/3/23 8:43 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3
7 83 La Mònica mesura 1,5 m. Va a un concert de rock, i 1 m per davant seu se situa la Lola, que mesura 1,70 m. Calcula l’altura de l’escenari si la Mònica en veu el terra just per sobre de la Lola, que és a 20 m de l’escenari. 84 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . T R À N S I T. Aquest senyal indica que, per cada 100 m que avancem en una carretera en horitzontal, la carretera s’eleva 8 m. 100 m 8 m G F G F Si després de pujar un tram ens hem elevat 10 m, quina distància hem recorregut en horitzontal? 85 En una escala d’un bloc de pisos cada graó té 20 cm d’alt i 25 cm de fons. Quin pendent en tant per cent té aquesta escala? 86 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . B I L L A R . A quina distància n hem de picar a la banda perquè la bola blanca xoqui amb la vermella? n m 50 cm 30 cm 80 cm G F G F G F 87 R E P T E . En Rai és a 4 m de la riba d’un riu i veu reflectida una muntanya a l’aigua. Si en Rai mesura 1,80 m i el riu està a 8 km de la muntanya, quina altura té la muntanya? Escales 88 Calcula l’altura real dels objectes que estan fabricats a l’escala que hi apareix a sota. 1:100 1:20 1:25 94 Troba l’escala amb què s’ha dibuixat un plànol en el qual una distància real de 80 m equivale a: a) 8 cm b) 10 cm c) 8 dm d) 4 dm e) 2 cm 95 En la fotografia d’un paisatge, en Max mesura 2,5 cm d’alçada. Si l’alçada d’en Max és d’1,75 m: a) A quina escala està feta la foto? b) Si a la mateixa fotografia en Max és al costat d’un edifici que mesura 15 cm d’altura, quant mesura l’edifici en la realitat? c) En Max està recolzat en un fanal que mesura 6 m, quina altura té a la foto? 96 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M O D E L I S M E . Aquesta és l’etiqueta d’un puzle en 3D de la Torre Eiffel. Tenint en compte l’altura de la Torre Eiffel, a quina escala s’ha fet? 97 R E P T E . En un mapa a escala 1:50 000, dos punts estan separats 4 cm. En un altre mapa, aquests mateixos punts disten 6 cm. Quina distància real separa aquests dos punts? A quina escala està fet el segon mapa? I N T E R N E T 89 Dibuixa un camp de futbol a escala 1:400 en el qual: La longitud és de 80 m i l’amplada és de 60 m. El cercle central té 20 m de diàmetre. 90 Aquest plànol representa el menjador d’una casa. 1:75 a) Calcula’n la longitud i l’amplada. b) Esbrina quina distància hi ha de la taula a la tauleta. Com es determina l’escala d’un plànol 91 A quina escala està dibuixat un plànolo en el qual una distància real de 50 m es representa amb una longitud de 2,5 cm? primer. Es mesura sobre el plànol la longitud que es coneix en la realitat. En aquest cas, no cal mesurar, és 2,5 cm. segon. S’expressen les dues longituds en una mateixa unitat i es divideix. 50 m 5 000 cm 2,5 cm 2,5 5 000 2 000 = = " 3 tercer. S’escriu l’escala com 1 : a, en què a és el nombre que resulta de la divisió. L’escala del plànol és 1:2 000. 92 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C A R T O G R A F I A . Sabent que la longitud real de l’illa de Cuba és de 1 250 km, calcula l’escala aproximada a què està fet el mapa. 93 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . F O T O G R A F I A . A quina escala està la fotografia si la mida d’un tauró balena és de 7 m de longitud? Quant mesura d’alt la seva aleta? a c t i v i tat s f i n a l s 8 Vista i monitors La distància òptima al monitor s’assoleix quan s’aprecien tots els detalls sense entretancar els ulls i no fa falta girar el cap para observar tot el camp de visió. Aquesta distància és proporcional a la mida del monitor. Mida del monitor Distància 24 polzades 65 cm 27 polzades 80 cm 32 polzades 95 cm I tu, què en penses? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 98 Troba la mida que falta sabent que són triangles semblants. 99 L’ombra que projecta una xemeneia mesura 40 m. En el mateix moment, un pal de 60 cm projecta una ombra de 50 cm. Quina és l’altura de la xemeneia? 100 Troba els costats que falten. 101 Calcula les dimensions d’un jardí rectangular de 7,5 m de diagonal i que és semblant a un altre jardí també rectangular de dimensions 3,6 m i 4,8 m. 102 Calcula la dada desconeguda. x 5 1 40 000 = 103 Observa el plànol, a escala 1:40 000, i digues quina distància hi ha entre els punts A i B. NE WS FAKE ? 50 cm 60 cm 40 m h 7,5 m 4,8 m 3,6 m x y 298626_08_p24_cuba_fisi co 175 174 A B ES0000000122267 136086_08_159_178 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144823.indd 174-175 21/3/23 9:06 6 S I T U A C I Ó D ’ A P R E N E N T A T G E 1 El preu del combustible per quilòmetre Tot i que un cotxe amb motor híbrid és més car que un cotxe amb motor de gasolina, és menys contaminant i, a més, gasta menys combustible, sobretot quan se circula per la ciutat. Si recorrem 100 km, quants litres de gasolina gasta, aproximadament, el cotxe que volem comprar amb motor de gasolina? I si el comprem amb motor híbrid? Quin serà el cost en combustible dels dos models, si recorrem 100 km? Si comprem un cotxe amb motor de gasolina, quants litres de combustible, aproximadament, necessitem a l’any? I si el comprem amb motor híbrid? Quants diners gastarem en gasolina a l’any amb cadascun dels models, aproximadament? 3 Combustió o elèctric? Una altra cosa que ens preocupa és el volum d’emissions del cotxe al medi ambient. Al concessionari ens han ofert el mateix model de cotxe amb un motor totalment elèctric. Aquest cotxe contamina bastant menys i el cost d’energia per cada 100 km és d’uns 2,50 €. El problema és que és molt més car, ja que val 20 500 €. Sense considerar que contamina menys, quants anys ha de durar aquest cotxe perquè sigui econòmicament més rendible que els anteriors? 2 Gasolina o híbrid? Escriu, per a cada tipus de cotxe, una equació amb dues incògnites, que relacioni els quilòmetres recorreguts, x, i els diners gastats en combustible en euros, y. Utilitzant aquestes equacions, calcula el cost de cada cotxe per recórrer 800 km. Quants quilòmetres haurem recorregut amb cada tipus de cotxe, si ens hem gastat 150 € en combustible? Utilitza les equacions per elaborar una taula com aquesta a la teva llibreta per a cada tipus de cotxe. Anys des de la compra del cotxe 1 4 10 12 14 16 18 Nre. de km recorreguts Cost del combustible Si canviem de cotxe cada 4 anys, quin cotxe hauríem de comprar perquè ens surti més rendible? Si canviem de cotxe al cap de 18 anys, quin cotxe ens surt més rendible? Quants anys hauríem de mantenir el cotxe com a mínim perquè sigui més rendible comprar–ne un amb motor híbrid? El temps passa per a tothom, també per al nostre cotxe, que no para de tenir avaries i , a més, té una eficiència energètica molt millorable. Després de visitar alguns concessionaris, ens hem posat d’acord en el model de cotxe, però ens falta decidir si el comprem amb motor de gasolina o amb motor híbrid . El cotxe fantàstic Tipus de motor Preu Consum Gasolina 14 800 € 4,8 ℓ/100 km Híbrid 17 100 € 2,8 ℓ/100 km ZWK Model Torban Ofertes Nombre de quilòmetres que acostumem a fer a l’any: 12 000 km. Preu del litre de gasolina Gasolina 1, 7 8 9 135 134 ES0000000122267 136086_06_119_136 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144711.indd 134-135 21/3/23 8:36 R E S U M D E L A U N I T A T 12 A U T O A V A L U A C I Ó Reconeix els diferents tipus de variables estadístiques 1 Indica la variable quantitativa contínua. a) Mesura de la mà. c) Nombre de cosins. b) Lloc de naixement. d) Esport preferit. Organitza dades en taules de freqüències i elabora gràfics estadístics 2 Aquest diagrama correspon a les notes d’un examen de 40 alumnes. Quants han aprovat? a) 4 c) 34 b) 35 d) 36 Calcula mitjana, mediana, moda i rang 3 Calcula l’estatura mitjana, en cm, d’un grup d’amigues. 158 159 159 160 162 160 158 158 a) 158 b) 159 c) 159,25 d) 159,5 Identifica els experiments aleatoris 4 Indica els experiments aleatoris. a) Pesar 1 quilo de taronges. b) Observar si cau de costat el tap d’una ampolla. c) Pronosticar el temps que farà en una setmana. d) Calcular l’arrel quadrada de 10 000. Calcula probabilitats d’esdeviments en experiments aleatoris 5 En una caixa hi ha 4 samarretes verdes i 5 roses. Quina és la probabilitat d’agafar-ne una de verda a l’atzar? a) 8 4 b) 5 4 c) 9 5 d) 9 4 ESTAD Í ST I CA Variable qualitativa F Feina Variable quantitativa discreta F Edat Variable quantitativa contínua F Alçada TAULA DE FREQÜÈNC I ES Dades fi hi Fi Hi A 7 0,28 7 0,28 B 10 0,4 17 0,68 C 8 0,32 25 1 N = 25 1 GRÀF I CS ESTAD Í ST I CS Diagrama de barres Diagrama de sectors MESURES ESTAD Í ST I QUES Mitjana aritmètica ? ( , ) x N f x 8 44 5 5 i i = = = / Mediana , Me 2 5 6 5 5 = + = Moda Mo = 4 i 7 EXPER I MENTS AL EATOR I S Espai mostral , , , , , E 1 2 3 4 5 6 =# - Esdeveniment elemental 5 # - Esdeveniment elemental 4 # - Esdeveniment elemental 6 # - F F G REGLA DE LAPLACE ( ) N . de casos pos ibles N . de casos favorables a ' re s re l esdeveniment P A A = Dades (xi) fi 3 1 4 2 5 1 6 1 7 2 8 1 N = 8 A B C 10 8 6 4 2 0 fi xi • Fas servir les matemàtiques en altres matèries? • Compleixes les teves tasques de bon grat? B A C Excelente 144° Suspens 36° Aprovat 54° Bé 18° Notable 108° V A L O R A E L T E U A P R E N E N T A T G E 268 ES0000000122267 136086_12_247_268 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144946.indd 268 21/3/23 8:51 PASSA A L’ACCIÓ: SITUACIÓ D’APRENENTATGE 5 AVALUA EL QUE HAS APRÈS: AUTOAVALUACIÓ 6 PRACTICA LES TEVES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diversos àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURALESA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Enfronta’t a les FAKE NEWS. Utilitza els continguts apresos per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions generalitzades en el nostre món. Repassa els sabers bàsics de la unitat. Avalua el que has après resolent les activitats que es proposen en l’AUTOAVALUACIÓ. Identifica i gestiona les emocions acceptant l’error com a part de l’aprenentatge. Comprèn i analitza amb sentit crític situacions reals amb els continguts que has après per abordar-les de manera global.
Com es calcula el m. c. m. i el m. c. d. de nombres naturals El m.c.m. de dos nombres naturals es calcula multiplicant els factors primers comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. El m. c. d. de dos nombres naturals es calcula multiplicant els factors primers comuns elevats a l’exponent més petit. E X E M P L E m. c. m. (24, 36) = m. c. m. (23 ? 3, 22 ? 32) = 23 ? 32 = 72 m. c. d. (24, 36) = m. c. d. (23 ? 3, 22 ? 32) = 22 ? 3 = 12 A C T I V I T A T S 2 Quin és el màxim comú divisor de 4, 12, 28? a) 2 b) 6 c) 4 d) 28 Com aplicar la jerarquia de les operacions D’esquerra a dreta, es resolen les multiplicacions i les divisions i, després, les sumes i les restes. E X E M P L E Resol l’operació. 25 - 4 ? 3 : 6 - 2 + 12 : 3 + 6 = = 25 - 12 : 6 - 2 + 4 + 6 = = 25 - 2 - 2 + 4 + 6 = 23 - 2 + 4 + 6 = = 21 + 4 + 6 = 25 + 6 = 31 A C T I V I T A T S 1 Calcula 15 + 3 ? 4 : 2 - [(3 + 5) : 2] a) 19 b) 17 c) 15 d) 5 Què en saps , ja? Nombres enters 1 F F F Monedes i gots Tenim deu monedes i tres gots. Ets capaç de col·locar deu monedes en tres gots de manera que hi hagi un nombre senar de monedes a cada got? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9
El conjunt dels nombres enters es representa amb la lletra Z i està format per : Nombres enters positius: +1, +2, +3, +4, +5, … El nombre zero: 0. Nombres enters negatius: -1, -2, -3, -4, -5, … 1.2. Valor absolut d’un nombre enter El valor absolut d’un nombre enter a és el nombre que resulta de prescindir del seu signe. S’escriu a . E X E M P L E 1. Representa aquests nombres enters a la recta numèrica: -8, -5, -2, -1, 0, +3, +5, +6 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 E X E M P L E 2. Troba el valor absolut de -6, 0 i +4. Valor absolut de -6 " ;-6; = 6 Valor absolut de 0 " ;0; = 0 Valor absolut de +4 " ;+4; = 4 1. Nombres enters 1 Representa a la recta numèrica. -4, +5, -7, +2, -5, +3, -2 2 Troba el valor absolut de: -4, +5, -13, +27, -1, +18 3 Escriu situacions que corresponguin a aquests nombres. a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2 ℓ 4 R E F L E X I O N A . El valor absolut d’un nombre enter a és 7. Quin nombre és? A C T I V I T A T S Escrivim els nombres enters positius sense el signe +. +2 = 2 +13 = 13 Valor absolut: a a + = a a - = 1.1. Representació a la recta numèrica Els nombres enters es representen ordenats a la recta numèrica . El zero, 0, divideix la recta en dues parts iguals. Els nombres enters positius se situen a la dreta del zero: +1, +2, +3, … Els nombres enters negatius se situen a l’esquerra del zero: -1, -2, -3, … Nombres enters negatius Nombres enters positius 0 - … 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 … F G 10
1.3. Oposat d’un nombre enter L’oposat d’un nombre enter és un altre nombre enter amb el mateix valor absolut, però de signe contrari . L’oposat de a s’escriu Op (a). E X E M P L E 3. Troba l’oposat de -5 i +5. Representa’ls a la recta numèrica. Op (-5) = +5 Op (+5) = -5 Dos nombres oposats estan situats a la mateixa distància de l’origen. 1.4. Comparació de nombres enters Un nombre enter és més gran que un altre quan està situat més a la dreta que aquest a la recta numèrica . En un grup d’enters positius, és més gran el que té valor absolut més gran . En un grup d’enters negatius, és més gran el que té menor valor absolut. Un nombre enter positiu és més gran que qualsevol enter negatiu . El zero és més gran que qualsevol enter negatiu i més petit que qualsevol enter positiu . 1 E X E M P L E 4. Compara aquests nombres. a) -2 i -5 2 2 5 5 - = - = 4 " ;-2; < ;-5; " -2 > -5 b) +5 i -3 +5 > -3 Per a «més gran que», utilitzem el símbol >. Per a «més petit que», utilitzem el símbol <. +1 +3 +5 -5 -3 -1 0 -5 -2 0 -3 +5 0 R E P T E Què és més gran: el valor absolut de l’oposat d’un nombre o l’oposat del seu valor absolut? 5 Ordena de més petit a més gran. -7, -2, +5, 0, +3, -8, +4, -10 6 Completa amb el signe < o >. a) -2 4 Op (5) b) Op (7) 4 0 c) -1 4 Op (-2) 7 Comprova gràficament aquestes desigualtats. a) -4 < +9 c) -8 < -4 b) +8 > -5 d) -4 > -9 8 R E F L E X I O N A . Si a < -3, pot ser a < 0? A C T I V I T A T S G E O G E B R A 11
2. Operacions amb nombres enters E X E M P L E 5. Fes aquestes sumes i restes de nombres enters. a) ( ) ( ) 6 7 + + + > = +13 c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = -1 b) ( ) ( ) 6 7 + + - > = -1 d) (+6) - (-7) = (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = +13 Mateix signe " ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13 Diferent signe " ;-7; - ;+6; = 7 - 6 = 1 E X E M P L E 6. Calcula (-3) + (+5) - (-4) + (-9). En forma abreviada: -3 + 5 + 4 - 9. 1r mètode 2 4 3 5 4 9 9 6 9 3 - + + - = + - = = - = - 2 6 + > > 2n mètode : : 5 4 9 3 9 12 Suma de positi s Suma de negatius u + = + = 4 Resultat: 9 - 12 = -3 9 Calcula utilizant els dos mètodes estudiats. a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 c) (+15) - (+14) + (+9) + (-21) - (+13) - (-6) 10 La Carla tenia 250 €. Ha pagat un rebut de 485 € i ha cobrat 900 €. Quin és el seu saldo actual? 11 R E F L E X I O N A . Completa a la llibreta. a) (+3) + 4 = -9 b) 4 - (-2) = +4 A C T I V I T A T S Forma abreviada: (+a) = a +(-a) = -a (-a) = -a -(+a) = -a +(+a) = +a -(-a) = +a Per sumar dos nombres enterss: Si els sumands tenen el mateix signe, se’n sumen els valors absoluts i al resultat se li posa el mateix signe. Si tenen signe diferent, se’n resten els valors absoluts i al resultat se li posa el signe del sumand de valor absolut més gran . Per restar dos nombres enters, se suma al primer l’oposat del segon . 2.1. Suma i resta de nombres enterss Per sumar i restar nombres enters, s’escriuen en forma abreviada traient els parèntesis. Després es pot procedir de dues maneres: 1r mètode: sumar i restar els nombres en l’ordre en què apareixen . 2n mètode: sumar els nombres positius, sumar els negatius i restar els negatius dels positius. Explica quines de les expressions següents tenen el mateix resultat. a + Op (a) a + ; a ; a - Op (a) a - ; a ; R E P T E G E O G E B R A 12
12 Efectua aquestes operacions eliminant primer els parèntesis. a) (4 - 1) - (2 - 3) b) (8 + 2) + (3 - 5) c) (-8 + 10) - (10 - 8) d) (-4 - 5) - (7 + 2) e) (9 - 3) + (5 - 9) 13 Troba el resultat d’aquestes operacions. a) -9 + (3 - 2 - 1) + 7 b) 4 + (6 - 3) - (2 - 1) c) -7 - (4 - 6) - (1 + 5) d) 5 - (4 + 2 + 3) - 6 e) -3 - (-1 - 2 - 3) + (5 - 1) 14 Calcula. a) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15) b) (+3) - (4 + 7 - 9) - (-19 + 3 - 10) + (-2) c) -8 - 3 - (4 - 6) - (9 + 3) - 5 d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15) e) (+3) - (4 + 7 - 9) - (-19 + 3 - 10) + (-2) f ) -8 - 3 - (4 - 6) - (9 + 3) - 5 15 Fes aquestes operacions. a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) 16 Completa aquestes operacions perquè totes les igualtats siguin certes. a) -5 + 4 = 4 -1 - (-2 - 4) = 4 b) 6 - 4 = -1 (1 + 4 - 3) - 1 = -1 c) 4 + 4 = -3 3 - (4 - 1) = -3 d) 4 + 2 = -4 (5 - 4 + 1) - 2 = -4 e) -7 - 4 = 13 9 + (2 - 4 - 3) = 13 17 Calcula el valor de a. 4 - (a + 2) - 3 = -1 A C T I V I T A T S 1 Com es resolen operacions de sumes i restes amb parèntesis Resol aquesta operació. ( ) ( ) ( ) 5 3 2 3 1 4 2 - - - + - - + - + 1 Eliminem els parèntesis. Si al davant té un signe +, els nombres mantenen el signe. Aquestes operacions també es poden calcular resolent primer les operacions que hi ha dins dels parèntesis i, després, operant. ( ) ( ) ( ) 5 3 2 3 1 4 2 5 3 2 3 1 4 2 - - - + - - + - + = - + - - + - + 2 R esolem l’operació que en resulta. = 5 3 - + 2 - > - 2 - 3 + 1 - 4 + 2 = 2 2 - - 4 - > - 3 + 1 - 4 + 2 = = 4 3 - - 7 - > + 1 - 4 + 2 = 7 1 - + 6 - > - 4 + 2 = = 6 4 - - 10 - > + 2 = -10 + 2 = -8 Si el parèntesi té un signe -al davant, els signes dels nombres de dins canvien. 13
Per calcular el producte de diversos nombres enters, se’n multipliquen els valors absoluts. El resultat tindrà signe + si el nombre de factors negatius és parell , i signe - si és senar. 2.2. Multiplicació de nombres enters Per multiplicar dos nombres enters, primer se’n multipliquen els valors absoluts. El resultat tindrà signe + si els dos factors tenen el mateix signe, i signe - si tenen signes diferents. 2.3. Divisió de nombres enters Per dividir dos nombres enters, primer se’n divideixen els valors absoluts. El resultat tindrà signe + si els dos factors tenen el mateix signe, i signe - si tenen signes diferents. E X E M P L E 9. Fes aquestes divisions. a) ( ) ( ) 27 : 3 + - > = -9 c) ( ) : ( ) 27 3 - - > = +9 b) (+27) : (+3) = +9 d) (-27) : (+3) = -9 Signe diferent Mateix signe 18 Resol aquestes multiplicacions. a) (-3) ? (+2) e) (+2) ? (+7) b) (-2) ? (-8) f ) (+5) ? (-4) c) (-12) : (+6) g) (+21) : (+7) d) (-6) : (-2) h) (+24) : (-4) 19 Resol aquestes operacions. a) (-4) ? (+2) ? (-6) c) (+20) : (+2) : (-5) b) (+8) ? (-3) ? (-4) d) (-32) : (-4) : (-8) 20 R E F L E X I O N A . Completa amb els nombres adequats. a) (4) : 4 = -10 b) (-100) : (4) = -25 A C T I V I T A T S R egla dels signes per a la multiplicació + ? + = + - ? - = + + ? - = - - ? + = - R egla dels signes per a la divisió + : + = + - : - = + + : - = - - : + = - E X E M P L E 7. Efectua aquests productes. a) ? ( ) ( ) 3 5 + + > = +15 c) ? ( ) ( ) 3 5 - + > = -15 b) (-3) ? (-5) = +15 d) (+3) ? (-5) = -15 Mateix signe ;+3 ; ? ;+5 ; = 3 ? 5 = 15 Signe diferent ;-3 ; ? ;+5 ; = 3 ? 5 = 15 F F F F F F E X E M P L E 8. Calcula. a) (+5) ? (+8) ? (-2) = -80 b) (-10) ? (+3) ? (-5) ? (+2) = +300 Troba dos nombres enters el quocient dels quals sigui més gran que ells. R E P T E G E O G E B R A 14
21 Resol. a) (+18) : (-2) : (-3) ? (-5) b) (-15) ? 3 : (-9) : 5 c) [(-12) : 3] ? [(-8) : (-4)] d) (-18) : [(-9) : (-3)] ? (-6) e) [(+4) : (-2) ? (+8)] : [(+2) + (+6)] 22 Calcula aquestes operacions combinades. a) (-10) : (-5) + 2 : (-1) b) 3 ? (-5) - 4 : (-2) + 3 c) 2 + 3 ? (-4) - (-2) + 2 ? 7 - (-3) 23 Efectua aquestes operacions. a) 9 - (+8) : (-4) - 2 + (+3) ? (+2) b) [9 - (+8) : (-4)] : (+11) - (+6) : (-3) c) -5 - [4 - 1 + 3] : (+2) - (10 - 8) d) -6 : (3 - 2 - 2) - (1 - 2 + 3) e) 4 ? [3 - 2 ? (-5)] - 12 : 3 + 6 : 2 f ) 5 ? (-2) - [10 + 2 ? (-4)] : 2 - (-12) : 6 24 A la llibreta, completa els buits. a) (-12) : (+6) - 1 = 3 - 4 b) (+10) ? [(+2) : (-2)] = 5 + 4 c) 6 - (-8) : (+2) = 4 - 4 d) (+5) ? (+3) + 2 = 4 + 3 25 Esbrina quines operacions estan ben fetes. a) -9 + (8 - 2 - 1) : (-5) = 10 b) 4 - (-6 - 3) : (-2 - 1) = 1 c) (-7 - 1) : 4 - (6 + 2) : (-2) = -6 d) (-5 - 1 + 2 + 8) : (-2 - 1 - 1) = -1 e) -3 ? 2 - 2 ? 3 - (5 - 6 + 2) = 13 26 Col·loca els parèntesis perquè les igualtats siguin certes. a) -1 - 2 ? 3 + 4 = -11 b) 4 + 5 - 6 ? 2 - 3 = 3 c) 4 + 5 - 6 ? 2 - 3 = 15 d) 8 - 3 + 2 + 4 ? 6 = 31 A C T I V I T A T S Com es resolen operacions combinades amb nombres enters Calcula el resultat d’aquesta operació. (-15) : (+3) + (-7) - (-9 + 1) - [(-5) ? (-4)] : (+2) + (-4) ? (-3) 1 Efectuem les operacions que hi ha entre parèntesis i claudàtors. 2 Calculem les multiplicacions i divisions en l’ordre en què apareixen. 3 Escrivim l’operació de forma abreviada eliminant els parèntesis que ens queden. 4 Calculem les sumes i restes en l’ordre en què apareixen. Mantenim els parèntesis en efectuar les multiplicacions i les divisions. 1 (-15) : (+3) + (-7) - (-9 + 1) - [(-5) ? (-4)] : (+2) + (-4) ? (-3) = = (-15) : (+3) + (-7) - (-8) - (+20) : (+2) + (-4) ? (-3) = = (-5) + (-7) - (-8) - (+10) + (+12) = = -5 - 7 + 8 - 10 + 12 = = -12 + 8 - 10 + 12 = = -4 - 10 + 12 = = -14 + 12 = -2 Recorda que quan es resolen les operacions que hi ha entre parèntesis, el resultat queda entre parèntesis. −5 − (3 − 7) = −5 − (−4) = −5 + 4 = −1 +(-a) = -a -(-a) = a +(+a) = a F F F F F F F F 15
El conjunt de tots els divisors d’un nombre s’obté efectuant les successives d i v i s i o n s e n t r e e l s n o m b r e s p o s i t i u s m e n o r s q u e a q u e s t n o m b r e i seleccionant els que donen una divisió exacta . Es representa per Div (a). El conjunt de tots el s múltipl es d ’un nombre s’obt é multiplicant- lo pel s succe ssius nombre s ent ers po sitius . Es repre sent a p er a. Un nombre t é infinits múltiples. , , , … ? ? ? a a a a 1 2 3 { } = o E X E M P L E 10. Calcula els cinc primers múltiples de 8. Múltiples de 8 " 8 = {8 ? 1, 8 ? 2, 8 ? 3, 8 ? 4, 8 ? 5, …} = {8, 16, 24, 32, 40, …} E X E M P L E 12. Determina si els nombres 13 i 21 són primers o compostos. Div (13) = {1, 13} " Dos divisors: és un nombre primer. Div (21) = {1, 3, 7, 21} " Més de dos divisors: és compost. E X E M P L E 11. 9 és divisor de 12? I de 18? 9 no és divisor de 12 perquè la divisió 12 : 9 no és exacta. 9 sí que és divisor de 18 perquè 18 : 9 = 2. 27 Calcula deu múltiples i tots els divisors d’aquests nombres. Quins són primers? a) 8 b) 7 c) 4 d) 10 28 R E F L E X I O N A . Donats dos nombres. a) Podem trobar el mínim comú dels seus divisors? b) I el més gran dels seus múltiples comuns? A C T I V I T A T S Si la divisió a : b és exacta , es compleix que: a és múltiple de b. G F b és divisor de a. a és divisible per b. G F G F Un nombre és primer quan és positiu i els seus únics divisors són ell mateix i la unitat. En cas contrari , és compost. 3. Múltiples i divisors de nombres enters R E P T E Existeix algun nombre els divisors i múltiples del qual coincideixin? Estudiem la divisibilitat només en els nombres enters positius, ja que per als negatius es compleixen les mateixes propietats. Tot nombre enter és múltiple i divisor d’ell mateix: a és múltiple de a. a és divisor de a. G E O G E B R A 16
29 Troba tots els divisors d’aquests nombres i esbrina quins són primers. a) 18 b) 31 c) 32 d) 80 e) 79 f ) 37 g) 42 h) 41 i) 96 30 Calcula tots els divisors d’aquests nombres i esbrina quins són primers. a) 199 b) 424 c) 582 d) 603 e) 856 f ) 1 021 31 Aquests són tots els divisors d’un nombre. Completa a la llibreta els que hi falten. De quin nombre es tracta en cada cas? a) {1, 4, 4, 8} c) {1, 2, 3, 5, 4, 10, 15, 4} b) {1, 5, 4} d) {4, 2, 4, 4, 8, 10, 4, 40} 32 Troba els divisors de 24 i de 30. Quins nombres apareixen a les dues llistes? Quin és el més gran dels seus divisors comuns? 33 Raona si és cert o fals. a) Qualsevol múltiple d’un nombre és més gran que aquest nombre. b) Tot nombre és divisor del seu doble i del seu triple. c) Existeix un nombre que és divisor de tots els nombres. d) Tots els nombres senars són primers. e) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars. f ) Qualsevol divisor d’un nombre és més petit o igual que aquest nombre. g) Qualsevol divisor d’un nombre és més petit que qualsevol múltiple d’aquest mateix nombre. A C T I V I T A T S Com es calculen tots els divisors d’un nombre Troba tots els divisors de 60. 1 Dividim el nombre entre els nombres naturals (1, 2, 3…) fins a arribar a una divisió en la qual el quocient sigui més petit que el divisor. 60 1 60 4 60 7 0 60 0 15 4 8 60 2 60 5 60 8 0 30 0 12 4 7 60 3 60 6 0 20 0 10 2 De cada divisió exacta, obtenim dos divisors d’aquest nombre: el divisor i el quocient. Els divisors de 60 són Div (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 1 60 : 1 = 60 " 1 i 60 són divisors de 60. 60 : 2 = 30 " 2 i 30 són divisors de 60. 60 : 3 = 20 " 3 i 20 són divisors de 60. 60 : 4 = 15 " 4 i 15 són divisors de 60. 60 : 5 = 12 " 5 i 12 són divisors de 60. 60 : 6 = 10 " 6 i 10 són divisors de 60. Les altres divisions no són exactes. El quocient, 7, és més petit que el divisor, 8. Deixem de dividir. Si ordenes els divisors d’un nombre i multipliques els que hi ha als seus extrems, obtens aquest nombre. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 60 60 60 60 60 60 17
RkJQdWJsaXNoZXIy