6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es calcula el valor numèric d’un polinomi El valor numèric d’un polinomi és el resultat de substituir la variable x per un nombre donat. E X E M P L E P(x) = x2 - 3x + 2, per a x = 2: P(2) = 22 - 3 ? 2 + 2 = 0 Q(x, y) = 2xy2 + 3x2y, per a x = 2, y = 1: Q(2, 1) = 2 ? 2 ? 12 + 3 ? 22 ? 1 = 16 A C T I V I T A T S 2 Calcula el valor numèric de ( , ) P x y x y x y 3 2 = - + per a x = -1 i y = 3. a) 11 b) -15 c) 13 d) -12 Com es tradueix al llenguatge algebraic El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només mitjançant nombres. E X E M P L E Enunciat Expressió algebraica El triple d’un nombre " 3x La meitat d’un nombre " x 2 El quadrat d’un nombre " x2 El quadrat d’un nombre més dues unitats " x2 + 2 A C T I V I T A T S 1 Escriu en llenguatge algebraic «la diferència del triple d’un nombre i una unitat». a) 3x - 1 b) 3(x - 1) c) 3x - 3 d) (x - 1)3 Què en saps , ja? Equacions de primer i segon grau 5 Quin totxo! Per marcar el nombre de cada pàgina d ’un llibre, s’han utilitzat 3 901 xifres. Quantes pàgines té? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 97 ES0000000122267 136086_05_097_124 MATES ESO GRUP PROMOTOR_143025.indd 97 21/3/23 8:04 2. Sistemes d’equacions lineals E X E M P L E 4. Indica si aquests valors són solució del sistema x y x y 2 7 3 7 + = - = 3. a) x = 1, y = 3 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 1, y = 3 " ? ? 1 2 3 7 3 1 3 7 ! + = - 2 " No n’és solució. La segona equació no es compleix. b) x = 3, y = 2 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 3, y = 2 " ? ? 3 2 2 7 3 3 2 7 + = - = 2 " Es solución. c) x = 0, y = -7 x y x y 2 7 3 7 + = - = 3 x = 0, y = -7 " ? ? ( ) ( ) 0 2 7 7 3 0 7 7 ! + - - - = 3 " No n’és solució. La primera equació no es compleix. E X E M P L E 5. Resol el sistema següent: x y x y 2 3 2 + = = - 3. Per resoldre aquest sistema s’han de trobar els parells de valors que verifiquin les dues equacions. Una manera consisteix a elaborar una taula de valors per a cada una de les equacions. Es tracta d’aïllar una incògnita i donar valors a l’altra. • En la primera equació aïllem y. Després, donem valors a x i trobem els valors de y corresponents. 2x + y = 3 " y = 3 - 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 9 7 5 3 1 -1 -3 … Recorda que les equacions lineals amb dues incògnites tenen infinites solucions. • En la segona equació, la x ja està aïllada; per tant, donem valors a y i trobem els valors de x corresponents. x = -2y x 6 4 2 0 -2 -4 -6 … y -3 -2 -1 0 1 2 3 … L’únic parell de valors que es repeteix en les dues taules és x = 2, y = -1. Diem que el parell de valors x = 2, y = -1 és solució del sistema, ja que verifica les dues equacions alhora. G E O G E B R A 11 Determina si són sistemes lineals. a) x y x y 2 4 5 3 - - = + = 3 b) x y x y 5 2 2 3 5 8 - = - + = 3 12 Comprova si x = 1 i y = -1 és solució d’aquest sistema. x y x y 2 3 5 0 - - = + = 3 13 Donats els valors numèrics x = 0 i y = 3, digues si són solució d’aquest sistema. x y x y 2 3 5 15 = + = + 3 14 R E F L E X I O N A . Si en el sistema x y x y 3 2 2 4 3 3 - = + = -3 la incògnita x pren el valor 0, quin valor haurà de prendre y perquè tots dos en siguin la solució? A C T I V I T A T S 15 Si en el sistema x y x y 3 2 5 + = + = 3 la x pren aquests valors, quins valors tindrà y en cada equació? Quina és la solució del sistema? a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 d) x = -2 e) x = -1 f ) x = 0 16 Si en el sistema x y x y 3 0 3 2 11 + = - = 3 la incògnita y pren aquests valors, quins valors tindrà x en cada equació? Quina és la solució del sistema? a) y = 1 b) y = -2 c) y = -1 d) y = 2 e) y = 0 f ) y = 3 17 Resol aquests sistemes mitjançant taules. a) x y x y 2 0 12 1 + = + = 3 b) x y x y 0 3 4 + = - = 3 c) x y x y 1 5 = = - + 3 d) x y x y 4 2 2 - = + = 3 18 REFLEXIONA. La solució del sistema x y x y 2 2 5 + = - - = 3 és x = 1, y = -3. Escriu dos sistemes amb la mateixa solució i que hi comparteixin una de les equacions. Existeix un sistema amb aquesta solució i les dues equacions diferents? A C T I V I T A T S Una solució d’un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites és una parella de nombres que fa certes les dues equacions alhora . Resoldre un sistema d’equacions lineals és trobar -ne la solució. 3. Resolució de sistemes d’equacions 6 R E P T E Esbrina el valor de a i b perquè la solució d’aquest sistema sigui x = 1 i y = -2. ax y x by 2 7 5 3 - + = - + = - 4 R E P T E Un sistema d’equacions, té sempre solució? Pot tenir més d’una solució? En un sistema d’equacionss: ax by c a x b y c + = + = l l l4 • x i y són les incògnites o variables. • a i al són els coeficients de x. • b i bl són els coeficients de y. Quan s’aïlla una incògnita en una equació, és convenient aïllar una incògnita que tingui com a coeficients 1 o -1, i així s’evita treballar amb denominadors. x + 2y = 0 " x = -2y Dues equacions lineals de les quals es busca una solució comuna formen un sistema d’equacions lineals. ax by c a x b y c + = + = l l l4 E X E M P L E 3. Esbrina si són sistemes d’equacions lineals. a) x y x y 3 2 4 5 1 + = - = " 3 És un sistema d’equacions lineals. b) x y x y 3 3 2 7 9 2 + = - + = " 3 No és un sistema d’equacions lineals, perquè la primera equació és de segon grau. 123 122 ES0000000122267 136086_06_119_136 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144711.indd 122-123 21/3/23 8:28 5. Resolució de problemes mitjançant sistemes d’equacions 37 A partir de la nota del cambrer, calcula el preu del batut i el del suc. 38 Un hotel té 23 habitacions entre dobles i triples. Ara tenen totes les habitacions completes i hi ha 49 persones allotjades. Quantes habitacions hi ha de cada tipus? 39 En un aparcament hi ha 120 vehicles entre cotxes i motos. Si se’n van 40 cotxes, el nombre de cotxes i el nombre de motos és el mateix. Quants cotxes hi ha? I motos? A C T I V I T A T S Com es resolen problemes utilitzant sistemes d’equacions Un treballador d’un magatzem cobra 6 € per cada hora treballada en horari diürn, i 9 € per cada hora que treballa en horari nocturn. Si al final de mes ha cobrat 840 € per treballar 120 hores, quantes hores ha treballat en cada torn? 1 Identifiquem les incògnites. 2 Plantegem el sistema. Cobra 6 € per cada hora treballada de dia. " Salari cobrat per les hores diürnes: 6x. Cobra 9 € per cada hora treballada de nit. " Salari cobrat per les hores nocturnes: 9y. Ha cobrat 840 €: 6x + 9y = 840 " El sistema obtingut és x y x y 6 9 840 120 + = + = 4 . Ha treballat 120 h: x + y = 120 3 R esolem el sistema. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 ? (-6) " x y x y x y x y 6 9 840 6 6 720 6 9 840 6 6 720 + = - - = - + + = - - = - " 3 4 y y 3 120 3 120 40 = = = " x y 120 + = y = 40 " x x x 40 120 120 40 80 + = = - = " " 4 Comprovem i interpretem la solució. x y x y 6 9 8 0 120 4 + = + = 3 x = 80, y = 40 " ? ? 6 80 9 40 840 80 40 120 840 840 120 120 + = + = = = " 2 2 Ha treballat 80 hores en l’horari diürn i 40 hores en el nocturn. El que sabem El que no sabem Cada hora del torn de dia cobra 6 €. Cada hora del torn de nit cobra 9 €. Ha guanyat 840 €. Ha treballat 120 h. Nre. d’hores treballades de dia. Nre. d’hores treballades de nut. Nre. d’hores treballades de dia: x. Nre. d’hores treballades de nit: y. 6 És important comprovar que la solució del sistema té sentit en la situació real que es resol. TAULA A 2 batuts + 4 sucs 16 € TAULA B 3 batuts + 2 sucs 12 € Obtenim dues igualtat. La solució és vàlida. Calculem el valor de x. Utilitzem el mètode de reducció. 129 ES0000000122267 136086_06_119_136 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144711.indd 129 21/3/23 8:34 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el T’HI ATREVEIXES que et proposem a l’inici de la unitat. Consolida aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades. Identifica relacions de proporcionalitat i les utilitza per resoldre problemes 61 Estudia si aquestes magnituds són proporcionals. Si ho són, indica si són directes o inverses. a) Pes d’una bossa de llimones i el seu preu. b) Espai recorregut per un avió que va a 750 km/h i temps que vola. c) Talla d’un jersei i el seu preu. d) Temps que es manté oberta una aixeta i quantitat d’aigua que en surt. e) Diners dipositats en un banc i benefici que generen anualment. f ) Gruix d’un llibre i el seu preu. g) Velocitat a la qual circula un tren i distància que recorre en una hora. h) Superfície d’una rajola i nombre de rajoles necessàries per cobrir una paret. i ) Nombre de persones que participen en la compra d’un regal i diners que hi aporten. j ) Tarifa d’un taxi i quilòmetres que recorre. k) Nombre de persones que treballen en una obra i temps que tarden a acabar-la. A C T I V I T A T S F L A I X 62 Esbrina si les magnituds A i B són directament o inversament proporcionals, o si no estan relacionades. Quan sigui possible, troba’n la constant de proporcionalitat. a) b) 63 Una empresa ha estimat que 8 persones tardaran 18 hores a fer una feina. Com es relacionen el temps i el nombre de persones? Completa l’encreuat ambn les dades que hi falten. HORITZONTALS Temps (h) Persones 1. ¿? 6 2. 16 ¿? ¿? 18 3. 2,25 ¿? VERTICALS Temps (h) Persones A. 1,5 ¿? B. ¿? 72 ¿? 36 C. ¿? 3 A 2 4 5 B 11 20 55 A 1 2 3 B 6 3 2 A B C 1 2 3 68 En Ferran ha pagat 30 cèntims per 5 fotocòpies. Completa la taula a la llibreta. Nre. de còpies 1 2 3 4 5 10 20 Cost (€) 0,30 a) Com estan relacionades les magnituds? b) Troba’n la constant de proporcionalitat. 69 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . T R À N S I T. A les carreteres catalanes hi ha uns 38 radars de tram que ajuden a reduir el nombre d’accidents. Funcionen amb dues càmeres que graven la matrícula i l’hora a la qual hi passen. Després es compara el temps emprat a recórrer la distància entre les dues càmeres, amb el mínim necessari per recórrer el tram a la velocitat màxima permesa. Hi ha relació de proporcionalitat entre el temps que tarda un cotxe que circula a una velocitat constant de 120 km/h i la distància que recorre? De quin tipus? Quina és la constant de proporcionalitat? 70 En una gerra amb 2 ℓ de suc de raïm s’afegeixen 0,2 ℓ de suc de pinya. Quant suc de pinya s’ha d’afegir a 2,5 ℓ de suc de raïm perquè la proporció sigui la mateixa? I quant suc de raïm s’ha d’afegir a mig litre de suc de pinya? 71 Copia i completa l’enunciat amb aquestes dades i resol. La solució és la dada que sobra. 9 5 15 6 En una festa hi ha … persones convidades. Repartiran … cm de gelat de barra a cada persona. Si … de les persones no volen gelat, quants centímetres se’n podran repartir entre les altres? 72 Posar parquet en un pis de 75 m2 costa 1 250 €. Quant costaria el parquet si el pis tingués 60 m2? 73 Es preveu que un edifici estarà pintat en 2 mesos si hi treballen 12 persones. Quantes persones caldrien per tenir-lo pintat en 3 setmanes? 74 I N V E S T I G A . Si el dividend es manté constant, el quocient de dos nombres és directament o inversament proporcional al divisor? 75 M AT E M ÀT I Q U E S I … A L I M E N TA C I Ó . Per fer una gerra de llimonada s’utilitzen 200 ml de suc de llimona, 200 g de sucre i 800 ml d’aigua. En 100 ml de suc de llimona hi ha 26 calories i en 100 grams de sucre hi ha 387 calories. L’aigua no té calories. Quantes calories té un got de 200 ml de llimonada? Com es resolen problemes de proporcionalitat per reducció a la unitat 76 a) He comprat 4 kg de peres per 15 €. Quant valen 3 kg de peres? b) Per fer una feina, 4 persones tarden 15 dies, quant tardaran 3 persones per fer la mateixa feina? primer. Es determina el tipus de proporcionalitat que relaciona les magnituds. a) Peres – Preu " Proporcionalitat directa b) Persones – Dies " Proporcionalitat inversa segon. Es troba la quantitat que correspon a 1 unitat de la magnitud. a) El preu d’1 kg de peres és 15 : 4 = 3,75 €. b) El temps que tarda 1 persona és 4 ? 15 = 60 dies. tercer. Si la proporcionalitat és directa, es multiplica aquest valor per la quantitat que ens demanen. Si és inversa, es divideix. a) 3,75 ? 3 = 11,25 € b) 60 : 3 = 20 dies 77 En un restaurant hi ha 4 ampolles de vi blanc per cada 8 de vi negre. Si hi ha 240 ampolles de vi negre, quantes n’hi haurà de vi blanc? I en total? 78 Set màquines tarden 28 hores a fer una feina. Quantes màquines es necessiten per fer la feina en 14 hores? 79 Durant les festes d’una localitat, en una tabalada popular, hi ha 5 nois per cada 4 noies. Si hi ha 70 nois, quantes noies hi participen? 64 Resol l’encreuat. Per fer-ho, completa les taules de proporcionalitat directa en horitzontal i les de proporcionalitat inversa en vertical. a) d) b) e) c) f ) 65 J O C . Busca les parelles que es relacionen mitjançant proporcionalitat inversa de constant k = 72. Copieu les cartes i poseu-les cap per avall per jugar al Memory. 1 8 4 2 3 36 9 6 12 24 18 72 66 I N V E N TA . Crea una taula de valors que relacioni dos dues magnituds directament proporcionals la constant de proporcionalitat de les quals sigui: a) 5 b) 8 c) 20 d) 40 Fes el mateix per a dues magnituds inversament proporcionals. 67 A la taula següent es mostra l’oferta d’uns grans grans magatzems. Quan es compren garrafes d’olie, a partir d’un determinat nombre de litres, es regalen ampolles de litre d’oli. És directament proporcional l’obsequio i la compra? Litres comprats 40 55 75 100 Litres obsequiats 1 2 3 5 d) e) f ) a) b) c) x 100 y 20 5 x 8 32 y 4 x 45 9 y 5 x 3 y 6 4 x 5 y 12 15 x 25 15 y 3 x 5 2 y 26 x 18 y 9 3 a c t i v i at s f i n a l s 7 151 150 ES0000000122267 136086_07_137_158 MATES ESO GRUP PROMOTOR_144736.indd 150-151 21/3/23 8:43 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3
RkJQdWJsaXNoZXIy