Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Sonia Alejo Sánchez Lourdes Pérez González José Antonio Almodóvar Herráiz Carlos Pérez Saavedra Miguel Álvaro Pérez Federico Rodríguez Merinero Clara Inés Lavado Campos Domingo Sánchez Figueroa Silvia Marín García EDICIÓ Sonia Alejo Sánchez Aída Moya Librero Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta. 4 E S O Matema` tiques
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 1 Nombres reals. Proporcionalitat 9 1. Nombres racionals _ 10 2. Nombres irracionals _ 11 3. Nombres reals _ 12 4. Aproximació de nombres reals _ 14 5. Errors d'aproximació _ 15 6. Intervals _ 16 7. Proporcionalitat directa _ 18 8. Proporcionalitat inversa _ 19 9. Percentatges _ 20 2 Potències i radicals. Logaritmes 31 1. Potències d'exponent enter _ 32 2. Notació científica _ 34 3. Logaritmes _ 36 4. Propietats dels logaritmes _ 37 5. Radicals _ 39 6. Potències d'exponent fraccionari _ 40 7. O peracions amb radicals _ 41 8. Racionalització _ 45 3 Polinomis i fraccions algebraiques 55 1. Polinomis _ 56 2. Potència d'un polinomi _ 58 3. Igualtats notables _ 59 4. Divisió de polinomis _ 60 5. Teorema del residu _ 62 6. Arrels d'un polinomi _ 63 7. Factorització de polinomis _ 64 8. Fraccions algebraiques _ 66 4 Equacions i inequacions 77 1. Equacions _ 78 2. Equacions de primer i segon grau _ 79 3. A ltres tipus d'equacions _ 81 4. Inequacions _ 86 5 Sistemes d'equacions i inequacions 97 1. Sistemes d'equacions lineals _ 98 2. Resolució de sistemes d'equacions _ 100 3. Sistemes d'equacions no lineals _ 102 4. S istemes d'inequacions amb una incògnita _ 104 5. Sistemes d'inequacions amb dues incògnites _ 106 6 Trigonometria 117 1. *Mesures d'un angle _ 118 2. *Raons trigonomètriques d'un angle agut _ 119 3. *Relacions entre les raons trigonomètriques _ 120 4. *Raons trigonomètriques de 30o, 45o i 60o _ 122 5. * Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol _ 123 6. *Signe de les raons trigonomètriques _ 124 7. * Relacions entre les raons trigonomètriques d'alguns angles _ 126 8. *Resolució de triangles rectangles _ 128 9. *Resolució d'un triangle qualsevol _ 130 Els sabers més acadèmics que no es consideren bàsics per a tothom s'han marcat amb *. 2
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ' aprenentatge • Com es troba el conjunt numèric al qual pertany un nombre • Com es calcula la unió i la intersecció d'intervals • Com es resolen problemes de percentatges encadenats • Com es representa una arrel quadrada aplicant el teorema de Pitàgores successives vegades MATEMÀTIQUES I… • Històia • Astronomia • Cos humà • Igualtat FAKE NEWS. Reflexió sobre percentatges encadenats Sense comissions? (Cobrament de comissions bancàries) • Com es resolen equacions logarítmiques • Com s'extreuen factors d'un radical • Com es fan operacions combinades amb radicals • Com es resolen operacions amb potències factorizant-ne les bases • Com es calcula un logaritme mitjançant un canvi de base MATEMÀTIQUES I… • Informàtica • Medicina • Ciència • Biologia FAKE NEWS. Anàlisi de nombres expressats en notació científica Fins a l'infinit i més enllà! (Èxits humans i característiques de l'univers) • Com s'extreu factor comú en un polinomi • Com es divideix un polinomi entre (x - a) mitjançant la regla de Ruffini • Com es factoritza un polinomi • Com es resolen operacions amb fraccions algebraiques • Com s'aplica la regla de Ruffini quan el divisor és del tipus (ax - b) • Com es calcula un polinomi coneixent-ne les arrels i el coeficient principal MATEMÀTIQUES I… • Energies renovables • Nutrició FAKE NEWS. Estudi d'algunes teories sobre la salut Carnaval vs Halloween (Quantificació d'aspectes d'algunes festes populars) • Com es resol una equació biquadrada • Com es resol una equació mitjançant factorització • Com es resol una equació racional • Com es resol una equació radical • Com es resolen inequacions de segon grau • Com es resolen equacions del tipus ax2n + bx n + c = 0 MATEMÀTIQUES I… • Atletisme • Medi ambient • Esport FAKE NEWS. Formes geomètriques en elements quotidians Bo, ecològic i de qualitat (Consideracions geomètriques de certs conreus) • Com es determina gràficament el nombre de solucions d'un sistema d'equacions • Com es resol un sistema d'equacions lineals i no lineals • Com es resol un sistema d'inequacions amb una i dues incògnites • Com es resol un sistema d'equacions en funció d'un paràmetre • Com es resol un sistema d'equacions compatible indeterminat MATEMÀTIQUES I… • Sanitat • Monedes • Tecnologia FAKE NEWS. Variació en els coeficients d'un sistema Escapada low cost ( Tria d'un viatge considerant ofertes i descomptes) • Com es calculen les raons trigonomètriques d'un angle agut • Com es redueixen els angles al primer quadrant • Com es resolen problemes mitjançant trigonometria • Com es resol un triangle qualsevol • Com es calcula l'àrea d'un triangle, coneixent-ne dos angles i un costat, i la d'un polígon regular • Com es calculen longituds mitjançant el mètode de la doble tangent MATEMÀTIQUES I… • Esport • Pintura • Astronomia FAKE NEWS. Anàlisi del concepte d'inclinació Gegants de ciutat (Estudi de les mides dels gratacels més alts del món) 3
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 7 Vectors. Equacions de la recta 141 1. *Vectors _ 142 2. *Operacions amb vectors _ 144 3. *Equació vectorial de la recta _ 146 4. *Equació paramètrica de la recta _ 147 5. *Equació contínua de la recta _ 148 6. * Equació punt-pendent i explícita de la recta _ 149 7. *Equació general de la recta _ 150 8. * Posicions relatives de dues rectes en el pla _ 152 8 Moviments i semblances 163 1. Moviments en el pla _ 164 2. Translacions _ 165 3. Girs _ 166 4. Simetries _ 168 5. Frisos i mosaics _ 170 6. Homotècies _ 172 7. Semblança _ 173 8. S emblança en àrees i volums _ 174 9. Escales i mapes _ 198 9 Funcions 187 1. Concepte de funció _ 188 2. Domini i recorregut d'una funció _ 190 3. Continuïtat i punts de tall amb els eixos _ 192 3. Creixement i decreixement _ 194 5. Simetria i periodicitat _ 196 6. Funcions definides a trossos _ 198 10 Representació de funcions elementals 209 1. Funcions polinòmiques de primer grau _ 210 2. Funcions polinòmiques de segon grau _ 212 3. Funcions racionals _ 214 4. Funcions exponencials _ 216 5. Funcions logarítmiques _ 220 11 Estadística 233 1. Mostres i variables estadístiques _ 234 2. Gràfics estadístics _ 235 3. Mesures de centralització _ 237 4. Mesures de posició _ 238 5. M esures de dispersió _ 240 6. Variables estadístiques bidimensionals _ 242 7. D iagrama de dispersió _ 243 8. Correlació _ 244 12 Probabilitat 255 1. Experiments aleatoris. Esdeveniments _ 256 2. Operacions amb esdeveniments _ 257 3. Tècniques de recompte _ 258 4. Regla de Laplace _ 260 5. Freqüència i probabilitat _ 262 6. Esdeveniment segur. Esdeveniment impossible _ 263 7. P ropietats de la probabilitat _ 264 5. Probabilitat condicionada _ 266 Els sabers més acadèmics que no es consideren bàsics per a tothom s'han marcat amb *. 4
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ' aprenentatge • Com es calculen les equacions d'una recta que passa per dos punts • Com es calculen rectes paral·leles i perpendiculars a una de donada • Com es calcula el punt mitjà d'un segment • Com es determina si un punt pertany a una recta • Com es determina el punt d'intersecció de dues rectes secants MATEMÀTIQUES I… • Geografia • Transports • Farmàcia • Art FAKE NEWS. Anàlisi d'assistència a concentracions L'espectacle més gran del món (Estudi de trajectòries i posicions) • Com es fan translacions i girs en figures geomètriques • Com es fan simetries en figures geomètriques • Com s'elaboren frisos i mosaicos a partir d'una figura • Com es calcula l'àrea i el volum de dues figures semblants • Com es resolen problemes amb escales • Com es determinen els eixos i el centre de simetria d'una figura • Com es dibuixen figures semblants MATEMÀTIQUES I… • Arquitectura • Astronomia • Esports FAKE NEWS. Anàlisi de figures semblants Fes un capbussó! (Càlcul d'àrees i volums de figures semblants) • Com es representa gràficament una funció • Com es calcula el domini d'una funció • Com es calculen els punts de tall amb els eixos d'una funció • Com s'estudia el creixement i el decreixement d'una funció • Com s'estudia una funció • Com es representa una funció definida a trossos • Com es calcula la taxa de variació mitjana d'una funció MATEMÀTIQUES I… • Videojocs • Medicina • Habitatge FAKE NEWS. Obtenció de resultats sorprenents Països diferents, monedes diferents (Investigació sobre la fluctuació del valor de les divises) • Com es representen funcions polinòmiques de primer grau • Com es representen funcions quadràtiques • Com es representen funcions racionals • Com es representen funcions exponencials • Com es representen funcions logarítmiques • Com es calculen els punts d'intersecció de dues funcions MATEMÀTIQUES I… • Química • Sismografia • Informàtica FAKE NEWS. Recerca de l'oferta més barata Accelera! (Estudi sobre els factors que influeixen en les marques dels atletes) • Com s'escull el tipus de gràfic adequat a cada variable estadística • Com s'elabora i interpreta un diagrama de caixes i bigotis • Com es calculen les mesures de centralització i dispersió • Com es representen un núvol de punts i la seva recta de regressió • Com s'afegeixen o eliminen dades per obtenir una mitjana o una mediana • Com es compara la dispersió de dues variables MATEMÀTIQUES I… • Transport • Sanitat • Consum FAKE NEWS. Estudi de relacions entre variables Embolics socials (Interpretació de gràfics relatius a estudis sociològics) • Com s'utilitza la regla de Laplace per calcular probabilitats • Com es calculen probabilitats utilitzant-ne les propietats • Com es calculen probabilitats en experiments compostos • Com es calcula la probabilitat d'alguns esdeveniments no equiprobables • Com es calcula la probabilitat d'un esdeveniment compost mitjançant taules de doble entrada MATEMÀTIQUES I… • Jocs • Educació • Universitat FAKE NEWS. Anàlisi de jocs d'atzar Televisió a la carta (Estudi sobre hàbits de consum) 5
6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es representen intervals Per representar un interval se’n marquen els extrems a la recta amb un punt massís, si l’extrem pertamy a l’interval, o amb un punt buit, si no és de l’interval; es marca també el segment entre els extrems. Per a una semirecta es fa de la mateixa manera, però s’hi marca només un extrem, l’inferior o el superior. E X E M P L E a) [-6, -1) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 b) [-6, +3) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 c) (-3, -6) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 A C T I V I T A T S 2 Quins punts no estan en l’interval següent? a) -4 b) 2 c) -4 i 2 d) Tots hi pertanyen. Com es comprova que un valor és solució d’una equació Per comprovar la solució d’una equació es reemplaça la variable de l’equació pel valor de la solució. El valor és solució de l’equació si aquesta equació es converteix en una identitat. E X E M P L E Calcula i comprova les solucions de l’equació: x2 + 3 = 12 x2 + 3 = 12 " x2 = 9 " x 1 = 3, x2 = -3 Si x = 3 " 32 + 3 = 9 + 3 = 12 " N’és solució. Si x = -3 " (-3)2 + 3 = 9 + 3 = 12 " N’és solució. A C T I V I T A T S 1 Determina quins dels valors següents són solució de l’equació: (x + 1)(x - 1) = 3 a) -2 c) 2 i -2 b) Cap valor n’és solució. d) 2 Què en saps , ja? Equacions i inequacions 4 Bitllets, per favor! p n m G G G G G G He plegat el bitllet de l’autobús per les bisectrius de les cantonades. Quant mesura la longitud p en funció de m i n? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 T ’ H I AT R E V E I X E S ? 77 ES0000000122259 136012_04_077_096 MATES 4 ESO GRUP OK_146511.indd 77 30/03/2023 9:32:42 Un polinomi, P (x), és una expressió algebraica formada per una suma o resta de monomis que s’anomenen termes. Si no té monomis semblants, diem que és un polinomi reduït. El grau d’un polinomi és el del terme de grau més gran del seu polinomi reduït. El coeficient d’aquest terme s’anomena coeficient principal. El terme independent n’és el monomi sense part literal . El valor numèric d’un polinomi quan x = a, P (a), és el nombre que resulta en substituir x per a en el polinomi i operar. G E O G E B R A Suma, resta i multiplicació de polinomis Per sumar o restar dos polinomis, se sumen o es resten els monomis semblants i es deixen igual els altres termes. Per multiplicar dos polinomis, es multiplica cada monomi del primer per tots els monomis del segon i , després, se sumen els resultats agrupant els monomis semblants. E X E M P L E S 1. Escriu-ne el polinomi reduït i indica’n els elements. P ( x ) = x5 - 3 x2 + x - x2 + 7 + 2 x5 = 3 x5 - 4x2 + x + 7 Grau: 5 Coeficient principal: 3 Terme independent: 7 2. Donat P ( x ) = x4 - 3 x2 + x + 1, calcula’n el valor numèric quan x = 2. x ( ) P x x x 3 1 4 2 = - + + x = 2 " ? (2) 2 3 2 2 1 7 4 2 = - + + = P E X E M P L E 3. Efectua les operacions de polinomis següents. P(x) = 2 x4 - 3x2 Q(x) = 4x2 - 2 x + 6 R(x) = x - 1 a) P(x) - Q(x) + R(x) = (2 x4 - 3x2) - (4x2 - 2 x + 6) + (x - 1) = x x x x x 2 3 4 2 1 6 4 2 2 = - - + - + - = 2 x4 - 7x2 + 3x - 7 b) P(x) ? Q(x) = (2 x4 - 3x2) (4x2 - 2 x + 6) = = 2 x4 (4x2 - 2 x + 6) - 3x2 (4x2 - 2 x + 6) = = 8x6 - 4x5 + 12x4 - 12 x4 + 6x3 - 18x2 = 8x6 - 4x5 + 6x3 - 18x2 1. Polinomis 3 Els polinomis es designen amb lletres majúscules i se n’indiquen les variables entre parèntesis. P(x) = 3x2 - 3 Q(x, y) = 4x2 - 3xy + 2y2 1 Efectua: (-2 x3 + x2 + x - 1) - (x3 + x2 - x - 1). 2 Si P(x) = x2 - x + 2 i Q(x) = x3 - x2 + 1, calcula: a) P(1) + P(-1). b) P(0) + Q(-1). 3 Multiplica: (x3 - x2 + 3x - 1) (x - 1). 4 R E F L E X I O N A . Quant ha que valer a perquè P(a) = 0 si P(x) = 2x2 - 3x + 1? A C T I V I T A T S 5 Extreu factor comú en les expressions següents. 6 Escriu dos polinomis de quart grau dels quals es pugui extreure com a factor comú: a) 2 xy b) 3 x c) x3 d) 2 xy2 7 Quin és el factor comú en els termes d’aquestes expressions? a) ( x + 1) ( x - 3) + ( x - 3) ( x + 2) b) ( x - 2) ( x - 1) + 3 ( x - 1) ( x - 2) c) 4 ( x + 4) ( x - 2) + 6 ( x - 2) ( x + 2) d) ( x + 2) ( x - 1) + 3( x - 1) e) -2 x - 4 + 2( x + 2) ( x - 3) f ) 3( x + 1) + (6 + 6 x ) g) ( x + 5) ( x - 2) + ( x2 - 4) a) 4x + 8y b) 3 x + 6y - 9z c) x3 - x2 + x5 d) x5 - 2 x4 + x3 e) 2 x2 - 6 x + 4x3 f ) 3 x3 - 6 x4 + 9x2 g) 12 x + 6 x2 + 3 h) 12 x3 + 6 x2 + 6 x A C T I V I T A T S R E P T E Si Gr P(x) = n i Gr Q(x) = m, podem saber quin és el grau de la seva suma? I el del seu producte? Quan en un polinomi hi ha un factor que es repeteix en tots els termes, es pot extreure factor comú. Com s’extreu factor comú en un polinomi Treu factor comú en aquests polinomis. a) x x x 6 24 12 4 3 2 - + b) x x x 4 3 5 2 - + - c) 6x2y2 - 3xy2 + 30x2y Quan el factor comú coincideix amb un dels termes del polinomi, en el seu lloc queda la unitat. ax 2 + ax + a = = a(x 2 + x + 1) 1 Comprovem si hi ha lletres que es repeteixin en tots els termes del polinomi. S i n’hi ha, agafem les que es repeteixen amb menor exponent. a) x es repeteix en tots els termes. x amb menor exponent " x2 b) x es repeteix en tots els termes. x amb menor exponent " x c) xy es repeteix en tots els termes. xy amb menor exponent " xy 2 Trob em el m.c.d. dels coeficients dels termes. m.c.d. (6, 24, 12) = 6 m.c.d. (4, 3, 1) = 1 m.c.d. (6, 3, 30) = 3 3 El factor comú del polinomi és el producte de les lletres i els nombres obtinguts. Factor comú " 6x2 Factor comú " x Factor comú " 3xy 4 Dividim cada terme del polinomi entre el factor comú i expressem el polinomi com un producte del factor comú pel quocient de la divisió. Factor comú Factor comú Factor comú x x x x x x x x 6 6 6 24 6 12 4 2 2 4 2 3 2 2 2 - + = = - + ( ) x x x x x x 6 24 12 6 4 2 4 3 2 2 2 - + = = - + xy x y xy xy xy x y xy y x 3 6 3 3 3 30 2 10 2 2 2 2 - + = = - + x x x x x x x x 4 3 4 3 1 5 2 4 - + - = = - + - ( ) x x x x x x 4 3 4 3 1 5 2 4 - + - = = - + - ( ) x y xy x y xy xy y x 6 3 30 3 2 10 2 2 2 2 - + = = - + a) 4x + 8y b) 3 x + 6y - 9z c) x3 - x2 + x5 d) x5 - 2 x4 + x3 e) 2 x2 - 6 x + 4x3 f ) 3 x3 - 6 x4 + 9x2 g) 12 x + 6 x2 + 3 h) 12 x3 + 6 x2 + 6 x 57 56 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 56-57 30/03/2023 12:21:04 3 3. Igualtats notables S’anomenen igualtats notables certs productes que ser veixen per facilitar alguns càlculs amb expressions algebraiques. Quadrat d’una suma : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrat d’una diferència : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma per diferència : (a + b) (a - b) = a2 - b2 G E O G E B R A Per demostrar aquestes igualtat, n’ hi a prou a desenvolupar els productes indicats. Per exemple, per a la igualtat de suma per diferència : (a + b) (a - b) = a (a - b) + b (a - b) = = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2 E X E M P L E S 5. Desenvolupa les igualtats notables següents. a) ( x + 4)2 = x2 + 2 ? x ? 4 + 42 = x2 + 8 x + 16 b) (2 x - 5)2 = (2 x )2 - 2 ? (2 x ) ? 5 + 52 = 4x2 - 20x + 25 c) (-2 x + y )2 = (y - 2 x )2 = y2 - 2 ? y ? 2 x + (2 x )2 = y2 - 4xy + 4x2 d) (3 x2 + 1) (3 x2 - 1) = (3 x2)2 - 12 = 9x4 - 1 e) (3y + 2 x ) (3y - 2 x ) = (3y )2 - (2 x )2 = 9y2 - 4x2 6. Troba la igualtat notable de la qual provenen aquests desenvolupaments. a) 4x2 + 9y2 - 12 xy a2 = 4x2 = (2 x )2 " a = 2 x b2 = 9y2 = (3y )2 " b = 3y (2 x - 3y )2 = (2 x )2 - 2 ? (2 x ) ? (3y ) + (3y )2 = = 4x2 - 12 xy + 9y2 = 4x2 + 9y2 - 12 xy b) 4x2 + 20x + 25 a2 = 4x2 = (2 x )2 " a = 2 x b2 = 25 = 52 " b = 5 (2 x + 5)2 = (2 x )2 + 2 ? (2 x ) ? 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25 c) 9x4 - 1 a2 = 9x4 = (3 x2)2 " a = 3 x2 b2 = 1 = 12 " b = 1 (3 x2 + 1) (3 x2 - 1) = 9x4 - 1 10 Desenvolupa mtjançant les igualtats notables. a) ( x + 3y )2 d) ( x + 5y ) ( x - 5y ) b) (3 x + 2) (3 x - 2) e) (-3 x + y )2 c) (5 x - 1)2 f ) (-2 x - y )2 11 R E F L E X I O N A . Expressa com una igualtat notable. a) x2 + 6 x + 9 d) 9x2 + 6 x + 1 b) 4x2 - 4x + 1 e) 25 x2 - 30x + 9 c) 9x2 - 16 f ) -25 + x4 A C T I V I T A T S S i una expressió algebraica prové d’una igualtat notable i té: 3 termes, és el quadrat d’una suma o d’una diferència. 2 termes, és suma per diferència. R E P T E Expressa com a quadrat d’un binomi. x x 3 8 2 3 2 2 + + 59 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 59 30/03/2023 12:22:12 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el T’HI ATREVEIXES que et proposem a l’inici de la unitat. Consolida aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades. Efectua operacions amb polinomis i igualtats notables 48 Raona si les igualtats següents són certes o falses. a) 2x = x ? x e) x2 + x3 = x5 b) -(x2 + x) = -x2 - x f ) 2x2 ? 3x3 = 5x5 c) x x 2 4 4 2 2 = _ i g) -x2 = x2 d) x x x x 2 2 4 2 2 2 - - = - - h) (x2)3 = x6 A C T I V I T A T S F L A I X 49 Copia i completa aquests quadrats màgics, en què la suma de cada fila, columna i diagonal coincideixen. 7x + 6 2x + b 4x + 5 6x + 9 ax + 4 3x2 - b 8x2 - 1 7x2 - 2 ax2 - 3 11x2 + 2 50 Completa la piràmide a la llibreta posant en cada cub la suma dels dos que té immediatament a sota. Després, respon usant els coeficients del polinomi del cub superior. Quin any va néixer Augusta Ada Byron, la primera programadora? P(x) = -6x3 + 8 Q(x) = x3 + x2 - 3x R(x) = x3 - x2 - 2 x + 12 S(x) = 2 x3 + x2 + 2 x + 7 51 A partir dels polinomis següents, opera. x ( ) P x x 2 5 3 2 = - - x ( ) Q x x 8 1 2 = - - x ( ) R x 3 4 = + a) x x ? ? ( ) ( ) P x Q 2 - c) x x ? ( ) ( ) x R P 4 2 + b) x x ? ( ) ( ) Q x R 3 - d) x x x ? ? ( ) ( ) ( ) Q R P 3 - 52 Efectua les operacions següents i indica el grau i el terme independent del resultat obtingut. a) ( ) ( ) x x x 3 4 6 2 + - - - x b) ( ) ( ) x x x x 3 2 5 1 5 2 + - - + c) ( ) ( ) ( ) x x x x 3 4 8 2 + - - - d) ? ( ) ( ) x x x x 7 3 1 4 9 2 - + - + - e) ( ) ( ) ( ) x x x 2 3 4 1 2 2 - - - + + - x x P(x) Q(x) R(x) S(x) 65 I N V E S T I G A . Pensa en un número: 1. Multiplica’l per 5. 2. Suma al producte 25. 3. Divideix la suma per 5. 4. Resta al quocient el número pensat. 5. Multiplica el resultat per 3. Quin número obtens? El resultado és el mateix per a qualsevol número? Explica per què. 66 I N V E N TA . Escriu un procés com el de l’activitat anterior en el qual, independentment del número del qual parteixis, obtinguis el mateix resultat. 67 R E P T E . Determina el valor d’aquesta expressió. … 100 99 98 97 2 1 2 2 2 2 2 2 - + - + + - Potències i igualtats notables 68 Efectua. a) (3x + 4)2 b) x 4 3 2 2 - f p c) (2x - 3)3 69 Efectua i redueix termes semblants. a) (x + 2)4 + (x - 2)2 c) (5x - 6)2 + (x - 1)3 b) (2x - 3)3 - (x2 + 4)2 d) (3x + 5)3 - (4x - 2)3 70 Opera. a) [(x - 2) 2 ] 2 d) [(-x + 3) 2 ] 2 b) [(3x + 2) 2 ] 2 e) [(-4x + 1) 2 ] 2 c) [(4 - 5x) 2 ] 2 f ) [( x + 2) 2 ] 2 71 Desenvolupa les potències següents. a) (x2 + x + 2)2 c) (3x2 + x - 2)3 b) (2x2 - 3x - 1)2 d) x x 3 5 1 2 3 - + f p 72 I N V E S T I G A . Troba dos nombres més grans que 1 el producte dels quals sigui 999 991. 73 Fes les operacions següents. a) ( ) ( ) ( ) x x x 2 4 3 2 - + + - b) ( ) ( ) x x x 3 2 1 3 2 2 2 - + - - c) ( ) [( ) ( ) ] x x x 6 5 7 3 2 2 - - - + + d) [( ) ( )] x x x x 8 9 2 2 2 2 + - - e) ( ) ( ) x x 3 5 2 2 - - + + 74 Assenyala quins són el quadrat d’un binomi i indica’l. a) 25x2 - 70x + 49 c) x6 - 4x3 + 4 b) x4 - 6x3 + 9x2 d) 4x4 - 16x2 - 16 75 R E P T E . Demostra que aquest triangle és rectangle per a qualsevol valor de x. 76 I N V E S T I G A . Observa aquests resultats. 12 + 22 + 12 ? 22 = 32 22 + 32 + 22 ? 32 = 72 … 92 + 102 + 92 ? 102 = 912 Sabries determinar a quin quadrat és igual l’expressió següent? x2 + (x +1)2 + x2 (x + 1)2 Divisió de polinomis. Regla de Ruffini 77 Efectua aplicant la regla de Ruffini. a) (x5 - x3 + x2 - x4 + 3x - 7) : (x - 2) b) (x4 + 2x2 - x - 3) : (x + 1) c) (2 x4 - x3 - x2 + x + 3) : (x - 3) 78 Efectua les divisions següents mitjançant la regla de Ruffini. a) (4x7 - 2x3 + x5) : (x + 2) b) (1 - x5) : (x - 1) c) (9 - x9) : (3 - x) 79 Calcula el quocient i el residu en cada cas. a) (-3 - x5) : (x + 2) b) (-3x6 + 2x5 - x4) : (-x - 1) c) (1 + 3x3 - 6x6 - 9x9) : (3 - x) 80 Copia i completa aquestes divisions, i escriu els polinomis dividend, divisor, quocient i residu. a) c) b) d) 81 Indica si és cert o fals. a) El coeficient del terme de primer grau del quocient de : ( ( ) ) x x x x x 5 2 3 1 1 4 3 2 + - + - + és -6. b) El coeficient de x en ( ) ( ) x x 3 4 1 2 2 + + - és 20. c) El valor numèric de ( ) x x 4 2 5 + + per a x = -1 és 210. 12 x + 24 5 x + 10 13 x + 26 C A B 3 4 0 -1 -1 1 0 -1 2 2 4 3 2 1 -1 0 0 -3 -4 8 53 Calcula, en aquests casos, el valor numèric de: P(x) = x (x - 1) (x - 2) a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3 54 I N V E N TA . Escriu tres polinomis que compleixin que P(2) = 5. 55 Sabent que el valor numèric per a x = -3 del polinomi x ( ) P x x ax 3 5 3 2 = + - + és -1, calcula el valor de a. 56 Troba a si el valor numèric de x ( ) ( ) P x x ax a 3 2 = - - + en x = 2 és 7. 57 J O C . Formeu grups de quatre persones. Una escull el valor numèric que vol obtenir. A la primera ronda, les altres tres han d’escriure un polinomi de grau 1 i un valor de x per al qual s’obtingui aquest valor numèric. A la segona ronda, el polinomi ha de ser de grau 2, a la tercera, de grau 3, etc. Cada ronda, la guanya qui els inventi primer. 58 I N V E S T I G A . Un polinomi P(x) de grau 4 i coeficient principal 1 té les arrels 3, 4, 5 i 6. Quant val la suma P(2) + P(7)? 59 Efectua aquestes operacions. a) (x2 - 3x + 5) x2 - x b) (x2 - x + 3) x2 - 2x + (x - 4) (x + 5) c) [(1 - x - x2) (-1) - 3x)] (8x + 7) d) x x x x 2 4 3 3 5 2 4 1 1 2 + - - - - f f p p > H e) [x2 + 1 - 6x (x - 4)] x - x (5x - 10) 60 Extreu factor comú en les expressions següents. a) 3 x + 6 xy - 27xz2 c) 4b2c + 8bc - 32a2b b) 5 x3z2 - 5 xyz + 100x2yz d) 9abc + 6ab - 12b2c 61 I N V E N TA . Escriu dos monomis no semblants de sisè grau el factor comú dels quals sigui 3xy2. 62 Treu factor comú en aquestes expressions. a) ( x + 2) + 3 ( x + 2) b) (2 x + 1) + (3 x + 1) ? (2 x + 1) c) 2 ( x + 4) - (3 + x ) ( x + 4) + 2 ( x + 4) ? 3 x 63 I N V E S T I G A . Donats dos polinomis, P(x) de grau 5 i Q(x) de grau 2, quin és el grau del polinomi que resulta de multiplicar-los? I de sumar-los? 64 R E P T E . Troba els valors de A, B i C perquè es compleixi (Ax - 7) (5x + B) = Cx2 - 6x - 14. C À L C U L M E N TA L a c t i v i tat s f i n a l s 3 C Á L C U L O M E N TA L 69 68 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 68-69 30/03/2023 12:23:52 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3
7 a c t i v i tat s f i n a l s 3 Com a mínim... 2 litres al dia! El consum diari recomanat de líquids a partir dels 14 anys és de 2,5 ℓ al dia per als homes i de 2 ℓ en el cas de les dones. La quantitat d’aigua que s’ha de consumir diàriament està relacionada amb les estimacions d’ingesta de calories recomanades per l’OMS, que és de 2 500 kcal per als homes i 2 000 kcal per a les dones, en persones de 70 kg. En aquest sentit, alguns experts consideren que els cossos més voluminosos necessiten més aigua que els més petits. La fórmula per calcular la quantitat d’aigua necessària és: N x 7 = en què N és el nombre de gots d’aigua de 250 ml que ha de beure una persona que pesa x kg. I tu, què en penses? 119 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . N U T R I C I Ó . Per calcular la quantitat de calories que has de consumir al dia, segons l’OMS, aplica la fórmula corresponent d’aquesta taula: De 10 a 18 anys Homes Dones Nre. de calories 17 686 ? pes + + 658,2 13 384 ? pes + + 692,6 i multiplica el resultat pel factor del teu nivell d’activitat física habitual. Estil de vida Factor Vida sedentària 1,40 Vida lleugeramet activa 1,69 Moderadamene activa 1,80 Molt activa 2 Escriu expressions algebraiques que serveixin per calcular les calories recomanades per a una persona de la teva edat segons l’estil de vida. 120 Escriu l’expressió del volum d’un cilindre la base del qual té un radi de x cm i l’altura és tres vegades el diàmetre de la base més 5 cm. Calcula’n el volum si la base té 4 cm de radi. I N T E R N E T 113 Efectua les operacions següents. a) ? x x x x x x 2 1 4 3 2 2 2 - - - - + - f p b) : x x x x x 1 6 1 5 2 1 3 2 - - - - + f p c) : ? x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 4 2 3 2 + + - - + + + - f p f p Resol problemes amb polinomis 114 Troba el valor de la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets: a) x cm i x + 1 cm. c) 2 x - 1 cm i x + 3 cm. b) x - 1 cm i x + 1 cm. d) 3 x cm i x - 2 cm. 115 La pàgina d’un llibre mesura el doble d’alt que d’ample, els marges laterals mesuren 2 cm, i els marges superior i inferior, 3 cm. a) Expressa la superfície total de la pàgina en llenguatge algebraic. b) Fes el mateix amb la superfície útil de paper (el que queda dins dels marges). 116 Escriu l’expressió que dona el valor en euros de x contenidors, si cada un té x caixes en les qual hi ha x bosses amb x articles, si cada article costa 10 €. 117 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . E N E R G I E S R E N O V A B L E S . Segons Point-Russ, un fabricant de carregadors per a vehicles elèctrics, el temps mitjà de càrrega d’un vehicle de 0 % a 100 % és de 8 hores. a) Troba l’expressió algebraica de la càrrega de la bateria que tindrà un vehicle després de carregar-lo durant x hores, si a l’inici està al 0 %. b) Un cotxe té 270 km d’autonomia en cicle urbà. Troba l’expressió algebraica de la bateria que tindrà després de x km si surt amb la càrrega completa. 118 Escriu l’expressió del volum d’un cub d’aresta 2 x + 3 cm. Després, troba el volum del cub, si x = 5 cm. NE WS FAKE ? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 121 Considera els polinomis i calcula. I(x) = x2 + 2 x D(x) = x2 - 2 x a) B(x) = I(x) - D(x) b) B(365) 122 Els ingressos i les despeses d’una empresa, en milers d’euros, venen determinats per I(x) = x2 + 2 x i D(x) = x2 - 2 x, en què x és el nombre de dies transcorreguts de l’any. Calcula el benefici esperat per l’empresa al cap d’un any. 123 Calcula les arrels del polinomi següent. ( ) T x x x x 3 3 10 9 6 3 2 = - + - 124 La temperatura en °C en un indret determinat segueix el polinomi ( ) T x x x x 3 3 10 9 6 3 2 = - + - , en què x és el dia de la setmana. En quins dies va caviar d’estat l’aigua a temperatura ambient? 125 Donades les fraccions algebraiques: ( ) P x x 20 288 = - i ( ) Q x x 10 84 = - calcula R(4), essent R(x) = P(x) + Q(x). 126 Una sala amb un aforament de 20 persones costa 288 €, i una per a 10 persones, 84 €. Escriu les fórmules per calcular quant paga cada assistent en funció del nombre de persones que falten per omplir la sala. Quant has de pagar si vas a una festa de cada sala i falten 4 persones per completar l’aforament? Efectua operacions amb fraccions algebraiques 106 Escriu tres fraccions algebraiques equivalents a aquestes. a) x 4 1 - c) x 2 5 + - e) x 1 3 - b) x x 1- d) x x 4 5 3 + - f ) x x 5 + - A C T I V I T A T S F L A I X 107 Troba el valor de P(x) perquè les fraccions siguin equivalents. a) ( ) x x x x P x 1 2 2 + = - b) ( ) x x P x x x x 3 4 4 4 3 2 - + = + - - 108 Quant ha de valer a perquè es compleixi la igualtat? x x a x x x x 2 7 10 2 35 2 2 + - = + + - - 109 Calcula el m. c. d. i el m.c.m. de: a) (x + 2)2, (x + 2)3, x c) x + 2, (x -2)3, x b) x2 - 1, (x - 1)2 d) 4x2 - 1, (2 x + 1)2 110 Simplifica aquestes fraccions algebraiques. a) x x 1 1 2 - + e) x x x x x 6 11 6 4 3 3 2 2 - + - - + b) x x x 4 4 4 2 2 - + - f ) x x x x 2 3 2 2 2 - - - + c) x x 1 1 2 - - g) x x x x x 3 3 3 2 4 3 2 + + + + d) x x x x 3 2 2 - - h) x x x x x 10 32 32 12 16 3 2 3 - + - - + 111 Fes aquestes operacions i simplifica. a) x x x x 2 6 1 3 9 8 3 1 2 + - + - - - b) x x x x x x 4 4 3 6 6 2 2 2 3 + + - + - - + + 112 Efectua les operacions i simplifica’n el resultat. a) ? x x x x x x x x 3 10 4 21 11 24 5 6 2 2 2 2 + - - - + + - + b) ? x x x x x x x x 6 8 20 3 40 2 2 3 2 2 + + + - - - + Maquetar en pósit ed142331 73 72 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 72-73 30/03/2023 12:24:55 1 Sambes i xirigotes Les rues de Carnaval recorren els carrers de moltes ciutats del món. A Rio de Janeiro, la rua acaba al sambòdrom, un llarg passadís pel qual desfilen les escoles de samba de la ciutat. Sense saber l’amplada del sambòdrom, expressa’n l’àrea amb un monomi. Escriu un polinomi que representi la diferència entre l’àrea del sambòdrom i la de la plaça de Sant Marc. Expressa amb un polinomi l’àrea que ocupa la rua del Dia de Morts, si els carrers tenen la meitat d’amplada que el sambòdrom. Si a la primera xirigota de Cadis hi van x persones, a la segona x + 1 000, a la tercera x + 2 000…, escriu un polinomi que representi el nombre de persones que van a les actuacions. 3 El banquet dels esquelets El Dia de Morts és tradició preparar uns pastissos dolços anomenats pa de morts. Expressa la quantitat necessària de cada ingredient per preparar pa de morts per a x persones. Quanta farina caldria per preparar pa de morts per a tots els assistents a la rua? Si cada ou pesa 70 g ,i cada taronja 150 g, escriu un polinomi que representi el pes total dels ingredients i factoritza’l. A les meves amistats i a mi ens encanta disfressar -nos. A uns els agrada més Carnaval , i a altres, Halloween . Cada festa és diferent, però les dues se celebren a tots els racons del món . Centenars de milers de persones van als carnavals de Venècia i Rio de Janeiro, al Mardi Gras de Nova Orleans i a la rua del Dia de Morts, el Halloween mexicà . Tu ets més de Carnaval o de Halloween? 3 S I T U A C I Ó D ’ A P R E N E N T A T G E Carnaval vs. Halloween Lloc Esdeveniment Nre. d’assistents Rio de Janeiro Carnaval 5 983 000 Venècia Carnaval 3 000 000 Sta. Cruz de Tenerife Carnaval 800 000 Nova Orleans Mardi Gras 1 000 000 Ciutat de Mèxic Dia de Morts 1 000 000 Mides de la plaça de Sant Marcs (Venècia): 180 m × 70 m Recorrregut de la rua del Dia de Morts: 8,7 km Nre. d’agrupacions carnavalesques de Cadis al 2022: 19 Longitud del sambòdrom de Rio de Janeiro: 550 m Pa de morts per a 6 persones. Llevat premsat fresc . . . . . . . . . . . . . 10 g Llet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 g Farina de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 g Sucre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 g Ous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Taronges (ratlladura) . . . . . . . . . . . 1 Sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 g Mantega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 g Aigua de tarongina (opcional ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 g 2 Llaminadura o entremaliadura Halloween prové d’una celebració celta anomenada Samhain. Actualment es conserva la tradició d’anar per les cases disfressat demanant llaminadures. Al primer grup que ha vingut a casa li hem donat x caramels, al segon x2, i al tercer x3. Expressa amb un polinomi quants caramels hem donat en total i factoritza’l. Hem mesurat els decibels dels crits provocats pels ensurts i hem comprovat que varia segons el polinomi ( ) P x x x 3 2 2 = + , en què x és l’edat dels nens i nenes. Esbrina quants decibels assoleix el crit de nens i nenes de 6, 8 i 10 anys. 75 74 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 74-75 30/03/2023 12:25:18 POTÈNC I ES D ’ EXPONENT ENTER Si n > 0, an = a ? a ? a ? … ? a n vegades a 1 0 = a a 1 = Si n > 0, ? ? ? ? ... a a a a a a 1 1 1 1 1 n n = = - f p n vegades a a 1 1 = - PROP I ETATS DE L ES POTÈNC I ES ? a a a n m n m = + : a a a n m n m = - ? ? ( ) a b a b n n n = ( : ) : a b a b n n n = ( ) a a ? n m n m = LOGAR I TMES loga b = c " a c = b 14442443 144424443 R E S U M D E L A U N I T A T 2 A U T O A V A L U A C I Ó Efectua càlculs amb potències d’exponent enter 1 Calcula i expressa el resultat en forma d’una sola potència amb exponent natural. ? : 2 5 2 5 2 5 2 0 4 - e e e o o o a) 5 2 5 e o b) 2 5 6 - e o c) 5 2 6 e o d) 2 5 5 e o 2 Calcula ? ( 5) 5 20 2 2 - - - . a) 80 1 - b) 80 1 c) 125 1 - d) 125 1 Expressa nombres en notació científica i hi opera 3 Opera i expressa el resultat en notación científica. ? ? ? ? ? , : ( ) ( ) 2 25 10 3 10 2 10 1 10 1 5 2 3 + - a) ? 9 10 3 - b) ? 3 104 c) ? 3 10 4 - d) ? 9 10 4 - Calcula logaritmes a partir de la definició i resol problemes amb logaritmes 4 Calcula x 2 1 log4 = . a) x 2 1 = b) x 2 1 = - c) x = 2 d) x = -2 5 Opera en e 625 125 2 1 5 log log log log ln 5 5 9 5 2 - - + + - . a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 Estableix relacions entre radicals i potències i hi opera 6 Calcula i expressa el resultat en forma de radical. ? : : 3 6 100 125 16 · 3 2 1 3 4 ` ` j j a) 972 12 c) 972 6 b) 4 972 12 d) 25 972 12 Resol problemes amb potències i arrels 7 La població de certs bacteris es duplica cada mitja hora. Quants bacteris hi haurà al cap de 3 hores si el nombre inicial de bacteris és ? 5 1010? a) ? 3,2 1010 c) ? 3,2 1012 b) ? 4 1010 d) ? 4 1011 PROP I ETATS DE L S LOGAR I TMES 1 0 loga = a 1 loga = loga (b ? c) = loga b + loga c c b b c log log log a a a = - loga bn = n ? log a b b a b log log log a c c = RAD I CAL S Arrel Radical Índex Radicand G G G G a b n = a n = b si bn = a POTÈNC I ES D ’ EXPONENT FRACC I ONAR I n a a n m = m • Consideres que l’important és adquirir coneixements encara que no sigui a la primera? • Contribueixes al fet que tothom se senti bé? V A L O R A E L T E U A P R E N E N T A T G E 54 ES0000000122259 136012_02_031_054 MATES 4 ESO GRUP OK_145750.indd 54 30/03/2023 11:51:38 PASSA A L’ACCIÓ: SITUACIÓ D’APRENENTATGE 5 AVALUA EL QUE HAS APRÈS: AUTOAVALUACIÓ 6 PRACTICA LES TEVES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diversos àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURALESA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Enfronta’t a les FAKE NEWS. Utilitza els continguts apresos per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions generalitzades en el nostre món. Repassa els sabers bàsics de la unitat. Avalua el que has après resolent les activitats que es proposen en l’AUTOAVALUACIÓ. Identifica i gestiona les emocions acceptant l’error com a part de l’aprenentatge. Comprèn i analitza amb sentit crític situacions reals amb els continguts que has après per abordar-les de manera global.
Com es passa de decimal a fracció • Nombre decimal exacte: F F Part entera i decimal sense coma Tants zeros com xifres decimals 3,71 100 371 = • Nombre decimal periòdic pur: Tants nous com xifres té el període F F Part entera 6,21 99 621 6 = - # Part entera i decimal sense coma F • Nombre decimal periòdic mixt: 1,432 990 1 432 14 = - # Tants nous com xifres té el període i tants zeros com xifres té l’anteperíode Part entera i decimal no periòdica F F G Part entera i decimal sense coma A C T I V I T A T S 2 Representa 1,029 # en forma de fracció. a) 100 1 029 b) 99 1 028 c) 99 1 019 d) 990 1 019 Com es calcula el terme desconegut en una proporció Una proporció és una igualtat entre dues raons: b a d c = , en què a, b, c i d són nombres i es compleix que a ? d = b ? c. E X E M P L E Per elaborar 3 pastissos de plàtan es necessiten 7 plàtans i mig. Si volem preparar 4 pastissos, quants plàtans necessitem? Nre. de plàtans Nre. de pastissos 7,5 " 3 x " 4 ? , , x x 7 5 4 3 3 7 5 4 3 30 10 = = = = " plàtans. A C T I V I T A T S 1 Si un apartament vacacional té un preu de 750 € per una setmana, quant costarà llogar l’apartament 10 dies? a) 950 € b) 975 € c) 1 071,43 € d) 1 050,50 € Què en saps , ja? Nombres reals. Proporcionalitat 1 De caixes Col·loca les caixes perquè n’hi hagi una entre els uns, dues entre els dosos i tres entre els tresos. Saps com fer-ho? 1 2 3 1 2 3 T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9
El conjunt dels nombres racionals, Q, està format per tots els nombres que es poden expressar en forma de fracció b a , en què a i b són nombres enters i b ! 0. Tots els nombres naturals, enters, decimals exactes i periòdics són nombres racionals. Nombres racionals Nombres decimals Nombres enters Exactes: 0,2; 0,34; … Periòdics: 0,6; 2,263; … ! # Naturals: 1, 2, 3, … El nombre zero: 0 Enters negatius: -1, -2, -3, … 64748 64444744448 64748 Tots els nombres racionals es poden representar de manera exacta a la recta numèrica . E X E M P L E 1. Indica si aquests nombres són racionals i, si ho són, representa’ls. a) -3 1 3 = - " Es pot expressar com a fracció. És un nombre racional. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b) 2,3 10 23 = " Es pot expressar com a fracció. És un nombre racional. 3 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 c) 3,6 9 36 3 9 33 3 11 = - = = " ! És un nombre racional. 3 11 3 3 2 = + -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 11 1. Nombres racionals Els nombres naturals i enters es poden expressar com a fracció amb denominador 1. 1 Emparella els nombres que tinguin el mateix valor i indica a quin conjunt numèric pertany cada nombre. 2 Ordena i representa. a) 2,33 2,3 ! 2,3 2,36 # b) -4,2 4,2 - ! -4,22 4,27 - # 3 R E F L E X I O N A . Representa els nombres racionals: a) 3 5 b) 16 48 c) 7 15 40 3 3,6 ! 0,01 3,666 0,075 500 5 3 11 A C T I V I T A T S 10
El conjunt dels nombres irracionals, I, està format pels nombres que no es poden expressar en forma de fracció. La seva expressió decimal té un nombre infinit de xifres decimals que no es repeteixen de forma periòdica . Existeixen infinits nombres irracionals, per exemple: Qualsevol arrel no exacta : 5, 7 - , 24, … Determinats nombres obtinguts combinant les seves xifres decimals, per exemple: 0,010010001…; 0,1234567891011…; … Alguns nombres especials: r, e, U, … Els nombres irracionals r = 3,141592…, e = 2,71828… i z = 1,61803… tenen un paper fonamental en geometria , arquitectura , estudis sobre poblacions, estructures naturals… E X E M P L E 2. Decideix si aquests nombres són racionals o irracionals. a) r = 3,1415926535… La seva expressió decimal té un nombre il·limitat de xifres que no es repeteixen de forma periòdica. És irracional. b) -2 = 1 2 - Es pot expressar en forma de fracció. És racional. c) 3 2r = 2,094395102… La seva expressió decimal té un nombre il·limitat de xifres que no es repeteixen de forma periòdica. És irracional. d) 5 = 2,236067977… La seva expressió decimal té un nombre il·limitat de xifres que no es repeteixen de forma periòdica. És irracional. e) 2 3 4 9 = Es pot expressar en forma de fracció. És racional. 2. Nombres irracionals 1 4 Considera les arrels quadrades dels nombres naturals des de l’1 fins al 20 i indica quines arrels són nombres racionals i quines són nombres irracionals. 5 Indica de quin tipus són els nombres següents. a) 1,232323… c) 13 b) -0,246810 d) 0,135791113 6 Escriu quatre nombres irracionals i explica per què ho són. 7 R E F L E X I O N A . Classifica en racionals i irracionals. 3,121122111222... 3,444... 3,123123123... 3,12121212... 3,48163264... 2 r A C T I V I T A T S R E P T E Si sumem un nombre irracional i un nombre racional, a quin conjunt numèric pertany el resultat? 11
3. Nombres reals El conjunt dels nombres reals, R, està format per tots els nombres racionals i tots els irracionals. Naturals (N) El nombre 0 Enters negatius Enters (Z) Racionals (Q) Irracionals (I) Nombres reals (R) Decimals exactes i periòdics 64444744448 64444744448 6447448 Recta real La recta numèrica en la qual es representen els nombres reals s’anomena recta real. E X E M P L E 3. Representa aquests nombres a la recta real. a) 5 a) Si a és un nombre natural, els nombres del tipus a, es poden representar de forma exacta sobre la recta real. Escrivim el radicand com a suma de dos quadrats: 5 = 22 + 12 Construïm sobre la recta el triangle rectangle corresponent i, amb el compàs, traslladem la hipotenusa sobre la recta. b) r b) Generalment, els nombres irracionals no es poden representar de forma exacta a la recta real. Els nombres irracionals que no són del tipus a els representem de forma aproximada a partir del càlcul previ de la seva expressió decimal: r = 3,141592… G E O G E B R A 5 3 2 1 0 1 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 F r 8 Representa els nombres reals següents. a) 10 d) -2,334445555... b) 1,3 e) 2r c) 13 f ) 1,25 9 Troba amb la calculadora els nombres 6 , 7 i 8, i representa’ls de manera aproximada a la recta. 10 R E F L E X I O N A . Observa aquesta recta real i escriu. -2 -1 0 1 2 3 A B C D a) Dos nombres enters entre A i C. b) Tres nombres racionals no enters entre B i C. c) Tres nombres irracionals entre C i D. ! A C T I V I T A T S Tots els nombres reals es poden representar de manera exacta o aproximada a la recta real . 12
1 11 Indica el conjunt numèric al qual pertany cada nombre. 12 Decideix el menor conjunt numèric al qual pertany cadascun dels nombres que hi ha a continuació. a) -5 e) 3 r b) 2 f ) -37 c) 5 3 g) 5 1 125 d) 625 h) 21,463 # a) 8,0999... d) 5 1 - g) 15 b) -11 e) 6,126 h) 7 8 c) 2,5 f ) 1,223334444... i ) r # A C T I V I T A T S Com es troba el conjunt numèric al qual pertany un nombre Indica tots els conjunts numèrics als quals pertanyen aquests nombres: 25 9 - 9 16 - 7 2,37 ! 1,1223334444… 9 18 - 4 3 - 19 -5 1 S i el nombre és enter. S i és positiu és natural. S i és negatiu és enter. 19 " És un nombre natural, enter, racional i real. -5 " És un nombre enter, racional i real. 2 S i el nombre és una fracció: Quan el numerador és múltiple del denominador, si la fracció és positiva és natural, i si és negativa, enter. En cas contrari, és racional. 9 18 2 - = - " És un nombre enter, racional i real. 4 3 - " És un nombre racional i real. 4 S i el nombre és decimal: S i és exacte o periòdic, és racional. En un altre cas, és irracional. 2,37 ! " És un nombre racional i real. 1,1223334444… " És un nombre irracional i real. Quan operem amb arrels només n’agafem el valor positiu. 4 2 = 4 2 - = - 3 S i el nombre conté una arrel quadrada: S i el radicand és un quadrat perfecte, se’n calcula l’arrel. – S i el resultat és un nombre enter, és natural si és positivo, i enter si és negatiu. – S i el resultat és una fracció, és racional quan el numerador no és múltiple del denominador. S i el radicand no és un quadrat perfecte, és irracional. 25 = 5 " És natural, enter, racional i real. 9 3 " - = - És enter, racional i real. 9 16 3 4 - = - " És un nombre racional i real. 7 = 2,64575131… " És un nombre irracional i real. Es manté el signe. 13
E X E M P L E 4. Aproxima als centèsims pel mètode de truncament i determina si l’aproximació que has fet és per excés o per defecte. a) 13,2754 " Truncament: 13,27 " Aproximació per defecte b) -21,4785 " Truncament: -21,47 " Aproximació per excés c) 2 = 1,414213… " Truncament: 1,41 " Aproximació per defecte E X E M P L E 5. Aproxima aquests nombres als dècims mitjançant truncament i arrodoniment. a) 57,423 " Truncament: 57,4 Arrodoniment: 57,4 b) 3,578 " Truncament: 3,5 Arrodoniment: 3,6 c) -2,357 " Truncament: -2,3 Arrodoniment: -2,4 d) 9,971 " Truncament: 9,9 Arrodoniment: 10,0 e) 3 = 1,7320508… " Truncament: 1,7 Arrodoniment: 1,7 El truncament i l’arrodoniment coincideixen quan la primera xifra eliminada és menor que 5. 13 Trunca i arrodoneix als centèsims. a) 24,1587 c) 24,9215 e) 24,1617 b) 24,1507 d) 24,1582 f ) 24,1627 14 Una professora decideix arrodonir les notes de 10 alumnes. Quines notes els posarà? 3,8 6,4 9,7 4,3 5,8 8,4 9,7 2,3 3,8 6,4 15 Aproxima 0,121212…; 5,23888… i 9 11 per arrodoniment i per truncament amb dues xifres decimals. 16 R E F L E X I O N A . Calcula la diagonal d’un rectangle de costats de 8 cm i 10 cm. Quina classe de nombre s’obté? Arrodoneix el resultat als mil·lèsims. A C T I V I T A T S 4. Aproximació de nombres reals Aproximar nombres decimals és útil a l’hora de simplificar les dades i poder efectuar alguns càlculs. L’arrodoniment és una aproximació que consisteix a eliminar les xifres a partir d’un cert ordre, augmentant una unitat a l’última xifra si la primera eliminada és més gran o igual que 5. Aproximar un nombre decimal consisteix a substituir -lo per un altre nombre amb menys xifres decimals. El valor de l’aproximació pot ser tan proper al nombre com vulguem. Diem que una aproximació es fa per excés si l’aproximació és més gran que el nombre original , i diem que es fa per defecte si l’aproximació és menor que ell . El truncament és una aproximació que consisteix a eliminar totes les xifres a partir d’un ordre establert. R E P T E Arrodoneix 1,9 ! als centèsims. 14
1 E X E M P L E 6. Calcula l’error absolut comès en aproximar 5 per 2,23. Quin tipus d’aproximació s’ha fet? 5 = 2,236067977… " Ea = | 2,236067977… - 2,23 | = 0,006067977… S’ha fet un truncament. És una aproximació per defecte. E X E M P L E 7. Obtén l’error absolut i relatiu en considerar: a) 3,5 m com la longitud de un llistó que realment mesura 3,59 m. b) 60 m com la distància entre dos pals situats a 59,91 m. a) Ea = | 3,59 - 3,5 | = 0,09 m , , , , E V E 3 59 3 59 3 5 25 2 5 0,0 Real r a " = = - = % b) Ea = | 59,91 - 60 | = 0,09 mm Real , , , , E V E 59 91 59 91 60 0 0015 0 15 r a " = = - = % L’error absolut és el mateix en tots dos casos, però l’error relatiu és considerablement més gran en el primer cas i, per tant, l’aproximació és menys precisa. G E O G E B R A 5. Errors d’aproximació De vegades donem per bona qualsevol aproximació l’error de la qual sigui menor que una determinada quantitat; aquesta quantitat s’anomena cota d’error. 17 Obtén l’error absolut i relatiu comès: a) En arrodonir 3,125 als centèsims. b) En truncar 1,65 als deumil·lèsims. c) En arrodonir 13 als centèsims. d) En truncar 3 2 als dècims. e) E n aproximar per defecte 1,3476 als mil·lèsims. f ) En arrodonir 7 11 als mil·lèsims. # 18 La quantitat d’antibiòtic en una càpsula és d’1,5 g ! 0,2 %. a) Què significa aquesta afirmació? b) E ntre quins valors oscil·la la quantitat d’antibiòtic en cada càpsula? 19 R E F L E X I O N A . Quin error absolut i relatiu es comet en aproximar 1,468 per 1,5? I si ho aproximem per 1,4? Raona quina és la millor aproximació. A C T I V I T A T S L’error relatiu es pot expressar en tant per cent, multiplicant-lo per 100. En aquest cas, s’anomena percentatge d’error. L’error absolut d’una aproximació és el valor absolut de la diferència entre el valor real i el valor de l’aproximació. Ea = |VReal - VAproximació | L’error relatiu d’una aproximació es el valor absolut del quocient entre l’error absolut i el valor real . Real Real Real E V E V V V r a Aproximació ; ; ; ; = = - 15
RkJQdWJsaXNoZXIy