6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es representen intervals Per representar un interval se’n marquen els extrems a la recta amb un punt massís, si l’extrem pertamy a l’interval, o amb un punt buit, si no és de l’interval; es marca també el segment entre els extrems. Per a una semirecta es fa de la mateixa manera, però s’hi marca només un extrem, l’inferior o el superior. E X E M P L E a) [-6, -1) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 b) [-6, +3) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 c) (-3, -6) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 A C T I V I T A T S 2 Quins punts no estan en l’interval següent? a) -4 b) 2 c) -4 i 2 d) Tots hi pertanyen. Com es comprova que un valor és solució d’una equació Per comprovar la solució d’una equació es reemplaça la variable de l’equació pel valor de la solució. El valor és solució de l’equació si aquesta equació es converteix en una identitat. E X E M P L E Calcula i comprova les solucions de l’equació: x2 + 3 = 12 x2 + 3 = 12 " x2 = 9 " x 1 = 3, x2 = -3 Si x = 3 " 32 + 3 = 9 + 3 = 12 " N’és solució. Si x = -3 " (-3)2 + 3 = 9 + 3 = 12 " N’és solució. A C T I V I T A T S 1 Determina quins dels valors següents són solució de l’equació: (x + 1)(x - 1) = 3 a) -2 c) 2 i -2 b) Cap valor n’és solució. d) 2 Què en saps , ja? Equacions i inequacions 4 Bitllets, per favor! p n m G G G G G G He plegat el bitllet de l’autobús per les bisectrius de les cantonades. Quant mesura la longitud p en funció de m i n? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 T ’ H I AT R E V E I X E S ? 77 ES0000000122259 136012_04_077_096 MATES 4 ESO GRUP OK_146511.indd 77 30/03/2023 9:32:42 Un polinomi, P (x), és una expressió algebraica formada per una suma o resta de monomis que s’anomenen termes. Si no té monomis semblants, diem que és un polinomi reduït. El grau d’un polinomi és el del terme de grau més gran del seu polinomi reduït. El coeficient d’aquest terme s’anomena coeficient principal. El terme independent n’és el monomi sense part literal . El valor numèric d’un polinomi quan x = a, P (a), és el nombre que resulta en substituir x per a en el polinomi i operar. G E O G E B R A Suma, resta i multiplicació de polinomis Per sumar o restar dos polinomis, se sumen o es resten els monomis semblants i es deixen igual els altres termes. Per multiplicar dos polinomis, es multiplica cada monomi del primer per tots els monomis del segon i , després, se sumen els resultats agrupant els monomis semblants. E X E M P L E S 1. Escriu-ne el polinomi reduït i indica’n els elements. P ( x ) = x5 - 3 x2 + x - x2 + 7 + 2 x5 = 3 x5 - 4x2 + x + 7 Grau: 5 Coeficient principal: 3 Terme independent: 7 2. Donat P ( x ) = x4 - 3 x2 + x + 1, calcula’n el valor numèric quan x = 2. x ( ) P x x x 3 1 4 2 = - + + x = 2 " ? (2) 2 3 2 2 1 7 4 2 = - + + = P E X E M P L E 3. Efectua les operacions de polinomis següents. P(x) = 2 x4 - 3x2 Q(x) = 4x2 - 2 x + 6 R(x) = x - 1 a) P(x) - Q(x) + R(x) = (2 x4 - 3x2) - (4x2 - 2 x + 6) + (x - 1) = x x x x x 2 3 4 2 1 6 4 2 2 = - - + - + - = 2 x4 - 7x2 + 3x - 7 b) P(x) ? Q(x) = (2 x4 - 3x2) (4x2 - 2 x + 6) = = 2 x4 (4x2 - 2 x + 6) - 3x2 (4x2 - 2 x + 6) = = 8x6 - 4x5 + 12x4 - 12 x4 + 6x3 - 18x2 = 8x6 - 4x5 + 6x3 - 18x2 1. Polinomis 3 Els polinomis es designen amb lletres majúscules i se n’indiquen les variables entre parèntesis. P(x) = 3x2 - 3 Q(x, y) = 4x2 - 3xy + 2y2 1 Efectua: (-2 x3 + x2 + x - 1) - (x3 + x2 - x - 1). 2 Si P(x) = x2 - x + 2 i Q(x) = x3 - x2 + 1, calcula: a) P(1) + P(-1). b) P(0) + Q(-1). 3 Multiplica: (x3 - x2 + 3x - 1) (x - 1). 4 R E F L E X I O N A . Quant ha que valer a perquè P(a) = 0 si P(x) = 2x2 - 3x + 1? A C T I V I T A T S 5 Extreu factor comú en les expressions següents. 6 Escriu dos polinomis de quart grau dels quals es pugui extreure com a factor comú: a) 2 xy b) 3 x c) x3 d) 2 xy2 7 Quin és el factor comú en els termes d’aquestes expressions? a) ( x + 1) ( x - 3) + ( x - 3) ( x + 2) b) ( x - 2) ( x - 1) + 3 ( x - 1) ( x - 2) c) 4 ( x + 4) ( x - 2) + 6 ( x - 2) ( x + 2) d) ( x + 2) ( x - 1) + 3( x - 1) e) -2 x - 4 + 2( x + 2) ( x - 3) f ) 3( x + 1) + (6 + 6 x ) g) ( x + 5) ( x - 2) + ( x2 - 4) a) 4x + 8y b) 3 x + 6y - 9z c) x3 - x2 + x5 d) x5 - 2 x4 + x3 e) 2 x2 - 6 x + 4x3 f ) 3 x3 - 6 x4 + 9x2 g) 12 x + 6 x2 + 3 h) 12 x3 + 6 x2 + 6 x A C T I V I T A T S R E P T E Si Gr P(x) = n i Gr Q(x) = m, podem saber quin és el grau de la seva suma? I el del seu producte? Quan en un polinomi hi ha un factor que es repeteix en tots els termes, es pot extreure factor comú. Com s’extreu factor comú en un polinomi Treu factor comú en aquests polinomis. a) x x x 6 24 12 4 3 2 - + b) x x x 4 3 5 2 - + - c) 6x2y2 - 3xy2 + 30x2y Quan el factor comú coincideix amb un dels termes del polinomi, en el seu lloc queda la unitat. ax 2 + ax + a = = a(x 2 + x + 1) 1 Comprovem si hi ha lletres que es repeteixin en tots els termes del polinomi. S i n’hi ha, agafem les que es repeteixen amb menor exponent. a) x es repeteix en tots els termes. x amb menor exponent " x2 b) x es repeteix en tots els termes. x amb menor exponent " x c) xy es repeteix en tots els termes. xy amb menor exponent " xy 2 Trob em el m.c.d. dels coeficients dels termes. m.c.d. (6, 24, 12) = 6 m.c.d. (4, 3, 1) = 1 m.c.d. (6, 3, 30) = 3 3 El factor comú del polinomi és el producte de les lletres i els nombres obtinguts. Factor comú " 6x2 Factor comú " x Factor comú " 3xy 4 Dividim cada terme del polinomi entre el factor comú i expressem el polinomi com un producte del factor comú pel quocient de la divisió. Factor comú Factor comú Factor comú x x x x x x x x 6 6 6 24 6 12 4 2 2 4 2 3 2 2 2 - + = = - + ( ) x x x x x x 6 24 12 6 4 2 4 3 2 2 2 - + = = - + xy x y xy xy xy x y xy y x 3 6 3 3 3 30 2 10 2 2 2 2 - + = = - + x x x x x x x x 4 3 4 3 1 5 2 4 - + - = = - + - ( ) x x x x x x 4 3 4 3 1 5 2 4 - + - = = - + - ( ) x y xy x y xy xy y x 6 3 30 3 2 10 2 2 2 2 - + = = - + a) 4x + 8y b) 3 x + 6y - 9z c) x3 - x2 + x5 d) x5 - 2 x4 + x3 e) 2 x2 - 6 x + 4x3 f ) 3 x3 - 6 x4 + 9x2 g) 12 x + 6 x2 + 3 h) 12 x3 + 6 x2 + 6 x 57 56 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 56-57 30/03/2023 12:21:04 3 3. Igualtats notables S’anomenen igualtats notables certs productes que ser veixen per facilitar alguns càlculs amb expressions algebraiques. Quadrat d’una suma : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrat d’una diferència : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma per diferència : (a + b) (a - b) = a2 - b2 G E O G E B R A Per demostrar aquestes igualtat, n’ hi a prou a desenvolupar els productes indicats. Per exemple, per a la igualtat de suma per diferència : (a + b) (a - b) = a (a - b) + b (a - b) = = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2 E X E M P L E S 5. Desenvolupa les igualtats notables següents. a) ( x + 4)2 = x2 + 2 ? x ? 4 + 42 = x2 + 8 x + 16 b) (2 x - 5)2 = (2 x )2 - 2 ? (2 x ) ? 5 + 52 = 4x2 - 20x + 25 c) (-2 x + y )2 = (y - 2 x )2 = y2 - 2 ? y ? 2 x + (2 x )2 = y2 - 4xy + 4x2 d) (3 x2 + 1) (3 x2 - 1) = (3 x2)2 - 12 = 9x4 - 1 e) (3y + 2 x ) (3y - 2 x ) = (3y )2 - (2 x )2 = 9y2 - 4x2 6. Troba la igualtat notable de la qual provenen aquests desenvolupaments. a) 4x2 + 9y2 - 12 xy a2 = 4x2 = (2 x )2 " a = 2 x b2 = 9y2 = (3y )2 " b = 3y (2 x - 3y )2 = (2 x )2 - 2 ? (2 x ) ? (3y ) + (3y )2 = = 4x2 - 12 xy + 9y2 = 4x2 + 9y2 - 12 xy b) 4x2 + 20x + 25 a2 = 4x2 = (2 x )2 " a = 2 x b2 = 25 = 52 " b = 5 (2 x + 5)2 = (2 x )2 + 2 ? (2 x ) ? 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25 c) 9x4 - 1 a2 = 9x4 = (3 x2)2 " a = 3 x2 b2 = 1 = 12 " b = 1 (3 x2 + 1) (3 x2 - 1) = 9x4 - 1 10 Desenvolupa mtjançant les igualtats notables. a) ( x + 3y )2 d) ( x + 5y ) ( x - 5y ) b) (3 x + 2) (3 x - 2) e) (-3 x + y )2 c) (5 x - 1)2 f ) (-2 x - y )2 11 R E F L E X I O N A . Expressa com una igualtat notable. a) x2 + 6 x + 9 d) 9x2 + 6 x + 1 b) 4x2 - 4x + 1 e) 25 x2 - 30x + 9 c) 9x2 - 16 f ) -25 + x4 A C T I V I T A T S S i una expressió algebraica prové d’una igualtat notable i té: 3 termes, és el quadrat d’una suma o d’una diferència. 2 termes, és suma per diferència. R E P T E Expressa com a quadrat d’un binomi. x x 3 8 2 3 2 2 + + 59 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 59 30/03/2023 12:22:12 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el T’HI ATREVEIXES que et proposem a l’inici de la unitat. Consolida aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per a la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades. Efectua operacions amb polinomis i igualtats notables 48 Raona si les igualtats següents són certes o falses. a) 2x = x ? x e) x2 + x3 = x5 b) -(x2 + x) = -x2 - x f ) 2x2 ? 3x3 = 5x5 c) x x 2 4 4 2 2 = _ i g) -x2 = x2 d) x x x x 2 2 4 2 2 2 - - = - - h) (x2)3 = x6 A C T I V I T A T S F L A I X 49 Copia i completa aquests quadrats màgics, en què la suma de cada fila, columna i diagonal coincideixen. 7x + 6 2x + b 4x + 5 6x + 9 ax + 4 3x2 - b 8x2 - 1 7x2 - 2 ax2 - 3 11x2 + 2 50 Completa la piràmide a la llibreta posant en cada cub la suma dels dos que té immediatament a sota. Després, respon usant els coeficients del polinomi del cub superior. Quin any va néixer Augusta Ada Byron, la primera programadora? P(x) = -6x3 + 8 Q(x) = x3 + x2 - 3x R(x) = x3 - x2 - 2 x + 12 S(x) = 2 x3 + x2 + 2 x + 7 51 A partir dels polinomis següents, opera. x ( ) P x x 2 5 3 2 = - - x ( ) Q x x 8 1 2 = - - x ( ) R x 3 4 = + a) x x ? ? ( ) ( ) P x Q 2 - c) x x ? ( ) ( ) x R P 4 2 + b) x x ? ( ) ( ) Q x R 3 - d) x x x ? ? ( ) ( ) ( ) Q R P 3 - 52 Efectua les operacions següents i indica el grau i el terme independent del resultat obtingut. a) ( ) ( ) x x x 3 4 6 2 + - - - x b) ( ) ( ) x x x x 3 2 5 1 5 2 + - - + c) ( ) ( ) ( ) x x x x 3 4 8 2 + - - - d) ? ( ) ( ) x x x x 7 3 1 4 9 2 - + - + - e) ( ) ( ) ( ) x x x 2 3 4 1 2 2 - - - + + - x x P(x) Q(x) R(x) S(x) 65 I N V E S T I G A . Pensa en un número: 1. Multiplica’l per 5. 2. Suma al producte 25. 3. Divideix la suma per 5. 4. Resta al quocient el número pensat. 5. Multiplica el resultat per 3. Quin número obtens? El resultado és el mateix per a qualsevol número? Explica per què. 66 I N V E N TA . Escriu un procés com el de l’activitat anterior en el qual, independentment del número del qual parteixis, obtinguis el mateix resultat. 67 R E P T E . Determina el valor d’aquesta expressió. … 100 99 98 97 2 1 2 2 2 2 2 2 - + - + + - Potències i igualtats notables 68 Efectua. a) (3x + 4)2 b) x 4 3 2 2 - f p c) (2x - 3)3 69 Efectua i redueix termes semblants. a) (x + 2)4 + (x - 2)2 c) (5x - 6)2 + (x - 1)3 b) (2x - 3)3 - (x2 + 4)2 d) (3x + 5)3 - (4x - 2)3 70 Opera. a) [(x - 2) 2 ] 2 d) [(-x + 3) 2 ] 2 b) [(3x + 2) 2 ] 2 e) [(-4x + 1) 2 ] 2 c) [(4 - 5x) 2 ] 2 f ) [( x + 2) 2 ] 2 71 Desenvolupa les potències següents. a) (x2 + x + 2)2 c) (3x2 + x - 2)3 b) (2x2 - 3x - 1)2 d) x x 3 5 1 2 3 - + f p 72 I N V E S T I G A . Troba dos nombres més grans que 1 el producte dels quals sigui 999 991. 73 Fes les operacions següents. a) ( ) ( ) ( ) x x x 2 4 3 2 - + + - b) ( ) ( ) x x x 3 2 1 3 2 2 2 - + - - c) ( ) [( ) ( ) ] x x x 6 5 7 3 2 2 - - - + + d) [( ) ( )] x x x x 8 9 2 2 2 2 + - - e) ( ) ( ) x x 3 5 2 2 - - + + 74 Assenyala quins són el quadrat d’un binomi i indica’l. a) 25x2 - 70x + 49 c) x6 - 4x3 + 4 b) x4 - 6x3 + 9x2 d) 4x4 - 16x2 - 16 75 R E P T E . Demostra que aquest triangle és rectangle per a qualsevol valor de x. 76 I N V E S T I G A . Observa aquests resultats. 12 + 22 + 12 ? 22 = 32 22 + 32 + 22 ? 32 = 72 … 92 + 102 + 92 ? 102 = 912 Sabries determinar a quin quadrat és igual l’expressió següent? x2 + (x +1)2 + x2 (x + 1)2 Divisió de polinomis. Regla de Ruffini 77 Efectua aplicant la regla de Ruffini. a) (x5 - x3 + x2 - x4 + 3x - 7) : (x - 2) b) (x4 + 2x2 - x - 3) : (x + 1) c) (2 x4 - x3 - x2 + x + 3) : (x - 3) 78 Efectua les divisions següents mitjançant la regla de Ruffini. a) (4x7 - 2x3 + x5) : (x + 2) b) (1 - x5) : (x - 1) c) (9 - x9) : (3 - x) 79 Calcula el quocient i el residu en cada cas. a) (-3 - x5) : (x + 2) b) (-3x6 + 2x5 - x4) : (-x - 1) c) (1 + 3x3 - 6x6 - 9x9) : (3 - x) 80 Copia i completa aquestes divisions, i escriu els polinomis dividend, divisor, quocient i residu. a) c) b) d) 81 Indica si és cert o fals. a) El coeficient del terme de primer grau del quocient de : ( ( ) ) x x x x x 5 2 3 1 1 4 3 2 + - + - + és -6. b) El coeficient de x en ( ) ( ) x x 3 4 1 2 2 + + - és 20. c) El valor numèric de ( ) x x 4 2 5 + + per a x = -1 és 210. 12 x + 24 5 x + 10 13 x + 26 C A B 3 4 0 -1 -1 1 0 -1 2 2 4 3 2 1 -1 0 0 -3 -4 8 53 Calcula, en aquests casos, el valor numèric de: P(x) = x (x - 1) (x - 2) a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3 54 I N V E N TA . Escriu tres polinomis que compleixin que P(2) = 5. 55 Sabent que el valor numèric per a x = -3 del polinomi x ( ) P x x ax 3 5 3 2 = + - + és -1, calcula el valor de a. 56 Troba a si el valor numèric de x ( ) ( ) P x x ax a 3 2 = - - + en x = 2 és 7. 57 J O C . Formeu grups de quatre persones. Una escull el valor numèric que vol obtenir. A la primera ronda, les altres tres han d’escriure un polinomi de grau 1 i un valor de x per al qual s’obtingui aquest valor numèric. A la segona ronda, el polinomi ha de ser de grau 2, a la tercera, de grau 3, etc. Cada ronda, la guanya qui els inventi primer. 58 I N V E S T I G A . Un polinomi P(x) de grau 4 i coeficient principal 1 té les arrels 3, 4, 5 i 6. Quant val la suma P(2) + P(7)? 59 Efectua aquestes operacions. a) (x2 - 3x + 5) x2 - x b) (x2 - x + 3) x2 - 2x + (x - 4) (x + 5) c) [(1 - x - x2) (-1) - 3x)] (8x + 7) d) x x x x 2 4 3 3 5 2 4 1 1 2 + - - - - f f p p > H e) [x2 + 1 - 6x (x - 4)] x - x (5x - 10) 60 Extreu factor comú en les expressions següents. a) 3 x + 6 xy - 27xz2 c) 4b2c + 8bc - 32a2b b) 5 x3z2 - 5 xyz + 100x2yz d) 9abc + 6ab - 12b2c 61 I N V E N TA . Escriu dos monomis no semblants de sisè grau el factor comú dels quals sigui 3xy2. 62 Treu factor comú en aquestes expressions. a) ( x + 2) + 3 ( x + 2) b) (2 x + 1) + (3 x + 1) ? (2 x + 1) c) 2 ( x + 4) - (3 + x ) ( x + 4) + 2 ( x + 4) ? 3 x 63 I N V E S T I G A . Donats dos polinomis, P(x) de grau 5 i Q(x) de grau 2, quin és el grau del polinomi que resulta de multiplicar-los? I de sumar-los? 64 R E P T E . Troba els valors de A, B i C perquè es compleixi (Ax - 7) (5x + B) = Cx2 - 6x - 14. C À L C U L M E N TA L a c t i v i tat s f i n a l s 3 C Á L C U L O M E N TA L 69 68 ES0000000122259 136012_03_055_076 MATES 4 ESO GRUP OK_146165.indd 68-69 30/03/2023 12:23:52 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3
RkJQdWJsaXNoZXIy