Matema` tiques 2 B A T X I L L E R A T Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ' Edicions de Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz. En l 'elaboració ha par ticipat: Sonia Alejo Sánchez Miguel Álvaro Pérez José Carlos Gámez Pérez Silvia Marín García Clara Inés Lavado Campos Alfredo Mar tín Palomo Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓ Sonia Alejo Sánchez Clara Inés Lavado Campos Silvia Marín García Type Publishing Ser vices, SL EDICIÓ EXECUTIVA Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta.
Índex Un i t a t Construeix el teu coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 1 Matrius 9 1. Matrius _ 10 2. Matriu transposada _ 13 3. Operacions amb matrius _ 14 4. Rang d’una matriu _ 18 5. Matriu inversa _ 20 6. Equacions matricials _ 22 • Calcular el producte de dues matrius • Calcular el rang d’una matriu mitjançant el mètode de Gauss • Calcular la matriu inversa amb el mètode de Gauss-Jordan • Resoldre equacions matricials dels tipus AX = B, XA = B i AX + B = C • Determinar matrius que compleixin una certa condició • Calcular les constants que fan que es compleixi una igualtat entre matrius 2 Determinants 35 1. Determinants _ 36 2. Propietats dels determinants _ 37 3. Menor complementari i adjunt _ 41 4. Desenvolupament d’un determinant pels seus adjunts _ 42 5. Càlcul del rang d’una matriu _ 44 6. Càlcul de la inversa d’una matriu _ 46 • Calcular el determinant d’una matriu utilitzant les seves propietats • Calcular un determinant fent zeros • Calcular el rang d’una matriu a partir dels seus menors • Calcular la inversa d’una matriu amb determinants • Resoldre equacions amb determinants • Reduir un determinant a un altre el valor del qual es coneix 3 Sistemes d’equacions 59 1. Sistemes d’equacions lineals _ 60 2. Expressió matricial d’un sistema d’equacions _ 62 3. Mètode de Gauss per resoldre sistemes _ 63 4. Teorema de Rouché-Frobenius _ 66 5. Regla de Cramer _ 68 6. Generalització de la regla de Cramer _ 70 7. Sistemes homogenis _ 71 8. Sistemes d’equacions amb paràmetres _ 72 • Resoldre un sistema mitjançant el mètode de Gauss • Discutir i resoldre un sistema amb un paràmetre utilitzant el mètode de Gauss • Discutir un sistema d’equacions lineals fent servir el teorema de Rouché-Frobenius • Resoldre un sistema d’equacions compatible determinat utilitzant la regla de Cramer • Resoldre un sistema d’equacions fent servir la regla de Cramer • Discutir i resoldre un sistema d’equacions homogeni 4 Vectors en l’espai 85 1. Vectors en l’espai _ 86 2. Combinació lineal de vectors _ 87 3. Coordenades d’un vector en l’espai _ 88 4. Operacions en coordenades _ 89 5. Aplicacions dels vectors _ 90 6. Producte escalar _ 92 7. Aplicacions del producte escalar _ 94 8. Producte vectorial _ 96 9. Aplicacions del producte vectorial _ 98 10. Producte mixt _ 100 11. Aplicacions del producte mixt _ 101 • Calcular vectors linealment independents amb matrius • Comprovar si tres punts estan alineats • Calcular els vectors perpendiculars a un altre vector • Calcular una base de vectors ortogonals • Calcular l’àrea d’un triangle • Calcular el volum d’un paral·lelepípede i d’un tetràedre • Calcular el volum d’un tetràedre • Fer operacions amb vectors utilitzant les coordenades • Trobar les coordenades de l’origen o l’extrem d’un vector que compleix determinades condicions 5 Rectes i plans en l’espai 119 1. Equacions de la recta en l’espai _ 120 2. Equacions del pla en l’espai _ 122 3. Punts alineats i coplanaris _ 123 4. Vector perpendicular a un pla _ 124 5. Posicions relatives de recta i pla _ 126 6. Posicions relatives de dos plans _ 127 7. Posicions relatives de tres plans _ 128 8. Posicions relatives de dues rectes _ 127 9. Perpendicularitat entre recta i pla _ 127 10. Feixos de plans _ 127 • Trobar l’equació de la recta que passa per dos punts • Trobar l’equació de la recta que passa per tres punts • Comprovar si diversos punts estan alineats o son coplanaris • Trobar el vector director d’una recta donada per dos plans • Determinar la posició relativa d’un pla i una recta • Determinar la posició relativa de dos plans • Determinar la posició relativa de tres plans en l’espai • Trobar la posició de dues rectes pels seus vectors directors • Trobar la posició de dues rectes mitjançant les seves equacions implícites • Calcular una recta perpendicular a un pla 6 Angles i distàncies 137 1. Angles en l’espai _ 138 2. Projeccions ortogonals _ 140 3. Punts simètrics _ 142 4. Distàncies a punts i a plans _ 144 5. Distàncies d’un punt a una recta _ 146 6. Distàncies entre rectes _ 147 7. Llocs geomètrics. L’esfera _ 149 • Calcular l’angle entre dues rectes, entre una recta i un pla i entre dos plans • Calcular la projecció ortogonal d’un punt sobre una recta o un pla i d’una recta sobre un pla • Calcular el simètric d’un punt respecte d’un altre punt, respecte d’una recta i respecte d’un pla • Calcular la distància d’un punt a un pla • Calcular la distància entre dos plans • Calcular la distància entre una recta i un pla • Calcular la distància d’un punt a una recta • Calcular la distància entre dues rectes que es creuen 7 Límits i continuïtat 161 1. Límit d’una funció en l’infinit _ 162 2. Operacions amb límits _ 164 3. Càlcul de límits _ 166 4. Resolució d’algunes indeterminacions _ 168 5. Límit d’una funció en un punt _ 171 6. Continuïtat d’una funció _ 174 7. Teorema de Bolzano _ 176 8. Teorema de Weierstrass _ 177 • Resoldre límits que presenten indeterminacions del tipus 3 3 , 3 3 - i 13. • Resoldre límits d’una funció en un punt que presenten una indeterminació del tipus 0 0 . • Determinar si una funció és contínua en un punt • Estudiar la continuïtat d’una funció definida a trossos • Aplicar el teorema de Bolzano a una funció • Aplicar el teorema dels valors intermedis a una funció • Determinar el límit d’una operació entre valors diferents d’una funció 2
Cap a la univers i tat Matemàt iques en el món real Si tuac ió d ’aprenentatge • Calcular la potència d’una matriu • Comprovar propietats d’algunes matrius • Resoldre problemes utilitzant matrius • Determinar elements perquè una matriu sigui ortogonal • Calcular el rang d’una matriu que depèn d’un paràmetre • Calcular la inversa d’una matriu que depèn d’un paràmetre • Resoldre un sistema d’equacions matricials M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Apps • Videojocs • Criptografia • Logística • Economia Calcular una ruta òptima entre dos llocs diferents • Calcular un determinant segons el rang d’una matriu • Estudiar el rang d’una matriu quadrada i no quadrada que depèn d’un paràmetre utilitzant determinants • Comprovar si una matriu que depèn d’un paràmetre té inversa • Resoldre una equació matricial del tipus AX = C • Resoldre una equació matricial del tipus AX + B = C • Resoldre una equació matricial en la qual s’ha de treure factor comú M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Astronomia • Mercat • Criptografia • Videojocs • Mecànica quàntica Mesurar superfícies irregulars • Discutir un sistema d’equacions amb paràmetres utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius • Resoldre un sistema d’equacions amb paràmetres fent servir la regla de Cramer • Resoldre equacions matricials del tipus AX = XA i del tipus AX = B • Resoldre problemes mitjançant un sistema d’equacions lineals • Estudiar un sistema i resoldre’l utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius • Discutir un sistema que depèn d’un paràmetre amb dues equacions i dues incògnites, amb tres equacions i tres incògnites, amb més equacions que incògnites i amb tres equacions i tres incògnites M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Economia • Models econòmics • Sismografia Controlar el consum de dades • Determinar els vèrtex d’un paral·lelogram • Trobar les coordenades d’un vector respecte d’una base • Calcular un paràmetre perquè tres vectors siguin linealment independents • Determinar el mòdul d’un vector utilitzant la definició del producte escalar • Calcular el valor d’un paràmetre perquè dos vectors siguin perpendiculars • Determinar vectors perpendiculars a uns altres dos que compleixen determinades condicions • Determinar un vèrtex d’un triangle • Determinar vectors sabent condicions sobre el seu producte vectorial • Calcular el producte mixt aplicant les propietats M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Geolocalització • Impressió 3D • Electromagnetisme Explicar fenòmens naturals • Calcular un pla perpendicular a una recta • Comprovar que un punt pertany a una recta segons un paràmetre • Calcular l’equació d’una recta que passa per un punt i és paral·lela a una altra recta • Calcular l’equació d’un pla que conté una recta i un punt exterior • Calcular l’equació d’un pla que conté dues rectes secants o dues rectes paral·leles • Calcular l’equació d’un pla que passa per un punt i és paral·lel a un altre pla • Calcular l’equació d’un pla que conté una recta i que és perpendicular a un altre pla • Calcular l’equació de la recta perpendicular a dues rectes • Determinar les posicions relatives de dues rectes segons un paràmetre • Determinar les posicions relatives d’una recta i un pla segons un paràmetre M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Òptica • Zoologia • Química • Geologia Fer taules estables • Determinar un pla que forma un cert angle amb un altre pla • Calcular una recta perpendicular a una altra recta que passa per un cert punt • Calcular un pla paral·lel a una recta que passa per un cert punt • Calcular una recta simètrica respecte d’un pla • Calcular el simètric d’un punt respecte d’un pla quan depèn de paràmetres • Resoldre problemes de simetries • Calcular el pla de simetria de dos punts • Buscar punts que estan a una determinada distància • Determinar una recta que està a una certa distància d’una altra recta • Calcular punts d’una recta que equidisten d’uns altres dos punts M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Astronomia • Topografia • Aviació • Telecomunicacions • Geologia Saber quan es pot inclinar una moto • Calcular el paràmetre d’una funció si està en un límit amb indeterminació 3 3 • Calcular el paràmetre d’una funció quan apareix en un límit amb indeterminació del tipus 13 • Calcular el límit del quocient de dues funcions exponencials • Determinar si existeix o no el límit d’una funció en un punt • Resoldre una indeterminació quan apareix una expressió del tipus ( ) f x a ! • Calcular el paràmetre perquè existeixi el límit d’una funció en un punt • Calcular els paràmetres perquè una funció sigui contínua • Determinar si una equació té arrels reals • Determinar si dues corbes es tallen • Decidir si una funció pren un valor determinat M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Informàtica • Préstecs • Prevenció de la salut • Medicina Explicar com es recorren distàncies completes 3
Un i t a t Construeix el teu coneixement Sabers bàs i cs Procediments bàs i cs 8 Derivades 189 1. Definició de derivada _ 190 2. Interpretació geomètrica de la derivada _ 191 3. Derivades laterals _ 192 4. Derivabilitat i continuïtat _ 193 5. Funció derivada. Derivades successives _ 194 6. Operacions amb derivades _ 195 7. Derivada de les funcions elementals _ 196 8. Tècniques de derivació _ 198 • Calcular la derivada de funcions compostes aplicant la regla de la cadena successivament • Calcular la derivada de funcions del tipus h(x) = f(x)g(x) • Calcular la derivada d’una funció implícita en un punt • Determinar l’equació de la recta tangent a una funció en un punt • Determinar el paràmetre d’una funció quan no coneixem la seva recta tangent 9 Aplicacions de la derivada 211 1. Creixement i decreixement _ 212 2. Màxims i mínims relatius _ 213 3. Concavitat i convexitat _ 215 4. Punts d’inflexió _ 216 5. Optimització de funcions _ 218 6. Teorema de Rolle _ 220 7. Teorema del valor mitjà _ 221 8. Teorema del valor mitjà generalitzat _ 222 9. Regla de L’Hôpital _ 223 • Determinar el creixement i el decreixement d’una funció • Trobar els màxims i els mínims d’una funció mitjançant la derivada primera i la derivada segona • Determinar la concavitat i la convexitat d’una funció • Trobar els punts d’inflexió d’una funció • Resoldre un problema d’optimització • Resoldre un problema d’optimització aïllant una variable • Aplicar el teorema de Rolle, el del valor mitjà i el del valor mitjà generalitzat 10 Representació de funcions 237 1. Domini i recorregut _ 238 2. Punts de tall i signe d’una funció _ 239 3. Simetries i periodicitat _ 240 4. Rames infinites. Asímptotes _ 241 5. Monotonia d’una funció _ 245 6. Curvatura d’una funció _ 246 7. Funcions polinòmiques _ 247 8. Funcions racionals _ 248 9. Funcions amb radicals _ 249 10. Funcions exponencials _ 250 11. Funcions logarítmiques _ 251 12. Funcions definides a trossos _ 252 • Trobar el domini d’una funció • Calcular els punts de tall amb els eixos • Trobar el signe d’una funció • Determinar si una funció és simètrica • Calcular les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües d’una funció • Estudiar les branques infinites d’una funció • Estudiar el creixement i el decreixement d’una funció • Estudiar la curvatura d’una funció • Representar una funció polinòmica • Representar una funció racional • Representar una funció amb radicals 11 Integrals indefinides 265 1. Funció primitiva d’una funció _ 266 2. Integral d’una funció _ 267 3. Integrals de funcions elementals _ 268 4. Integració per parts _ 274 5. Integrals de funcions racionals _ 275 6. Integració per canvi de variable _ 280 • Resoldre una integral en la qual falta un factor numèric • Resoldre una integral del tipus ( ) ( ) f x f x n l y • Resoldre una integral per parts • Resoldre una integral racional en què el denominador només té arrels reals simples, només té una arrel real múltiple o té arrels simples i múltiples • Resoldre una integral racional en què el denominador té arrels no reals • Resoldre una integral racional en què el grau del numerador és més gran o igual que el grau del denominador • Resoldre una integral mitjançant un canvi de variable 12 Integrals definides 293 1. Àrea sota una corba _ 294 2. Integral definida _ 296 3. Teorema del valor mitjà per a la integral _ 298 4. Teorema fonamental del càlcul integral _ 299 5. Regla de Barrow _ 300 6. Àrea tancada per una corba _ 302 7. Àrea compresa entre dues corbes _ 304 • Calcular una integral definida aplicant la regla de Barrow • Calcular l’àrea entre la gràfica d’una funció i l’eix X • Calcular l’àrea compresa entre dues corbes • Calcular una integral definida d’una funció amb valor absolut • Resoldre una integral definida d’una funció racional • Resoldre una integral definida per parts 13 Probabilitat 317 1. Experiments aleatoris _ 318 2. Successos. Operacions amb successos _ 320 3. Freqüència i probabilitat _ 322 4. Propietats de la probabilitat _ 323 5. Regla de Laplace _ 324 6. Probabilitat condicionada _ 325 7. Taules de contingència _ 326 8. Dependència i independència de successos _ 327 9. Teorema de la probabilitat total _ 328 10. Teorema de Bayes _ 329 • Determinar l’espai mostral amb un diagrama d’arbre • Calcular probabilitats utilitzant la regla de Laplace • Elaborar una taula de contingència i utilitzar-la per calcular probabilitats • Calcular el nombre de possibilitats utilitzant mètodes de comptatge • Calcular el nombre total de successos si el nombre de successos elementals és finit • Trobar l’espai mostral d’un experiment amb una taula de doble entrada 14 Distribucions binomial i normal 341 1. Variables aleatòries _ 342 2. Distribucions discretes _ 344 3. Distribució binomial _ 345 4. Distribucions contínues _ 348 5. Distribució normal _ 349 6. Aproximació de la binomial _ 351 • Construir una variable aleatòria a partir d’un experiment • Calcular la funció de probabilitat i la funció de distribució d’una variable aleatòria discreta • Determinar si una variable aleatòria segueix una distribució binomial i trobar la seva funció de probabilitat • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial • Calcular probabilitats en variables aleatòries que segueixen una distribució binomial mitjançant taules • Calcular la funció de distribució d’una variable aleatòria contínua a partir de la funció de densitat Índex 4
Cap a la univers i tat Matemàt iques en el món real Si tuac ió d ’aprenentatge • Determinar els paràmetres d’una funció si en coneixem l’equació de la recta tangent • Estudiar la derivabilitat i la continuïtat d’una funció • Estudiar la derivabilitat i la continuïtat d’una funció a partir dels seus paràmetres • Aplicar la regla de la cadena • Determinar la derivada d’una funció que depèn d’una altra funció desconeguda • Calcular derivades mitjançant derivació logarítmica • Resoldre problemes utilitzant la derivada de funcions implícites i les propietats geomètriques que poden complir M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Medi ambient • Química • Biologia • Economia • Sociologia • Física Explicar canvis de temperatura en qualsevol objecte • Aplicar la regla de L’Hôpital en el càlcul de límits • Resoldre indeterminacions dels tipus 13, 0 3 i 00 • Determinar una funció si en coneixem els extrems relatius i un punt pel qual passa • Obtenir el valor d’un paràmetre perquè una funció sempre sigui còncava • Representar la funció derivada d’una funció a partir de la seva gràfica • Resoldre un problema d’optimització • Aplicar el teorema de Rolle a una funció definida a trossos • Determinar els paràmetres d’una funció per poder aplicar el teorema del valor mitjà • Determinar un paràmetre per obtenir un valor donat com a resultat d’un límit M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Economia • Recursos Humans • Biologia • Física • Empresa • Disseny Fabricar la llauna de refrescos més barata • Representar una funció exponencial • Representar una funció logarítmica • Representar una funció definida a trossos • Calcular el domini d’una funció composta • Estudiar la simetria d’una funció composta • Calcular paràmetres desconeguts a partir de les seves asímptotes • Estudiar la monotonia i la curvatura d’una funció a partir de la gràfica de la seva derivada • Representar la gràfica d’una funció que compleixi determinades condicions • Representar gràficament una funció trobant prèviament el valor dels seus paràmetres • Representar la gràfica de funcions amb un factor exponencial o logarítmic • Representar una funció simètrica • Representar la gràfica d’una funció en la qual apareix un factor amb un valor absolut M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Medicina • Biologia • Física • Economia Ampliar fotografies • Calcular una funció de la qual se'n coneix la derivada i un punt pel qual passa • Calcular una primitiva que compleix una condició • Resoldre les integrals del tipus ( ) ( ) x a g x g 2 2 - l y i del tipus a x 2 2 - y • Resoldre per parts una integral del tipus e sen x ax y , e cos x ax y o ( ) e P x ax b $ + y , en què P(x) és un polinomi de grau 1 • Resoldre per parts una integral del tipus ( ) e P x ax b $ + y , en què P(x) és un polinomi • Resoldre una integral utilitzant un canvi de variable per transformar-la en polinòmica • Resoldre una integral utilitzant un canvi de variable per transformar-la en racional M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Electricitat • Física • Canvi climàtic • Natura Calcular beneficis màxims en casos en què el preu varia • Resoldre una integral definida utilitzant un canvi de variable • Calcular l’àrea limitada per una funció definida a trossos • Calcular l’àrea sota una corba quan un límit d’integració és infinit • Calcular l’àrea tancada sota una corba quan no es dona un interval d’integració • Determinar l’àrea d’una figura delimitada per una corba • Calcular l’àrea tancada sota una corba expressada amb valor absolut i una recta M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Física • Biologia • Història • Empresa • Bioquímica Calcular la nostra despesa cardíaca • Calcular probabilitats experimentalment • Calcular probabilitats utilitzant les seves propietats • Resoldre problemes de probabilitat amb successos compostos • Calcular la probabilitat de la intersecció de successos utilitzant un diagrama d’arbre • Utilitzar la regla del producte en experiments amb reemplaçament • Calcular probabilitats fent servir el teorema de la probabilitat total • Calcular probabilitats fent servir el teorema de Bayes M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Supermercats • Medicina • Sinistralitat • Infeccions • Idiomes Prendre decisions amb la màxima seguretat possible d’encertar • Calcular probabilitats mitjançant taules en una distribució normal • Calcular probabilitats en una variable aleatòria binomial aproximant-la a una normal • Calcular els paràmetres d’una variable aleatòria que segueix una distribució binomial • Determinar la funció de densitat i de distribució d’una variable aleatòria contínua • Calcular probabilitats amb la distribució normal Z / N(0, 1) • Calcular un punt, coneixent-ne la probabilitat • Tipificar una variable aleatòria • Calcular un dels paràmetres, coneixent-ne l’altre i una probabilitat • Calcular la mitjana i la desviació típica, coneixent-ne dues probabilitats M AT E M ÀT I Q U E S I . . . • Radiació • Educació • Inundacions • Medi ambient • Genètica Estudiar qualitats de poblacions molt grans 5
Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la teva vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per fer-ho, hem pensat en: Itinerari didàctic Matrius 1 M A T E M À T I Q U E S E N E L M Ó N R E A L Funcionament del GPS Els vehicles moderns venen equipats amb tot tipus d’extres que ser veixen per augmentar la seguretat a l’ hora de conduir com, per exemple, els sistemes antiderrapatge, els sensors que mesuren la pressió dels pneumàtics, els assistents de frenada , les ajudes de visió nocturna… Els fabricants s’ han bolcat també en el confort i la facilitat de conducció: assistents d’aparcament amb càmeres incorporades, sensors de llum i de pluja que automatitzen l’encesa dels llums i la posada en marxa dels eixugaparabrises. També és habitual que incloguin un navegador GPS. Aquest accessori es va començar a utilitzar a les f lotes de camions perquè s’optimitzés el temps en les entregues de mercaderies i no hi hagués cap confusió per arribar a la destinació. A més, també informava del tipus i l’estat de la via i del trànsit a la carretera . En principi , el navegador era un article de luxe, però ara , hi ha nombroses aplicacions que es poden descarregar al mòbil i utilitzen GPS. Per això, el navegador s’ ha convertit en un accessori molt quotidià , que ens informa tant del lloc on ens trobem com de la ruta més curta , més ràpida o més ecològica que podem agafar per anar d’un lloc a un altre. Sembla fàcil i ràpid , però… Com tria un navegador GPS les rutes apropiades? Quan s’introdueix una adreça o una destinació al GPS, el dispositiu fa servir una base de dades de mapes per identificar les carreteres i els carrers disponibles de la zona. Segons aquestes dades, el GPS utilitza un algoritme per calcular la ruta més adequada entre el punt de partida i el d’arribada, tenint en compte la distància i la durada del viatge. 9 1. El determinant d’una matriu coincideix amb el de la seva transposada . ;A; = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - Si calculem el determinant de la transposada : A a a a a a a a a a t 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23 ; ; + + - - - - = Per aquesta raó, com que les f i les d’una matriu són les columnes de la seva transposada , qualsevol propietat dels determinants relacionada amb les files d’una matriu serà vàlida si , en lloc de files, es consideren columnes. 2. Si en una matriu quadrada intercanviem dues files (o dues columnes), el determinant canvia de signe. A a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - Si intercanviem dues files: B a a a a a a a a a 31 21 11 32 22 12 33 23 13 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 31 22 13 32 23 11 33 21 12 33 22 11 32 21 13 31 23 12 ; ; + + - - - - = - 3. Si en una matriu quadrada multipliquem pel mateix nombre tots els elements d’una mateixa fila (o columna), el determinant queda multiplicat per aquest nombre. ? ? ? ? k a a a k a a a k a a a k a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = En efecte, si tots els elements d’una fila (o columna) es multipliquen per una constant k, com que en cada sumand del determinant un dels factors pertany a aquesta fila (o columna), k apareix com a factor en tots ells i , per tant, es pot treure factor comú . ka a a ka a a ka a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = ? ka a a ka a a ka a a ka a a ka a a ka a a k a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 21 31 12 22 32 13 23 33 + + - - - - = 2 2. Propietats dels determinants 3 Troba el determinant de la matriu transposada d’aquestes matrius: a) A 2 1 4 5 = - - d n b) A 1 2 2 0 2 1 3 4 0 = - - - f p 4 Considera la matriu A a c b d =d n, tal que el determinant de A és -1. Calcula: a) c a d b b) a b c d c) c d b a A C T I V I T A T S E X E M P L E S 1. Calcula el valor del determinant de la matriu A 2 4 3 5 =d n. ? ? A 2 4 5 3 2 3 4 5 6 20 14 ; ;= = - = - = - 2. Troba aquest determinant aplicant la regla de Sarrus. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 2 1 3 0 3 4 1 2 4 2 3 4 0 2 3 1 1 4 1 3 3 0 1 4 2 2 4 24 0 4 9 0 16 3 ; ;= - - - - = - + - - + - - - - - - - - - = = - + - + - + = - 1. Determinants 1 Calcula el valor dels determinants d’aquestes matrius. a) A 2 7 1 12 = - d n b) B 3 1 2 2 5 3 2 0 2 = - - f p 2 Calcula m perquè aquests determinants valguin zero. a) m 2 1 8 2 - - b) m m 3 1 1 0 1 2 2 - - A C T I V I T A T S S ’ E S C R I U A I X Í A = a a a a a a a a a n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 g g g g g g g f p A a a a a a a a a a n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 g g g g g g g ; ;= N O T E N ’ O B L I D I S Si una matriu no és quadrada, no té determinant. F I X A - T ’ H I Si en una matriu quadrada intercanviem tres files, el determinant no varia. a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 21 11 31 22 12 32 23 13 33 21 31 11 22 32 12 23 33 13 = = - = = - - > H Donada una matriu quadrada , A, d’ordre n, el determinant de A, ;A;, és un nombre que s’obté en sumar tots els productes possibles de n elements, un de cada fila i un de cada columna , la meitat amb el seu signe i l’altra meitat, amb signe contrari . ;A; = a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n nn 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 1 2 3 g g g g g g g g g Per aprendre a calcular determinants és aconsellable començar pels més senzills, que són els determinants de les matrius quadrades d’ordre 2 i les matrius quadrades d’ordre 3. 1.1. Determinants d’ordre 2 i 3 Donada una matriu quadrada d’ordre 2, A a a a a 11 21 12 22 =c m , el determinant és el nombre que resulta en fer l’operació: ;A; = a a a a a a a a 11 21 12 22 11 22 12 21 = - Donada una matriu quadrada d’ordre 3, A a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 =f p , el determinant és el nombre que resulta en fer l’operació: ;A; = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - N O T E N ’ O B L I D I S Per recordar amb més facilitat el càlcul d’un determinant d’ordre 3, se sol utilitzar la regla de Sarrus. Sumands amb signe + Sumands amb signe - Si es multiplica una matriu quadrada, A, d’ordre n, per un nombre k, per quin nombre queda multiplicat el seu determinant? P E N S A 37 36 a 3 ;= S S ? 2 n1 a D D 2 a c t i v i tat s r e s o lt e s Càlcul del rang mitjançant determinants Estudia el rang de la matriu: ( ) A m m m m m m m m 1 1 1 1 1 = - - - f p segons els valors del paràmetre m. primer. Es calcula el determinant de la matriu A. ? ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 - - - = - - - = F3 = F3 - F2 F = ? ( ) m m m m m 1 1 0 1 1 1 1 1 - - - = ? ( ) m m m m 1 1 1 1 2 = - - = - - segon. S’iguala a zero el resultat i es resol l’equació. ( ) m m m m 2 0 0 2 - - = = = "( tercer. S’estudia el rang per a valors diferents dels valors trobats en el pas anterior. Si m ! 0 i m ≠ 2 " ;A; ! 0 " Rang (A) = 3 quart. S’estudia el rang per als valors trobats en el pas 2. Si m = 0 i m = 2 " ;A; = 0 " Rang (A) < 3 Si m = 0: A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ! = - - - = - " " f p " Rang (A) = 2 Si m = 2: A 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 1 2 1 ! = = - " " f p " Rang (A) = 2 Si m = 0 o m = -2 " Rang (A) = 2 PRACTICA 28. Calcula el rang d’aquesta matriu segons el paràmetre m. A m m m m m 1 1 0 0 1 4 2 = + + - f p Estudiar el rang d’una matriu quadrada que depèn d’un paràmetre fent servir determinants Determinants de qualsevol ordre Troba el determinant de la matriu següent. A 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 n g g g g g g g g g = - - - - - - f p Aplica el resultat obtingut i digues quant valen els determinants de A4 i A5. primer. Es calcula el determinant fent una matriu triangular. A 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 n g g g g g g g g g g g g g g g g g g ; ;= - - - - - - = F2 = F2 + F1 F3 = F3 + F1 … Fn = Fn + F1 F segon. Es calcula el determinant de la matriu triangular que coincideix amb el producte dels elements de la seva diagonal. ? ? ? ? 1 0 0 0 1 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 1 3 3 3 3n 1 g g g g g g g g g f = = - tercer. Es comprova la validesa de la fórmula. n A 2 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 ; ; = = - = + = = - " n A 3 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 1 2 2 1 9 3 3 3 1 ; ; = = - - - = - + + + + = = = - " La fórmula és vàlida. quart. S’aplica la fórmula per calcular els determinants demanats. A 3 3 27 4 4 1 3 ; ;= = = - A 3 3 81 5 5 1 4 ; ;= = = - PRACTICA 27. Calcula el determinant de An, i troba ;A 6;. A 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 n g g g g g g g g g g g = - - - - - - - - - - - f p Calcular un determinant segons el rang d’una matriu Determinants Propietats dels determinants Resol l’equació cos cos sin sin x x x 0 0 0 0 1 3 0 2 1 3 3 3 a a a a - + - = , amb a ! R. primer. Es calculen els determinants que apareixen en l’equació. ? ? ? ( ) cos cos cos cos si n si n x x sin si n 0 0 0 0 a a a a a a a a - = + x x x x x x x 1 3 0 2 1 3 3 6 6 3 2 - = - - + = segon. Es resol l’equació i es comprova la solució. cos cos si n si n x x x 0 0 0 0 1 3 0 2 1 3 3 3 a a a a - + - = " ? ( ) cos sin x x 2 3 2 2 a a + + = 1 > " x + 2 x = 3 " 3x = 3 " x = 1 cos cos sin sin 0 0 0 0 1 1 1 3 0 2 1 1 3 3 a a a a - + - = cos sin 6 1 6 3 1 6 1 6 3 3 2 2 a a + + - - + = + - - + = PRACTICA 25. Resol aquestes equacions amb determinants. a) x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 + + + = b) x x 2 1 0 1 0 1 1 0 - - - = c) x x x x 1 2 1 0 0 1 1 1 0 2 2 2 0 1 2 1 - + - = - Troba el valor del determinant a d b e c f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 - - - sabent que a b e c f d 1 1 1 2 = . primer. S’apliquen les propietats dels determinants per simplificar el determinant que s’ha de calcular. S’extreu del determinant el factor 6 de la primera fila i el factor 4 1 de la tercera. ? ? a d b e c f a d b e c f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 4 1 1 2 1 2 1 2 - - - = - - - Es descompon el determinant en una suma de dos fent servir els dos sumands de la segona fila. ? ? a d b e c f a d b e c f d e f 4 6 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 - - - = + - - - f p segon. Se substitueix el determinant el valor del qual es coneix, i es calcula la resta. d e f 1 2 1 2 1 2 0 - - - = , perquè les dues primeres files són proporcionals. ? ?( ) a d b e c f a d b e c f d e f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 2 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 0 3 - - - = + - - - = + = f p PRACTICA 26. Sabent que a b b e c f 1 1 1 2 = , calcula el valor del determinant a d d b e e c f f 3 1 2 3 1 2 3 1 2 + + + . Resoldre equacions amb determinants Reduir un determinant a un altre determinant el valor del qual es coneix 49 48 m 1 1 S S 2 x 6 S d e 4 E EL PUNT DE PARTIDA: MATEMÀTIQUES EN EL MÓN REAL 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Introdueix un aspecte de la vida real en el qual s’utilitzen els continguts que s’estudiaran en la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL utilitzant GeoGebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit resolent les ACTIVITATS. Ajuda’t amb el raonament i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d ’aquests sabers. Consolida els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per desenvolupar les destreses bàsiques que necessites aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
1 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Si entre dos punts del mapa, la carretera que els uneix no és recta, sinó que té 4 revolts pronunciats, quantes arestes són necessàries per assenyalar-les al graf? I N T E R P R E TA 2 Classifica les matrius que apareixen al text, segons la forma i la posició dels seus elements. R E F L E X I O N A 3 Diem que un camí és simple quan no passa dues vegades pel mateix vèrtex. Si considerem un graf amb 5 vèrtexs, quin és el nombre màxim d’arestes que té un camí simple? A P L I C A 4 Donades les matrius següents, dibuixa un graf que les tingui com a matrius d’adjacència. a) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 f p b) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 f p 5 Considera el graf següent i calcula el nombre de camins la longitud dels quals sigui de tres arestes que hi ha entre el vèrtex 2 i el vèrtex 4. 1 2 3 4 Quan programem un GPS perquè ens indiqui una ruta en un mapa amb diferents punts de destinació i el s possibles camins per arribar -hi , el navegador ho interpreta amb un graf en què el s vèrtexs representen el s l locs i les arestes, el s camins que el s uneixen . A qu e st a s i tu a c i ó e s p o t d e s c r i u re amb u n a ma t r i u d’adjacència d’ordre n, en què n és el nombre de vèr - t e x s q u e t é e l g ra f i c a d a e l e m e n t ai j é s e l n omb re d’arestes que van des del vèrtex i al vèrtex j. La matriu d’adjacència corresponent al graf del mapa seria : M 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 =f p L’element aij de la matriu elevada al quadrat expressa el nombre de camins de 2 are st e s qu e exi st ei xen entre el vèrtex i i el vèrtex j. M 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 = = f f f p p p Pe r e xemp l e , h i h a un c amí d e du e s a re st e s d e s d e l vèr t ex a al vèr t ex d i tres camins de dues arest es des del vèr t ex b al vèr t ex b. M 3 expre ssar i a el s camins d e tre s are st e s , M 4 el s d e 4 arestes, i així successivament. D’ aqu e st a man era , e l nav egador cal cul a to t s e l s camins possibl es i , sumant l es longitud s de l es arest es, obté el camí més curt. De la mateixa manera , determina el camí més ràpid sumant els temps de cada aresta . M AT E M ÀT I Q U E S E N E L M Ó N R E A L 238776_02_p62_para_que_sir ven? b c d a Calcular una ruta òptima entre dos llocs diferents 34 81 I N V E N TA . Considera la matriu següent. A 1 3 0 2 2 1 = - f p a) Afegeix una columna de manera que el rang de A sigui 3. Comprova-ho. b) Afegeix una columna de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. c) Afegeix dues columnes de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. 82 Comprova que la matriu té rang 3. A 4 3 1 2 1 2 1 2 3 0 8 9 = - - - - - f p Determina una combinació lineal entre les columnes de la matriu A. 83 Estudia el rang de les matrius segons els valors dels paràmetres. a) a a 1 2 1 1 1 2 2 1 2 3 - - - - f p b) b b b 1 1 1 1 0 0 2 0 2 0 + f p 84 Si el rang de a d b e c f d n és 2, quin serà el rang de la matriu a d a a d b e b b e c f c c f 2 2 2 - - - - - - f p? 85 Troba els valors de m i n que compleixin: A m m m m n 0 0 4 2 =f p B m m m m n n 0 0 4 2 2 4 =f p a) Rang (A) = 2 i Rang (B) = 3 b) Rang (A) = Rang (B) = 2 c) Rang (A) = Rang (B) = 3 86 Sabem que la matriu A a c b d =d n té rang 1 i la matriu B p r q s =c m té rang 2. Determina raonadament el rang de les matrius següents. a) p r q s a c b d X 0 0 0 0 0 0 0 0 =f p b) a c p r b d q s Y 0 0 0 0 0 0 0 0 =f p 87 Determina els valors de a per als quals el rang de la següent matriu és 1. a a 1 1 2 - + d n 88 La matriu A 2 3 2 1 =d n té rang 2 i la matriu identitat I 1 0 0 1 =d n també té rang 2. Determina per a quins valors de t la matriu A + t ? I té rang 1. 89 Determina els valors de a per als quals el rang de la matriu següent és 2. a a a a a a 1 1 1 2 2 3 f p 90 Demostra que aquesta matriu té rang 2 per a qualsevol valor del paràmetre a. a a a a a 1 1 1 2 1 3 1 2 + - + f p 91 Calcula el rang de cada matriu segons cadascun dels seus paràmetres. a) a 1 3 5 2 2 6 4 2 - - - f p b) b 1 3 1 4 3 2 0 1 1 3 1 - - - f p b) a a a 1 2 1 0 1 0 f p d) b b b b 1 2 1 1 1 1 1 2 1 + + + - - f p 92 I N V E S T I G A . Decideix si les afirmacions següents són certes o falses. a) Rang (A) ? Rang (B) = Rang (AB). b) Si ;A; ? ;B; = 1, aleshores B = A-1. c) Si B = A-1, aleshores ;A; ? ;B; = 1. 93 Determina el rang de la matriu segons el paràmetre m. m m m m m m m m m 2 1 1 1 1 1 2 1 7 3 4 - + + - - + + f p 94 Determina el rang de la matriu segons el paràmetre a. a a a 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 + + + f p 3. Determina les condicions perquè una matriu tingui inversa i la calcula 95 Relaciona cada matriu amb la seva inversa. a) 1 0 1 2 d n b) 1 2 3 4 d n c) 0 1 1 2 d n i) 2 1 1 0 - - - d n ii) ? 2 1 0 2 1 1 - d n iii) 2 1 2 4 2 3 - - - d n A C T I V I T A T S F L A I X 96 Troba la matriu inversa d’aquestes matrius. a) A 3 5 2 4 =d n c) C 7 1 6 2 = - d n b) B 1 1 3 0 1 2 2 1 1 = - - f p d) D 2 0 3 1 1 5 1 3 4 = - - - f p a c t i v i tat s f i n a l s 2 69 Sabent que a + b + c = -3, resol l’equació: x a a a b x b b c c x c 0 + + + = 70 I N V E S T I G A . Converteix aquest determinant en el d'una matriu triangular, i demostra la igualtat. ( ) a b a a b a a b b a b a b 2 3 3 + + = - Determinants de qualsevol ordre 71 I N V E N TA . Escriu aquestes matrius. a) Una matriu d’ordre 2 × 2 el determinant de la qual sigui 2. b) Una matriu d’ordre 3 × 3 el determinant de la qual sigui 3. c) Una matriu d’ordre n × n el determinant de la qual sigui n. 72 Troba el valor dels determinants següents, tot desenvolupant per la fila o columna que més t’interessi. a) 3 1 2 1 3 5 4 2 1 0 0 1 4 6 2 2 - - - - - - - b) 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 0 1 4 5 4 4 - - - 73 Troba el valor del determinant de B segons el paràmetre a. a a a a B 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 = - - - - f p 74 I N V E S T I G A . Comprova, fent servir les propietats dels determinants, que aquest determinant, anomenat Vandermonde, verifica: ( ) ( ) ( ) B a a b b c c b a c a c b 1 1 1 2 2 2 ; ;= = - - - Busca una fórmula per obtenir els determinants de Vandermonde i calcula. A a a a a b b b b c c c c d d d d e e e e 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 ; ;= 75 Determina les solucions d’aquesta equació. x x x x x x 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 0 + + + = 76 R E P T E . Calcula el determinant següent. (log 50) 1 log 5 (log 5) 1 log 50 1 log 500 (log 500) 2 2 2 I N T E R N E T 77 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A S T R O N O M I A . Els planetes, en la seva trajectòria al voltant del Sol, segueixen òrbites el·líptiques, i la seva equació general és ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0. Per determinar la trajectòria d’un planeta, només cal conèixer la seva posició en cinc moments determinats i resoldre un determinant d’ordre 6. Coneixem la posició d’un planeta en cinc moments: P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5). La trajectòria del planeta es pot calcular amb aquest determinant: x x x x x x xy x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x y y y y y y 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 = 0 Quina seria l’equació de la trajectòria si passa pels punts (-2, 1), (1, 2), (5, 1), (6, -1) i (4, -2)? 2. Determina el rang d’una matriu 78 Troba el rang d’aquestes matrius. a) 1 0 1 1 d n c) 1 2 1 2 1 2 - - d n e) 1 0 3 0 2 1 d n b) 1 0 2 0 1 0 f p d) 1 0 1 0 0 0 1 0 1 f p f ) 1 0 0 1 2 0 1 1 3 f p A C T I V I T A T S F L A I X 79 Estudia el rang d’aquestes matrius. a) 2 4 1 2 3 0 - - d n c) 1 2 3 4 8 1 0 3 2 - - - f p b) 6 8 12 9 12 18 - - - f p d) 2 2 2 6 3 24 1 0 3 3 5 19 - f p 80 I N V E N TA . Considera la matriu A 3 4 5 1 1 2 = - - d n. a) Afegeix una fila de manera que el rang de A sigui 3. Comprova-ho. b) Afegeix una fila de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. 55 54 d n D D 2 0 110 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . V I D E O J O C S . En un scape room hem de passar de la sala 1 a la sala 2. Per fer-ho, s’han de desactivar les alarmes que hi ha a la sala 1, amagades al darrere d’un mur mitjançant un làser. Les sales comparteixen un mirall comú, com mostra la figura. Des del punt P(-4, 2) desactivem l’alarma en P’(4, 2), i des del punt Q(-3, 3) desactivem l’alarma en Q’(3, 3). a) Calcula la matriu, A, que dona la reflexió, AP = P’, i comprova que el seu determinant és -1. b) Amb la matriu anterior, calcula on hem de posicionar-nos per desactivar l’alarma R’(1, 5). 111 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M E C À N I C A Q U À N T I C A . Per representar l’estat físic d’un sistema de partícules es fa servir la funció antisimètrica de Pauli. Per simplificar aquest càlcul, el 1931, el físic Johan C. Slater, va desenvolupar un mètode que utilitza un determinant. Per exemple, per a l’estat físic del liti, la configuració electrònica és 1s22s1 i els seus espins orbitals 1sa, 1sb, 2sa, 2sb, en què a i b representen els dos sentits de gir de l’electró. Com que el liti té 3 electrons, tindrem el determinant d’una matriu quadrada d’ordre 3, a les columnes hi ha els spin-orbitals i a les files, els electrons: ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s s s 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 a a a b b b a a a , en què 3! són les permutacions dels 3 electrons. a) Desenvolupa el determinant i escriu la funció antisimètrica de Pauli per al liti. b) La configuració electrònica de l’heli és 1s2. Escriu i desenvolupa el determinant d’ordre 2 que representa el seu estat físic. a c t i v i tat s f i n a l s 2 97 Demostra que si A és una matriu quadrada que compleix la igualtat A2 = I, en què I és la matriu identitat, aleshores és invertible i A-1 compleix també ( ) A I 1 2 = - . 98 INVESTIGA. Pren una matriu quadrada d’ordre 2 i calcula’n la matriu adjunta. Compara’n els determinants. Fes el mateix amb una matriu quadrada d’ordre 3. Estableix una hipòtesi general i intenta demostrar-la. 99 Per quin valor del paràmetre m és singular la matriu? Calcula’n la inversa per a m = 2. A m 2 1 2 1 0 1 1 1 = - - - f p 100 Donada la matriu A a b a b a b 4 = + + d n : a) Determina els valors dels paràmetres a i b per als quals la matriu A és invertible. b) Per a a = 3 i b = 1, troba la matriu A-1. 101 I N V E S T I G A . Sent A 1 1 2 2 5 5 3 3 4 = - - f p i B 2 1 2 11 4 12 12 17 2 = - - f p , troba dues matrius C i D tals que: C A = B DB = A Quina relació hi ha entre C i D? 102 Sigui la matriu següent: A m 1 5 4 2 2 3 1 1 = - - f p a) Determina els valors de m per als quals l’equació AX A A t - = té solució. b) Resol l’equació AX A A t - = per a m 0 = . 103 Considera la matriu següent. A m m 3 1 0 1 0 1 1 0 2 = - - - f p a) Determina els valors per als quals la matriu A és invertible. b) Per a m 1 = , determina el determinant de la matriu ? A 6 1 -. c) Per a m 1 = , troba una matriu X que verifiqui l’equació ? X A B = , en què B = (3 0 3). 104 I N V E S T I G A . Diagonalitzar una matriu, A, consisteix a obtenir una descomposició de la forma PDP-1 = A, en què D és una matriu diagonal. Considera la matriu A 1 1 0 2 =d n. a) Calcula m1 i m2 tals que det(A - m I ) = 0, amb m1 < m2. b) Troba la inversa de P 1 1 0 1 =d n. c) Comprova que A 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 m m - = d e d n o n . d) Determina, a partir de l’expressió anterior, A10. I N T E R N E T 105 Considerem aquestes matrius. A m 1 1 1 0 1 0 0 1 =f p B 0 1 0 1 0 0 1 0 0 =f p C 1 0 1 0 1 0 0 0 1 =f p a) Per a quins valors de m té solució l’equació matricial ? A X B C 2 3 + = ? b) Resol l’equació matricial donada per a m 1 = . 106 Sabent que la matriu A x 1 0 1 0 1 0 1 0 = - - f p no és invertible, determina’n la potència enèsima, és a dir, An. 107 Donada la matriu A t t t t t t 1 2 3 4 3 4 6 4 = - - - - f p : a) Demostra que únicament hi ha dos valors de t per als quals A no és invertible. b) Per a t 1 = , troba la potència enèsima de A. 4. Resol problemes de la vida real mitjançant determinants 108 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M E R C AT. El funcionament del mercat es basa en la relació entre l’oferta i la demanda. L’anàlisi de com afecta el canvi de preu d’un producte en la demanda de l’altre es pot fer analitzant la matriu D P D P A A B B e o , en què PA i PB són els preus dels productes i DA i DB les demandes. Si el determinant d’aquesta matriu és diferent de zero, el canvi de preu d’un producte afecta la demanda de l’altre. Si el determinant és zero, el canvi de preu no afecta la demanda de l’altre producte. Si la matriu de preu-demanda de dos productes és a 2 1 3 d n, per a quin valor de a el preu no afecta la demanda? 109 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C R I P T O G R A F I A . El xifratge de Hill fa servir matrius per codificar missatges. Cal que les matrius que s’utilitzen siguin regulars perquè siguin inversibles. Donada la matriu: a b 2 1 5 1 1 1 3 - - f p a) Calcula per a quins valors de a i b és una matriu de codificació? b) Troba algun valor per als paràmetres perquè el determinant sigui igual a 1. I N T E R N E T P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 112 Donada la matriu: , , , , , A 6 6 6 7 2 8 8 8 9 6 9 9 9 10 =f p a) Troba tots els menors de 2 × 2 que puguis formar amb la primera i segona files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. b) Calcula els menors 2 × 2 que puguis formar amb la primera i tercera files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. 113 En un club esportiu es poden veure aquests preus: Pàdel 1 h Pàdel 1 h 30 min Pàdel 2 h 2020 6 € 8 € 9 € 2021 6,60 € 8,80 € 9,90 € 2022 7,20 € 9,60 € 10 € a) Estudia si els preus van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2021. b) Analitza si van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2022. 114 Donades les matrius. A 1 1 2 1 0 1 1 2 3 =f p B 5 5 10 =f p a) Calcula el rang de A. b) Pots calcular A-1? 115 L’Aleix gasta 5 € en la compra d'una bossa de fruita seca, un pot d’olives i un suc de taronja. Després, compra una altra bossa de fruita seca i dos sucs de taronja per 5 €. Al dia següent torna al supermercat per comprar dues bosses de fruita seca, un altre pot d’olives i dos sucs de taronja i paga 10 €. Quant li ha costat cada article? 116 Resol l’equació AX = B per a aquestes matrius. A 1 0 10 1 1 20 1 4 50 = - f p B 100 0 1800 =f p 117 Al final del dia, un caixer automàtic conté 1800 € en bitllets de 10, 20 i 50 €. Si conté el quàdruple de bitllets de 20 que de 50 i en total hi ha 100 bitllets, quants bitllets hi ha de cada tipus? Q Q’ R’ P P’ X Y CAP A LA UNIVERSITAT 57 56 1 I I . I J . En un scape r o he de pa sar de la sala 1 a la sala 2. Per fer-ho, s’han de desactivar les alar es que hi ha a la sala 1, a agades al da rere d’un mur mitjançant un làser. Les sales co parteixen un mira l co ú, co mostra la figura. es del punt P(-4, 2) desactive l’alar a en P’(4, 2), i des del punt Q(-3, 3) desactive l’alar a en ’(3, 3). a) alcula la matriu, A, que dona la reflexió, AP = P’, i co prova que el seu deter inant és -1. b) b la matriu anterior, calcula on he de posicionar-nos per desactivar l’alar a R’(1, 5). 1 I I . I I . er representar l’estat físic d’un siste a de partícules es fa servir la funció antisimètrica de Pauli. er simplificar aquest càlcul, el 1931, el físic Johan C. Slater, va desenvolupar un mètode que utilitza un deter inant. er exe ple, per a l’estat físic del liti, la configuració electrònica és 1s22s1 i els seus espins orbitals 1s , 1sb, 2s , 2sb, en què a i b representen els dos sentits de gir de l’electró. o que el liti té 3 electrons, tindre el deter inant d’una matriu quadrada d’ordre 3, a les colu nes hi ha els spin-orbitals i a les files, els electrons: ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s s s 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 , en què 3! són les per utacions dels 3 electrons. a) esenvolupa el deter inant i escriu la funció antisimètrica de Pauli per al liti. b) La configuració electrònica de l’heli és 1s2. Escriu i desenvolupa el deter inant d’ordre 2 que representa el seu estat físic. i i i 97 e ostra que si A és una matriu quadrada que co pleix la igualtat A2 = I, en què I és la matriu identitat, aleshores és invertible i A 1 co pleix ta bé ( ) A I 1 2 . 98 I I . Pren una matriu quadrada d’ordre 2 i calcula’n la matriu adjunta. Co para’n els deter inants. Fes el mateix a b una matriu quadrada d’ordre 3. Estableix una hipòtesi general i intenta de ostrar-la. 9 er quin valor del parà etre m és singular la matriu? alcula’n la inversa per a m = 2. 2 1 2 1 0 1 1 1 f p 1 onada la matriu a b a b a b 4 d n : a) eter ina els valors dels parà etres a i b per als quals la matriu A és invertible. b) Per a a = 3 i b = 1, troba la matriu A 1. 1 1 I I . Sent 1 1 2 2 5 5 3 3 4 f p i B 2 1 2 1 4 12 12 17 2 f p, troba dues matrius C i D tals que: A = B = A uina relació hi ha entre C i D? 1 2 Sigui la matriu següent: 1 5 4 2 2 3 1 1 f p a) eter ina els valors de m per als quals l’equació t té solució. b) Resol l’equació t per a m 0. 1 3 onsidera la matriu següent. 3 1 0 1 0 1 1 0 2 f p a) eter ina els valors per als quals la matriu A és invertible. b) Per a m 1, deter ina el deter inant de la matriu ? 6 1. c) Per a m 1, troba una matriu X que verifiqui l’equació ? , en què B = (3 0 3). 1 4 I I . Diagonalitzar una matriu, A, consisteix a obtenir una desco posició de la for a P 1 = A, en què D és una matriu diagonal. Considera la matriu 1 1 0 2 d n. a) alcula m1 i m2 tals que det(A - m I ) = 0, a b m1 < m2. b) Troba la inversa de P 1 1 0 1 d n. c) o prova que 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 m m d e d n o n . d) eter ina, a partir de l’expre sió anterior, A10. I N T E R N E T 1 5 onsidere aquestes matrius. 1 1 1 0 1 0 0 1 f p 0 1 0 1 0 0 1 0 0 f p 1 0 1 0 1 0 0 0 1 f p a) Per a quins valors de m té solució l’equació matricial ? 2 3 ? b) Resol l’equació matricial donada per a m 1. 1 6 Sabent que la matriu x 1 0 1 0 1 0 1 0 f p no és invertible, deter ina’n la potència enèsima, és a dir, An. 1 7 onada la matriu t t t t t t 1 2 3 4 3 4 6 4 f p : a) e ostra que única ent hi ha dos valors de t per als quals A no és invertible. b) Per a t 1, troba la potència enèsima de A. . R l r l l vi r l itj t t r i t 1 8 I I . . El funciona ent del ercat es basa en la relació entre l’oferta i la de anda. L’anàlisi de co afecta el canvi de preu d’un producte en la de anda de l’altre es pot fer analitzant la matriu A A B B e o, en què PA i PB són els preus dels productes i DA i DB les de andes. Si el deter inant d’aquesta matriu és diferent de zero, el canvi de preu d’un producte afecta la de anda de l’altre. Si el deter inant és zero, el canvi de preu no afecta la de anda de l’altre producte. Si la matriu de preu-de anda de dos productes és a 2 1 3 d n, per a quin valor de a el preu no afecta la de anda? 1 9 I I . I I . El xifratge de Hi l fa servir matrius per codificar mi satges. Cal que les matrius que s’utilitzen siguin regulars perquè siguin inversibles. onada la matriu: a b 2 1 5 1 1 1 3 f p a) alcula per a quins valors de a i b és una matriu de codificació? b) Troba algun valor per als parà etres perquè el deter inant sigui igual a 1. I N T E R N E T I 12 onada la matriu: , , , , , 6 6 6 7 2 8 8 8 9 6 9 9 9 10 f p a) Troba tots els menors de 2 × 2 que puguis for ar a b la primera i segona files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. b) alcula els menors 2 × 2 que puguis for ar a b la primera i tercera files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. 13 En un club esportiu es poden veure aquests preus: Pàdel 1 h Pàdel 1 h 30 min Pàdel 2 h 2020 6 € 8 € 9 € 2021 6,60 € 8,80 € 9,90 € 20 2 7,20 € 9,60 € 10 € a) Estudia si els preus van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2021. b) nalitza si van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 20 2. 14 onades les matrius. 1 1 2 1 0 1 1 2 3 f p 5 5 10 f p a) alcula el rang de A. b) Pots calcular A 1? 15 L’Aleix gasta 5 € en la co pra d'una bo sa de fruita seca, un pot d’olives i un suc de taronja. Després, co pra una altra bo sa de fruita seca i dos sucs de taronja per 5 €. Al dia següent torna al super ercat per co prar dues bo ses de fruita seca, un altre pot d’olives i dos sucs de taronja i paga 10 €. uant li ha costat cada article? 16 esol l’equació A = B per a aquestes atrius. 1 0 10 1 1 20 1 4 50 f p 1 0 0 18 0 f p 17 l final del dia, un caixer auto àtic conté 18 0 € en bit lets de 10, 20 i 50 €. Si conté el quàdruple de bit lets de 20 que de 50 i en total hi ha 1 0 bit lets, quants bit lets hi ha de cada tipus? ’ ’ ’ CAP A LA IVERSITAT 57 56 CONSOLIDA TOT EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L’ACCIÓ: MATEMÀTIQUES EN EL MÓN REAL 5 PRACTICA LES TEVES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après resolent activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats fent servir GEOGEBRA, buscant algun tipus d ’informació a INTERNET… Comprèn i analitza situacions reals aplicant els continguts que has après. Descobreix, en l’apartat Cap a la universitat, activitats que ja saps fer i la contextualització en problemes reals que són similars als que trobaràs a la prova d ’accés a la universitat. Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Moltes d ’aquestes activitats són similars a les que trobaràs a la prova d ’accés a la universitat. 7
RkJQdWJsaXNoZXIy