4.1. Combinacions lineals de les files d’una matriu 4. Rang d’una matriu 18 Completa els elements que falten a la matriu perquè les files siguin linealment dependents. a b c 3 9 1 0 2 - - d n 19 Determina el rang de les matrius següents. a) 1 2 0 1 1 3 3 1 7 0 1 1 - - - - f p b) 1 2 3 1 2 3 3 6 9 - - f p A C T I V I T A T S Una fila no nul·la Fi d’una matriu depèn linealment de les files Fj1, Fj2, …, Fjm si es compleix que: Fi = k1Fj1 + k2Fj2 + … + kmFjm Una fila d’una matriu és linealment independent quan no depèn linealment d’altres files de la matriu . E X E M P L E 15. Determina el rang de la matriu A 2 3 8 0 5 10 3 2 7 4 3 2 = - - - f p . F1 no depèn linealment de F2 ni de F3, i el mateix passa amb F2 i F3. Analitzem si F1 depèn linealment de F2 i F3, és a dir, si F1 = k1F2 + k2 F3. Prenent els dos primers elements de les files es tindria: ( ) k k k k k k a k a k a a k a k a 2 3 8 0 5 10 2 1 11 1 21 2 31 12 1 22 2 32 1 2 1 2 1 2 = + = - + - = - = = + = + " " 4 4 Comprovem si es compleixen la resta d’igualtats per a aquests valors de k1 i k2. a13 = k1 a23 + k2 a33 " 3 = -2 ? 2 + 1 ? 7 a14 = k1 a24 + k2 a34 " -4 = -2 ? 3 + 1 ? 2 Per tant, F1 = -2 F2 + F3, és a dir, F1 depèn linealment de F2 i F3. Així, F2 i F3 són linealment independents i F1 depèn de F2 i F3 " " Rang ( A) = 2. 4.2. Rang d’una matriu El rang d’una matriu A, Rang (A), és el nombre de files o de columnes no nul·les linealment independents que té la matriu . El rang per files sempre és igual al rang per columnes. E X E M P L E 14. Determina les files linealment independents d’aquesta matriu: A 2 1 3 4 1 3 7 1 = - - - - d n Perquè F1 depengui linealment de F2 s’ha de complir que: F1 = kF2, és a dir, que els elements de F1 siguin múltiples dels de F2. Com que en aquest cas no és així, diem que les dues files de la matriu A són linealment independents. N O T E N ' O B L I D I S Les mateixes definicions que hem fet per a les files les podem fer per a les columnes. Una columna no nul·la Ci d’una matriu depèn linealment de les columnes Cj1, Cj2, …, Cj m si es compleix que: Ci = k1Cj1 + k2Cj2 + … + km Cjm Una columna d’una matriu és linealment independent quan no depèn linealment d’altres columnes de la matriu. F I X A - T ' H I Com que el rang per files és sempre igual al rang per columnes, una matriu A i la seva transposada At tenen sempre el mateix rang. Quin és el rang màxim d‘una matriu que té n files i m columnes? P E N S A 18
RkJQdWJsaXNoZXIy