5. Matriu inversa Propietats La inversa de la matriu inversa és la matriu original . (A-1)-1 = A La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses de les matrius canviant-ne l’ordre. (A ? B)-1 = B-1 ? A-1 La inversa de l a transposada d ’una matriu és igual a l a transposada de l a matriu inversa . (At)-1 = (A-1)t E X E M P L E 16. Calcula, si és possible, la matriu inversa de la matriu A 3 4 1 1 =d n. Utilitzem la definició de matriu inversa i fem el producte de matrius: A ? A-1 = I 2 ? a a a a a a a a a a a a 3 4 1 1 1 0 0 1 3 4 3 4 1 0 0 1 11 21 12 22 11 21 11 21 12 22 12 22 = + + + + = " d d d e d n n n o n Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema en què les incògnites són els elements de la matriu inversa: a a a a a a a a a a a a 3 1 3 0 4 0 4 1 1 4 1 3 11 21 12 22 11 21 12 22 11 21 12 22 + = + = + = + = = - = = = - " 4 La matriu inversa de la matriu A és: A 1 4 1 3 1 = - - - d n 22 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes matrius utilitzant la definició. a) 1 2 2 4 d n b) 3 1 5 2 - - d n 23 Comprova si aquesta matriu és invertible i troba’n la inversa. 2 3 0 3 1 1 1 1 0 - f p A C T I V I T A T S La matriu inversa d’una matriu quadrada A d’ordre n és una altra matriu A-1 del mateix ordre que compleix que: A ? A-1 = I n A -1 ? A = I n sent In la matriu identitat d’ordre n. Les matrius que tenen matriu inversa s’anomenen matrius regulars o invertibles, i les que no en tenen , matrius singulars. Una matriu A quadrada d’ordre n només té inversa si Rang (A) = n. Només les matrius quadrades poden tenir inversa ; tanmateix, no totes les matrius quadrades tenen inversa . F I X A - T ' H I Si una matriu no és quadrada, no té inversa. F I X A - T ' H I Si el sistema no té solució, la matriu inicial no té matriu inversa. S ’ E S C R I U A I X Í Una matriu és invertible quan existeix la seva matriu inversa. Pots calcular la inversa de la matriu A 1 0 0 0 =d n? P E N S A 20
RkJQdWJsaXNoZXIy