a c t i v i tat s f i n a l s 1. Fa operacions amb matrius i n’aplica les propietats 39 Classifica les matrius i determina’n la dimensió. A = (1 2 2) C = 0 1 7 f p E = 0 4 2 2 3 0 3 1 1 - - f p B = 2 0 0 2 d n D = 1 0 0 1 d n F = 3 0 0 0 1 1 0 0 1 f p 40 Determina els valors de x i y perquè aquestes matrius siguin iguals. A x y 1 2 2 3 5 = + e o A y x 2 4 3 2 1 1 = + d n A C T I V I T A T S F L A I X 41 Siguin les matrius A2◊3, B6◊2, C3◊4 i D4◊3. Determina la dimensió d’aquestes matrius. a) AC b) AtBt c) (Ct + D)At 42 I N V E N TA . Posa dos exemples d’aquestes matrius. a) Matriu fila c) Matriu quadrada b) Matriu diagonal e) Matriu triangular inferior 43 Considera les matrius: A 1 0 1 1 4 3 = - - d n B 0 1 1 0 2 3 = - d n C 2 1 1 4 2 3 = - - d n Calcula. a) A + B - C b) -A - B + C c) A - (B - C) 44 Siguin les matrius Am◊n, Bm◊p i Cp◊n. Determina la dimensió de les matrius següents. a) AtB b) ACt c) BtA - C 45 I N V E S T I G A . Sigui A una matriu m × n. a) Existeix una matriu B tal que BA sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té? b) Es pot trobar una matriu B tal que AB sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té? 46 I N V E N TA . Escriu dues matrius tals que el seu producte sigui P4◊2. Quines condicions han de complir? 47 Comprova que qualsevol matriu d’ordre 3 compleix que (At)t = A 48 Comprova que una matriu quadrada que verifiqui aij = i - j és antisimètrica. Escriu una matriu d’ordre 3 amb aquesta propietat. 49 Considera les matrius: A 3 4 0 8 = - d n B 2 1 1 0 1 3 = - - d n C 4 0 1 1 5 0 2 3 2 = - - f p Fes, si és possible, els productes següents. a) A B b) B A c) A C d) B C 50 Calcula, si és possible, aquestes operacions amb matrius. A 1 3 3 1 = - - d n B 2 1 3 0 1 1 = - d n C 8 0 5 1 3 0 = - f p a) ABC b) BtA - C c) AtCt 51 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A P P S . En dues dimensions, la posició i els girs queden determinats per matrius quadrades 2 × 2. En sumar A a b =d n al punt P x y =e o, el punt queda desplaçat. En multiplicar la matriu cos cos G sin sin a a a a = - c m per un punt P x y =e o, el punt queda girat a. El canó ha de tirar a terra les caixes. Parteix de (-4, 0): a) Aproxima el canó a la posició (0, 0) per a un més bon abast, mitjançant una operació amb matrius. b) Un cop a la posició de tir, gira la boca del canó per disparar al centre de la caixa més alta, mitjançant una operació amb matrius. 52 Aquestes matrius, ¿són commutatives respecte del producte? A 2 1 1 0 = - d n B 2 3 3 4 = - - d n 53 I N V E S T I G A . Troba l’expressió general de totes les matrius que commutin amb la matriu A 1 0 1 1 =d n. 54 Prova que aquestes matrius commuten, és a dir, AB = BA. cos cos A sin sin a a a a = - e o cos cos sin sin B b b b b = - f p Troba aquest producte per a A, A2, A3 i An, amb n N ! . 55 Sigui C el conjunt de totes les matrius de la forma C a b b a = - d n tals que a, b ! R. Demostra que dues matrius d’aquest tipus són sempre commutables. 56 R E P T E . Sigui M el conjunt de matrius de nombres reals de la forma a b b a - d n, amb a2 + b2 = 1. Demostra que, si es multipliquen dues matrius qualssevol de M, s’obté com a resultat una altra matriu pertanyent a aquest mateix conjunt. 28
RkJQdWJsaXNoZXIy