57 Determina el valor de t perquè es compleixi: ? t 3 2 1 4 1 2 1 3 4 8 4 5 2 - + - = - d d d n n n 58 Calcula el valor de x perquè es compleixi la igualtat següent: ? x x x x x 1 1 0 1 2 0 1 1 8 2 2 5 1 - - - = - - d d d n n n 59 Troba un nombre real m ! 0 i totes les matrius B de dimensió 2 # 2 diferents de la matriu nul·la que compleixin: ? ? B B 3 0 1 3 9 0 3 m = d d n n 60 Determina totes les matrius A d’ordre 2 antisimètriques que verifiquin la condició A4 = 16 ? I. 61 R E P T E . Si A i B són dues matrius quadrades d’ordre 3 i A és una matriu diagonal, podem assegurar que A i B compleixen la propietat commutativa per al producte? Com hauria de ser A perquè fossin commutatives? 62 Donada la matriu A 1 2 1 1 =d n, calcula les matrius B tals que AB = BAt. 63 Troba totes les matrius M de la forma a b b a d n que compleixen: M 2 - 2M = 3l, en què I és la matriu identitat. 64 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . V I D E O J O C S . A l’espai tridimensional, la posició i els girs queden determinats pels quaternions, que són una extensió dels nombres complexos i són tots de la forma: a ? l + b ? A + c ? B + d ? C, en què a, b, c i d són nombres reals i A, B, C i I són matrius quadrades 2 # 2. l = 1 0 0 1 d n , A = i i 0 0 - d n ; B = 0 1 1 0 - d n i C = i i 0 0 d n amb i 1 = -. a) Comprova que les matrius A, B i C compleixen que el seu quadrat és l’oposada de la matriu identitat. b) Troba el producte: ABC. 65 Sigui la matriu A a 0 0 1 0 0 1 0 2 = - - f p . Troba el valor o els valors de a perquè es compleixi: A2 + 2 A + I = 0, sent I la matriu identitat d’ordre 3 i 0 la matriu nul·la d’ordre 3. 66 Comprova que es verifica la propietat (AB)t = BtAt per a aquestes matrius A 1 3 1 0 2 5 = - - d n B 2 3 0 1 2 1 1 0 1 = - - - f p 67 Donada la matriu A 17 10 29 17 = - - d n , calcula els valors de m i n per als quals es compleix que (I + A)3 = mI + nA, en què I és la matriu identitat. 68 Troba els valors de a i b que verifiquen l’equació A2 + a ? A + b ? I = 0, sabent que I és la matriu identitat d’ordre 2 i que A 2 1 1 2 =d n. 69 El producte de A i B, compleix la propietat commutativa? A 1 1 2 1 1 2 1 1 2 = - - f p B 1 1 1 1 1 1 0 1 0 = - - - f p 70 Considera les matrius següents. A 2 1 1 1 0 1 0 1 0 = - - f p B 1 3 2 2 0 1 0 1 1 = - f p Què haurien de complir A i B perquè es verifiqués que (A + B)2 = A2 + B2 + 2 ? A ? B? Raona la resposta. 71 Determina totes les matrius A antisimètriques que compleixin que A2 = B, en què B és la matriu següent. B 5 6 3 6 10 2 3 2 13 = - - - - - - - f p 72 Troba totes les matrius possibles de la forma a c b d 0 0 0 0 1 f p que commutin amb la matriu 5 2 0 2 5 0 0 0 1 f p. D’entre totes elles, determina aquella en què la suma dels elements de la diagonal principal sigui 5 i a11 = -a12. 73 I N V E S T I G A . Troba les matrius X m a s 0 0 1 0 0 0 =f p que verifiquen la condició X 2 = I, en què I és la matriu identitat. 74 Sigui la matriu A 1 2 0 1 =d n . Calcula A41. 75 I N V E S T I G A . Donada la matriu A 1 0 1 1 = - d n, obtingues la matriu Tn = I + A + A2 + … + An. 76 D’una matriu A sabem que verifica la condició A2 = 2 A - I, en què I és la matriu identitat. Determina l’expressió general de la potència n-èsima de la matriu A. 77 Demostra que les matrius A 1 1 1 1 =d n i B 1 1 1 1 = - - d n. són conmutables i calcula An i Bn. 78 Donada la matriu A 1 1 0 1 =d n, fes el següent. a) Troba totes les matrius B que commutin amb A. b) Calcula la potència n-èsima de A. 79 I N V E S T I G A . Sigui la matriu A 0 0 1 1 0 0 0 1 0 =f p. Troba An per a qualsevol nombre natural n. 1 29
RkJQdWJsaXNoZXIy