Aprendre és un camí de llarg recorregut que durarà tota la teva vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per fer-ho, hem pensat en: Itinerari didàctic Matrius 1 M A T E M À T I Q U E S E N E L M Ó N R E A L Funcionament del GPS Els vehicles moderns venen equipats amb tot tipus d’extres que ser veixen per augmentar la seguretat a l’ hora de conduir com, per exemple, els sistemes antiderrapatge, els sensors que mesuren la pressió dels pneumàtics, els assistents de frenada , les ajudes de visió nocturna… Els fabricants s’ han bolcat també en el confort i la facilitat de conducció: assistents d’aparcament amb càmeres incorporades, sensors de llum i de pluja que automatitzen l’encesa dels llums i la posada en marxa dels eixugaparabrises. També és habitual que incloguin un navegador GPS. Aquest accessori es va començar a utilitzar a les f lotes de camions perquè s’optimitzés el temps en les entregues de mercaderies i no hi hagués cap confusió per arribar a la destinació. A més, també informava del tipus i l’estat de la via i del trànsit a la carretera . En principi , el navegador era un article de luxe, però ara , hi ha nombroses aplicacions que es poden descarregar al mòbil i utilitzen GPS. Per això, el navegador s’ ha convertit en un accessori molt quotidià , que ens informa tant del lloc on ens trobem com de la ruta més curta , més ràpida o més ecològica que podem agafar per anar d’un lloc a un altre. Sembla fàcil i ràpid , però… Com tria un navegador GPS les rutes apropiades? Quan s’introdueix una adreça o una destinació al GPS, el dispositiu fa servir una base de dades de mapes per identificar les carreteres i els carrers disponibles de la zona. Segons aquestes dades, el GPS utilitza un algoritme per calcular la ruta més adequada entre el punt de partida i el d’arribada, tenint en compte la distància i la durada del viatge. 9 1. El determinant d’una matriu coincideix amb el de la seva transposada . ;A; = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - Si calculem el determinant de la transposada : A a a a a a a a a a t 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23 ; ; + + - - - - = Per aquesta raó, com que les f i les d’una matriu són les columnes de la seva transposada , qualsevol propietat dels determinants relacionada amb les files d’una matriu serà vàlida si , en lloc de files, es consideren columnes. 2. Si en una matriu quadrada intercanviem dues files (o dues columnes), el determinant canvia de signe. A a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - Si intercanviem dues files: B a a a a a a a a a 31 21 11 32 22 12 33 23 13 ; ;= = a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 31 22 13 32 23 11 33 21 12 33 22 11 32 21 13 31 23 12 ; ; + + - - - - = - 3. Si en una matriu quadrada multipliquem pel mateix nombre tots els elements d’una mateixa fila (o columna), el determinant queda multiplicat per aquest nombre. ? ? ? ? k a a a k a a a k a a a k a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = En efecte, si tots els elements d’una fila (o columna) es multipliquen per una constant k, com que en cada sumand del determinant un dels factors pertany a aquesta fila (o columna), k apareix com a factor en tots ells i , per tant, es pot treure factor comú . ka a a ka a a ka a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = ? ka a a ka a a ka a a ka a a ka a a ka a a k a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 21 31 12 22 32 13 23 33 + + - - - - = 2 2. Propietats dels determinants 3 Troba el determinant de la matriu transposada d’aquestes matrius: a) A 2 1 4 5 = - - d n b) A 1 2 2 0 2 1 3 4 0 = - - - f p 4 Considera la matriu A a c b d =d n, tal que el determinant de A és -1. Calcula: a) c a d b b) a b c d c) c d b a A C T I V I T A T S E X E M P L E S 1. Calcula el valor del determinant de la matriu A 2 4 3 5 =d n. ? ? A 2 4 5 3 2 3 4 5 6 20 14 ; ;= = - = - = - 2. Troba aquest determinant aplicant la regla de Sarrus. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 2 1 3 0 3 4 1 2 4 2 3 4 0 2 3 1 1 4 1 3 3 0 1 4 2 2 4 24 0 4 9 0 16 3 ; ;= - - - - = - + - - + - - - - - - - - - = = - + - + - + = - 1. Determinants 1 Calcula el valor dels determinants d’aquestes matrius. a) A 2 7 1 12 = - d n b) B 3 1 2 2 5 3 2 0 2 = - - f p 2 Calcula m perquè aquests determinants valguin zero. a) m 2 1 8 2 - - b) m m 3 1 1 0 1 2 2 - - A C T I V I T A T S S ’ E S C R I U A I X Í A = a a a a a a a a a n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 g g g g g g g f p A a a a a a a a a a n n n n nn 11 21 1 12 22 2 1 2 g g g g g g g ; ;= N O T E N ’ O B L I D I S Si una matriu no és quadrada, no té determinant. F I X A - T ’ H I Si en una matriu quadrada intercanviem tres files, el determinant no varia. a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 21 11 31 22 12 32 23 13 33 21 31 11 22 32 12 23 33 13 = = - = = - - > H Donada una matriu quadrada , A, d’ordre n, el determinant de A, ;A;, és un nombre que s’obté en sumar tots els productes possibles de n elements, un de cada fila i un de cada columna , la meitat amb el seu signe i l’altra meitat, amb signe contrari . ;A; = a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n nn 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 1 2 3 g g g g g g g g g Per aprendre a calcular determinants és aconsellable començar pels més senzills, que són els determinants de les matrius quadrades d’ordre 2 i les matrius quadrades d’ordre 3. 1.1. Determinants d’ordre 2 i 3 Donada una matriu quadrada d’ordre 2, A a a a a 11 21 12 22 =c m , el determinant és el nombre que resulta en fer l’operació: ;A; = a a a a a a a a 11 21 12 22 11 22 12 21 = - Donada una matriu quadrada d’ordre 3, A a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 =f p , el determinant és el nombre que resulta en fer l’operació: ;A; = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33 = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 + + - - - - N O T E N ’ O B L I D I S Per recordar amb més facilitat el càlcul d’un determinant d’ordre 3, se sol utilitzar la regla de Sarrus. Sumands amb signe + Sumands amb signe - Si es multiplica una matriu quadrada, A, d’ordre n, per un nombre k, per quin nombre queda multiplicat el seu determinant? P E N S A 37 36 a 3 ;= S S ? 2 n1 a D D 2 a c t i v i tat s r e s o lt e s Càlcul del rang mitjançant determinants Estudia el rang de la matriu: ( ) A m m m m m m m m 1 1 1 1 1 = - - - f p segons els valors del paràmetre m. primer. Es calcula el determinant de la matriu A. ? ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 - - - = - - - = F3 = F3 - F2 F = ? ( ) m m m m m 1 1 0 1 1 1 1 1 - - - = ? ( ) m m m m 1 1 1 1 2 = - - = - - segon. S’iguala a zero el resultat i es resol l’equació. ( ) m m m m 2 0 0 2 - - = = = "( tercer. S’estudia el rang per a valors diferents dels valors trobats en el pas anterior. Si m ! 0 i m ≠ 2 " ;A; ! 0 " Rang (A) = 3 quart. S’estudia el rang per als valors trobats en el pas 2. Si m = 0 i m = 2 " ;A; = 0 " Rang (A) < 3 Si m = 0: A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ! = - - - = - " " f p " Rang (A) = 2 Si m = 2: A 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 1 2 1 ! = = - " " f p " Rang (A) = 2 Si m = 0 o m = -2 " Rang (A) = 2 PRACTICA 28. Calcula el rang d’aquesta matriu segons el paràmetre m. A m m m m m 1 1 0 0 1 4 2 = + + - f p Estudiar el rang d’una matriu quadrada que depèn d’un paràmetre fent servir determinants Determinants de qualsevol ordre Troba el determinant de la matriu següent. A 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 n g g g g g g g g g = - - - - - - f p Aplica el resultat obtingut i digues quant valen els determinants de A4 i A5. primer. Es calcula el determinant fent una matriu triangular. A 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 n g g g g g g g g g g g g g g g g g g ; ;= - - - - - - = F2 = F2 + F1 F3 = F3 + F1 … Fn = Fn + F1 F segon. Es calcula el determinant de la matriu triangular que coincideix amb el producte dels elements de la seva diagonal. ? ? ? ? 1 0 0 0 1 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 1 3 3 3 3n 1 g g g g g g g g g f = = - tercer. Es comprova la validesa de la fórmula. n A 2 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 ; ; = = - = + = = - " n A 3 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 1 2 2 1 9 3 3 3 1 ; ; = = - - - = - + + + + = = = - " La fórmula és vàlida. quart. S’aplica la fórmula per calcular els determinants demanats. A 3 3 27 4 4 1 3 ; ;= = = - A 3 3 81 5 5 1 4 ; ;= = = - PRACTICA 27. Calcula el determinant de An, i troba ;A 6;. A 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 9 n g g g g g g g g g g g = - - - - - - - - - - - f p Calcular un determinant segons el rang d’una matriu Determinants Propietats dels determinants Resol l’equació cos cos sin sin x x x 0 0 0 0 1 3 0 2 1 3 3 3 a a a a - + - = , amb a ! R. primer. Es calculen els determinants que apareixen en l’equació. ? ? ? ( ) cos cos cos cos si n si n x x sin si n 0 0 0 0 a a a a a a a a - = + x x x x x x x 1 3 0 2 1 3 3 6 6 3 2 - = - - + = segon. Es resol l’equació i es comprova la solució. cos cos si n si n x x x 0 0 0 0 1 3 0 2 1 3 3 3 a a a a - + - = " ? ( ) cos sin x x 2 3 2 2 a a + + = 1 > " x + 2 x = 3 " 3x = 3 " x = 1 cos cos sin sin 0 0 0 0 1 1 1 3 0 2 1 1 3 3 a a a a - + - = cos sin 6 1 6 3 1 6 1 6 3 3 2 2 a a + + - - + = + - - + = PRACTICA 25. Resol aquestes equacions amb determinants. a) x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 + + + = b) x x 2 1 0 1 0 1 1 0 - - - = c) x x x x 1 2 1 0 0 1 1 1 0 2 2 2 0 1 2 1 - + - = - Troba el valor del determinant a d b e c f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 - - - sabent que a b e c f d 1 1 1 2 = . primer. S’apliquen les propietats dels determinants per simplificar el determinant que s’ha de calcular. S’extreu del determinant el factor 6 de la primera fila i el factor 4 1 de la tercera. ? ? a d b e c f a d b e c f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 4 1 1 2 1 2 1 2 - - - = - - - Es descompon el determinant en una suma de dos fent servir els dos sumands de la segona fila. ? ? a d b e c f a d b e c f d e f 4 6 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 - - - = + - - - f p segon. Se substitueix el determinant el valor del qual es coneix, i es calcula la resta. d e f 1 2 1 2 1 2 0 - - - = , perquè les dues primeres files són proporcionals. ? ?( ) a d b e c f a d b e c f d e f 6 2 4 6 2 4 6 2 4 2 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 0 3 - - - = + - - - = + = f p PRACTICA 26. Sabent que a b b e c f 1 1 1 2 = , calcula el valor del determinant a d d b e e c f f 3 1 2 3 1 2 3 1 2 + + + . Resoldre equacions amb determinants Reduir un determinant a un altre determinant el valor del qual es coneix 49 48 m 1 1 S S 2 x 6 S d e 4 E EL PUNT DE PARTIDA: MATEMÀTIQUES EN EL MÓN REAL 1 CONSTRUEIX EL TEU CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Introdueix un aspecte de la vida real en el qual s’utilitzen els continguts que s’estudiaran en la unitat. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL utilitzant GeoGebra per investigar i manipular alguns continguts. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit resolent les ACTIVITATS. Ajuda’t amb el raonament i PENSA per descobrir algunes propietats i aplicacions d ’aquests sabers. Consolida els sabers bàsics aprenent, pas a pas, mètodes generals per desenvolupar les destreses bàsiques que necessites aprendre. Aprèn a partir de textos clars i estructurats. 6
RkJQdWJsaXNoZXIy