1 4.3. Mètode de Gauss 20 Troba el rang mitjançant el mètode de Gauss. 1 8 2 3 3 1 5 2 4 7 14 0 - - - - f p 21 Calcula el rang de la matriu At ? B - Ct en funció del paràmetre m. A 2 1 1 = - 0 d n B 3 0 2 = - 5 d n C 4 2 1 = - m d n A C T I V I T A T S El mètode de Gauss per trobar el rang d’una matriu consisteix a convertir la matriu inicial en una matriu en què els elements per sota de la diagonal siguin zeros, utilitzant les transformacions elementals adequades. El rang de la matriu serà el nombre de files no nul·les que té la matriu triangular que hem obtingut. Les transformacions elementals que es poden fer a la matriu són : Intercanviar la fila i per la fila j. Aquest canvi l’escrivim com a Fi Fj. Substituir la fila i pel resultat de multiplicar o dividir tots els seus elements per un nombre a ! 0. Ho escrivim com a Fi = aFi. Substituir la fila i o la fila j per la suma de totes dues, multiplicades per nombres a i b no nuls. Ho escrivim com a Fi = aFi + bFj. 1 Calcular el rang d’una matriu mitjançant el mètode de Gauss Determina el rang de la matriu A 0 2 2 2 1 2 2 1 0 4 1 3 = - - - - f p . Si a11 = 0, s’intercanvia la primera fila amb una fila en què el primer element de la qual sigui diferent de zero, si existeix. Es fan operacions a totes les files, menys a la primera, perquè el primer element de cada una sigui zero. 1 0 2 2 2 1 2 1 0 4 3 - - - - 2 f p F 2 ) F1 " 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p El primer element de la segona fila ja és zero. Es fa zero el primer element de la tercera fila. 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 3 - - - - f p F3 = F3 - F1 " 1 2 0 0 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p Si a22 = 0, s’intercanvia aquesta fila amb alguna altra en què el segon element de la qual no sigui zero, si existeix. Com en el pas anterior, es fa zero el segon element de cada fila, excepte el de la primera i la segona fila. 2 0 0 1 1 1 1 1 4 2 - - - 2 2 - f p F3 = 2F3 - F2 " 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 4 0 - - - f p Es repeteix el mateix procés per a la resta de files de la matriu inicial fins a obtenir-ne una en la qual tots els elements per sota de la seva diagonal siguin zeros. El nombre de files no nul·les que té la matriu és el rang de la matriu. En aquest cas s’obtenen dues files no nul·les " Rang (A) = 2. F I X A - T ' H I Com que el rang d’una matriu i el de la seva transposada és el mateix, en el cas que la matriu tingui més files que columnes podem abreujar el procés calculant el rang de la transposada. 2 1 7 1 2 0 2 3 Rang - - - = f p 2 2 1 0 7 2 1 3 Rang = - - - d n 19
RkJQdWJsaXNoZXIy