Mètode de Gauss-Jordan 1 24 Calcula, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa d’aquestes matrius. a) 16 12 2 5 d n b) 3 2 7 5 - - d n 25 Troba, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu: 3 2 0 0 3 1 1 1 1 - f p A C T I V I T A T S Calcular la matriu inversa amb el mètode de Gauss‑Jordan Calcula, si és possible, la matriu inversa de la matriu A = 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f p . S’escriuen la matriu A i la matriu identitat del mateix ordre que A separades per una línia. Si a11 = 0, s’intercanvia la primera fila amb una fila en què el primer element de la qual sigui diferent de zero. Com que a11 = 2 ! 0, no s’intercanvien files. Es fan operacions en totes les files, menys a la primera, perquè el primer element de cada una sigui zero. 1 - 2 4 6 1 3 4 2 2 - - - - f 1 0 0 0 1 0 0 0 1p F2 = F2 - 2F1 " F3 = F3 + 3F1 " 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p Es comprova que a22 ! 0; si no, caldria intercanviar la fila amb una fila posterior en què el segon element fos diferent de zero. Es fan operacions per convertir en zero el segon element de cada fila, excepte el de la segona fila. 2 0 0 1 1 1 2 5 4 - - - f 1 2 3 0 1 0 0 0 1 - p F1 = F1 - F2 " F3 = F3 + F2 " 1 - 1 - 2 0 0 0 0 7 5 - f 1 1 3 2 1 1 1 0 0 - - p Es repeteix el mateix procés per a la resta de files de la matriu inicial. 2 0 0 0 1 0 7 5 1 - - - f 3 2 1 1 1 1 0 0 1 - - p F1 = F1 + 7F3 " F2 = F2 - 5F3 " 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p Es divideix cada fila entre l’element que figura a la diagonal. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - - f 10 7 1 6 4 1 7 5 1 - - - p F F 2 1 1 1 = " F2 = -F2 F3 = -F3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 7 1 3 4 1 2 7 5 1 - - - p f 1 0 0 0 1 5 1 3 1 2 7 1 - - - 0 1 0 7 4 5 p f Els elements que figuren a la dreta de la línia formen la inversa de la matriu inicial. 2 A 5 7 1 3 4 1 7 5 1 1 = - - - - f p Les operacions elementals que es poden fer per trobar la matriu inversa són les mateixes que per al càlcul del rang d’una matriu. Intercanviar entre si la fila i per la fila j. Fi ) Fj Substituir la fila i pel resultat de multiplicar o dividir tots els seus elements per un nombre a ! 0. Fi = aFi Substituir la fila i o la fila j per la suma de totes dues, multiplicades per nombres a i b no nuls. Fi = aFi + bFj R E C O R D A El mètode de Gauss-Jordan per trobar la matriu inversa consisteix a convertir la matriu inicial en la matriu identitat utilitzant transformacions elementals. Aplicant les mateixes transformacions a la matriu identitat obtenim la matriu inversa . S ’ E S C R I U A I X Í Per expressar la matriu inicial i la matriu identitat en el mètode de Gauss-Jordan s’escriu: (A | In) En utilitzar aquest mètode fem aquesta transformació: (A | In) " (In | A-1) 21
RkJQdWJsaXNoZXIy