1 Operacions amb matrius Calcular la potència d’una matriu Operacions amb matrius Sigui una matriu M de dues files i dues columnes tal que verifica que M2 = M. Comprova raonadament que la matriu P = I - M compleix la relació P 2 = P. Es desenvolupen les operacions que s’indiquen en la igualtat. P2 = (I - M)2 = (I - M) ? (I - M) = I 2 - I M - M I + M 2 = I - 2M + M 2 S’imposen les condicions de l’enunciat al resultat. M 2 = M " P2 = I - 2M + M 2 = I- 2M + M = I - M = P PRACTICA 33. Sigui una matriu M de dues files i dues columnes tal que verifica que M 2 = M. Comprova raonadament que la matriu P = I - M compleix la relació PM = MP = 0, sent 0 la matriu nul·la d’ordre 2. Comprovar propietats d’algunes matrius ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A A A A A A A A A A A A A A A A l A A A A A A A A A A A A A l A A l A l A A4 3 2 2 2 2 3 5 4 6 5 3 7 6 8 7 9 8 g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Calcula A101. A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 = - - - f p Es calculen A2, A3, A4… ? ? A A A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 - = = - - - - - - = - - f f f p p p ? ? A I A A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 3 2 - = = = = - - - - - f f f p p p Es dedueix una regla general en la qual es pugui relacionar l’exponent amb els elements de la matriu. Si l’exponent és múltiple de 3 " A3n = I Si l’exponent és de la forma 3n + 1 " A3n + 1 = A Si l’exponent és de la forma 3n + 2 " A3n + 2 = A2 S’aplica la regla general per calcular la potència demanada. Com que 101 = 3 ? 33 + 2, és a dir, és de la forma 3n + 2: ? ? A A I A A A 2 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 0 1 ? 3 33 2 2 101 2 = = = = - - - f p PRACTICA 32. Donada la matriu A 1 0 0 1 1 0 1 0 1 =f p , calcula A101. G E O G E B R A 25
RkJQdWJsaXNoZXIy