1 Siguin les matrius i A B 3 1 0 2 1 5 3 4 2 2 1 8 = = d d n n. Troba les matrius X i Y que verifiquen el sistema X Y A X Y B 3 4 2 + = + = 2. Es resol el sistema. $ X Y A X Y B X Y X Y B A 3 4 2 6 2 2 4 2 + = + = + = + = ?2 2 2 2 X = 2 A - B X A B Y A B 2 1 2 2 3 = - = - + " Es calculen X i Y. ? X 3 2 1 1 0 5 2 1 3 2 4 1 2 8 2 3 1 1 2 1 1 1 = - = - - d d f n n p ? ? Y 2 3 2 1 1 0 5 2 3 3 2 4 1 2 8 2 3 1 4 2 1 3 2 = - + = - - - d d f n n p PRACTICA 38. Troba les matrius X i Y, quadrades d’ordre 2, que resolguin el sistema X Y A X Y A 2 + = - = 2 1 -3, sent A 1 3 2 5 =e o. Equacions matricials Resoldre un sistema d’equacions matricials Rang d’una matriu Calcular el rang d’una matriu que depèn d’un paràmetre Discuteix, en funció del paràmetre m ! R, el rang de la matriu A m m 1 0 0 1 2 1 1 = - - f p. S’aplica el mètode de Gauss per calcular el rang de la matriu. m m m m m m m m 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 1 2 2 - - - - - - - - - - f f f p p p F2 = F2 - mF1 " F3 = F3 - 2F1 " " F2 ) F3 S’estudia el nombre de files no nul·les que té la matriu depenent dels valors del paràmetre. La primera i la segona fila són sempre no nul·les. La tercera fila és nul·la si -1 - m2 = 0 " m2 = -1. No té solució per a cap valor de m ! R. Per tant, la tercera fila mai és nul·la. Rang (A) = 3, per a qualsevol valor de m ! R. PRACTICA 36. Donada la matriu A a a 4 2 3 1 3 2 2 8 3 1 7 3 - - - - - - - + - - - - =f p , estudia, en funció del paràmetre a, el rang de la matriu. a a a a 1 2 - - + + a a a 0 2 - + a a a a a 1 1 1 1 2 1 0 0 2 2 - f f p p Digues quan és invertible A a a a a a 1 1 1 1 2 = - f p. Es calcula el rang de la matriu. a a a a 1 2 - - + + a a a 0 2 - + a a a a a 1 1 1 1 2 1 0 0 2 2 - f f p p a a a a a a a 1 0 2 2 0 0 1 2 2 - + - + + - f p F2 = F2 - F1 " F3 = F3 - (a-1) F1 " S’estudien els elements de la diagonal. En la tercera fila si 1 - a = 0 " a = 1 En la segona fila si -a2 + 2a = 0 a a a a 2 0 0 2 2 " - + = = = ( En la primera fila 1 ! 0 Per tant: Si a = 1 " Rang (A) = 2 Si a = 0 " Rang (A) = 2 Si a = 2 " Rang (A) = 2 Només existeix la inversa si el seu rang és igual al seu ordre. Si a = 0, a = 1 o a = 2 " No existeix inversa. PRACTICA 37. Digues quan és invertible M k k k k 1 0 0 1 2 2 1 1 - = + - - f p . F2 ) F3 " Matriu inversa Calcular la inversa d’una matriu que depèn d’un paràmetre 27
RkJQdWJsaXNoZXIy