a c t i v i tat s f i n a l s 80 Donada la matriu A 1 0 3 2 =d n , calcula totes les matrius que commuten amb A. Després, troba A4, An. 81 Sigui la matriu A a 1 0 1 =d n , troba An per a cada nombre natural n i calcula A22 - 12 A2 + 2 A. 82 I N V E S T I G A . Donada la matriu A 1 1 1 2 = - d n , determina: a) Les constants m i n tals que A2 = mA + nI, en què I és la matriu identitat. b) A5, utilitzant només l’expressió de l’apartat anterior, i sense calcular A3 ni A4. 83 Es diu que una matriu quadrada és idempotent quan es compleix que el seu quadrat és igual a ella mateixa, és a dir, quan A2 = A. a) Escriu algun exemple de matriu quadrada d’ordre 3, diferent de la matriu unitat i de la matriu nul·la, que sigui idempotent. b) Calcula el valor de m perquè la matriu A m 4 2 3 = - d n sigui idempotent. c) Troba totes les matrius del tipus n m 1 0 d n que siguin idempotents. 84 Donada una matriu quadrada A, es defineix la seva traça, Tr (A), com la suma dels elements de la seva diagonal principal. a) Demostra que per a dues matrius quadrades qualssevol A i B es verifica que Tr (A ? B) = Tr (B ? A). b) Aplica el resultat anterior per calcular a, sabent que les matrius A i B són quadrades i que AB 7 5 5 15 =d n i BA a 2 8 1 = - d n . 85 Una matriu quadrada és nilpotent quan alguna de les seves potències és la matriu nul·la. En el cas que n sigui l’enter positiu més petit tal que An = 0, es diu que A és nilpotent de grau n. a) Demostra que la matriu següent és nilpotent de grau 3. A 1 5 2 1 2 1 3 6 3 = - - - f p És a dir, A2 ! 0 i A3 = 0. b) Troba totes les matrius B b a 0 0 =d n nilpotents de grau 2. 2. Determina el rang d’una matriu 86 Calcula el rang d’aquestes matrius. a) A 2 0 0 2 =d n c) C 1 0 0 0 =d n b) B 1 1 2 2 =d n d) D 0 2 1 0 =d n A C T I V I T A T S F L A I X I N T E R N E T I N T E R N E T I N T E R N E T 87 Calcula el rang. a) A 1 2 5 1 = - d n b) B 9 6 6 4 =d n c) C 1 0 1 0 1 1 1 0 0 =f p c) D 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 =f p 88 I N V E N TA . Escriu aquestes matrius a) De dimensió 2 × 3 i rang 2. b) De dimensió 3 × 3 i rang 1. c) De dimensió 4 × 3 i rang 2. 89 Calcula el rang d’aquesta matriu A 1 4 3 5 2 5 1 3 4 6 2 6 5 7 3 7 = - - - - - - - f p 90 Sabent que el rang de la matriu següent és 2, determina el valor de a. A = a 1 7 11 0 2 4 1 1 - - - f p 91 Calcula el rang de la matriu A segons els valors del paràmetre m. A m 3 1 1 1 2 1 0 6 = - f p 92 Sigui la matriu M a a a a a a a a a 3 5 7 4 6 8 = + + + + + + f p. Discuteix el rang en funció del paràmetre a. 93 Calcula el rang de la matriu següent en funció del paràmetre m. A m 2 4 6 1 2 3 2 1 1 2 3 4 8 = - - - - - f p 94 I N V E S T I G A . Considera la matriu A 1 0 0 1 1 0 1 1 1 =f p. a) Calcula el rang de la matriu An. b) El rang depèn de n? 95 Calcula el rang de A segons els diferents valors del paràmetre real a. A a a 2 1 5 0 0 4 1 4 2 3 3 = - + - - - f p 30
RkJQdWJsaXNoZXIy