3. Determina si una matriu té matriu inversa i la calcula 96 Relaciona cada matriu amb la seva inversa. a) A 1 1 1 2 =d n b) B 1 2 1 3 = - - d n c) C 3 1 2 1 = - - d n I) J 3 2 1 1 =d n II) K 1 1 2 3 =d n III) L 2 1 1 1 = - - d n A C T I V I T A T S F L A I X 97 Calcula la matriu inversa d’aquestes matrius. a) A 1 1 5 6 = - - d n c) C 0 1 3 4 = - d n b) B 1 0 1 0 1 1 1 0 0 =f p d) D 0 1 1 0 1 0 1 0 2 = - f p 98 I N V E N TA . Escriu dues matrius invertibles de rang 2 i dues més de rang 3. Després, escriu-ne dues matrius no invertibles i explica com les obtens. 99 I N V E S T I G A . Donades les matrius A 1 0 3 1 = - d n i B 3 1 4 0 = - d n, calcula. a) A-1 i B-1 b) ( AB)-1 Comprova que es compleix que (AB)-1 = B-1A-1. 100 Donada la matriu A 3 2 4 3 = - - d n, calcula. a) A-1 b) ( At )-1 Comprova que es compleix que t ( ) ( ) A At 1 1 = - -. 101 I N V E S T I G A . Donades les matrius A 1 1 2 0 = - d n i B 0 1 2 3 = - - d n , calcula. a) ( A-1)-1 b) B-1 ? B Es compleixen aquests resultats per a qualsevol matriu? 102 Es diu que dues matrius quadrades d’ordre n, A i B, són semblants si existeix una matriu invertible M tal que B = M-1AM, en què M-1 és la matriu inversa de M. Determina si són semblants aquestes matrius. A = 1 0 2 1 d n B = 1 0 0 1 - d n 103 Considera una matriu quadrada A que compleix l’equació A2 - 3I = 2 A, en què I denota la matriu identitat. a) Estudia si existeix la matriu inversa de A i, si és possible, determina A-1 en funció de A i I. b) Determina totes les matrius A de la forma x y y x d n que compleixen l’equació A2 - 3I = 2 A. 104 Sabent que la inversa d’una matriu A és 1 2 2 1 d n i la inversa de la matriu AB és 2 5 4 3 d n, determina la matriu B. I N T E R N E T 105 I N V E S T I G A . Considera la matriu a c b d d n com una matriu genèrica d’ordre 2. a) Determina l’expressió genèrica de la seva matriu inversa. b) Raona per a quins casos les matrius d’ordre 2 són invertibles. 106 Calcula A-1 i An, sent A una matriu d’ordre 3 amb tots els seus elements nuls excepte a a a 5 1 11 23 32 = = = . 107 Si una matriu quadrada A verifica que A2 + 7A = I, sent I la matriu unitat, calcula A-1 en funció de A. 108 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C R I P T O G R A F I A . El xifratge de Hill per codificar missatges consisteix a substituir cada lletra o espai per un nombre. S’escriu el missatge en una matriu i es multiplica per una matriu regular que s‘anomena matriu de codificació, i per descodificar el missatge es multiplica per la matriu inversa. Si fem correspondre el 0 amb un espai, l’1 amb A, el 2 amb B, … i el 27 amb Z. En forma de matriu, el missatge BEAUTIFUL MATHS seria: B U F T E T U M H A I L A S 2 22 6 0 21 5 21 22 13 8 1 9 12 1 20 = f p f p a) Comprova que la matriu M pot ser una matriu de codificació. M 2 5 4 0 1 1 3 1 0 =f p b) Quin seria el missatge codificat que s’obté de multiplicar la matriu per M? Si en multiplicar les matrius apareixen nombres més grans que no estiguin entre 0 i 27, se suma o es resta 28 les vegades que siguin necessàries perquè estigui entre 0 i 27. c) Calcula la matriu inversa de M i comprova que has descodificat bé el missatge. 109 Donada la matriu A 1 1 1 1 = - d n, comprova que A2 = 2 I, calcula A-1 i troba A12 i la seva inversa. 4. Resol equacions matricials 110 Aïlla la matriu X en cada equació matricial. a) A + X = B c) AX = B e) AXA = B b) A - X = B d) XA = B f ) AXB = C A C T I V I T A T S F L A I X 111 Aïlla la matriu X de les equacions matricials següents. a) AX + B = C b) At X = B c) AXA = A2 + I I N T E R N E T 1 31
RkJQdWJsaXNoZXIy