1 L L E G E I X I C O M P R È N 1 Si entre dos punts del mapa, la carretera que els uneix no és recta, sinó que té 4 revolts pronunciats, quantes arestes són necessàries per assenyalar-les al graf? I N T E R P R E TA 2 Classifica les matrius que apareixen al text, segons la forma i la posició dels seus elements. R E F L E X I O N A 3 Diem que un camí és simple quan no passa dues vegades pel mateix vèrtex. Si considerem un graf amb 5 vèrtexs, quin és el nombre màxim d’arestes que té un camí simple? A P L I C A 4 Donades les matrius següents, dibuixa un graf que les tingui com a matrius d’adjacència. a) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 f p b) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 f p 5 Considera el graf següent i calcula el nombre de camins la longitud dels quals sigui de tres arestes que hi ha entre el vèrtex 2 i el vèrtex 4. 1 2 3 4 Quan programem un GPS perquè ens indiqui una ruta en un mapa amb diferents punts de destinació i el s possibles camins per arribar -hi , el navegador ho interpreta amb un graf en què el s vèrtexs representen el s l locs i les arestes, el s camins que el s uneixen . A qu e st a s i tu a c i ó e s p o t d e s c r i u re amb u n a ma t r i u d’adjacència d’ordre n, en què n és el nombre de vèr - t e x s q u e t é e l g ra f i c a d a e l e m e n t ai j é s e l n omb re d’arestes que van des del vèrtex i al vèrtex j. La matriu d’adjacència corresponent al graf del mapa seria : M 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 =f p L’element aij de la matriu elevada al quadrat expressa el nombre de camins de 2 are st e s qu e exi st ei xen entre el vèrtex i i el vèrtex j. M 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 = = f f f p p p Pe r e xemp l e , h i h a un c amí d e du e s a re st e s d e s d e l vèr t ex a al vèr t ex d i tres camins de dues arest es des del vèr t ex b al vèr t ex b. M 3 expre ssar i a el s camins d e tre s are st e s , M 4 el s d e 4 arestes, i així successivament. D’ aqu e st a man era , e l nav egador cal cul a to t s e l s camins possibl es i , sumant l es longitud s de l es arest es, obté el camí més curt. De la mateixa manera , determina el camí més ràpid sumant els temps de cada aresta . M AT E M ÀT I Q U E S E N E L M Ó N R E A L 238776_02_p62_para_que_sir ven? b c d a Calcular una ruta òptima entre dos llocs diferents 34 81 I N V E N TA . Considera la matriu següent. A 1 3 0 2 2 1 = - f p a) Afegeix una columna de manera que el rang de A sigui 3. Comprova-ho. b) Afegeix una columna de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. c) Afegeix dues columnes de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. 82 Comprova que la matriu té rang 3. A 4 3 1 2 1 2 1 2 3 0 8 9 = - - - - - f p Determina una combinació lineal entre les columnes de la matriu A. 83 Estudia el rang de les matrius segons els valors dels paràmetres. a) a a 1 2 1 1 1 2 2 1 2 3 - - - - f p b) b b b 1 1 1 1 0 0 2 0 2 0 + f p 84 Si el rang de a d b e c f d n és 2, quin serà el rang de la matriu a d a a d b e b b e c f c c f 2 2 2 - - - - - - f p? 85 Troba els valors de m i n que compleixin: A m m m m n 0 0 4 2 =f p B m m m m n n 0 0 4 2 2 4 =f p a) Rang (A) = 2 i Rang (B) = 3 b) Rang (A) = Rang (B) = 2 c) Rang (A) = Rang (B) = 3 86 Sabem que la matriu A a c b d =d n té rang 1 i la matriu B p r q s =c m té rang 2. Determina raonadament el rang de les matrius següents. a) p r q s a c b d X 0 0 0 0 0 0 0 0 =f p b) a c p r b d q s Y 0 0 0 0 0 0 0 0 =f p 87 Determina els valors de a per als quals el rang de la següent matriu és 1. a a 1 1 2 - + d n 88 La matriu A 2 3 2 1 =d n té rang 2 i la matriu identitat I 1 0 0 1 =d n també té rang 2. Determina per a quins valors de t la matriu A + t ? I té rang 1. 89 Determina els valors de a per als quals el rang de la matriu següent és 2. a a a a a a 1 1 1 2 2 3 f p 90 Demostra que aquesta matriu té rang 2 per a qualsevol valor del paràmetre a. a a a a a 1 1 1 2 1 3 1 2 + - + f p 91 Calcula el rang de cada matriu segons cadascun dels seus paràmetres. a) a 1 3 5 2 2 6 4 2 - - - f p b) b 1 3 1 4 3 2 0 1 1 3 1 - - - f p b) a a a 1 2 1 0 1 0 f p d) b b b b 1 2 1 1 1 1 1 2 1 + + + - - f p 92 I N V E S T I G A . Decideix si les afirmacions següents són certes o falses. a) Rang (A) ? Rang (B) = Rang (AB). b) Si ;A; ? ;B; = 1, aleshores B = A-1. c) Si B = A-1, aleshores ;A; ? ;B; = 1. 93 Determina el rang de la matriu segons el paràmetre m. m m m m m m m m m 2 1 1 1 1 1 2 1 7 3 4 - + + - - + + f p 94 Determina el rang de la matriu segons el paràmetre a. a a a 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 + + + f p 3. Determina les condicions perquè una matriu tingui inversa i la calcula 95 Relaciona cada matriu amb la seva inversa. a) 1 0 1 2 d n b) 1 2 3 4 d n c) 0 1 1 2 d n i) 2 1 1 0 - - - d n ii) ? 2 1 0 2 1 1 - d n iii) 2 1 2 4 2 3 - - - d n A C T I V I T A T S F L A I X 96 Troba la matriu inversa d’aquestes matrius. a) A 3 5 2 4 =d n c) C 7 1 6 2 = - d n b) B 1 1 3 0 1 2 2 1 1 = - - f p d) D 2 0 3 1 1 5 1 3 4 = - - - f p a c t i v i tat s f i n a l s 2 69 Sabent que a + b + c = -3, resol l’equació: x a a a b x b b c c x c 0 + + + = 70 I N V E S T I G A . Converteix aquest determinant en el d'una matriu triangular, i demostra la igualtat. ( ) a b a a b a a b b a b a b 2 3 3 + + = - Determinants de qualsevol ordre 71 I N V E N TA . Escriu aquestes matrius. a) Una matriu d’ordre 2 × 2 el determinant de la qual sigui 2. b) Una matriu d’ordre 3 × 3 el determinant de la qual sigui 3. c) Una matriu d’ordre n × n el determinant de la qual sigui n. 72 Troba el valor dels determinants següents, tot desenvolupant per la fila o columna que més t’interessi. a) 3 1 2 1 3 5 4 2 1 0 0 1 4 6 2 2 - - - - - - - b) 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 0 1 4 5 4 4 - - - 73 Troba el valor del determinant de B segons el paràmetre a. a a a a B 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 = - - - - f p 74 I N V E S T I G A . Comprova, fent servir les propietats dels determinants, que aquest determinant, anomenat Vandermonde, verifica: ( ) ( ) ( ) B a a b b c c b a c a c b 1 1 1 2 2 2 ; ;= = - - - Busca una fórmula per obtenir els determinants de Vandermonde i calcula. A a a a a b b b b c c c c d d d d e e e e 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 ; ;= 75 Determina les solucions d’aquesta equació. x x x x x x 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 0 + + + = 76 R E P T E . Calcula el determinant següent. (log 50) 1 log 5 (log 5) 1 log 50 1 log 500 (log 500) 2 2 2 I N T E R N E T 77 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . A S T R O N O M I A . Els planetes, en la seva trajectòria al voltant del Sol, segueixen òrbites el·líptiques, i la seva equació general és ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0. Per determinar la trajectòria d’un planeta, només cal conèixer la seva posició en cinc moments determinats i resoldre un determinant d’ordre 6. Coneixem la posició d’un planeta en cinc moments: P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5). La trajectòria del planeta es pot calcular amb aquest determinant: x x x x x x xy x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x y y y y y y 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 = 0 Quina seria l’equació de la trajectòria si passa pels punts (-2, 1), (1, 2), (5, 1), (6, -1) i (4, -2)? 2. Determina el rang d’una matriu 78 Troba el rang d’aquestes matrius. a) 1 0 1 1 d n c) 1 2 1 2 1 2 - - d n e) 1 0 3 0 2 1 d n b) 1 0 2 0 1 0 f p d) 1 0 1 0 0 0 1 0 1 f p f ) 1 0 0 1 2 0 1 1 3 f p A C T I V I T A T S F L A I X 79 Estudia el rang d’aquestes matrius. a) 2 4 1 2 3 0 - - d n c) 1 2 3 4 8 1 0 3 2 - - - f p b) 6 8 12 9 12 18 - - - f p d) 2 2 2 6 3 24 1 0 3 3 5 19 - f p 80 I N V E N TA . Considera la matriu A 3 4 5 1 1 2 = - - d n. a) Afegeix una fila de manera que el rang de A sigui 3. Comprova-ho. b) Afegeix una fila de manera que el rang de A sigui 2. Comprova-ho. 55 54 d n D D 2 0 110 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . V I D E O J O C S . En un scape room hem de passar de la sala 1 a la sala 2. Per fer-ho, s’han de desactivar les alarmes que hi ha a la sala 1, amagades al darrere d’un mur mitjançant un làser. Les sales comparteixen un mirall comú, com mostra la figura. Des del punt P(-4, 2) desactivem l’alarma en P’(4, 2), i des del punt Q(-3, 3) desactivem l’alarma en Q’(3, 3). a) Calcula la matriu, A, que dona la reflexió, AP = P’, i comprova que el seu determinant és -1. b) Amb la matriu anterior, calcula on hem de posicionar-nos per desactivar l’alarma R’(1, 5). 111 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M E C À N I C A Q U À N T I C A . Per representar l’estat físic d’un sistema de partícules es fa servir la funció antisimètrica de Pauli. Per simplificar aquest càlcul, el 1931, el físic Johan C. Slater, va desenvolupar un mètode que utilitza un determinant. Per exemple, per a l’estat físic del liti, la configuració electrònica és 1s22s1 i els seus espins orbitals 1sa, 1sb, 2sa, 2sb, en què a i b representen els dos sentits de gir de l’electró. Com que el liti té 3 electrons, tindrem el determinant d’una matriu quadrada d’ordre 3, a les columnes hi ha els spin-orbitals i a les files, els electrons: ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s s s 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 a a a b b b a a a , en què 3! són les permutacions dels 3 electrons. a) Desenvolupa el determinant i escriu la funció antisimètrica de Pauli per al liti. b) La configuració electrònica de l’heli és 1s2. Escriu i desenvolupa el determinant d’ordre 2 que representa el seu estat físic. a c t i v i tat s f i n a l s 2 97 Demostra que si A és una matriu quadrada que compleix la igualtat A2 = I, en què I és la matriu identitat, aleshores és invertible i A-1 compleix també ( ) A I 1 2 = - . 98 INVESTIGA. Pren una matriu quadrada d’ordre 2 i calcula’n la matriu adjunta. Compara’n els determinants. Fes el mateix amb una matriu quadrada d’ordre 3. Estableix una hipòtesi general i intenta demostrar-la. 99 Per quin valor del paràmetre m és singular la matriu? Calcula’n la inversa per a m = 2. A m 2 1 2 1 0 1 1 1 = - - - f p 100 Donada la matriu A a b a b a b 4 = + + d n : a) Determina els valors dels paràmetres a i b per als quals la matriu A és invertible. b) Per a a = 3 i b = 1, troba la matriu A-1. 101 I N V E S T I G A . Sent A 1 1 2 2 5 5 3 3 4 = - - f p i B 2 1 2 11 4 12 12 17 2 = - - f p , troba dues matrius C i D tals que: C A = B DB = A Quina relació hi ha entre C i D? 102 Sigui la matriu següent: A m 1 5 4 2 2 3 1 1 = - - f p a) Determina els valors de m per als quals l’equació AX A A t - = té solució. b) Resol l’equació AX A A t - = per a m 0 = . 103 Considera la matriu següent. A m m 3 1 0 1 0 1 1 0 2 = - - - f p a) Determina els valors per als quals la matriu A és invertible. b) Per a m 1 = , determina el determinant de la matriu ? A 6 1 -. c) Per a m 1 = , troba una matriu X que verifiqui l’equació ? X A B = , en què B = (3 0 3). 104 I N V E S T I G A . Diagonalitzar una matriu, A, consisteix a obtenir una descomposició de la forma PDP-1 = A, en què D és una matriu diagonal. Considera la matriu A 1 1 0 2 =d n. a) Calcula m1 i m2 tals que det(A - m I ) = 0, amb m1 < m2. b) Troba la inversa de P 1 1 0 1 =d n. c) Comprova que A 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 m m - = d e d n o n . d) Determina, a partir de l’expressió anterior, A10. I N T E R N E T 105 Considerem aquestes matrius. A m 1 1 1 0 1 0 0 1 =f p B 0 1 0 1 0 0 1 0 0 =f p C 1 0 1 0 1 0 0 0 1 =f p a) Per a quins valors de m té solució l’equació matricial ? A X B C 2 3 + = ? b) Resol l’equació matricial donada per a m 1 = . 106 Sabent que la matriu A x 1 0 1 0 1 0 1 0 = - - f p no és invertible, determina’n la potència enèsima, és a dir, An. 107 Donada la matriu A t t t t t t 1 2 3 4 3 4 6 4 = - - - - f p : a) Demostra que únicament hi ha dos valors de t per als quals A no és invertible. b) Per a t 1 = , troba la potència enèsima de A. 4. Resol problemes de la vida real mitjançant determinants 108 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M E R C AT. El funcionament del mercat es basa en la relació entre l’oferta i la demanda. L’anàlisi de com afecta el canvi de preu d’un producte en la demanda de l’altre es pot fer analitzant la matriu D P D P A A B B e o , en què PA i PB són els preus dels productes i DA i DB les demandes. Si el determinant d’aquesta matriu és diferent de zero, el canvi de preu d’un producte afecta la demanda de l’altre. Si el determinant és zero, el canvi de preu no afecta la demanda de l’altre producte. Si la matriu de preu-demanda de dos productes és a 2 1 3 d n, per a quin valor de a el preu no afecta la demanda? 109 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C R I P T O G R A F I A . El xifratge de Hill fa servir matrius per codificar missatges. Cal que les matrius que s’utilitzen siguin regulars perquè siguin inversibles. Donada la matriu: a b 2 1 5 1 1 1 3 - - f p a) Calcula per a quins valors de a i b és una matriu de codificació? b) Troba algun valor per als paràmetres perquè el determinant sigui igual a 1. I N T E R N E T P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 112 Donada la matriu: , , , , , A 6 6 6 7 2 8 8 8 9 6 9 9 9 10 =f p a) Troba tots els menors de 2 × 2 que puguis formar amb la primera i segona files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. b) Calcula els menors 2 × 2 que puguis formar amb la primera i tercera files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. 113 En un club esportiu es poden veure aquests preus: Pàdel 1 h Pàdel 1 h 30 min Pàdel 2 h 2020 6 € 8 € 9 € 2021 6,60 € 8,80 € 9,90 € 2022 7,20 € 9,60 € 10 € a) Estudia si els preus van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2021. b) Analitza si van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2022. 114 Donades les matrius. A 1 1 2 1 0 1 1 2 3 =f p B 5 5 10 =f p a) Calcula el rang de A. b) Pots calcular A-1? 115 L’Aleix gasta 5 € en la compra d'una bossa de fruita seca, un pot d’olives i un suc de taronja. Després, compra una altra bossa de fruita seca i dos sucs de taronja per 5 €. Al dia següent torna al supermercat per comprar dues bosses de fruita seca, un altre pot d’olives i dos sucs de taronja i paga 10 €. Quant li ha costat cada article? 116 Resol l’equació AX = B per a aquestes matrius. A 1 0 10 1 1 20 1 4 50 = - f p B 100 0 1800 =f p 117 Al final del dia, un caixer automàtic conté 1800 € en bitllets de 10, 20 i 50 €. Si conté el quàdruple de bitllets de 20 que de 50 i en total hi ha 100 bitllets, quants bitllets hi ha de cada tipus? Q Q’ R’ P P’ X Y CAP A LA UNIVERSITAT 57 56 1 I I . I J . En un scape r o he de pa sar de la sala 1 a la sala 2. Per fer-ho, s’han de desactivar les alar es que hi ha a la sala 1, a agades al da rere d’un mur mitjançant un làser. Les sales co parteixen un mira l co ú, co mostra la figura. es del punt P(-4, 2) desactive l’alar a en P’(4, 2), i des del punt Q(-3, 3) desactive l’alar a en ’(3, 3). a) alcula la matriu, A, que dona la reflexió, AP = P’, i co prova que el seu deter inant és -1. b) b la matriu anterior, calcula on he de posicionar-nos per desactivar l’alar a R’(1, 5). 1 I I . I I . er representar l’estat físic d’un siste a de partícules es fa servir la funció antisimètrica de Pauli. er simplificar aquest càlcul, el 1931, el físic Johan C. Slater, va desenvolupar un mètode que utilitza un deter inant. er exe ple, per a l’estat físic del liti, la configuració electrònica és 1s22s1 i els seus espins orbitals 1s , 1sb, 2s , 2sb, en què a i b representen els dos sentits de gir de l’electró. o que el liti té 3 electrons, tindre el deter inant d’una matriu quadrada d’ordre 3, a les colu nes hi ha els spin-orbitals i a les files, els electrons: ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s s s 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 , en què 3! són les per utacions dels 3 electrons. a) esenvolupa el deter inant i escriu la funció antisimètrica de Pauli per al liti. b) La configuració electrònica de l’heli és 1s2. Escriu i desenvolupa el deter inant d’ordre 2 que representa el seu estat físic. i i i 97 e ostra que si A és una matriu quadrada que co pleix la igualtat A2 = I, en què I és la matriu identitat, aleshores és invertible i A 1 co pleix ta bé ( ) A I 1 2 . 98 I I . Pren una matriu quadrada d’ordre 2 i calcula’n la matriu adjunta. Co para’n els deter inants. Fes el mateix a b una matriu quadrada d’ordre 3. Estableix una hipòtesi general i intenta de ostrar-la. 9 er quin valor del parà etre m és singular la matriu? alcula’n la inversa per a m = 2. 2 1 2 1 0 1 1 1 f p 1 onada la matriu a b a b a b 4 d n : a) eter ina els valors dels parà etres a i b per als quals la matriu A és invertible. b) Per a a = 3 i b = 1, troba la matriu A 1. 1 1 I I . Sent 1 1 2 2 5 5 3 3 4 f p i B 2 1 2 1 4 12 12 17 2 f p, troba dues matrius C i D tals que: A = B = A uina relació hi ha entre C i D? 1 2 Sigui la matriu següent: 1 5 4 2 2 3 1 1 f p a) eter ina els valors de m per als quals l’equació t té solució. b) Resol l’equació t per a m 0. 1 3 onsidera la matriu següent. 3 1 0 1 0 1 1 0 2 f p a) eter ina els valors per als quals la matriu A és invertible. b) Per a m 1, deter ina el deter inant de la matriu ? 6 1. c) Per a m 1, troba una matriu X que verifiqui l’equació ? , en què B = (3 0 3). 1 4 I I . Diagonalitzar una matriu, A, consisteix a obtenir una desco posició de la for a P 1 = A, en què D és una matriu diagonal. Considera la matriu 1 1 0 2 d n. a) alcula m1 i m2 tals que det(A - m I ) = 0, a b m1 < m2. b) Troba la inversa de P 1 1 0 1 d n. c) o prova que 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 m m d e d n o n . d) eter ina, a partir de l’expre sió anterior, A10. I N T E R N E T 1 5 onsidere aquestes matrius. 1 1 1 0 1 0 0 1 f p 0 1 0 1 0 0 1 0 0 f p 1 0 1 0 1 0 0 0 1 f p a) Per a quins valors de m té solució l’equació matricial ? 2 3 ? b) Resol l’equació matricial donada per a m 1. 1 6 Sabent que la matriu x 1 0 1 0 1 0 1 0 f p no és invertible, deter ina’n la potència enèsima, és a dir, An. 1 7 onada la matriu t t t t t t 1 2 3 4 3 4 6 4 f p : a) e ostra que única ent hi ha dos valors de t per als quals A no és invertible. b) Per a t 1, troba la potència enèsima de A. . R l r l l vi r l itj t t r i t 1 8 I I . . El funciona ent del ercat es basa en la relació entre l’oferta i la de anda. L’anàlisi de co afecta el canvi de preu d’un producte en la de anda de l’altre es pot fer analitzant la matriu A A B B e o, en què PA i PB són els preus dels productes i DA i DB les de andes. Si el deter inant d’aquesta matriu és diferent de zero, el canvi de preu d’un producte afecta la de anda de l’altre. Si el deter inant és zero, el canvi de preu no afecta la de anda de l’altre producte. Si la matriu de preu-de anda de dos productes és a 2 1 3 d n, per a quin valor de a el preu no afecta la de anda? 1 9 I I . I I . El xifratge de Hi l fa servir matrius per codificar mi satges. Cal que les matrius que s’utilitzen siguin regulars perquè siguin inversibles. onada la matriu: a b 2 1 5 1 1 1 3 f p a) alcula per a quins valors de a i b és una matriu de codificació? b) Troba algun valor per als parà etres perquè el deter inant sigui igual a 1. I N T E R N E T I 12 onada la matriu: , , , , , 6 6 6 7 2 8 8 8 9 6 9 9 9 10 f p a) Troba tots els menors de 2 × 2 que puguis for ar a b la primera i segona files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. b) alcula els menors 2 × 2 que puguis for ar a b la primera i tercera files i digues si n’hi ha algun diferent de zero. 13 En un club esportiu es poden veure aquests preus: Pàdel 1 h Pàdel 1 h 30 min Pàdel 2 h 2020 6 € 8 € 9 € 2021 6,60 € 8,80 € 9,90 € 20 2 7,20 € 9,60 € 10 € a) Estudia si els preus van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 2021. b) nalitza si van patir la mateixa pujada de l’any 2020 al 20 2. 14 onades les matrius. 1 1 2 1 0 1 1 2 3 f p 5 5 10 f p a) alcula el rang de A. b) Pots calcular A 1? 15 L’Aleix gasta 5 € en la co pra d'una bo sa de fruita seca, un pot d’olives i un suc de taronja. Després, co pra una altra bo sa de fruita seca i dos sucs de taronja per 5 €. Al dia següent torna al super ercat per co prar dues bo ses de fruita seca, un altre pot d’olives i dos sucs de taronja i paga 10 €. uant li ha costat cada article? 16 esol l’equació A = B per a aquestes atrius. 1 0 10 1 1 20 1 4 50 f p 1 0 0 18 0 f p 17 l final del dia, un caixer auto àtic conté 18 0 € en bit lets de 10, 20 i 50 €. Si conté el quàdruple de bit lets de 20 que de 50 i en total hi ha 1 0 bit lets, quants bit lets hi ha de cada tipus? ’ ’ ’ CAP A LA IVERSITAT 57 56 CONSOLIDA TOT EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 PASSA A L’ACCIÓ: MATEMÀTIQUES EN EL MÓN REAL 5 PRACTICA LES TEVES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Treballa els continguts que has après resolent activitats de tot tipus: INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre activitats fent servir GEOGEBRA, buscant algun tipus d ’informació a INTERNET… Comprèn i analitza situacions reals aplicant els continguts que has après. Descobreix, en l’apartat Cap a la universitat, activitats que ja saps fer i la contextualització en problemes reals que són similars als que trobaràs a la prova d ’accés a la universitat. Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diferents àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Moltes d ’aquestes activitats són similars a les que trobaràs a la prova d ’accés a la universitat. 7
RkJQdWJsaXNoZXIy