3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

342737

Física Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada al Depar tament d ' Edicions de Santillana , sota la direcció de Teresa Grence Ruiz. En l 'elaboració ha par ticipat: María del Carmen Vidal Fernández David Sánchez Gómez EDICIÓ María del Carmen Vidal Fernández Pere Macià Arqué 3.14 Ser vicios Editoriales EDICIÓ EXECUTIVA David Sánchez Gómez DIRECCIÓ DEL PROJECTE Antonio Brandi Fernández Les activitats d'aquest llibre no s'han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s'hi inclouen són models perquè l'alumnat els traslladi a la llibreta. 2 B A T X I L L E R A T

Índex de Física Unitat Construeix el teu coneixement Sabers bàsics Aplico el que he après 1 Camp gravitatori 6 1. La cinemàtica dels planetes. 2. La dinàmica dels planetes. Llei de la gravitació universal. 3. Camp gravitatori creat per masses puntuals. 4. Representació del camp gravitatori. 5. Camp gravitatori dels cossos celestes. 6. Moviment de planetes i satèl·lits. 7. Viatges a través de l’espai. Satèl·lits meteorològics. 2 Camp elèctric 46 1. El camp electrostàtic. 2. Energia associada al camp elèctric. 3. Potencial elèctric. 4. Representació del camp electrostàtic. 5. Estudi comparatiu del camp gravitatori i del camp electrostàtic. 6. Camp creat per una distribució contínua de càrrega. 7. Moviment de partícules carregades en un camp elèctric uniforme. Lectors de llibres electrònics. 3 Camp magnètic 84 1. El camp magnètic . 2. Efecte d’un camp magnètic sobre una càrrega en moviment. Llei de Lorentz. 3. Moviment de partícules carregades a l’interior de camps magnètics. 4. Efecte d’un camp magnètic sobre un fil de corrent. 5. Camp magnètic creat per càrregues i corrents. 6. Camp magnètic creat per agrupacions de corrents. 7. Comparació entre el camp magnètic i el camp electrostàtic. Discos durs. 4 Inducció electromagnètica 118 1. La inducció electromagnètica. 2. Lleis de la inducció electromagnètica. 3. Aplicacions de la inducció electromagnètica. 4. Síntesi de Maxwell per a l’electromagnetisme. La guitarra elèctrica. 5 Moviment harmònic simple 148 1. El moviment harmònic simple. 2. Cinemàtica del moviment harmònic simple. 3. Dinàmica del moviment harmònic simple. 4. L’energia al moviment harmònic simple. 5. Oscil·lacions forçades. Ressonància. La música és vibració. 2

Unitat Construeix el teu coneixement Sabers bàsics Aplico el que he après 6 Ones. El so 174 1. El moviment ondulatori. 2. Equació matemàtica de l’ona harmònica. 3. La propagació de l’energia en el moviment ondulatori. 4. Com es propaguen les ones. Principi d’ Huygens. 5. Propietats de les ones. 6. El so, un moviment ondulatori. Ecografies. 7 Ones electromagnètiques 218 1. La naturalesa de la llum: un problema històric. 2. La llum és una ona electromagnètica. 3. L’espectre electromagnètic. 4. Fenòmens ondulatoris de la llum. 5. El color. Polaritzadors. 8 Òptica geomètrica 254 1. L’òptica geomètrica. 2. Imatges per reflexió. 3. Imatges per refracció. 4. Instruments òptics. 5. L’ull humà Objectius fotogràfics. 9 Relativitat 288 1. La necessitat d’una nova física. 2. La teoria de la relativitat especial. 3. L’energia relativista. Sistemes de navegació per satèl·lit. 10 Física quàntica 312 1. Els fets que no explica la física clàssica. 2. El model atòmic de Bohr. 3. La mecànica quàntica. 4. Aplicacions de la física quàntica. Il·luminació amb leds. 3

Índex de Física Unitat Construeix el teu coneixement Sabers bàsics Aplico el que he après 11 Física nuclear 348 1. El nucli atòmic. 2. La radioactivitat. Desintegracions radioactives. 3. Cinètica de la desintegració radioactiva. 4. La radioactivitat artificial. 5. Reaccions nuclears de fissió i fusió. 6. Radiacions ionitzants. 7. Aplicacions dels processos nuclears. Gammagrafies. 12 Física de partícules 378 1. Partícules menors que l’àtom. Quarks. 2. Les interaccions fonamentals. 3. El model estàndard. 4. Interaccions entre partícules. 5. Com es generen i detecten les partícules. Ressonància magnètica nuclear. 13 Història de l’univers 410 1. L’ expansió de l’univers i el big bang. 2. Proves experimentals que recolzen la teoria del big bang. 3. L’univers primerenc i les partícules. 4. Matèria fosca i energia fosca. 5. El model estàndard: fortaleses i debilitats. Astronomia, càmeres CCD i fotografia digital. Annexos 432 I. Taules de constants físiques i químiques II. Taula periòdica dels elements químics 4

Esquema de les unitats 3. Camp gravitatori creat per masses puntuals EXEMPLE RESOLT 4 Dues masses puntuals, m1 = 5 kg i m2 = 10 kg, es troben als punts del pla XY (1, 3) m i (1, 9) m, respectivament. Calcula la intensitat del camp gravitatori a causa de les dues masses al punt (5, 6). Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. D’acord amb el principi de superposició: g g g Total 1 2 = + Com que coneixem les coordenades de cadascun dels punts, el més senzill és calcular cada camp tenint en compte la definició de g i obtenint, en cada cas, el vector unitari, u r r r = . Fes servir unitats de l’SI per a cada magnitud. ● Calcula g1. r 1 és un vector amb origen al punt (1, 3) i extrem a (5, 6). ( ) ( ) r r 5 1 6 3 4 3 i j i j 1 1 = - + - = + " u r r 4 3 4 3 5 4 3 i j i j r 1 1 1 2 2 = = + + = + Per tant: ? ? ? ? ? , g r G M u 5 6 67 10 5 5 4 i 3 j kg N r 1 1 2 1 1 2 11 = - = - + - ? ? , , g 1 07 10 8 00 10 i j kg N 1 11 12 = - - - - ● Calcula g2. r2 és un vector amb origen al punt (1, 9) i extrem a (5, 6). ( ) ( ) r r 5 1 6 9 4 3 i j i j 2 2 = - + - = - " u r r 4 3 4 3 5 4 3 i j i j r 2 2 2 2 2 = = + - = - Per tant: ? ? ? ? ? , g r G M u 5 6 67 10 10 5 4 i 3 j kg N r 2 2 2 2 2 2 11 = - = - - - ? ? , , g 2 14 10 1 60 10 i j kg N 2 11 11 = - + - - Aleshores: ? ? ? ? , ( , ) ( , , ) [ ] g g g 1 07 10 2 14 10 8 00 10 1 60 10 i j kg N Total 1 2 11 11 12 11 = + = - + - + + - + - - - - " gTotal ? ? , , 3 21 10 8 00 10 i j kg N 11 12 = - + - - Camp creat per una distribució de masses puntuals Suposem que en una regió determinada de l’espai s’ aprecia l’efecte de diversos punts materials de massa M1, M2, M3, etc. La intensitat del camp gravitatori creat per un conjunt de masses puntuals en un punt és la suma vectorial dels camps que crearia cada massa si només hi fos aquesta a la regió de l’espai . Això és coneix com a principi de superposició. ? ? g g r G M u Total i i i i ri i 2 = = - e o / / A la figura es representa el camp creat pels cossos de massa M1, M2 y M3 al punt P. El camp total és la suma dels camps creats per cada massa . g g g g Total 1 2 3 = + + ? ? ? ? ? ? g r G M u r G M u r G M u Total r r r 1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 = - - - El camp total és la suma dels camps creats per cada massa . M1 M1 M2 M3 P P M3 g1 g1 g2 g2 g3 g3 gTotal r 1 r2 r3 Y X m1 0 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 1 2 3 4 5 6 P g1 g2 gTotal m2 16 Per tant: ? ? ( , , ) g 3 47 10 2 00 10 i j Total 12 12 = - - + - - ? ? ( , , ) 5 20 10 3 00 10 i j 12 12 + - + - - ? 1,00 10 j 12 + - " gTotal = " ? ? , , 1 73 10 4 00 10 i j kg N 12 12 - - - b) Calcula la força: ? F m g G Total = . ? ? ? ( , , ) F 5 1 73 10 4 00 10 kg i j N/kg G 12 12 = - - - " FG = ? , , 0 8710 2 00 10 i j N 11 11 - - - c) Fes servir les unitats del sistema internacional per a totes les magnituds. ? ( ) ( ) W E E E m V V D E P P E P D T E T D D = - = - - = - - " Calcula el potencial total que les tres masses creen en cadascun d’aquests punts: ? ? ? V V V V r G r G r G M M M T D AD BD CD AD A BD B CD C = + + = - - - ? ? ? ? / , / , V 10 3 3 6 67 10 2 10 3 3 6 67 10 3 T D 11 11 = - - - - - ? ? / , , 10 3 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 6 354 10 kg J T D 11 = - - ? ? ? V V V V r G M r G M r G M T E A E B E C E AE A BE B CE c = + + = - - - ? ? ? ? , , V 5 6 67 10 2 5 6 67 10 3 T E 11 11 = - - - - - ? ? , , 5 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 7 055 10 kg J T E 11 = - - ? ( ) W m V V D E T E T D = - - " ? ? ? ? ( , ( , )) W 5 7 055 10 6 354 10 3,51 10 J D E 11 11 11 = - - - - = =+ " - - - Interpretació: W 0 > D E " , a i xò vo l d i r que l es forces de camp desp l açaran l a massa de 5 kg des de l cent re de l t r i ang l e a l mi g de l vèr tex oposat . d) Suposa que les úniques forces que actuen sobre el sistema són les forces gravitatòries: EC D + EP D = EC E + EP E " " ? ? E m V E m V C D T D C E T E + = + ? ? ? ? ? ? ( , ) ( , ) v 0 5 6 354 10 2 1 5 5 7 055 10 E 11 2 11 + - = + - - - ? v 3,8 10 m/s E 6 = - " 3. Avalua el resultat. Observa que el resultat numèric del problema pot canviar si les masses es posen en una altra posició. Com que la figura és simètrica, el vector que representa el camp i la força tindran diferents components, però amb el mateix mòdul. El valor de les magnituds escalars (potencial i energia) és independent de l’orientació del triangle. S O L U C I Ó 9 Justifica si l’afirmació següent és certa o falsa: «El potencial gravitatori és nul al punt mitjà del segment que uneix dues masses iguals». 10 Als punts A (-30, 0) i B (+20, 0) es troben fixes dues masses puntuals de 105 kg cadascuna. Al punt (0, –15) es troba una esfera petita de 400 g de massa, que pot moure’s lliurement. Tenint en compte que les distàncies estan expressades en metres, troba: a) La força exercida (mòdul, direcció i sentit) sobre l’esfera a la seva posició inicial. b) L’acceleració que experimentarà l’esfera just quan es trobi al punt (0, 0) entre els cossos A i B. c) Enuncia el principi de superposició de camps. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) ? ? , , 1 10 3 62 10 29 i j N 9 9 + - - ; 3,84 ? 10-9 N b) 9,29 ? 10-9 i m/s2 11 Si ens desplacem des d’un punt situat a gran altura en direcció cap a la superfície de la Terra, l’energia potencial gravitatòria augmentarà o disminuirà? 12 Hi ha dues masses de 3 ? 109 kg i 6 ? 109 kg, respectivament, als extrems de la hipotenusa d’un triangle rectangle isòsceles. a) Fes un esquema del camp gravitatori de cada massa i del camp total al vèrtex lliure. b) Si la hipotenusa del triangle mesura 100 m, calcula el mòdul del camp gravitatori en aquest vèrtex. c) En quin punt del triangle el camp gravitatori serà nul? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: b) 8,95 ? 10-5 m/s2; c) 41,42 # de la massa menor. A C T I V I T A T S 3. Camp gravitatori creat per masses puntuals A B X m Y 100 m m1 = 3 ? 10 9 kg m2 = 6 ? 10 9 kg 24 1 Analitzar el camp gravitatori creat per masses puntuals amb distribució geomètrica Al s t res vèr texs d’un t r i ang l e equi l àter de 10 m de costat hi ha s i tuats cossos puntua l s de masses 2, 3 i 0,5 kg. Ca l cul a: a) El valor del camp gravitatori al centre del triangle. b) La força que s’exercirà sobre un cos de 5 kg de massa que se situï al centre del triangle. c) El treball que fa el camp per portar aquest cos des del centre del triangle fins al punt mitjà del costat en què es troben les masses de 2 i 3 kg. Interpreta el signe del resultat. d) Suposant que la massa de 5 kg es deixa en repòs al centre del triangle, amb quina velocitat arribarà al punt mitjà del costat oposat? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/ kg2. 1. Comprèn l’enunciat. Dades conegudes Resultats a obtenir Valor de tres masses i la seva localització en un triangle. ● Camp gravitatori al centre del triangle i força sobre un cos de 5 kg. ● Treball en un desplaçament i velocitat amb què arriba. Fes tots els càlculs en unitats de l'SI. 2. Representa els cossos en la posició de l’enunciat. Estableix un sistema de coordenades per determinar la posició de cadascun dels cossos i el punt on es crea el camp. El centre del triangle (D) és el baricentre; dista de cada vèrtex 2/3 de l’altura. B A E D ( , / ) 5 5 3 3 C (0, 0) 2 2 0 4 6 8 6 4 8 10 (10, 0) 0, 5 kg 2 kg 3 kg 5, 5 3 ` j ur CD ur BD ur AD gC gA g B a) Calcula el camp al centre del triangle: g g g g T A B C otal = + + " ? ? ? ? ? ? g r G M u r G M u r G M u Total AD A r AD BD B r BD CD A r CD 2 2 2 = - - - " En cada cas, calculem el vector de posició i el vector unitari amb les coordenades dels punts inicial i final. A vegades, la simetria de la composició facilita el càlcul. ● rAD és un vector amb origen al punt (0, 0) i extrem a 5, 3 5 3 f p . / r 5 5 3 3 i j AD = + " ( / ) / u r r 5 5 3 3 5 5 3 3 i j r AD AD AD 2 2 = = + + = " / / 10 3 3 5 5 3 3 2 3 2 1 i j i j = + = + " ● r BD és un vector amb origen al punt (10, 0) i extrem a ( , / ) 5 5 3 3 . / r 5 5 3 3 i j BD= - + " u 2 3 2 1 i j r BD = - + " Per simetria amb l’anterior. ? ? g r G M u B BD B r BD 2 = - = ? ? ? ? / , 10 3 3 6 67 10 3 2 3 2 1 m kg N m kg i j 2 2 11 2 2 = - - + = - _ f i p ? ? , , 5 20 10 3 00 10 i j kg N 12 12 = - - - ● rCD és un vector amb origen al punt 5, 5 3 _ i i extrem a 5, 3 5 3 f p . / r u 0 10 3 3 i j j CD r CD = - = - " " ? ? g r G u M C CD C r CD 2 = - = " ? ? ? ? / , , ( ) 10 3 3 6 67 10 0 5 m kg N m kg j 2 2 11 2 2 = - - = - _ i ? 1,00 10 j kg N 12 = - S O L U C I Ó 23 Camp gravi tator i creat per masses puntual s 31 Indica quines dimensions té la intensitat del camp gravitatori en el sistema internacional. 32 Raona si és certa o falsa l’afirmació següent i justifica la resposta: «Si en un punt d’un camp creat per diverses masses la intensitat del camp és nul·la, també ho serà el potencial gravitatori». 33 Tres planetes de masses m1, m2 i m3 es troben en els punts (-a, 0), (0, -a) i (0, a), respectivament. Considerant que són masses puntuals de valors m2 = m3 = 2m1 = 4 ? 1021 kg, i si a = 2 ? 105 m, calcula: a) El vector camp gravitatori originat pels tres planetes en el punt O (0, 0) m. b) El potencial gravitatori (energia potencial per unitat de massa) originat pels tres planetes en el punt P (a, 0) m. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) ? ? ? ? , g 4 10 6 67 10 2 10 i 3,335 i kg N Total 10 11 21 = = - ; b) =2,22 ? 106 J/kg 34 Dues partícules de masses 8 kg i 1 kg es troben en el buit i separades 40 cm. Calcula: a) L’energia potencial inicial del sistema i el treball fet per la força gravitatòria a l’augmentar la separació entre les partícules fins a 80 cm. b) El treball necessari per separar les partícules des de la posició de partida fins a l’infinit i el treball necessari per restablir la distribució inicial. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) -1,334 ? 10-9 J; -6,67 ? 10-10 J; b) -1,334 ? 10-9 J; 1,334 ? 10-9 J Representació del camp gravitatori 35 Una sonda espacial que està a 50 m de la superfície de Mart s’apropa fins que s’hi posa a sobre. a) Observa els gràfics següents i indica, de manera justificada, quin representa les superfícies equipotencials generades per Mart. b) En el gràfic seleccionat, assenyala la posició de la superfície de potencial més gran i més petit. Justifica la teva resposta. A B C D 36 Indica si és certa o falsa l’afirmació següent i justifica la resposta: «El treball fet al traslladar una massa entre dos punts d’una mateixa superfície equipotencial mai és zero». Cinemàtica i dinàmica dels planetes 26 Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d’un planeta. Explica quina o quines de les magnituds següents es mantenen constants: a) El moment lineal. b) L’energia potencial. c) El moment angular. 27 Si una partícula es mou en un camp de forces centrals, el seu moment angular respecte del centre de forces: a) Augmenta indefinidament. b) És zero. c) És constant. 28 Al voltant d’una estrella orbiten dos planetes amb una massa molt més petita que la massa de l’estrella. Un d’ells (A) descriu una òrbita circular de radi RA = 1 ? 108 km i té un període de rotació de TA = 2 anys. Per la seva banda, el planeta B segueix una òrbita el·líptica el semieix de la qual és més gran (suma de les distàncies a l’estrella en l’apoastre i el periastre) de 2,8 ? 108 km. Calcula. a) El període de rotació del planeta B. b) La massa de l’estrella. c) La relació entre la velocitat lineal del planeta B en el seu apoastre i en el seu periastre. En quin d’aquests punts té una velocitat més gran? Solució: a) 4,83 anys; 1,49 ? 1029 kg; b) v p = 1,8 ? vA 29 Rhea i Titan són dos satèl·lits de Saturn que triguen, respectivament, 4,52 i 15,9 dies terrestres a recórrer les seves òrbites a l’entorn del planeta. Sabent que el radi mitjà de l’òrbita de Rhea és 5,27 ? 108 m, calcula el radi mitjà de l’òrbita de Titan i la massa de Saturn. Dada: G = 6,67 ? 10–11 N ? m2/kg2. Solució: 1,22 ? 109 m; 5,68 ? 1026 kg 30 L’esquema reprodueix una experiència similar a la que va fer Cavendish el 1875 per determinar el valor de la constant de gravitació universal, G. Les esferes grans tenen una massa de 10 kg cadascuna i la massa de l’esfera petita és 0,1 kg. En un moment donat, la posició de les tres masses forma un triangle rectangle com el que recull el dibuix. a) Quina ha de ser la relació entre les distàncies r i R perquè l’atracció gravitatòria de la massa M més allunyada sobre m sigui la desena part de la que exerceix la massa M més propera? b) En aquest moment, la distància és r = 0,25 m la força d’atracció entre m i la massa M més propera és 1 nN. Amb aquestes dades, quin valor s’obtindrà per a G? Dades: MTerra = 5,98 ? 1024 kg; RTerra = 6.370 km Solució: a) R = 3 ? r; b) G = 6,25 · 10-11 N ? m2/kg2. ACTIVITATS FINALS A B C Superfície de Mart Superfície de Mart Superfície de Mart Superfície de Mart 50 m 50 m 50 m 50 m A B Apoastre Periastre R1 R2 40 Continguts de la unitat. Algunes preguntes relacionen els continguts amb allò que ja s’ha estudiat. Altres conviden a la reflexió o al debat a partir d’alguna imatge. Al llarg de tota la unitat s’inclouen nombrosos exemples resolts, numèrics o no, que ajuden a posar en pràctica els conceptes exposats. Les activitats acompanyen el treball dels pròxims continguts. Una imatge i un text inicials presenten la unitat. Les activitats finals refermen els continguts i permeten relacionar uns coneixements amb altres i elaborar una anàlisi més profunda. Després de les activitats finals, un resum recopila els continguts més rellevants que s’acaben d’estudiar. La secció Perfil professional presenta algunes professions relacionades amb els continguts de la unitat. Algunes pàgines inclouen procediments o experiències per aprendre d’una manera activa. S’hi mostra pas a pas la feina a seguir. Abans de tractar els continguts de cada unitat, al repàs inicial es recorden continguts de matemàtiques, física o química. Els continguts es presenten d’una manera visual i amb abundants esquemes i organitzadors. O R I E N T A C I O N S P E R A L’ A C C É S A L A U N I V E R S I T A T 1 2 Ca l cul a l ’energ i a necessàr i a per por tar e l te l escopi des de l ’òrbi ta lunar f ins a l punt de Lagrange. L’ energ i a necessàr i a depèn de l s punt s ent re e l s que movem e l te l escop i i de l a massa de l a Ter ra i de l te l escop i . 1. L’ energ i a d’un satè l · l i t en un punt es ca l cu l a a par t i r de l ’ express i ó numèr i ca : ? ? E G M r m 2 1 = 2. Com que l ’ enunc i at no ens dona cap i nformac i ó sobre l a L l una , fes e l s cà l cu l s sense ten i r en compte e l camp grav i tator i o e l potenc i a l creat pe l nos t re satè l · l i t sobre e l te l escop i . 3. Ca l cu l a l a d i ferènc i a d’ energ i a en e l s punt s assenya l at s en l ’ enunc i at (r1 y r2) i després subs t i tue i x e l s va l ors en l ’ express i ó i n i c i a l . 4. Com que l’òrbita lunar està més a prop de la Terra que L2, l’energia resultant haurà de ser positiva. S’ha de comprovar aquest fet una vegada resolt el problema. 1 Ca l cul a e l camp grav i tator i en e l punt de Lagrange a l vol tant de l qua l orbi ta e l te l escopi . En prob l emes d’ aques t t i pus , e l camp grav i tator i tota l és l a suma vector i a l de l s camps grav i tator i s exerc i t s per cadascun de l s cossos que h i i ntervenen. En aques t cas , tant l a Ter ra com e l So l exerce i xen un camp grav i tator i sobre e l te l escop i . 1. Pr imer pot s d i bu i xar un esquema assenya l ant -h i l a d i recc i ó i e l sent i t de cadascun de l s camps grav i tator i s. Com que l ’ enunc i at no ens dona i nformac i ó de l a L l una , fes e l s cà l cu l s sense ten i r en compte e l camp grav i tator i creat pe l nos t re satè l · l i t sobre e l te l escop i . 2. A cont i nuac i ó d i bu i xa l a suma vector i a l sobre l ’ esquema , per conè i xer cap a on es tà d i r i g i t e l camp grav i tator i tota l . 3. Ara ca l cu l a e l va l or numèr i c de cadascun de l s camps grav i tator i s. Expressa-ho de manera vector i a l , esco l l i nt un or i gen de coordenades que fac i l i t i e l cà l cu l . En aques t cas , l ’or i gen pot es tar en e l punt de Lagrange. Necess i tes fer serv i r l ’ express i ó: ? g G r m 2 = 4. Finalment suma els camps gravitatoris component a component. 5. Ara ca l cu l a e l mòdu l de vector camp grav i tator i . Ai x í saps qu i n és e l va l or numèr i c de l camp. V i g i l a que l es un i tat s s i gu i n l es adequades. El telescopi espacial James Webb es troba des de 2022 en òrbita al voltant del punt de Lagrange L2, situat a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra , en la direcció que uneix la Terra amb el Sol , i més allunyat del Sol que de la Terra (1 ua més allunyat). Dades: 1 ua = 1,49 6 · 108 km ; G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2; dTerra-Lluna = 38 4.0 0 0 km ; mTelescopi = 6.20 0 kg. Lleis de Kepler. Moment angular. Llei de la gravitació universal. Camp gravitatori. Potencial gravitatori. Energia cinètica. C O N C E P T E S C L A U Energia potencial gravitatòria. Energia mecànica. Forces conservatives. Òrbita. Satèl·lit. Treball. Lluna Sol Terra L2 JWST 45 A Orientacions per l’accés a la Universitat s’hi inclouen activitats i consells per a la seva resolució. A la secció Aplico el que he après s’hi inclouen continguts pràctics relacionats amb la unitat. Cinemàtica i dinàmica dels planetes Les lleis de Kepler descriuen el moviment dels planetes: 1. Els planetes giren en òrbites el·líptiques planes. 2. Giren amb velocitat areolar constant. 3. Compleixen la relació (constante) a T k 3 2 = . Per descriure el moviment d’un cos que gira es fa servir el concepte moment angular (L ). ? ( ) r p r m v L # # = = El moment angular dels planetes és constant, i això indica que es mouen sota l’acció d’una força central. Newton va deduir l’expressió de la força gravitatòria, la força central que causa el moviment dels planetes. Camp gravitatori creat per masses puntuals Camp gravitatori és la regió de l’espai on s’aprecia la pertorbació provocada per la massa d’un cos. Intensitat del camp gravitatori en un punt Camp creat per una massa puntual de massa M: ? ? g r G M ur 2 = - És una magnitud vectorial i en l’SI es mesura en N/kg. La força gravitatòria sobre un cos de massa m situat en aquest punt del camp és: ? ? ? ? F m g r G M m ur i 2 = = - Treball causat per les forces gravitatòries E l camp grav i tator i és un camp conservat iu perquè e l t reba l l fet per l es forces de l camp grav i tator i depèn només de l punt ini c i a l i f ina l de l despl açament , i no de l a t ra j ectòr i a seguida. ? ? ? ? W r G M m r G M m i f f i = - " Energia potencial gravitatòria L’energia potencial gravitatòria EP és la que té una massa que està en el camp gravitatori d’altra(es) massa(es). ? ? E r G M m P= - És una magnitud escalar i en l’SI es mesura en J/kg. Conservació de l’energia mecànica Teorema de conservació de l’energia mecànica: quan un sistema es veu sotmès només a l’acció de forces conservatives, la seva energia mecànica es conserva. E E E E E C f P f C i P i M + = + = Potencial gravitatori en un punt S’anomena potencial en un punt V a l’energia potencial per unitat de massa en aquest punt: Podem escriure’l així: ? V m E r G M P = = - És una magnitud escalar i en l’SI es mesura en J/kg. Diferència de potencial entre dos punts i i f d’un camp gravitatori (Vf - Vi): ? ? V V V V r G M r G M f i f i D D = - = - - - " f p Representació del camp gravitatori Les línies de camp són línies tangents al vector intensitat de camp en cada punt. Les superfícies equipotencials són regions de l’espai en què el potencial gravitatori té el mateix valor. Camp gravitatori dels cossos celestes Per a un planeta que gira a l’entorn d’una estrella o similar: ? ; V r G M F F gira ò C central G rbita = = cos que cos Velocitat d’escapament és la que ha de tenir un cos per alliberar-se de l’atracció gravitatòria d’un altre cos. ? V r G M òrbita central $ escapament cos Moviment de planetes i satèl·lits Satèl·lits que orbiten a la Terra Per al satèl·lit que gira a una altura h per sobre de la superfície de la Terra: ● ? ? v r G M R h G M T T T = = + ● ? ? ? ? ( ) T G M r G M R h 4 4 p p T T T 2 3 2 3 = = + Energia dels satèl·lits L’energia mecànica d’un satèl·lit és: ? ? ? E r G M m 2 1 M= - La velocitat de llançament necessària per posar un satèl·lit en òrbita és: ? ? ? ? ( v G M R R h 2 1 2 1 T T 1 = - + e o L’energia necessària per passar d’una òrbita de radi r2 a una altra de radi r3, si r2 < r3 es: ? ? ? ? E G M m r r 2 1 1 1 2 3 D = - f p La velocitat d’escapament d’un satèl·lit que està a una altura h de la superfície d’un planeta de massa MP i radi RP , és: ? ? v R h G M 2 P P $ + escapament R E C O R D O E L Q U E H E A P R È S 43 A més de les mesures de temperatura , pressió atmosfèrica i humitat, l ’ús d’ imat ges obtingudes mitjançant sat èl · lit ha permès millorar notablement els pronòstics meteorològics, tot i que només sigui per a pocs dies. Existeixen dos tipus de satèl·lits meteorològics: ● Satèl·lits meteorològics geoestacionaris. Ten en un p e - r í o d e d e 2 4 h o r e s , é s a d i r, q u e c o i n c i d e i x a m b e l d e r o t a c i ó d e l a Te r ra . Ai xò i mp l i c a qu e s emp re e st a n s i - tuat s s obre e l mat e i x punt d e l a Ter ra , a uns 35 . 800 km d ’ alt itud . ● Satèl·lits meteorològics polars. Orbiten més a prop de la Terra , a menys de 1.000 km, i ofereixen imatges de millor resolució. La seva òrbita transcorre des d’un pol a l’altre, i el període és més curt que el dels satèl·lits geoestacionaris. Per això, passen per qualsevol punt de la seva òrbita diverses vegades al dia. Especialistes en meteorologia Què fan? ● E studi a e l s fenòmens qu e pa ssen a l ’ atmo sfera i l e s l l e i s f í si qu e s p er l e s qual s aqu e st s e s rege i xen . ● P rono st i ca e l t emps qu e farà a di ferent s l lo c s d e l pl an et a : l e s t emp erature s i e l s fenòmens atmo sf èr i c s qu e e s produi ran , c om pre c ipit a c ions en forma d e pluja , n eu o g rani ssad a , b or ra squ e s o ant i c i c lons , p er e xempl e . ● L l ança av i s o s d ’ al er t a en ca s o s d e r i sc p er fenòmens atmo sf èr i c s e xtrems . Com ho fan? ● Interpreta els resultats obtinguts a partir de les obser vacions fetes en estacions meteorològiques. ● S’encarrega de gestionar l’elaboració dels mapes d’isòbares, els mapes de predicció del temps o climogrames. ● Comunica pels canals oportuns els avisos d’ alerta meteorològica . A P L I C O E L Q U E H E A P R È S P E R F I L P R O F E S S I O N A L Satèl·lits meteorològics Molts satèl·lits són passius, és a dir, únicament prenen imatges. Però també existeixen satèl·lits actius capaços de transmetre un senyal de ràdio i rebre el seu eco després de xocar contra la superfície. Així s’obtenen les imatges de radar que identifiquen , per exemple, zones on plou . 44 1. Producte de vectors Product e escal ar de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte escalar ? A B és un escalar, el valor del qual és: ? ? ? cos A B A B a = El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè cos 90° = 0. Producte vectorial de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte vectorial A B # és un vector C, amb les característiques següents: ● Mòdul: sen ? ? A B A B # a = ● Direcció: és perpendicular a A i B. ● Sentit: ve det erminat per la regla de la mà dreta o del cargol . El producte vectorial de dos vectors paral·lels és zero per - què sin 0° = 0. 2. La derivada d’una funció ● Derivada de la funció constant: Quan y = K (constant) " dx dy 0 = ● Derivada de la funció producte per un nombre real: Quan y = K ? x " dx dy K = ● Derivada de la funció potencial: Quan y = xn " ? dx dy n xn 1 = - 3. Derivada d’un producte de vectors ( ) ? ? ? d A B dA B A dB = + ( ) d A B dA B A dB # # # = + Anem a demostrar que ? ? r d r r dr = . ° ? ? ? ? cos r r r r r r 0 = = ( ) ? ? ? ? d r r d r r r d r r d r 2 = + = [1] ( ) ( ) ? ? ? ? ? d r r d r r dr r r dr r dr 2 = = + = [2] Igualant [1] i [2]: ? ? ? ? r d r r dr r d r r dr 2 2 = = " REPASSO MATEMÀTIQUES 1. Model geocèntric de Ptolomeu La Terra es manté fixa en el centre de l’Univers i la resta d’ astres giren al seu voltant. Pe r e x p l i c a r e l m o v i m e n t re t r ò g ra d d e Ma r t , P t o l o - m e u ( 8 5 - 1 6 5 ) v a i m a g i n a r q u e e l s p l a n e t e s g i r a v e n al voltant de la Terra descriv i n t u n a ò r b i t a e n e s p i r a l e n l a q u a l p e t i t e s c i r c um - ferències, epicicles, desplac e n e l s e u c e n t r e s e g u i n t u n a c i r c u m f e r è n c i a m é s gran , deferent. Tant el gir de l ’epicicl e com el del deferent poden t enir v e l o c i t a t s , d i re c c i o n s i ra d i s i n d e p e n d e n t s , c o s a qu e e x p l i c a l e s i r re g u l a r i t a t s o b s e r v a d e s e n e l m o v i m e n t dels planetes. 2. Model heliocèntric de Copèrnic El Sol ocupa el centre de l’Univers. La Terra i els altres plan e t e s g i ren a l s eu v o l t ant d e sc r iv i nt òrbi t e s c i rcul a r s . Només la Lluna gira al voltant de la Terra. L’ astrònom polonès Nicolau Copèrnic (1473-1543) va establir un model heliocèntric que explica el moviment retrògrad de Mart com un efecte òptic. La Terra es desplaça en la seva trajectòria a major velocitat que Mart en la seva ; això fa que, de vegades, sembla que Mart retrocedeix. 3. Moviment circular uniforme ● Ve l o c i t a t : é s t a n ge n t a l a t ra j e c t ò r i a e n c a d a p un t . El seu mòdul és constant. ● Acceleració: només té component normal o centrípet. ● Força : aqu e st s c o ss o s e s - t a n s o t m e s o s a u n f o r ç a centrípeta . F ? ? F m r v m a c c 2 " = = REPASSO FÍSICA I QUÍMICA Centre Moviment retrògrad Deferent Epicicle v v v a a a F F F 1 Calcula: dr d r 1 = e o. Solució: r 1 2 - A C T I V I T A T S 8 Llei de la gravitació universal Dos cossos qualssevol s’ atrauen l’un a l’ altre amb una força que té un mòdul directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa . La seva direcció és la de la línia que uneix tots dos cossos i el seu sentit, de l’un a l’ altre. 2. La dinàmica dels planetes 2.2. Llei de la gravitació universal Determinació de la constant de gravitació universal El 1785, Henr y Cavendish (1731-1810) va determinar experimentalment el valor de la constant G. Va fer ser vir una balança de torsió per mesurar la força d’ atracció entre dues masses conegudes. El procediment permet mesurar el parell de forces que fan que es torci un fil en di spo sar quatre masse s —i gual s do s a do s— c om e s mo stra a l a f i gura . L’ atracció entre les masses fa girar lleugerament el mirall , cosa que repercuteix en el punt de l’escala en què incideix el feix de llum ref lectit. Conegut el valor de G, es va poder determinar la massa dels diversos astres. . F G r M m u ? ? ? 2 r G = - Esquema de balança de torsió moderna. Al seu experiment, Cavendish va fer ser vir dues masses de 158 kg i unes altres dues de 0,730 kg. Amb aquesta experiència es pot deduir el valor de G: ( , , ) N kg m ? ? G 6 6 0 041 10 11 2 2 ! = - El valor que s’admet avui per a aquesta constant és: 6,6742 10 kg m G ? ? N 11 2 2 = - Mirall Font de llum (làser) A causa de l’atracció gravitatòria, el fil adossat al mirall gira Cada massa gran atrau la massa petita propera M1 M2 m2 m1 Escala F F La partícula A exerceix una força d’ atracció sobre la partícula B, en la direcció de la recta que les uneix. La força gravitatòria que la partícula A exerceix sobre B és igual i de sentit contrari a la que B exerceix sobre A. u és un vector unitari en la direcció de r. El seu sentit és l’oposat a F. mA mB A B r r FBA FAB u 7 En un espai hipotètic existeixen únicament un cos de 200 kg i un altre de 50 kg, separats 10 m. Calcula el mòdul, la direcció i el sentit de la força gravitatòria a la qual es veurà sotmès un cos de 8 kg situat a la línia que uneix els dos primers. a) A 2 m a l’esquerra del cos de 50 kg. b) A 2 m a la dreta del cos de 50 kg. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) 6,26 ? 10-9 N; b) 9,27 · 10-9 N. 8 El semieix més gran de l’òrbita terrestre mesura 1,49 ? 108 km i la durada d’un any és de 365,256 dies. Quina és la massa del Sol? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: 1,97 ? 1030 kg A C T I V I T A T S 14 Camp gravitatori 1 El telescopi espacial James Webb A finals de 2021 es va llançar a l’espai el Telescopi Espacial James Webb, successor del famosíssim Hubble. Es tracta d’un telescopi capaç d’observar en l ’infraroig i està format per 18 panel l s que li atorguen un diàmetre de 6,5 m (el Hubble té un mirall principal de 2,4 m de diàmetre). Amb l’objectiu d’aprofitar al màxim el seu potencial i obtenir les imatges més detallades possible, es va enviar a un punt de l’espai situat a uns 1,5 milions de km de la Terra, unes 4 vegades la distància Terra-Lluna. Per què allà? Doncs perquè en aquest punt està lluny del Sol , la temperatura és molt baixa i pot observar regions fosques de l’espai continuament. A més, l’ atracció gravitatòria exercida pel Sol i la Terra és idònia per mantenir-lo en una òrbita estable sense consumir massa combustible. 6 R E C O R D O E L Q U E S É De què depèn la força que el Sol exerceix sobre el telescopi Webb? Quines característiques té la força gravitatòria exercida entre dues masses? Quina és la diferència entre pes i massa? Explica-ho amb un exemple. I N T E R P R E T O L A I M AT G E El telescopi Webb està situat en una òrbita al voltant del punt de Lagrange anomenat L2, tal com mostra l’esquema. Quin astre creus que exercirà més força sobre aquest, la Terra o el Sol? Per què? S’anul·la la força gravitatòria exercida pel Sol i la Terra en el punt on s’ha situat el telescopi Webb? I en algun punt situat a la línia que uneix el Sol i la Terra? Fes un esquema amb les forces que el Sol i la Terra exerceixen sobre el telescopi Webb. E N AQ U E S TA U N I TAT… 1 La cinemàtica dels planetes 3 Camp gravitatori creat per masses puntuals 4 Representació del camp gravitatori 5 Camp gravitatori dels cossos celestes 6 Moviment de planetes i satèl·lits APLICO EL QUE HE APRÈS Satèl·lits meteorològics 2 El concepte de camp Sol Lluna L4 L2 L1 L3 L5 Terra Òrbita de JWST al voltant d'L2 7 Viatges a través de l’espai 7 En el material digital de suport trobaràs animacions que faciliten l’assimilació dels continguts. 5

Camp gravitatori 1 El telescopi espacial James Webb A finals de 2021 es va llançar a l’espai el Telescopi Espacial James Webb, successor del famosíssim Hubble. Es tracta d’un telescopi capaç d’observar en l ’infraroig i està format per 18 panel l s que li atorguen un diàmetre de 6,5 m (el Hubble té un mirall principal de 2,4 m de diàmetre). Amb l’objectiu d’aprofitar al màxim el seu potencial i obtenir les imatges més detallades possible, es va enviar a un punt de l’espai situat a uns 1,5 milions de km de la Terra, unes 4 vegades la distància Terra-Lluna. Per què allà? Doncs perquè en aquest punt està lluny del Sol , la temperatura és molt baixa i pot observar regions fosques de l’espai continuament. A més, l’ atracció gravitatòria exercida pel Sol i la Terra és idònia per mantenir-lo en una òrbita estable sense consumir massa combustible. 6

R E C O R D O E L Q U E S É De què depèn la força que el Sol exerceix sobre el telescopi Webb? Quines característiques té la força gravitatòria exercida entre dues masses? Quina és la diferència entre pes i massa? Explica-ho amb un exemple. I N T E R P R E T O L A I M AT G E El telescopi Webb està situat en una òrbita al voltant del punt de Lagrange anomenat L2, tal com mostra l’esquema. Quin astre creus que exercirà més força sobre aquest, la Terra o el Sol? Per què? S’anul·la la força gravitatòria exercida pel Sol i la Terra en el punt on s’ha situat el telescopi Webb? I en algun punt situat a la línia que uneix el Sol i la Terra? Fes un esquema amb les forces que el Sol i la Terra exerceixen sobre el telescopi Webb. E N AQ U E S TA U N I TAT… 1 La cinemàtica dels planetes 3 Camp gravitatori creat per masses puntuals 4 Representació del camp gravitatori 5 Camp gravitatori dels cossos celestes 6 Moviment de planetes i satèl·lits APLICO EL QUE HE APRÈS Satèl·lits meteorològics 2 La dinàmica dels planetes. Llei de la gravitació universal Sol Lluna L4 L2 L1 L3 L5 Terra Òrbita de JWST al voltant d'L2 7 Viatges a través de l’espai 7

1. Producte de vectors Product e escal ar de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte escalar ? A B és un escalar, el valor del qual és: ? ? ? cos A B A B a = El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè cos 90° = 0. Producte vectorial de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte vectorial A B # és un vector C, amb les característiques següents: ● Mòdul: sen ? ? A B A B # a = ● Direcció: és perpendicular a A i B. ● Sentit: ve det erminat per la regla de la mà dreta o del cargol . El producte vectorial de dos vectors paral·lels és zero perquè sin 0° = 0. 2. La derivada d’una funció ● Derivada de la funció constant: Quan y = K (constant) " dx dy 0 = ● Derivada de la funció producte per un nombre real: Quan y = K ? x " dx dy K = ● Derivada de la funció potencial: Quan y = xn " ? dx dy n xn 1 = - 3.  Derivada d’un producte de vectors ( ) ? ? ? d A B dA B A dB = + ( ) d A B dA B A dB # # # = + Anem a demostrar que ? ? r d r r dr = . ° ? ? ? ? cos r r r r r r 0 = = ( ) ? ? ? ? d r r d r r r d r r d r 2 = + = [1] ( ) ( ) ? ? ? ? ? d r r d r r dr r r dr r dr 2 = = + = [2] Igualant [1] i [2]: ? ? ? ? r d r r dr r d r r dr 2 2 = = " REPASSO MATEMÀTIQUES 1. Model geocèntric de Ptolomeu La Terra es manté fixa en el centre de l’Univers i la resta d’ astres giren al seu voltant. Pe r e x p l i c a r e l m o v i m e n t re t r ò g ra d d e Ma r t , P t o l o - m e u ( 8 5 - 1 6 5 ) v a i m a g i n a r q u e e l s p l a n e t e s g i r a v e n al voltant de la Terra descriv i n t u n a ò r b i t a e n e s p i r a l e n l a q u a l p e t i t e s c i r c um - ferències, epicicles, desplac e n e l s e u c e n t r e s e g u i n t u n a c i r c u m f e r è n c i a m é s gran , deferent. Tant el gir de l ’epicicl e com el del deferent poden t enir v e l o c i t a t s , d i re c c i o n s i ra d i s i n d e p e n d e n t s , c o s a qu e e x p l i c a l e s i r re g u l a r i t a t s o b s e r v a d e s e n e l m o v i m e n t dels planetes. 2. Model heliocèntric de Copèrnic El Sol ocupa el centre de l’Univers. La Terra i els altres plan e t e s g i ren a l s eu v o l t ant d e sc r iv i nt òrbi t e s c i rcul a r s . Només la Lluna gira al voltant de la Terra. L’ astrònom polonès Nicolau Copèrnic (1473-1543) va establir un model heliocèntric que explica el moviment retrògrad de Mart com un efecte òptic. La Terra es desplaça en la seva trajectòria a major velocitat que Mart en la seva ; això fa que, de vegades, sembla que Mart retrocedeix. 3. Moviment circular uniforme ● Ve l o c i t a t : é s t a n ge n t a l a t ra j e c t ò r i a e n c a d a p un t . El seu mòdul és constant. ● Acceleració: només té component normal o centrípet. ● Força : aqu e st s c o ss o s e s - t a n s o t m e s o s a u n f o r ç a centrípeta . F ? ? F m r v m a c c 2 " = = REPASSO FÍSICA I QUÍMICA Centre Moviment retrògrad Deferent Epicicle v v v a a a F F F 1 Calcula: dr d r 1 = e o. Solució: r 1 2 - A C T I V I T A T S 8

1. La cinemàtica dels planetes 1 L’ a c t i v i t a t d e l s a s t r ò n o m s a l s e g l e xv i v a p e r m e t r e con èi xer múltipl es dades referents a l es posi cions del s planetes en diversos moments de l ’ any. Relacionat amb aquestes dades, Johannes Kepler (1571-1630) va aconseguir assentar el model heliocèntric, que preci sava que els planetes descriuen òrbites el·líptiques. 1.1. Les lleis de Kepler Com a conseqüència dels seus estudis, va enunciar les tres lleis del moviment planetari o lleis de Kepler. Les lleis de Kepler són una descripció cinemàtica del si stema solar. Les lleis de Kepler són una descripció cinemàtica del sistema solar. Són lleis empíriques que no expliquen les causes d’ aquests mov iments; per a una anàlisi d’ aquestes causes s’ ha d’esperar als treballs posteriors de Newton. B D Els estudis de Kepler revelen que un planeta tarda el mateix temps en passar d’ A a B que de C a D. Conseqüentment, la seva velocitat és més gran al periheli que a l’ afeli . E X E M P L E R E S O LT 1 Imagina que a la perifèria del sistema solar es detecta un nou planeta nan. La seva distància mitjana al Sol és el doble que la de l’òrbita de Neptú. Quant de temps trigarà a fer la volta al Sol? Dada: TNeptú = 5,17 ? 109 s. Tots dos astres giren al voltant del Sol. Segons la tercera llei de Kepler: ? ( ) a T a T a T T a 2 planeta planeta Neptú planeta 3 2 3 2 3 2 3 2 & = = Neptú Neptú Neptú Neptú ? ? ? T a a T T T 2 8 planeta planeta N 2 3 3 3 2 & = = Neptú Neptú Neptú eptú ? ? ? , T 8 5 17 10 s 1,46 10 s planeta 9 10 = = 1 Tenint en compte les lleis de Kepler, explica amb l’ajuda d’un dibuix en quina part de la seva òrbita al voltant del Sol (afeli o periheli) es troba la Terra a l’hivern i a l’estiu si es compleix que a l’hemisferi nord el període tardor-hivern dura sis dies menys que el de primavera-estiu. 2 La distància mitjana de Mart al Sol és 1,468 vegades la de la Terra al Sol. Troba el nombre d’anys terrestres que dura un any marcià. Solució: 1,779 anys terrestres. A C T I V I D A D E S periheli afeli A C Primera llei de Kepler 1. T ots els planetes es mouen al voltants del Sol seguint òrbites el·líptiques. El Sol es troba en un dels focus de l’el·lipse. L’afeli és la posició més allunyada de l’òrbita i el periheli, la més propera. A la figura són els semieixos de l’el·lipse. Segona llei de Kepler 2. Els planetes es mouen amb velocitat areolar constant. És a dir, el vector de posició r de cada planeta respecte del Sol escombra àrees iguals en temps iguals. t A d d ct. = Tercera llei de Kepler 3. Per a tots els planetes: (constant ) a T k 3 2 = On a és el semieix major de l’el·lipse. (A la pràctica a és la distància mitjana del planeta al Sol). T és el període de translació del planeta. Planeta Distància al Sol (m) Període (s) T2/a3 (s2/m3) Mercuri 5,79 ? 1010 7,60 ? 106 2,98 ? 10-19 Venus 1,08 ? 1011 1,94 ? 107 2,98 ? 10-19 Terra 1,50 ? 1011 3,16 ? 107 2,97 ? 10-19 Mart 2,28 ? 1011 5,94 ? 107 2,98 ? 10-19 Júpiter 7,79 ? 1011 3,74 ? 108 2,97 ? 10-19 Saturn 1,43 ? 1012 9,29 ? 108 2,93 ? 10-19 Urà 2,87 ? 1012 2,64 ? 109 2,95 ? 10-19 Neptú 4,50 ? 1012 5,17 ? 109 2,94 ? 10-19 9

1. La cinemàtica dels planetes 1.2. El moment angular dels planetes Donat que les distàncies que separen els planetes del Sol són molt més grans que el mateix radi del planeta , considerem que aquests són punts material s amb una massa igual a la massa del planeta . Ai xí , analitzarem el mov iment dels planetes com el d’un punt material que gira amb un moviment cur vilini . Definició de moment angular Quan un co s de scr iu un mov iment recti lini , aqu e st e s caract er itza p el seu moment lin eal o quantitat de mov iment, p. L a se va var i ació en el t emps permet conèixer la força responsable del seu moviment: p = m ? v ( ) F ? ? dt dp dt d m v m dt d v = = = Però quan un cos descriu un moviment cur vilini , la quantitat de moviment del qual canvia contínuament de direcció i sentit, el seu estat de moviment està det erminat per una nova magnitud qu e anomenem moment angul ar, L, o moment cinètic. La seva variació en el temps també donarà informació de la força responsable del seu moviment. Per a un cos de massa m que es desplaça al voltant d’un punt P, com es mostra a la figura, es defineix el seu moment angular, L: L = r # p = r # (m ? v ) L és un vector les característiques del qual venen determinades per les propietats del producte vectorial de dos vectors: ● Mòdul (en què a és l’ angle que formen r i p) ;L; = ;r # p; = ;r; ? ;(m ? v ); ? sin a ● Direcció: perpendicular al pla que formen els vectors r i p. ● Sentit: vindrà donat per la regla de la mà dreta o del cargol . La unitat del moment angular a l’SI és: m2 ? kg/s. Moment angular en els moviments circulars En un moviment circular, r té la direcció del radi de la circumferència . Com que v és tangent a aquesta , seran mútuament perpendiculars: L = r ? m ? v ? sen a = r ? m ? v ? sen 90° L = r ? m ? v ● Per a un c o s qu e e s mou amb mov iment c i rcul ar uni forme , e l mòdul d e l mom ent an gul a r L é s c on st ant , p e rqu è en una c i rcumfe rèn c i a e l radi t é un valor c onst ant i e l c o s mant é c onst ant l a se va ma ssa i e l mòdul d e l a v e lo c it at . ● S i l ’ò rb i t a é s p l a n a , l a d i re c c i ó d e L s e rà s emp re p e r p e n d i c u l a r a a qu e s - t a ; e n c o n s e q ü è n c i a , t i n d r à u n a d i r e c c i ó c o n s t a n t . S i e l c o s a v a n ç a s emp re e n e l m a t e i x s e n t i t , s e rà i g u a l m e n t c o n s t a n t e l s e n t i t d e L. Pe r t a n t : Un cos que es mou amb un moviment circular uniforme descriu una òrbita plana i el moment angular L és constant. El vector L és perpendicular al pla format per r i v. El vector r és el vector de posició del mòbil respecte del centre de gir, P. P L r v R E C O R D A Producte vectorial El producte vectorial de dos vectors a i b, que es representen com a a # b, és un vector perpendicular tant a a com a b. c = a # b a b 3 Calcula el vector moment angular de la minutera d’un rellotge. Suposem que és un rellotge en una torre i que els 250 g de massa de l’agulla es concentren a 90 cm de l’eix. Indica la seva direcció i sentit. Solució: 3,53 ? 10-4 m2 ? kg/s, horitzontal cap a dins de l’esfera del rellotge. A C T I V I T A T S 10

1 4 Venus descriu una òrbita el·líptica al voltant del Sol. La seva velocitat a l’afeli és de 3,48 ? 104 m/s, i al periheli és de 3,53 ? 104 m/s. Si la distància que separa l’afeli del periheli és de 1,446 ua, determina a quina distància es troba Venus del Sol a cadascuna d’aquestes posicions. Dada 1 ua = 1,496 ? 1011 m. Solució: 1,0738 ? 1011 m; 1,0893 ? 1011 m 5 Si l’òrbita d’un planeta és el·líptica, en quin punt de la seva trajectòria tindrà velocitat lineal màxima? I si l’òrbita fos circular? A C T I V I T A T S z Y x O L r F v ~ Conser vació del moment angular. Forces centrals C om j a h em i n d i c a t , l a v a r i a c i ó re sp e c t e d e l t emp s d e l m om e n t a n g u l a r d ’ u n c o s q u e g i ra e n s d o n a rà i n f o r m a c i ó d e l a f o r ç a re s p o n s a b l e d e l s e u mov iment . ( ) ( ) ( ) F ? ? ? ? dt dL v m v r m a r m a r 0 # # # = + = + = [2] és 0 perquè el vector m ? v és paral·lel a v. Per a un cos que es mou amb moviment angular constant: L F d dt r 0 # = + Per les propietats del producte vectorial de vectors, com que ni r ni F són nuls, r i F han de tenir la mateixa direcció. Q u a n a i x ò p a s s a , e s d i u q u e e l c o s e s m o u s o t a l ’ a c c i ó d ’ u n a f o r ç a c e n - t r a l. Una força central té la direcció del vector de posició i forma amb ell un angle de 0° a 180°. En tots dos casos, el sinus = 0. 0 = % L F ? ? dt d r r F 180 = = · Forces centrals sin Teorema de conser vació del moment angular Per a un cos sotmès a forces centrals la variació del moment angular s’ anul·la . 0 = L dt d Un cos que gira sota la direcció d’una força que té la direcció del seu vector respecte del centre de gir tindrà un vector moment angular constant, L = ct., en mòdul , direcció i sentit. E X E M P L E R E S O LT 2 Mercur i , a l a seva òrbi ta, està a una di stànc i a var i abl e de l Sol , ra = 70,5 ? 109 m a l ’afe l i i r p = 46,5 ? 109 m a l per ihe l i . S i l a ve loc i tat a l per ihe l i és vp = 59,7 ? 103 m/s, quina ve loc i tat por ta a l ’afe l i ? Com que Mercuri està sotmès a una força central, conserva el moment angular, que no canvia amb el temps, i per tant: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L r m v r m v v r m r m v n s n n a a a a a a a p p p a a a p p p & = = = si si in sin El radi vector i la tangent formen un angle recte als vèrtexs majors de l’el·lipse. Per això: ap = aa = 90° & sin ap = sin aa = 1. Substitueix i opera. ? ? ? ? ? ? ? , , , v 70 5 10 1 46 5 10 59 7 10 1 m m m/s 39,4 10 s m a 9 9 3 3 = = Q u a n u n c o s t é u n m o v i m e n t c i r c u l a r u n i f o r m e i d e s c r i u u n a ò rb i t a p l a n a , e l s e u m om e n t a n g u l a r L é s c o n s t a n t . En una òrbita el·líptica , el vector r i el vector v només són perpendiculars a l’ afeli i al periheli . Només en aquests punts L = r ? m ? v. Periheli Afeli Sol r v v v r r 11

1.3.  La conservació del moment angular i les lleis de Kepler De les lleis de Kepler en deduïm que els planetes es mouen amb moment angular constant i això serà determinant per conèixer la força responsable del seu moviment. Primera llei de Kepler i conser vació del moment angular La primera l lei de Kepler diu que el s planetes descriuen òrbites el·líptiques i planes. Perquè es conser vi ( ) L ? r m v # = , ha de passar : ● Que no canviï la seva direcció. Sempre és perpendicular a r i v. Això passa sempre que el planeta descrigui òrbites planes, tant si són el·lipses com si són epícicliques. ● Que no canviï de sentit. Això només es compleix si l’òrbita és el·líptica . Segona llei de Kepler i conser vació del moment angular La segona llei de Kepler diu que els planetes es mouen amb velocitat areolar constant. ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? dA r v dt r ds r r d r d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i i = = = = dA ? ? ? dt r dt d r r v 2 1 2 1 2 1 2 2 i ~ = = = [1] Relacionem aquest resultat amb el moment angular dels planetes. Com que les seves òrbites són gairebé circulars, suposem que a r i v són sempre perpendiculars: sen ? ? ? ? ? L r mv r m v m L r v 90 " c = = = [2] Relacionant [1] i [2]: dA ? dt r m L v 2 1 2 1 = = Com que el s planetes es mouen amb velocitat areolar constant, el seu moment angular ha de ser constant. Això implica , com hem vi st abans, que es mouen per acció d’una força central. 1. La cinemàtica dels planetes E X E M P L E R E S O LT 3 La Terra a la seva òrbita recorre 2.617.956 km durant el 4 de gener, data del periheli, quan es troba a 1,4709 ? 1011 m de distància del Sol. Quants quilòmetres recorrerà el 5 de juliol, data de l’afeli, quan es troba a 1,5210 · 1011 m del Sol? Un dia és un temps bastant breu per aproximar l’espai recorregut, s, com un segment. A l’afeli i al periheli els vectors r i v són perpendiculars. Per això, calcula l’àrea de triangles rectangles. La base, r, i l’altura, s, són els catets del triangle. A4 gener = A5 juliol & ? ? ? r s r s s r r s 2 2 4 4 5 5 5 5 4 4 & = = gener gener juliol juliol juliol juliol gener gener Substitueix i opera: ? ? ? , , s 1 5210 10 1 4709 10 2 617 000 m m km 2 530 800 km 5 julio 11 11 = = 6 L’òrbita el·líptica del cometa Halley al voltant del Sol s’apropa fins a 8,75 ? 107 km al periheli i s’allunya del Sol fins a 5,26 ? 109 km a l’afeli. On és més gran la velocitat? Quant val el quocient de velocitats? Solució: 60,1 A C T I V I T A T S r ? sin (du) = r du Cuando du " 00 Representació de la relació entre l’ arc i l’ angle. ds du r Apliquem la fórmula de l’àrea del triangle per calcular l’àrea escombrada en un temps dt. L’espai recorregut és v ? dt, perquè suposem que en aquest temps infinitesimal el moviment és rectilini i uniforme dA Planeta Sol v ? dt r ? ? ? dA r v dt 2 1 = 12

RkJQdWJsaXNoZXIy