1.3. La conservació del moment angular i les lleis de Kepler De les lleis de Kepler en deduïm que els planetes es mouen amb moment angular constant i això serà determinant per conèixer la força responsable del seu moviment. Primera llei de Kepler i conser vació del moment angular La primera l lei de Kepler diu que el s planetes descriuen òrbites el·líptiques i planes. Perquè es conser vi ( ) L ? r m v # = , ha de passar : ● Que no canviï la seva direcció. Sempre és perpendicular a r i v. Això passa sempre que el planeta descrigui òrbites planes, tant si són el·lipses com si són epícicliques. ● Que no canviï de sentit. Això només es compleix si l’òrbita és el·líptica . Segona llei de Kepler i conser vació del moment angular La segona llei de Kepler diu que els planetes es mouen amb velocitat areolar constant. ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? dA r v dt r ds r r d r d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i i = = = = dA ? ? ? dt r dt d r r v 2 1 2 1 2 1 2 2 i ~ = = = [1] Relacionem aquest resultat amb el moment angular dels planetes. Com que les seves òrbites són gairebé circulars, suposem que a r i v són sempre perpendiculars: sen ? ? ? ? ? L r mv r m v m L r v 90 " c = = = [2] Relacionant [1] i [2]: dA ? dt r m L v 2 1 2 1 = = Com que el s planetes es mouen amb velocitat areolar constant, el seu moment angular ha de ser constant. Això implica , com hem vi st abans, que es mouen per acció d’una força central. 1. La cinemàtica dels planetes E X E M P L E R E S O LT 3 La Terra a la seva òrbita recorre 2.617.956 km durant el 4 de gener, data del periheli, quan es troba a 1,4709 ? 1011 m de distància del Sol. Quants quilòmetres recorrerà el 5 de juliol, data de l’afeli, quan es troba a 1,5210 · 1011 m del Sol? Un dia és un temps bastant breu per aproximar l’espai recorregut, s, com un segment. A l’afeli i al periheli els vectors r i v són perpendiculars. Per això, calcula l’àrea de triangles rectangles. La base, r, i l’altura, s, són els catets del triangle. A4 gener = A5 juliol & ? ? ? r s r s s r r s 2 2 4 4 5 5 5 5 4 4 & = = gener gener juliol juliol juliol juliol gener gener Substitueix i opera: ? ? ? , , s 1 5210 10 1 4709 10 2 617 000 m m km 2 530 800 km 5 julio 11 11 = = 6 L’òrbita el·líptica del cometa Halley al voltant del Sol s’apropa fins a 8,75 ? 107 km al periheli i s’allunya del Sol fins a 5,26 ? 109 km a l’afeli. On és més gran la velocitat? Quant val el quocient de velocitats? Solució: 60,1 A C T I V I T A T S r ? sin (du) = r du Cuando du " 00 Representació de la relació entre l’ arc i l’ angle. ds du r Apliquem la fórmula de l’àrea del triangle per calcular l’àrea escombrada en un temps dt. L’espai recorregut és v ? dt, perquè suposem que en aquest temps infinitesimal el moviment és rectilini i uniforme dA Planeta Sol v ? dt r ? ? ? dA r v dt 2 1 = 12
RkJQdWJsaXNoZXIy