La integral d’una funció La integral d’una funció és una altra funció que, derivada , ens dona la funció de partida . Per a una funció x: cte. dx x = + y Obtinguda la funció integral , es pot calcular el valor de la integral definida entre dos límits. És el valor de la funció per al límit superior menys el valor de la funció per al límit inferior : dx x x [ ] [ ] f i i f = - y ● Integral indefinida d’una constant: cte. k dx k x ? ? = + y ● Integral indefinida d’una potència : 1 cte. x dx n x ? n n 1 = + + + y , si n ! -1 ● Integral indefinida de la funció inversa : 1 ln cte. x dx x ? = + y 1 3.2. Treball causat per les forces gravitatòries Quan un cos de massa m es mou al si del camp gravitatori creat per un altre cos de massa M es fa un treball. Com que el valor de la força canvia a cada punt, fem ser vir el càlcul integral: ? ? ? ? ? ? ? ? W F d r r G M m u d r r G M m dr i f i f r i f i f 2 2 = = - = - " y y y ur és un vector unitari en la direcció i sentit de r. Ja hem vist que ? u d r dr r = . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? W G M m r dr G M m r r G M m r G M m 1 i f i f f i i f 2 = - = = - " < F y El camp gravitatori és un camp conser vatiu perquè el treball fet per les forces del camp gravitatori depenen només del punt inicial i final del desplaçament, i no de la trajectòria seguida . ? ? ? ? W r G M m r G M m i f f i = - " [1] La força gravitatòria és una força central, perquè està dirigida cap al centre, i el seu mòdul depèn de la distància al centre. Podem generalitzar i dir que el treball causat per una força central és conser vatiu. En conseqüència : ● El treball de les forces del camp gravitatori al llarg d’una trajectòria tancada és zero. ● Si rf < ri " Wi"f > 0. El treball de les forces del camp gravitatori és positiu quan el cos s’apropa a la massa que crea el camp. ● Si rf > ri " Wi"f < 0. El treball de les forces del camp gravitatori és negatiu quan el cos s’allunya de la massa que crea el camp. La causa d’ això és que les forces gravitatòries són sempre atractives i qualsevol cos que quedi lliure s’ aproparà al que crea el camp. El treball de la força gravitatòria depèn únicament dels punts inicial i final; no de la trajectòria . M Punt final Punt inicial Ff Fi ri rf Quan un cos experiment a un despl açament sot a l ’ acció d ’una força constant, el treball es calcula multiplicant la força pel desplaçament: cos W F r F r ? ? ? i f a D D = = " . Si la força no és constant, només podrem calcular el treball en un desplaçament infinitesimal , en què considerem que F és constant: dW F d r ? = . Per calcular el treball fet quan es produeix un desplaçament entre dos punts qual ssevol , hem de sumar tots el s trebal l s inf initesimal s. Matemàticament aquesta suma és la integral: W F d r ? i f i f = " y El treball és l’àrea ombrejada a la figura (rectangle). Fx W x1 x2 x WF = Fx ? (x2 - x1) = Fx ? Dx El treball és la suma de les àrees dels rectangles. Fx x1 x2 x ? dW F d r = " W = ? F dx x y 1 1 1 r dr r r r r ? [ ] 2 1 A B A A B B A B = = = - - - < F y 17
RkJQdWJsaXNoZXIy