3. Camp gravitatori creat per masses puntuals Exemple de força conser vativa Obser va la figura . Podem anar del punt P al Q per qual sevol del s dos camins assenyalats. En tots dos casos la di ferència de l ’ altura és la mat ei xa , però el camí recorregut és diferent. Q Q Q Camí 1 Pujada camí 2 Pujada camí 1 Baixada camí 1 Baixada camí 2 Camí 2 P P P Pe r p u j a r l a d i f e rè n c i a d ’ a l tu ra h em d e f e r u n t re b a l l e n c o n t ra d e l n o st re p r o p i p e s , i p e r re c ó r re r e l c amí h em d e v è n c e r e l f re gam e n t amb e l t e r ra . E l p e s é s un a f o r ç a c on s e r v a t iv a , p e rqu è e l t reb a l l n e c e ss a r i p e r v è n c e r - l o n o m é s d e p è n d e l p u n t i n i c i a l i e l f i n a l , m e n t r e q u e e l f r e g a m e n t é s u n a f o r ç a n o c on s e r v a t iv a , p e rqu è e l t reb a l l n e c e ss a r i p e r v è n c e r - l o d e p è n d e l c am í . S i c omp l e t em l a r u t a p e r t o r n a r a l p u n t d e p a r t i d a P, e l t re b a l l t o t a l c a u - s a t p e r l a f o r ç a p e s é s nu l . E n c a nv i , e l t re b a l l d e l a f o r ç a d e f re gam e n t n o é s nu l , p e rqu è h em d e v è n c e r - l a t a n t a l p a s d e P a Q c om e n l ’ i nv e r s . EXEMPLE RESOLT 5 Una massa de 50 kg està situada al punt (0, 0) m i una altra de 30 kg al punt (3, 0) m. a) En quin punt (o punts) del pla XY el camp gravitatori resultant és nul? b) Calcula el treball necessari per traslladar l’esfera de 30 kg fins al punt (5, 0) m. Interpreta el resultat obtingut. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Representa el problema gràficament: A(0, 0) B(3, 0) C(5, 0) d1 M1 Y X M2 g1 g2 d2 a) E s tracta de trobar un punt en el qual g 0 Total = . D’acord amb el principi de superposició: g g g Total 1 2 = + " g g 0 1 2 + = " Analitza la representació, observa que el punt que busques està en la línia que uneix M1 i M2. El dibuix ens ajuda a expressar vectorialment g1 i g2. No oblidis expressar totes les magnituds en unitats del sistema internacional. ● ? ? g r G M ur 1 1 2 1 1 = - ● ? ? g r G M ur 2 2 2 2 2 = ? ? ? , , g d d 6 67 10 10 50 3 34 i i kg N 1 1 2 11 1 2 9 = - = - - - ? ? ? , , g d d 6 67 10 00 10 30 2 i i kg N 2 2 2 11 2 2 9 = + = + - - Resol tenint en compte que: ? ? , , g g d d 0 3 34 10 2 00 10 0 i kg N i kg N 1 2 1 2 9 2 2 9 + = - + = - - " ? , , , , d d d d d d 1 67 1 67 1 29 1 29 2 2 1 2 2 1 2 1 = = = = " " Com que la distància entre les dues masses és de 3 m, substitueix i calcula: d1 + d2 = 3 " ? , d d 1 29 3 2 2 + = " d2 = 1,31 m d1 = 3 - 1,31 " d1 = 1,69 m b) F es servir l’expressió per calcular el treball en un camp gravitatori: ? ? ? ? W r G M M r G M M i f f i 1 2 1 2 = - " ? ? ? ? , W 6 67 10 50 30 5 1 3 1 B C 11 = - " - e o ? W 1,33 10 J B C 8 =- " - Interpretació: el treball és negatiu, és a dir, perquè el cos M2 es desplaci de B a C s’ha de fer un treball en contra de les forces del camp. C està més allunyat de M1 que B. Les forces del camp aproparan M2 a M1. En cada pas es produeix un desplaçament en horitzontal (Dx) i un altre en altura (Dh). La força pes és perpendicular al desplaçament horitzontal , per això no fa treball en aquest. El treball de la força pes depèn només del desplaçament en altura . hf hi P 18
RkJQdWJsaXNoZXIy