1 5.2 El camp gravitatori del Sol i el sistema solar C on s i d e rem e l S o l c om un a g ran ma ss a d e f o rma e sf è r i c a a l v o l t an t d e l a qual gi ren el s pl an et e s amb òrbit e s el · lípti qu e s . En l a major par t del s cas o s , l ’ exc entr i c it at d e l ’ el · l ipse é s p et it a , i p er t ant pod em supo sar qu e s ón òrbi - t e s c i rcul ars . A més, els planetes es troben a grans distàncies del Sol , de manera que tots ells es poden considerar masses puntuals. Podem fer ser vir les expressions deduïdes per a una massa puntual per calcular el camp gravitatori creat pel Sol a una distància r i la força d’ atracció gravitatòria que exerceix sobre un planeta situat en aquest punt: ? ? g r G M u Sol r 2 = - ; ? ? ? ? F m g r G M m u G planeta Sol planeta r 2 = = - [1] El moviment dels planetes Tal com va enunciar Newton , la força gravitatòria que exerceix el Sol sobre els planetes és la força centrípeta responsable del seu moviment circular. ? ? ? F m a m r v u C planeta C planeta r 2 = = - [2] Relacionant les expressions [1] i [2]: ? ? ? r G M m m r v Sol planeta planeta 2 2 = " ? v r G MSol = [3] Conclusió: els planetes giren a una velocitat menor com més gran és la seva distància al Sol . La velocitat a la qual gira un planeta no depèn de la seva massa ; només depèn de la massa del Sol i de la distància del planeta al Sol . Si relacionem la velocitat lineal del planeta amb el seu període de revolució: ? ? v r T r 2 ~ r = = i ho substituïm a [3], obtenim : ? ? T r r G M 2 Sol r = Elevant al quadrat i arrodonint, obtenim : ( ) ? r T G M 2 Sol 3 2 2 r = Conclusió: p er a qual se v o l pl an et a qu e giri al v o lt ant del S o l , r T 3 2 = ct . Es justifica la tercera llei de Kepler. Altres sistemes planetaris A l’univers podem trobar altres sistemes similars al descrit, en què un cos central de gran massa exerceix atracció gravitatòria sobre altres cossos de menys massa que giren al seu voltant. D ins del si stema solar hi ha planetes com la Terra , Mart, Júpiter o Saturn que tenen diversos satèl·lits girant al seu voltant. Fora d’ aquest hi ha estrelles amb els seus propis sistemes planetaris. En tots els casos s’ acompleix: F F G C = ; ? v r G M que gira central = cos cos r T ct . que gira 3 2 = e o cos El valor de la constant depèn de Mcos central. MSol r FG La força gravitatòria amb què la Terra està atreta pel Sol és la força centrípeta responsable del seu moviment circular al voltant del Sol . mTerra Sistema planetari K2-138 descobert gràcies a la cooperació ciutadana . Les lleis de Kepler s’ apliquen al descobriment de planetes que giren al voltant d’ altres estrelles. Els planetes més allunyats de l’estrella es mouen més lentament al voltant d’ aquesta . 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Distància (ua). 1 ua = 1,496 · 108 km Estrella Planetes 27
RkJQdWJsaXNoZXIy