1 EXEMPLE RESOLT 10 CoRoT-7b, un dels exoplanetes més petits coneguts, gira al voltant de l’estrella CoRoT-7 en una òrbita pràcticament circular de 2,58 ? 109 m de radi i un període de 20,5 h. La massa del planeta és 2,90 ? 1025 kg i té un radi de 1,07 ? 107 m. Calcula: a) La massa de l’estrella CoRoT-7. b) L ’acceleració de la gravetat a la superfície del planeta CoRoT-7b. c) La velocitat d’escapament d’aquest planeta. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Per resoldre el problema fes servir totes les magnituds en unitats de l’SI. a) Per al planeta que gira al voltant de la seva estrella: Relaciona v amb T: ? ? v r T r 2 v p = = Substitueix a [1] i aïlla la massa de l’estrella: ? ? ( ) M G T r 2 E 2 2 3 p = ? ? ? ? ? ? , ( , ) ( ) ( , ) M 6 67 10 20 5 3 600 2 2 58 10 1,87 10 kg E 11 2 2 9 3 30 p = = - b) Calcula g a la superfície del planeta: ? g R G m P P 2 = ? ? ? ? ( , ) , , g 1 07 10 6 67 10 2 90 10 16,89 s m 7 2 11 25 2 = = - c) L a velocitat d’escapament a la superfície del planeta és aquella que fa que un cos en aquell punt tingui una EM $ 0. ? ? ? ? E E E m v r G m m 2 1 0 M C P P 2 $ = + = - ? ? v R G m 2 P P $ escapament ? ? ? ? ? ? , , , V 1 07 10 2 6 67 10 2 90 10 1,90 10 m/s 7 11 25 4 $ = - escapament r Estrella Planeta FG F F C G = ? ? ? G r M m r m v E P P 2 2 = " " ? G r M v E 2 = " [1] 14 La llum del Sol triga 8 min i 20 s a arribar a la Terra, i 43 min i 20 s a arribar a Júpiter. Suposant que les òrbites són circulars, calcula: a) El període de Júpiter orbitant al voltant del Sol. b) La velocitat orbital de Júpiter. c) La massa del Sol. Dades: TTerra al voltant del Sol = 3,15 ? 107 s; c = 3 ? 108 m/s; G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Solució: a) 3,735 ? 108 s; b) 1,312 ? 104 m/s; c) 2,013 ? 1030 kg 15 Es deixa caure lliurement un objecte des d’una distància «infinita» d’un planeta de radi o RP . Calcula: a) La massa del planeta si la intensitat de la gravetat a la superfície val g0. b) La velocitat a arribar a la superfície del planeta. c) La velocitat de l’objecte quan passa per un punt A en què la gravetat val g0/2. RP A Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2 ; g 0 = 9,8 m/s 2; RP = 6,37 ? 106 m. Solució: a) 5,96 ? 1024 kg; b) 1,117 ? 104 m/s; c) 9,396 ? 103 m/s 16 Un forat negre és un objecte tan massiu que té una velocitat d’escapament igual a la velocitat de la llum al buit. Determina el radi, anomenat radi de Schwarzschild, per a un forat negre, a partir de la gravitació universal de Newton. a) Amb una massa 10 vegades la del Sol. b) Amb una massa d’1 kg. Dades: vllum buit = 3,00 ? 108 m/s; G = 6,67 ? 10−11 N ? m2/kg2; MSol = 1,99 ? 1030 kg. Solució: a) 2,95 · 104 m; b) 1,48 · 10-27 m 17 La massa de Mart, el seu radi i el radi de la seva òrbita al voltant del Sol, referits a les magnituds de la Terra són, respectivament: MMart = 0,107 ? MTerra, RMart = 0,532 ? RTerra, y rMart = 1,524 ? rTerra. Determina, en relació amb la Terra: a) El període de rotació al voltant del Sol. b) El valor de la gravetat i la velocitat d’escapament a la superfície de Mart en relació amb les de la Terra. Solución: a) TMart = 1,88 ? TTerra; b) gM = 0,378 ? gT; vescapament M = 0,448 ? vescapament T A C T I V I T A T S 29
RkJQdWJsaXNoZXIy