6. Moviment de planetes i satèl·lits EXEMPLE RESOLT 11 S’ha situat un satèl·lit de 104 kg de massa en òrbita al voltant de la Terra a una altura igual a dues vegades el radi terrestre. Calcula: a) L ’energia que se li ha comunicat des de la superfície de la Terra. b) L a força centrípeta necessària perquè descrigui l’òrbita. c) El període del satèl·lit en aquesta òrbita. Dades: g0 = 9,8 m ? s -2; RT = 6.370 km. Per resoldre el problema fes servir totes les magnituds en unitats de l’SI. RT RT FG a) E l satèl·lit estarà sotmès en tot moment al camp gravitatori terrestre. Per tant, es conservarà l’energia mecànica. En el punt de llançament se li ha de comunicar una energia cinètica la qual, sumada a la seva energia potencial, coincideixi amb l’energia mecànica a l’òrbita: ● Punt de llançament: ? ? E R G M m P T T = - ● A l’òrbita: ? ? ? ? E E E R G M m 2 1 2 M C P T T = + = - E E E C L P L M + = lançament lançament E E E C L M P = - Llançament lançament ? ? ? ? ? ? E R G M m R G M m 2 1 2 C Lanzamiento T T T T = - - - = f p ? ? ? ? R G M m 4 3 T T = [1] Com que desconeixes el valor de MT , fes ús de g0: ? ? ? g G M R G M g R T T T T 0 2 0 2 = = " [2] Substitueix a [1] i calcula la Ec en el llançament: ? ? ? ? ? ? ? E R g R m g R m 4 3 4 3 C L T T T 0 2 0 = = lançament Fes servir tots els valors en unitats de l’SI: ? ? ? ? ? , E 4 3 9 8 6370 10 10 4,68 10 J C L 3 4 11 = = lançament b) Per al satèl·lit que orbita, FC = FG. ? ? F G r M m C T S 2 = Fent ús de l’expressió [2], i donat que r = 2 ? RT: ? ? ? ? ( ) , F R g R m 2 4 9 8 10 24 500 N C T T s 2 0 2 4 = = = c) La FC permet calcular la velocitat amb què orbita el satèl·lit. A partir d’aquesta, calcula el seu període: ? ? ? ? ? ( ) ( ) F r m v r m r m r T 2 v C S S S 2 2 2 2 p = = = Reordena i substitueix els valors: ? ? ? ? ? ( ) T 24 500 10 2 6370 10 2 1,433 10 s 4 3 2 4 p = = - 4 h 19 Un satèl·lit artificial gira en una òrbita circular a 300 km d’altura sobre la superfície terrestre. a) Troba la velocitat del satèl·lit. b) Troba el seu període orbital. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6.370 km. Solució: a) 7,733 ? 103 m/s; b) 5,419 ? 103 s 20 Amb la finalitat de recollir informació relativa al planeta vermell es volen enviar tres naus a Mart per fer de satèl·lits «mart-estacionaris». Determina: a) Quin tipus d’òrbita tindrien els satèl·lits. b) A quina altura sobre la superfície de Mart es trobarien. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2; MMart = 6,42 ? 1023 kg; RMart = 3.397 km; TMart = 5,93 ? 107 s Solució: b) 1,559 ? 106 km 21 El satèl·lit de la NASA Terra està dissenyat per recollir informació sobre la superfície de la Terra, els oceans i l’atmosfera. Amb aquestes dades aconseguim estudiar la interrelació entre els diversos mitjans i els sistemes biològics existents. El satèl·lit segueix una òrbita circular en el pla que passa pels pols a una altura de 760 km sobre la superfície de la Terra (circumpolar). Sabent que la massa del satèl·lit és de 4,86 ? 103 kg, calcula: a) El període del moviment del satèl·lit a la seva òrbita al voltant de la Terra. b) L’energia necessària que s’ha de subministrar per llançar el satèl·lit des de la superfície de la Terra a la seva òrbita. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6.370 km. Solució: a) 5,99 ? 103 s; b) 1,68 ? 1011 J A C T I V I T A T S 34
RkJQdWJsaXNoZXIy