El moviment de satèl·lits 46 Un satèl·lit artificial de 200 kg orbita a una altura h sobre la superfície terrestre, on el valor de la gravetat és la tercera part del seu valor a la superfície de la Terra. a) Es fa treball per mantenir el satèl·lit en òrbita? Justifica la teva resposta. b) Calcula el radi, el període de l’òrbita i l’energia mecànica del satèl·lit. Dades: g0 = 9,8 m ? s -2 ; RT = 6,37 ? 106 m. Solució: b) 1,103 ? 107 m; 1,15 ? 104 s; -3,61 ? 109 J 47 El satèl·lit Astra 2C, que es fa servir per emetre senyals de televisió, és un satèl·lit en òrbita circular geoestacionària. a) Calcula l’altura a la qual orbita respecte de la superfície de la Terra i la seva velocitat. b) Calcula l’energia invertida per portar el satèl·lit des de la superfície de la Terra fins a la seva òrbita. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ? 1024 kg; massa del satèl·lit, m = 4500 kg. Solució: a) 3,58 ? 107 m; 3072,6 m/s b) 2,61 ? 1011 J 48 La lluna Ío de Júpiter té una massa de 8,94 ? 1022 kg i una gravetat a la seva superfície de 1,81 m/s2. a) Calcula el radi d’Ío (en quilòmetres) i el seu volum. b) Una sonda està en caiguda lliure cap a la superfície d’Ío. A 5.000 km del centre de la lluna la velocitat de la sonda és de 1.250 m/s. Quina velocitat tindrà la sonda a 2.000 km del centre? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2. Solució: a) 1.815 km; 2,5 ? 1019 m3; b) 2.267,2 m/s 49 El 1969 Michael Collins tripulava el mòdul del comandament Columbia, de la missió Apollo 11, mentre Neil Armstrong i Edwin Aldrin caminaven sobre la Lluna. La nau orbitava a 100 km d’altura sobre la superfície de la Lluna amb un període de 118 min. Calcula: a) La massa de la Lluna i la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar. b) La velocitat d’escapament des de la superfície lunar. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N? m2/kg2; RLluna = 1,74 ? 103 km. Solució: a) 7,356 ? 1022 kg; 1,62 m/s2; b) 2.375,743 m/s 50 L’Estació Espacial Internacional, de 280.000 kg de massa, gira a una altura mitjana de 360 km sobre la superfície de la Terra seguint una òrbita circular. A causa del fregament amb l’alta atmosfera, la seva altura disminueix contínuament. Per aquest motiu, l’estació ha descendit fins a una òrbita circular de 340 km d’altura. Calcula: a) Les velocitats orbitals a 340 km i 360 km d’altura. b) L’energia necessària per recuperar l’òrbita inicial. c) La diferència en el període de les òrbites. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6370 km. Solució: a) 7.698,5 m/s; 7.710,0 m/s; b) 2,47 ? 1010 J; c) 24,47 s E X E M P L E R E S O LT 1 3 a) SAC-D Aquarious és un satèl·lit d’observació climàtica i oceanogràfica. Va ser llançat el juny de 2011 per un coet que el va situar en una òrbita circular sobre la superfície de la Terra a una altura h = 660 km. Calcula la velocitat orbital de l’Aquarious i el període de la seva òrbita. b) Determina el treball mínim que haurien de fer els motors del satèl·lit per passar-lo a una altra òrbita més allunyada, que estigui a una altura del doble de la primera: 2h. Dades: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2 ? kg-2; MT = 5,98 ? 1024 kg; RT = 6,37 ? 106 m; MAquarious = 1350 kg. a) Per al el satèl·lit que orbita: ? ? ? ( ) F F R h G M m m R h v G C T T S S T 2 2 = + = + " Simplifica i calcula fent servir les unitats de l’SI: ? ? ? ? ? ? ( ) , , , v R h G M 6 3 10 660 10 6 67 10 5 9 10 7 8 T T 6 3 11 24 = + = + = - 7520,8 m/s = Relaciona T amb la velocitat orbital del satèl·lit: ? ? ( ) ( ) v R h T v R h T 2 2 T T p p = + = + " ? ? ? , ( , ) , T 7520 8 2 6 37 10 660 10 5881 5 s 6 3 p = + = b) Els motors haurien de fer un treball igual a la diferència d’energia entre les òrbites: ? ? ? ? ? ( ( ) W E E R h G M m R h G M m 2 i f M f M i T T T T = - = - + - - + " f p ? ? ? ( ) ( ) W G M m R h R h 1 2 1 i f T T T = + - + " e o ? ? ? ? , , W 6 67 10 5 98 10 i f 11 24 = " - ? ? ? ? ? ? ? , , 1350 6 3 10 660 10 1 6 3 10 2 660 10 1 7 7 6 3 6 3 + - + f p ? W 6,55 10 J i f 9 = " 51 Prepara una presentació relacionada amb els diversos tipus de satèl·lits, LEO, MEO i GEO. Inclou la seva aplicació, les característiques de les naus, òrbites o període, per exemple. 52 En un sistema format per dues masses M1 i M2, on M1 > M2, s’anomenen punts de Lagrange al conjunt de cinc punts en els quals un cos de massa negligible en el camp gravitatori creat per tots dos, té una òrbita síncrona amb què descriu M2 al girar a l’entorn de M1. Tres d’aquests punts, L1, L2 i L3, estan a la línia que uneix M1 i M2. Localitza’ls en un diagrama i raona per què la distància que separa L1 de M1 és la més petita, i la que separa L2 de M1 és la més gran. ACTIVITATS FINALS 42
RkJQdWJsaXNoZXIy