Esquema de les unitats 3. Camp gravitatori creat per masses puntuals EXEMPLE RESOLT 4 Dues masses puntuals, m1 = 5 kg i m2 = 10 kg, es troben als punts del pla XY (1, 3) m i (1, 9) m, respectivament. Calcula la intensitat del camp gravitatori a causa de les dues masses al punt (5, 6). Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. D’acord amb el principi de superposició: g g g Total 1 2 = + Com que coneixem les coordenades de cadascun dels punts, el més senzill és calcular cada camp tenint en compte la definició de g i obtenint, en cada cas, el vector unitari, u r r r = . Fes servir unitats de l’SI per a cada magnitud. ● Calcula g1. r 1 és un vector amb origen al punt (1, 3) i extrem a (5, 6). ( ) ( ) r r 5 1 6 3 4 3 i j i j 1 1 = - + - = + " u r r 4 3 4 3 5 4 3 i j i j r 1 1 1 2 2 = = + + = + Per tant: ? ? ? ? ? , g r G M u 5 6 67 10 5 5 4 i 3 j kg N r 1 1 2 1 1 2 11 = - = - + - ? ? , , g 1 07 10 8 00 10 i j kg N 1 11 12 = - - - - ● Calcula g2. r2 és un vector amb origen al punt (1, 9) i extrem a (5, 6). ( ) ( ) r r 5 1 6 9 4 3 i j i j 2 2 = - + - = - " u r r 4 3 4 3 5 4 3 i j i j r 2 2 2 2 2 = = + - = - Per tant: ? ? ? ? ? , g r G M u 5 6 67 10 10 5 4 i 3 j kg N r 2 2 2 2 2 2 11 = - = - - - ? ? , , g 2 14 10 1 60 10 i j kg N 2 11 11 = - + - - Aleshores: ? ? ? ? , ( , ) ( , , ) [ ] g g g 1 07 10 2 14 10 8 00 10 1 60 10 i j kg N Total 1 2 11 11 12 11 = + = - + - + + - + - - - - " gTotal ? ? , , 3 21 10 8 00 10 i j kg N 11 12 = - + - - Camp creat per una distribució de masses puntuals Suposem que en una regió determinada de l’espai s’ aprecia l’efecte de diversos punts materials de massa M1, M2, M3, etc. La intensitat del camp gravitatori creat per un conjunt de masses puntuals en un punt és la suma vectorial dels camps que crearia cada massa si només hi fos aquesta a la regió de l’espai . Això és coneix com a principi de superposició. ? ? g g r G M u Total i i i i ri i 2 = = - e o / / A la figura es representa el camp creat pels cossos de massa M1, M2 y M3 al punt P. El camp total és la suma dels camps creats per cada massa . g g g g Total 1 2 3 = + + ? ? ? ? ? ? g r G M u r G M u r G M u Total r r r 1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 = - - - El camp total és la suma dels camps creats per cada massa . M1 M1 M2 M3 P P M3 g1 g1 g2 g2 g3 g3 gTotal r 1 r2 r3 Y X m1 0 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 1 2 3 4 5 6 P g1 g2 gTotal m2 16 Per tant: ? ? ( , , ) g 3 47 10 2 00 10 i j Total 12 12 = - - + - - ? ? ( , , ) 5 20 10 3 00 10 i j 12 12 + - + - - ? 1,00 10 j 12 + - " gTotal = " ? ? , , 1 73 10 4 00 10 i j kg N 12 12 - - - b) Calcula la força: ? F m g G Total = . ? ? ? ( , , ) F 5 1 73 10 4 00 10 kg i j N/kg G 12 12 = - - - " FG = ? , , 0 8710 2 00 10 i j N 11 11 - - - c) Fes servir les unitats del sistema internacional per a totes les magnituds. ? ( ) ( ) W E E E m V V D E P P E P D T E T D D = - = - - = - - " Calcula el potencial total que les tres masses creen en cadascun d’aquests punts: ? ? ? V V V V r G r G r G M M M T D AD BD CD AD A BD B CD C = + + = - - - ? ? ? ? / , / , V 10 3 3 6 67 10 2 10 3 3 6 67 10 3 T D 11 11 = - - - - - ? ? / , , 10 3 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 6 354 10 kg J T D 11 = - - ? ? ? V V V V r G M r G M r G M T E A E B E C E AE A BE B CE c = + + = - - - ? ? ? ? , , V 5 6 67 10 2 5 6 67 10 3 T E 11 11 = - - - - - ? ? , , 5 3 6 67 10 0 5 11 - ? , V 7 055 10 kg J T E 11 = - - ? ( ) W m V V D E T E T D = - - " ? ? ? ? ( , ( , )) W 5 7 055 10 6 354 10 3,51 10 J D E 11 11 11 = - - - - = =+ " - - - Interpretació: W 0 > D E " , a i xò vo l d i r que l es forces de camp desp l açaran l a massa de 5 kg des de l cent re de l t r i ang l e a l mi g de l vèr tex oposat . d) Suposa que les úniques forces que actuen sobre el sistema són les forces gravitatòries: EC D + EP D = EC E + EP E " " ? ? E m V E m V C D T D C E T E + = + ? ? ? ? ? ? ( , ) ( , ) v 0 5 6 354 10 2 1 5 5 7 055 10 E 11 2 11 + - = + - - - ? v 3,8 10 m/s E 6 = - " 3. Avalua el resultat. Observa que el resultat numèric del problema pot canviar si les masses es posen en una altra posició. Com que la figura és simètrica, el vector que representa el camp i la força tindran diferents components, però amb el mateix mòdul. El valor de les magnituds escalars (potencial i energia) és independent de l’orientació del triangle. S O L U C I Ó 9 Justifica si l’afirmació següent és certa o falsa: «El potencial gravitatori és nul al punt mitjà del segment que uneix dues masses iguals». 10 Als punts A (-30, 0) i B (+20, 0) es troben fixes dues masses puntuals de 105 kg cadascuna. Al punt (0, –15) es troba una esfera petita de 400 g de massa, que pot moure’s lliurement. Tenint en compte que les distàncies estan expressades en metres, troba: a) La força exercida (mòdul, direcció i sentit) sobre l’esfera a la seva posició inicial. b) L’acceleració que experimentarà l’esfera just quan es trobi al punt (0, 0) entre els cossos A i B. c) Enuncia el principi de superposició de camps. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) ? ? , , 1 10 3 62 10 29 i j N 9 9 + - - ; 3,84 ? 10-9 N b) 9,29 ? 10-9 i m/s2 11 Si ens desplacem des d’un punt situat a gran altura en direcció cap a la superfície de la Terra, l’energia potencial gravitatòria augmentarà o disminuirà? 12 Hi ha dues masses de 3 ? 109 kg i 6 ? 109 kg, respectivament, als extrems de la hipotenusa d’un triangle rectangle isòsceles. a) Fes un esquema del camp gravitatori de cada massa i del camp total al vèrtex lliure. b) Si la hipotenusa del triangle mesura 100 m, calcula el mòdul del camp gravitatori en aquest vèrtex. c) En quin punt del triangle el camp gravitatori serà nul? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: b) 8,95 ? 10-5 m/s2; c) 41,42 # de la massa menor. A C T I V I T A T S 3. Camp gravitatori creat per masses puntuals A B X m Y 100 m m1 = 3 ? 10 9 kg m2 = 6 ? 10 9 kg 24 1 Analitzar el camp gravitatori creat per masses puntuals amb distribució geomètrica Al s t res vèr texs d’un t r i ang l e equi l àter de 10 m de costat hi ha s i tuats cossos puntua l s de masses 2, 3 i 0,5 kg. Ca l cul a: a) El valor del camp gravitatori al centre del triangle. b) La força que s’exercirà sobre un cos de 5 kg de massa que se situï al centre del triangle. c) El treball que fa el camp per portar aquest cos des del centre del triangle fins al punt mitjà del costat en què es troben les masses de 2 i 3 kg. Interpreta el signe del resultat. d) Suposant que la massa de 5 kg es deixa en repòs al centre del triangle, amb quina velocitat arribarà al punt mitjà del costat oposat? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/ kg2. 1. Comprèn l’enunciat. Dades conegudes Resultats a obtenir Valor de tres masses i la seva localització en un triangle. ● Camp gravitatori al centre del triangle i força sobre un cos de 5 kg. ● Treball en un desplaçament i velocitat amb què arriba. Fes tots els càlculs en unitats de l'SI. 2. Representa els cossos en la posició de l’enunciat. Estableix un sistema de coordenades per determinar la posició de cadascun dels cossos i el punt on es crea el camp. El centre del triangle (D) és el baricentre; dista de cada vèrtex 2/3 de l’altura. B A E D ( , / ) 5 5 3 3 C (0, 0) 2 2 0 4 6 8 6 4 8 10 (10, 0) 0, 5 kg 2 kg 3 kg 5, 5 3 ` j ur CD ur BD ur AD gC gA g B a) Calcula el camp al centre del triangle: g g g g T A B C otal = + + " ? ? ? ? ? ? g r G M u r G M u r G M u Total AD A r AD BD B r BD CD A r CD 2 2 2 = - - - " En cada cas, calculem el vector de posició i el vector unitari amb les coordenades dels punts inicial i final. A vegades, la simetria de la composició facilita el càlcul. ● rAD és un vector amb origen al punt (0, 0) i extrem a 5, 3 5 3 f p . / r 5 5 3 3 i j AD = + " ( / ) / u r r 5 5 3 3 5 5 3 3 i j r AD AD AD 2 2 = = + + = " / / 10 3 3 5 5 3 3 2 3 2 1 i j i j = + = + " ● r BD és un vector amb origen al punt (10, 0) i extrem a ( , / ) 5 5 3 3 . / r 5 5 3 3 i j BD= - + " u 2 3 2 1 i j r BD = - + " Per simetria amb l’anterior. ? ? g r G M u B BD B r BD 2 = - = ? ? ? ? / , 10 3 3 6 67 10 3 2 3 2 1 m kg N m kg i j 2 2 11 2 2 = - - + = - _ f i p ? ? , , 5 20 10 3 00 10 i j kg N 12 12 = - - - ● rCD és un vector amb origen al punt 5, 5 3 _ i i extrem a 5, 3 5 3 f p . / r u 0 10 3 3 i j j CD r CD = - = - " " ? ? g r G u M C CD C r CD 2 = - = " ? ? ? ? / , , ( ) 10 3 3 6 67 10 0 5 m kg N m kg j 2 2 11 2 2 = - - = - _ i ? 1,00 10 j kg N 12 = - S O L U C I Ó 23 Camp gravi tator i creat per masses puntual s 31 Indica quines dimensions té la intensitat del camp gravitatori en el sistema internacional. 32 Raona si és certa o falsa l’afirmació següent i justifica la resposta: «Si en un punt d’un camp creat per diverses masses la intensitat del camp és nul·la, també ho serà el potencial gravitatori». 33 Tres planetes de masses m1, m2 i m3 es troben en els punts (-a, 0), (0, -a) i (0, a), respectivament. Considerant que són masses puntuals de valors m2 = m3 = 2m1 = 4 ? 1021 kg, i si a = 2 ? 105 m, calcula: a) El vector camp gravitatori originat pels tres planetes en el punt O (0, 0) m. b) El potencial gravitatori (energia potencial per unitat de massa) originat pels tres planetes en el punt P (a, 0) m. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) ? ? ? ? , g 4 10 6 67 10 2 10 i 3,335 i kg N Total 10 11 21 = = - ; b) =2,22 ? 106 J/kg 34 Dues partícules de masses 8 kg i 1 kg es troben en el buit i separades 40 cm. Calcula: a) L’energia potencial inicial del sistema i el treball fet per la força gravitatòria a l’augmentar la separació entre les partícules fins a 80 cm. b) El treball necessari per separar les partícules des de la posició de partida fins a l’infinit i el treball necessari per restablir la distribució inicial. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) -1,334 ? 10-9 J; -6,67 ? 10-10 J; b) -1,334 ? 10-9 J; 1,334 ? 10-9 J Representació del camp gravitatori 35 Una sonda espacial que està a 50 m de la superfície de Mart s’apropa fins que s’hi posa a sobre. a) Observa els gràfics següents i indica, de manera justificada, quin representa les superfícies equipotencials generades per Mart. b) En el gràfic seleccionat, assenyala la posició de la superfície de potencial més gran i més petit. Justifica la teva resposta. A B C D 36 Indica si és certa o falsa l’afirmació següent i justifica la resposta: «El treball fet al traslladar una massa entre dos punts d’una mateixa superfície equipotencial mai és zero». Cinemàtica i dinàmica dels planetes 26 Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d’un planeta. Explica quina o quines de les magnituds següents es mantenen constants: a) El moment lineal. b) L’energia potencial. c) El moment angular. 27 Si una partícula es mou en un camp de forces centrals, el seu moment angular respecte del centre de forces: a) Augmenta indefinidament. b) És zero. c) És constant. 28 Al voltant d’una estrella orbiten dos planetes amb una massa molt més petita que la massa de l’estrella. Un d’ells (A) descriu una òrbita circular de radi RA = 1 ? 108 km i té un període de rotació de TA = 2 anys. Per la seva banda, el planeta B segueix una òrbita el·líptica el semieix de la qual és més gran (suma de les distàncies a l’estrella en l’apoastre i el periastre) de 2,8 ? 108 km. Calcula. a) El període de rotació del planeta B. b) La massa de l’estrella. c) La relació entre la velocitat lineal del planeta B en el seu apoastre i en el seu periastre. En quin d’aquests punts té una velocitat més gran? Solució: a) 4,83 anys; 1,49 ? 1029 kg; b) v p = 1,8 ? vA 29 Rhea i Titan són dos satèl·lits de Saturn que triguen, respectivament, 4,52 i 15,9 dies terrestres a recórrer les seves òrbites a l’entorn del planeta. Sabent que el radi mitjà de l’òrbita de Rhea és 5,27 ? 108 m, calcula el radi mitjà de l’òrbita de Titan i la massa de Saturn. Dada: G = 6,67 ? 10–11 N ? m2/kg2. Solució: 1,22 ? 109 m; 5,68 ? 1026 kg 30 L’esquema reprodueix una experiència similar a la que va fer Cavendish el 1875 per determinar el valor de la constant de gravitació universal, G. Les esferes grans tenen una massa de 10 kg cadascuna i la massa de l’esfera petita és 0,1 kg. En un moment donat, la posició de les tres masses forma un triangle rectangle com el que recull el dibuix. a) Quina ha de ser la relació entre les distàncies r i R perquè l’atracció gravitatòria de la massa M més allunyada sobre m sigui la desena part de la que exerceix la massa M més propera? b) En aquest moment, la distància és r = 0,25 m la força d’atracció entre m i la massa M més propera és 1 nN. Amb aquestes dades, quin valor s’obtindrà per a G? Dades: MTerra = 5,98 ? 1024 kg; RTerra = 6.370 km Solució: a) R = 3 ? r; b) G = 6,25 · 10-11 N ? m2/kg2. ACTIVITATS FINALS A B C Superfície de Mart Superfície de Mart Superfície de Mart Superfície de Mart 50 m 50 m 50 m 50 m A B Apoastre Periastre R1 R2 40 Continguts de la unitat. Algunes preguntes relacionen els continguts amb allò que ja s’ha estudiat. Altres conviden a la reflexió o al debat a partir d’alguna imatge. Al llarg de tota la unitat s’inclouen nombrosos exemples resolts, numèrics o no, que ajuden a posar en pràctica els conceptes exposats. Les activitats acompanyen el treball dels pròxims continguts. Una imatge i un text inicials presenten la unitat. Les activitats finals refermen els continguts i permeten relacionar uns coneixements amb altres i elaborar una anàlisi més profunda. Després de les activitats finals, un resum recopila els continguts més rellevants que s’acaben d’estudiar. La secció Perfil professional presenta algunes professions relacionades amb els continguts de la unitat. Algunes pàgines inclouen procediments o experiències per aprendre d’una manera activa. S’hi mostra pas a pas la feina a seguir. Abans de tractar els continguts de cada unitat, al repàs inicial es recorden continguts de matemàtiques, física o química. Els continguts es presenten d’una manera visual i amb abundants esquemes i organitzadors. O R I E N T A C I O N S P E R A L’ A C C É S A L A U N I V E R S I T A T 1 2 Ca l cul a l ’energ i a necessàr i a per por tar e l te l escopi des de l ’òrbi ta lunar f ins a l punt de Lagrange. L’ energ i a necessàr i a depèn de l s punt s ent re e l s que movem e l te l escop i i de l a massa de l a Ter ra i de l te l escop i . 1. L’ energ i a d’un satè l · l i t en un punt es ca l cu l a a par t i r de l ’ express i ó numèr i ca : ? ? E G M r m 2 1 = 2. Com que l ’ enunc i at no ens dona cap i nformac i ó sobre l a L l una , fes e l s cà l cu l s sense ten i r en compte e l camp grav i tator i o e l potenc i a l creat pe l nos t re satè l · l i t sobre e l te l escop i . 3. Ca l cu l a l a d i ferènc i a d’ energ i a en e l s punt s assenya l at s en l ’ enunc i at (r1 y r2) i després subs t i tue i x e l s va l ors en l ’ express i ó i n i c i a l . 4. Com que l’òrbita lunar està més a prop de la Terra que L2, l’energia resultant haurà de ser positiva. S’ha de comprovar aquest fet una vegada resolt el problema. 1 Ca l cul a e l camp grav i tator i en e l punt de Lagrange a l vol tant de l qua l orbi ta e l te l escopi . En prob l emes d’ aques t t i pus , e l camp grav i tator i tota l és l a suma vector i a l de l s camps grav i tator i s exerc i t s per cadascun de l s cossos que h i i ntervenen. En aques t cas , tant l a Ter ra com e l So l exerce i xen un camp grav i tator i sobre e l te l escop i . 1. Pr imer pot s d i bu i xar un esquema assenya l ant -h i l a d i recc i ó i e l sent i t de cadascun de l s camps grav i tator i s. Com que l ’ enunc i at no ens dona i nformac i ó de l a L l una , fes e l s cà l cu l s sense ten i r en compte e l camp grav i tator i creat pe l nos t re satè l · l i t sobre e l te l escop i . 2. A cont i nuac i ó d i bu i xa l a suma vector i a l sobre l ’ esquema , per conè i xer cap a on es tà d i r i g i t e l camp grav i tator i tota l . 3. Ara ca l cu l a e l va l or numèr i c de cadascun de l s camps grav i tator i s. Expressa-ho de manera vector i a l , esco l l i nt un or i gen de coordenades que fac i l i t i e l cà l cu l . En aques t cas , l ’or i gen pot es tar en e l punt de Lagrange. Necess i tes fer serv i r l ’ express i ó: ? g G r m 2 = 4. Finalment suma els camps gravitatoris component a component. 5. Ara ca l cu l a e l mòdu l de vector camp grav i tator i . Ai x í saps qu i n és e l va l or numèr i c de l camp. V i g i l a que l es un i tat s s i gu i n l es adequades. El telescopi espacial James Webb es troba des de 2022 en òrbita al voltant del punt de Lagrange L2, situat a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra , en la direcció que uneix la Terra amb el Sol , i més allunyat del Sol que de la Terra (1 ua més allunyat). Dades: 1 ua = 1,49 6 · 108 km ; G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2; dTerra-Lluna = 38 4.0 0 0 km ; mTelescopi = 6.20 0 kg. Lleis de Kepler. Moment angular. Llei de la gravitació universal. Camp gravitatori. Potencial gravitatori. Energia cinètica. C O N C E P T E S C L A U Energia potencial gravitatòria. Energia mecànica. Forces conservatives. Òrbita. Satèl·lit. Treball. Lluna Sol Terra L2 JWST 45 A Orientacions per l’accés a la Universitat s’hi inclouen activitats i consells per a la seva resolució. A la secció Aplico el que he après s’hi inclouen continguts pràctics relacionats amb la unitat. Cinemàtica i dinàmica dels planetes Les lleis de Kepler descriuen el moviment dels planetes: 1. Els planetes giren en òrbites el·líptiques planes. 2. Giren amb velocitat areolar constant. 3. Compleixen la relació (constante) a T k 3 2 = . Per descriure el moviment d’un cos que gira es fa servir el concepte moment angular (L ). ? ( ) r p r m v L # # = = El moment angular dels planetes és constant, i això indica que es mouen sota l’acció d’una força central. Newton va deduir l’expressió de la força gravitatòria, la força central que causa el moviment dels planetes. Camp gravitatori creat per masses puntuals Camp gravitatori és la regió de l’espai on s’aprecia la pertorbació provocada per la massa d’un cos. Intensitat del camp gravitatori en un punt Camp creat per una massa puntual de massa M: ? ? g r G M ur 2 = - És una magnitud vectorial i en l’SI es mesura en N/kg. La força gravitatòria sobre un cos de massa m situat en aquest punt del camp és: ? ? ? ? F m g r G M m ur i 2 = = - Treball causat per les forces gravitatòries E l camp grav i tator i és un camp conservat iu perquè e l t reba l l fet per l es forces de l camp grav i tator i depèn només de l punt ini c i a l i f ina l de l despl açament , i no de l a t ra j ectòr i a seguida. ? ? ? ? W r G M m r G M m i f f i = - " Energia potencial gravitatòria L’energia potencial gravitatòria EP és la que té una massa que està en el camp gravitatori d’altra(es) massa(es). ? ? E r G M m P= - És una magnitud escalar i en l’SI es mesura en J/kg. Conservació de l’energia mecànica Teorema de conservació de l’energia mecànica: quan un sistema es veu sotmès només a l’acció de forces conservatives, la seva energia mecànica es conserva. E E E E E C f P f C i P i M + = + = Potencial gravitatori en un punt S’anomena potencial en un punt V a l’energia potencial per unitat de massa en aquest punt: Podem escriure’l així: ? V m E r G M P = = - És una magnitud escalar i en l’SI es mesura en J/kg. Diferència de potencial entre dos punts i i f d’un camp gravitatori (Vf - Vi): ? ? V V V V r G M r G M f i f i D D = - = - - - " f p Representació del camp gravitatori Les línies de camp són línies tangents al vector intensitat de camp en cada punt. Les superfícies equipotencials són regions de l’espai en què el potencial gravitatori té el mateix valor. Camp gravitatori dels cossos celestes Per a un planeta que gira a l’entorn d’una estrella o similar: ? ; V r G M F F gira ò C central G rbita = = cos que cos Velocitat d’escapament és la que ha de tenir un cos per alliberar-se de l’atracció gravitatòria d’un altre cos. ? V r G M òrbita central $ escapament cos Moviment de planetes i satèl·lits Satèl·lits que orbiten a la Terra Per al satèl·lit que gira a una altura h per sobre de la superfície de la Terra: ● ? ? v r G M R h G M T T T = = + ● ? ? ? ? ( ) T G M r G M R h 4 4 p p T T T 2 3 2 3 = = + Energia dels satèl·lits L’energia mecànica d’un satèl·lit és: ? ? ? E r G M m 2 1 M= - La velocitat de llançament necessària per posar un satèl·lit en òrbita és: ? ? ? ? ( v G M R R h 2 1 2 1 T T 1 = - + e o L’energia necessària per passar d’una òrbita de radi r2 a una altra de radi r3, si r2 < r3 es: ? ? ? ? E G M m r r 2 1 1 1 2 3 D = - f p La velocitat d’escapament d’un satèl·lit que està a una altura h de la superfície d’un planeta de massa MP i radi RP , és: ? ? v R h G M 2 P P $ + escapament R E C O R D O E L Q U E H E A P R È S 43 A més de les mesures de temperatura , pressió atmosfèrica i humitat, l ’ús d’ imat ges obtingudes mitjançant sat èl · lit ha permès millorar notablement els pronòstics meteorològics, tot i que només sigui per a pocs dies. Existeixen dos tipus de satèl·lits meteorològics: ● Satèl·lits meteorològics geoestacionaris. Ten en un p e - r í o d e d e 2 4 h o r e s , é s a d i r, q u e c o i n c i d e i x a m b e l d e r o t a c i ó d e l a Te r ra . Ai xò i mp l i c a qu e s emp re e st a n s i - tuat s s obre e l mat e i x punt d e l a Ter ra , a uns 35 . 800 km d ’ alt itud . ● Satèl·lits meteorològics polars. Orbiten més a prop de la Terra , a menys de 1.000 km, i ofereixen imatges de millor resolució. La seva òrbita transcorre des d’un pol a l’altre, i el període és més curt que el dels satèl·lits geoestacionaris. Per això, passen per qualsevol punt de la seva òrbita diverses vegades al dia. Especialistes en meteorologia Què fan? ● E studi a e l s fenòmens qu e pa ssen a l ’ atmo sfera i l e s l l e i s f í si qu e s p er l e s qual s aqu e st s e s rege i xen . ● P rono st i ca e l t emps qu e farà a di ferent s l lo c s d e l pl an et a : l e s t emp erature s i e l s fenòmens atmo sf èr i c s qu e e s produi ran , c om pre c ipit a c ions en forma d e pluja , n eu o g rani ssad a , b or ra squ e s o ant i c i c lons , p er e xempl e . ● L l ança av i s o s d ’ al er t a en ca s o s d e r i sc p er fenòmens atmo sf èr i c s e xtrems . Com ho fan? ● Interpreta els resultats obtinguts a partir de les obser vacions fetes en estacions meteorològiques. ● S’encarrega de gestionar l’elaboració dels mapes d’isòbares, els mapes de predicció del temps o climogrames. ● Comunica pels canals oportuns els avisos d’ alerta meteorològica . A P L I C O E L Q U E H E A P R È S P E R F I L P R O F E S S I O N A L Satèl·lits meteorològics Molts satèl·lits són passius, és a dir, únicament prenen imatges. Però també existeixen satèl·lits actius capaços de transmetre un senyal de ràdio i rebre el seu eco després de xocar contra la superfície. Així s’obtenen les imatges de radar que identifiquen , per exemple, zones on plou . 44 1. Producte de vectors Product e escal ar de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte escalar ? A B és un escalar, el valor del qual és: ? ? ? cos A B A B a = El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè cos 90° = 0. Producte vectorial de vectors. Donats dos vectors A i B que formen un angle a, el seu producte vectorial A B # és un vector C, amb les característiques següents: ● Mòdul: sen ? ? A B A B # a = ● Direcció: és perpendicular a A i B. ● Sentit: ve det erminat per la regla de la mà dreta o del cargol . El producte vectorial de dos vectors paral·lels és zero per - què sin 0° = 0. 2. La derivada d’una funció ● Derivada de la funció constant: Quan y = K (constant) " dx dy 0 = ● Derivada de la funció producte per un nombre real: Quan y = K ? x " dx dy K = ● Derivada de la funció potencial: Quan y = xn " ? dx dy n xn 1 = - 3. Derivada d’un producte de vectors ( ) ? ? ? d A B dA B A dB = + ( ) d A B dA B A dB # # # = + Anem a demostrar que ? ? r d r r dr = . ° ? ? ? ? cos r r r r r r 0 = = ( ) ? ? ? ? d r r d r r r d r r d r 2 = + = [1] ( ) ( ) ? ? ? ? ? d r r d r r dr r r dr r dr 2 = = + = [2] Igualant [1] i [2]: ? ? ? ? r d r r dr r d r r dr 2 2 = = " REPASSO MATEMÀTIQUES 1. Model geocèntric de Ptolomeu La Terra es manté fixa en el centre de l’Univers i la resta d’ astres giren al seu voltant. Pe r e x p l i c a r e l m o v i m e n t re t r ò g ra d d e Ma r t , P t o l o - m e u ( 8 5 - 1 6 5 ) v a i m a g i n a r q u e e l s p l a n e t e s g i r a v e n al voltant de la Terra descriv i n t u n a ò r b i t a e n e s p i r a l e n l a q u a l p e t i t e s c i r c um - ferències, epicicles, desplac e n e l s e u c e n t r e s e g u i n t u n a c i r c u m f e r è n c i a m é s gran , deferent. Tant el gir de l ’epicicl e com el del deferent poden t enir v e l o c i t a t s , d i re c c i o n s i ra d i s i n d e p e n d e n t s , c o s a qu e e x p l i c a l e s i r re g u l a r i t a t s o b s e r v a d e s e n e l m o v i m e n t dels planetes. 2. Model heliocèntric de Copèrnic El Sol ocupa el centre de l’Univers. La Terra i els altres plan e t e s g i ren a l s eu v o l t ant d e sc r iv i nt òrbi t e s c i rcul a r s . Només la Lluna gira al voltant de la Terra. L’ astrònom polonès Nicolau Copèrnic (1473-1543) va establir un model heliocèntric que explica el moviment retrògrad de Mart com un efecte òptic. La Terra es desplaça en la seva trajectòria a major velocitat que Mart en la seva ; això fa que, de vegades, sembla que Mart retrocedeix. 3. Moviment circular uniforme ● Ve l o c i t a t : é s t a n ge n t a l a t ra j e c t ò r i a e n c a d a p un t . El seu mòdul és constant. ● Acceleració: només té component normal o centrípet. ● Força : aqu e st s c o ss o s e s - t a n s o t m e s o s a u n f o r ç a centrípeta . F ? ? F m r v m a c c 2 " = = REPASSO FÍSICA I QUÍMICA Centre Moviment retrògrad Deferent Epicicle v v v a a a F F F 1 Calcula: dr d r 1 = e o. Solució: r 1 2 - A C T I V I T A T S 8 Llei de la gravitació universal Dos cossos qualssevol s’ atrauen l’un a l’ altre amb una força que té un mòdul directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa . La seva direcció és la de la línia que uneix tots dos cossos i el seu sentit, de l’un a l’ altre. 2. La dinàmica dels planetes 2.2. Llei de la gravitació universal Determinació de la constant de gravitació universal El 1785, Henr y Cavendish (1731-1810) va determinar experimentalment el valor de la constant G. Va fer ser vir una balança de torsió per mesurar la força d’ atracció entre dues masses conegudes. El procediment permet mesurar el parell de forces que fan que es torci un fil en di spo sar quatre masse s —i gual s do s a do s— c om e s mo stra a l a f i gura . L’ atracció entre les masses fa girar lleugerament el mirall , cosa que repercuteix en el punt de l’escala en què incideix el feix de llum ref lectit. Conegut el valor de G, es va poder determinar la massa dels diversos astres. . F G r M m u ? ? ? 2 r G = - Esquema de balança de torsió moderna. Al seu experiment, Cavendish va fer ser vir dues masses de 158 kg i unes altres dues de 0,730 kg. Amb aquesta experiència es pot deduir el valor de G: ( , , ) N kg m ? ? G 6 6 0 041 10 11 2 2 ! = - El valor que s’admet avui per a aquesta constant és: 6,6742 10 kg m G ? ? N 11 2 2 = - Mirall Font de llum (làser) A causa de l’atracció gravitatòria, el fil adossat al mirall gira Cada massa gran atrau la massa petita propera M1 M2 m2 m1 Escala F F La partícula A exerceix una força d’ atracció sobre la partícula B, en la direcció de la recta que les uneix. La força gravitatòria que la partícula A exerceix sobre B és igual i de sentit contrari a la que B exerceix sobre A. u és un vector unitari en la direcció de r. El seu sentit és l’oposat a F. mA mB A B r r FBA FAB u 7 En un espai hipotètic existeixen únicament un cos de 200 kg i un altre de 50 kg, separats 10 m. Calcula el mòdul, la direcció i el sentit de la força gravitatòria a la qual es veurà sotmès un cos de 8 kg situat a la línia que uneix els dos primers. a) A 2 m a l’esquerra del cos de 50 kg. b) A 2 m a la dreta del cos de 50 kg. Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: a) 6,26 ? 10-9 N; b) 9,27 · 10-9 N. 8 El semieix més gran de l’òrbita terrestre mesura 1,49 ? 108 km i la durada d’un any és de 365,256 dies. Quina és la massa del Sol? Dada: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2. Solució: 1,97 ? 1030 kg A C T I V I T A T S 14 Camp gravitatori 1 El telescopi espacial James Webb A finals de 2021 es va llançar a l’espai el Telescopi Espacial James Webb, successor del famosíssim Hubble. Es tracta d’un telescopi capaç d’observar en l ’infraroig i està format per 18 panel l s que li atorguen un diàmetre de 6,5 m (el Hubble té un mirall principal de 2,4 m de diàmetre). Amb l’objectiu d’aprofitar al màxim el seu potencial i obtenir les imatges més detallades possible, es va enviar a un punt de l’espai situat a uns 1,5 milions de km de la Terra, unes 4 vegades la distància Terra-Lluna. Per què allà? Doncs perquè en aquest punt està lluny del Sol , la temperatura és molt baixa i pot observar regions fosques de l’espai continuament. A més, l’ atracció gravitatòria exercida pel Sol i la Terra és idònia per mantenir-lo en una òrbita estable sense consumir massa combustible. 6 R E C O R D O E L Q U E S É De què depèn la força que el Sol exerceix sobre el telescopi Webb? Quines característiques té la força gravitatòria exercida entre dues masses? Quina és la diferència entre pes i massa? Explica-ho amb un exemple. I N T E R P R E T O L A I M AT G E El telescopi Webb està situat en una òrbita al voltant del punt de Lagrange anomenat L2, tal com mostra l’esquema. Quin astre creus que exercirà més força sobre aquest, la Terra o el Sol? Per què? S’anul·la la força gravitatòria exercida pel Sol i la Terra en el punt on s’ha situat el telescopi Webb? I en algun punt situat a la línia que uneix el Sol i la Terra? Fes un esquema amb les forces que el Sol i la Terra exerceixen sobre el telescopi Webb. E N AQ U E S TA U N I TAT… 1 La cinemàtica dels planetes 3 Camp gravitatori creat per masses puntuals 4 Representació del camp gravitatori 5 Camp gravitatori dels cossos celestes 6 Moviment de planetes i satèl·lits APLICO EL QUE HE APRÈS Satèl·lits meteorològics 2 El concepte de camp Sol Lluna L4 L2 L1 L3 L5 Terra Òrbita de JWST al voltant d'L2 7 Viatges a través de l’espai 7 En el material digital de suport trobaràs animacions que faciliten l’assimilació dels continguts. 5
RkJQdWJsaXNoZXIy