1 E S O Matema´ ticas ES0000000118825 122141_Libro_Mates_1_116007 ES0000000118825 122141_Libro_Mates_1_116007.indd 1 4 E S O A N DA LU C Í A Matema´ ticas Opción A Aprender más para construir entre todas y todos un mundo mejor. Un proyecto con un propósito, una misión, un sentido. ¿Te sumas a la comunidad de constructores de mundos?
Programación didáctica • Situaciones de Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Biblioteca del profesorado • Lecturas de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 • Cuaderno de gamificación Matjuego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 • Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 • Refuerzo y ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 • Recursos para la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Recursos digitales • LibroMedia y Aula Vir tual 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 • Generador de E xámenes Santillana (GES ) . . . . . . . . . . . . 87 Matemáticas E S O Material del profesorado ANDALUCÍA Fotograf ía s Shut ters tock : 2 214 6 4 8279 Damir Khabirov, 1370 0 5 104 8 YoloStock . ARCHIVO SANTILL ANA
Descubre todos los recursos educativos que Construyendo mundos te ofrece: Matemáticas • Lecturas de Matemáticas • Cuaderno de gamificación Matjuego • Solucionario • Refuerzo y ampliación • Recursos para la evaluación • LibroMedia • Aula Virtual 4 • Generador de Exámenes Santillana (GES) Material del profesorado Recursos digitales Programación didáctica de las Situaciones de Aprendizaje Séneca Diseñados para brindarte todo lo que necesitas para impartir tus clases de manera efectiva y enriquecedora. En Santillana entendemos la importancia de contar con herramientas y materiales adecuados para facilitar tu labor pedagógica y promover el aprendizaje significativo en tus estudiantes. En las siguientes páginas encontrarás una muestra de materiales del profesorado de Secundaria, donde te mostramos la amplia variedad de recursos cuidadosamente seleccionados para cubrir tus necesidades en el aula. 2
Programación de Situaciones de Aprendizaje 3
Dispondrás de la programación de todas las Situaciones de aprendizaje en formato Word, descargables desde e-vocación. Esto te permitirá de una forma sencilla responder a los requisitos administrativos de Séneca. Situaciones de Aprendizaje SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 1. IDENTIF TÍTULO M ÁREA/ÁMBITO MATEMÁT TEMPORALIZACIÓN MES ABRIL L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 RELACIÓN CON LOS ODS CONTEXTO DE APLICACIÓN A lo largo de la Situación de Aprendizaje (SdA) se trabajará en existen al afrontar los problemas que se le plantean, resolver Partiendo de una lluvia de ideas, se introducen los saberes aprendido. Al finalizar la SdA el alumnado podrá realizar una valoración PRODUCTO FINAL El alumnado, investigando el origen, las características, las necesitará saber cómo se pueden trasladar y girar figuras geo 4
disponibles en RECURSOS DEL PROFESORADO 2024-2025 FICACIÓN MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS TICAS CURSO 3º ESO JUSTIFICACIÓN - Vinculación con la vida real, con los intereses del alumno…- El alumnado, a través de esta unidad, podrá resolver correctamente situaciones en las que tendrá que aplicar el razonamiento matemático para interpretar situaciones planteadas en textos y enunciados que se resuelven con movimientos en el plano, utilizando escalas y mapas; desarrollar la capacidad visual para realizar traslaciones y giros e identificar simetrías; reflexionar sobre el interés que han demostrado todas las culturas por representar el universo y resolver situaciones relacionadas con astronomía, geografía, biología, deporte y dibujo, valorando la importancia de los conocimientos matemáticos. La situación de aprendizaje propone la creación de mandalas, una actividad con la que el alumnado podrá realizar los giros que se van indicando para conseguir figuras simétricas. Una manera de reflexionar sobre el hecho de que los mandalas se consideren una representación del universo. RELACIÓN CON OTRAS ÁREAS EPAV TEC GEO n equipo de forma cooperativa: el alumnado debatirá y valorará qué ventajas y dificultades rá conflictos para llegar a acuerdos… s básicos de la SdA y se plantean actividades en las que plasmar y poner en práctica lo de su trabajo y de su aprendizaje. formas posibles y qué representan los mandalas, deberá diseñar y crear uno. Para ello, ométricas y comprender cómo se transforman utilizando ejes de simetría. SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2024-2025 2. CONCRECIÓN CURRICULAR DESCRIPTORES COMPETENCIAS ESPECÍFICAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN SABERES BÁSICOS CCL1, STEM1, STEM2, CD1, CD2, CD5, CE3. 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación, para generar nuevo conocimiento. 3.1. Formular y comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones, propiedades y relaciones. MAT.3.B.1.1. Atributos mensurables de los objetos físicos y matemáticos: investigación y relación entre los mismos. MAT.3.B.3.1. Formulación de conjeturas sobre medidas o relaciones entre las mismas basadas en estimaciones. 3.2. Plantear variantes de un problema dado modificando alguno de sus datos o alguna condición del problema. MAT.3.D.6.1. Generalización y transferencia de procesos de resolución de problemas a otras situaciones. 3.3. Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la investigación y comprobación de conjeturas o problemas. MAT.3.C.1.3. Construcción de figuras geométricas con herramientas manipulativas y digitales (programas de geometría dinámica, realidad aumentada…). STEM1, STEM2, STEM3, CD2, CD3, CD5, CE3. 4. Utilizar los principios del pensamiento computacional organizando datos, descomponiendo en partes, reconociendo patrones, interpretando, modificando y creando algoritmos, para modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz. 4.2. Modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz interpretando y modificando algoritmos. MAT.3.C.4.1. Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas. MAT.3.D.1.1. Patrones, pautas y regularidades: observación y determinación de la regla de formación en casos sencillos. MAT.3.D.2.1. Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico. STEM1, STEM3, CD2, CD3, CCEC1. 5. Reconocer y utilizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, interconectando conceptos y procedimientos, para desarrollar una visión de las matemáticas como un todo integrado. 5.1. Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas, formando un todo coherente. MAT.3.A.3.2. Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas. MAT.3.C.1.2. Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales: identificación y aplicación. SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2024-2025 MAT.3.C.2. Relaciones espaciales: localización y descripción mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación. 5.2. Real izar conexiones entre diferentes procesos matemáticos aplicando conocimientos y experiencias previas. MAT.3.C.3. Transformaciones elementales como giros, traslaciones y simetrías en situaciones diversas utilizando herramientas tecnológicas o manipulativas. STEM1, STEM2, CD3, CD5, CC4, CE2, CE3, CCEC1. 6. Identificar las matemáticas implicadas en otras materias y en situaciones reales susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos, para aplicarlos en situaciones diversas. 6.1. Reconocer situaciones susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir. MAT.3.A.5.1. Razones y proporciones: comprensión y representación de relaciones cuantitativas. MAT.3.B.2.1. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras planas y tridimensionales: deducción, interpretación y aplicación. MAT.3.B.2.2. Representaciones planas de objetos tridimensionales en la visualización y resolución de problemas de áreas. MAT.3.B.2.3. Representaciones de objetos geométricos con propiedades fijadas, como las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos. MAT.3.C.1.1. Figuras geométricas planas y tridimensionales: descripción y clasificación en función de sus propiedades o características. 6.2. Identificar conexiones coherentes entre las matemáticas y otras materias resolviendo problemas contextualizados. MAT.3.C.4.2. Relaciones geométricas en contextos matemáticos y no matemáticos (arte, ciencia, vida diaria…). MAT.3.D.2.2. Estrategias de deducción de conclusiones razonables a partir de un modelo matemát ico. 5
disponibles en RECURSOS DEL PROFESORADO SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2024-2025 3. SECUENCIACIÓN DIDÁCTICA FASES ACTIVIDADES / EJERCICIOS EVIDENCIA SABERES BÁSICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMP. ESP. MOTIVACIÓN En esta fase presentamos al alumnado el contexto de la situación que hay que resolver: ● Una mosca y una araña. ● ¿Cuál es el camino más corto para que la araña llegue a la mosca? ● ¿Qué distancia recorrerá? Situación de aprendizaje (pág. 187). Consistirá en la creación de un mandala propio, tras aprender cómo se pueden trasladar y girar figuras geométricas y comprender cómo se transforman utilizando ejes de simetría. Actividades de aula MAT.3.C.4.1. Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas. 4.2. Modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz interpretando y modificando algoritmos. 4 MAT.3.D.1.1. Patrones, pautas y regularidades: observación y determinación de la regla de formación en casos sencillos. MAT.3.D.2.1. Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico. MAT.3.A.3.2. Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas. 5.1. Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas, formando un todo coherente. 5 MAT.3.C.1.2. Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales: identificación y aplicación. SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2024-2025 4. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Y DIFERENCIAS INDIVIDUALES (DUA) PROPORCIONAR MÚLTIPLES FORMAS DE COMPROMISO Este principio supone proporcionar opciones para: captar el interés, mantener el esfuerzo, la persistencia y la autorregulación. PROPORCIONAR MÚLTIPLES FORMAS DE REPRESENTACIÓN Este principio supone proporcionar opciones para: la percepción de la información, el lenguaje, los símbolos y la comprensión. PROPORCIONAR MÚLTIPLES FORMAS DE ACCIÓN Y EXPRESIÓN Este principio supone proporcionar opciones para: la acción física, la expresión y la comunicación. - Proporcionar momentos para la escucha activa. - Involucrar a los estudiantes en debates de evaluación y generar ejemplos relevantes como modelos. - Propiciar un clima favorable y de apoyo en el aula. - Presentar el objetivo de diferentes maneras. - Crear actividades que propicien un clima de pertenencia en el aula a través de juegos y dinámicas grupales. - Utilizar actividades que incluyan medios por los cuáles los aprendices obtienen retroalimentación y a la vez tienen acceso a apoyos alternativos (como gráficos, plantillas, despliegue de retroalimentación) que permita entender el progreso de una forma comprensible y oportuna. - Subtítulos o convertidor automático de voz a texto. - Descripciones texto/voz de imágenes, gráficos, vídeos. - Resaltar o explicar las relaciones entre los elementos (ej. mapas conceptuales). - Lecturas cortas y con temáticas de la vida diaria cercanas al alumnado - Presentar los conceptos clave en formas alternativas al texto (imágenes, movimiento, tabla, video, fotografía, material físico y/o manipulable, etc.). - Organizadores gráficos. - Usar objetos físicos manipulables (bloques, modelos 3D, regletas, ábacos, etc.). - Uso de diferentes estrategias para la resolución de problemas. - Secuenciar en pasos concretos. - Uso de diferentes estrategias para la resolución de problemas. - Permitir exposiciones en grupos reducidos. - Apoyos que pueden ser retirados gradualmente, según aumenta la autonomía. - Variedad de feedback (retroalimentación que sea accesible porque puede ser personalizada para cada aprendiz). 5. METODOLOGÍA Preferiblemente metodologías activas: proyectos, flipped classroom… 6. RECURSOS ● Aprendizaje cooperativo. ● Rutinas y destrezas de pensamiento. ● Modelo discursivo/expositivo. ● Modelo experiencial. ● Trabajo por tareas. ● Trabajo individual. ● Trabajo cooperativo. ● Libro. ● Pizarra (apoyo en toda la situación de aprendizaje). ● LibroMedia (apoyo en toda la situación de aprendizaje): - Actividades interactivas. - Animación. - Audios. - Láminas. SANTILLANA. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 2024-2025 7. TRATAMIENTO DE LA LECTURA Cuaderno Literatura y Matemáticas 3º ESO El joven Arquímedes (pág. 30). Guido, el protagonista de este cuento, es un niño pobre que vive en las afueras de Florencia. Un verano conoce a un niño inglés, llamado Robin, cuya familia pasa las vacaciones cerca de su casa. El padre de Robin, un hombre muy culto, se da cuenta enseguida de que Guido tiene una capacidad extraordinaria para la música y un poco más tarde descubre que también es un superdotado para las matemáticas, y por eso lo llama «el pequeño Arquímedes». En el siguiente fragmento narra cómo lo descubrió. Responder a las preguntas de la página 33. RÚBRICA DE EVALUACIÓN 8. VALORACIÓN DE LO APRENDIDO CRITERIOS EVALUACIÓN EVIDENCIA 1-2,9 3-4,9 5-6,9 7-8,9 9-10 3.1. Formular y comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones, propiedades y relaciones. Actividades de aula No investiga ni comprueba conjeturas sencillas tanto en situaciones del mundo real como abstractas. Le cuesta investigar y comprobar conjeturas sencillas tanto en situaciones del mundo real como abstractas de forma guiada, trabajando de forma individual o colectiva la utilización del razonamiento inductivo y deductivo para formular argumentos matemáticos, analizando patrones, propiedades y Investiga y comprueba conjeturas sencillas en alguna de las situaciones tanto del mundo real como abstractas, empezando a hacerlo de forma autónoma, trabajando de forma individual o colectiva la utilización del razonamiento inductivo para formular argumentos matemáticos, analizando patrones, propiedades y Investiga y comprueba conjeturas sencillas de manera adecuada, en la mayoría de las situaciones tanto del mundo real como abstractas, de forma autónoma, trabajando de forma individual o colectiva la utilización del razonamiento inductivo para formular argumentos matemáticos, Investiga y comprueba conjeturas sencillas de manera excelente, tanto en situaciones del mundo real como abstractas, de forma guiada, trabajando de forma individual o colectiva la utilización del razonamiento inductivo para formular argumentos matemáticos, analizando patrones, propiedades y relaciones, examinando su validez y reformulándolas para obtener nuevas conjeturas susceptibles de ser puestas a 6
Biblioteca del profesorado Evaluaciones Solucionario Fichas de Refuerzo y Ampliación Cuaderno de gamificación Lecturas de Matemáticas 7
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1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8 Estadística y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I Rectas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I I Triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 I I I Cuadriláteros y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 I V Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Lec turas matemát i cas José de l Rí o Sánchez Ca r l os Pé rez Saavedra Mues t ra 9
Autora: Yoko Ogawa ARGUMENTO Un profesor de matemáticas jubilado, de un instituto de investigación muy importante, sufrió un accidente de tráfico y, como consecuencia, perdió parte de la memoria. Solo recuerda lo sucedido antes de 1975 y lo que pasa en los últimos ochenta minutos. Vive solo, atendido por una asistenta, y se pasa las horas encerrado en su habitación resolviendo los problemas que propone una revista de matemáticas, una actividad que le proporciona algunos ingresos. La asistenta es una chica joven, soltera, y tiene un hijo de diez años, que pasa solo gran parte del día, porque ella tiene que trabajar en la casa del profesor. Cuando este se entera de esta situación, le propone que el niño vaya a su casa al salir del colegio; así no estará solo y él le ayudará a hacer los deberes. La madre, que es la narradora, acepta este ofrecimiento y poco a poco surge entre los tres una intensa amistad. 4 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. LITERATURA Y MATEMÁTICAS DIVISIBILIDAD 1 Lecturas matemáticas 10
La fórmula preferida del profesor –Tu cumpleaños es el 20 de febrero. Eso da 220*, un número realmente encantador. Y me gustaría que vieras e s t o . Es un p r emi o de l Re c t o r de l a Un i ve r s i dad que gané con una tesis sobre la Teoría de los Números Trascendentes... El profesor se quitó el reloj de pulsera y lo aproximó a mis ojos para que lo viera bien. Era un reloj de buena calidad, de fabricación extranjera, que no se correspondía con sus gustos en la ropa. […] En el reverso del cuadrante del reloj podía leerse «Pre - mio del rector de la Universidad n.° 284». –¿Significa el 284º puesto de honor? –Puede ser. Pero lo importante es el 284. Veamos, pues; y no es hora de fregar platos. 220 y 284, ¿no te dice nada? El profesor tiró de mi delantal e hizo que me sentara a la mesa del comedor, sacó un lápiz del 4B, ya muy corto, del bolsillo interior de la americana, y con él escribió aquellos dos números en el dorso de un folleto publicitario. 220 284 No sé por qué, pero los escribió, curiosamente, separados. […] –¿Sabes qué es un divisor? –Creo que sí. Me parece que lo estudié, hace tiempo... –El 220 puede di v idi rse por 1 . Y t ambi én por 220 . No queda resto. Por lo tanto el 1 y el 220 son divisores de 220. Un número natural tiene, siempre, el 1 y él mismo como divisores. Ahora bien, ¿por cuál otro número puede dividirse? –Por 2, por ejemplo, o por 10... –Exactamente. ¿Ves cómo lo entiendes? Ahora, vamos a escribir los divisores de los números naturales 220 y 284, excepto ellos mismos. Veamos: Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 Divisores de 284: 1, 2, 4, 71 y 142 […] El profesor fue añadiendo signos de sumar: Divisores de 220: 1 1 2 1 4 1 5 1 10 1 11 1 1 20 1 22 1 44 1 55 1 110 Divisores de 284: 1 1 2 1 4 1 71 1 142 –Ahora, haz la suma de todo. Despacio; tenemos tiempo. […] –Ya lo tengo: Divisores de 220: 1 1 2 1 4 1 5 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 22 1 44 1 55 1 110 5 284 Divisores de 284: 1 1 2 1 4 1 71 1 142 5 220 –Correcto. Mira qué maravillosa sucesión de números. La suma de los divisores del 220 es igual a 284. Y la de los divisores de 284, igual a 220. Son números amigos. Son una combinación muy infrecuente, ¿sabes? Fermat o Descartes solo lograron descubrir un par, cada uno de e l l o s . E s t o s d o s n úme r o s e s t á n u n i d o s p o r l a g r a c i a de un vínculo divino. ¿No te parece hermoso? ¡Que la fecha de tu cumpleaños y el número grabado en mi reloj de pulsera estén unidos por un lazo tan maravilloso! * En japonés las fechas se escriben enumerando primero el mes y a continuación el día. Literalmente: 2.° mes, 20.° día. ACTIVIDADES 1 Escribe todos los divisores de 24 y de 36. ¿Son números amigos? 2 Busca dos números distintos que tengan, al menos, los siguientes divisores: 1, 3, 5 y 11. 3 Escribe tres números que sean múltiplos comunes de 6 y de 15. 5 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. 11
6 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. Después del jueves…, otro jueves En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía distante a un jesuita que estaba visiblemente alterado. –Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita, Christopher Clavius– que me conceda la autorización para justificar el cambio de calendario. ¡Las críticas han llegado al extremo de acusarnos de robarle 10 días al calendario! Gregorio XIII levantó la cabeza y respondió: –Eso no es más que un ataque de herejes e ignorantes. La Comisión de Sabios determinó que nuestros cálculos de la duración del año eran erróneos y que nuestro calendario estaba atrasado en 10 días. El Papa continuó: –Al 4 de octubre de 1582 le siguió el 15 de octubre, pero no robamos 10 días al calendario, sino que recuperamos lo que el calendario anterior tomó sin corresponderle. De haber seguido así, habríamos terminado por celebrar la Navidad en verano. HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS DIVISIBILIDAD 1 ACTIVIDADES 1 ¿En qué año habríamos comenzado a celebrar la Navidad en verano, de haber seguido sin ajustar debidamente el calendario gregoriano? 2 Explica el criterio de divisibilidad que establece el calendario gregoriano para los años bisiestos. Lecturas matemáticas 12
7 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. DESCUBRE LA HISTORIA... Esta historia nos presenta a los creadores del calendario gregoriano, usado actualmente en la mayoría de los países: el papa Gregorio XIII, del cual recibe su nombre, y el jesuita alemán Christopher Clavius, al que podríamos considerar como padre intelectual del calendario, que cifró la duración del año trópico mediante cálculos matemáticos y astronómicos en 365,2425 días, lo que justifica los ajustes realizados al calendario. Christopher Clavius nació el 25 de marzo de 1538 y murió el 12 de febrero de 1612, ingresó en la Compañía de Jesús en 1555, estudió en la Universidad de Coimbra y en el Collegio Romano donde, salvo breves periodos de tiempo, impartiría clases de Matemáticas durante el resto de su vida. El rechazo de algunos importantes científicos al cambio de calendario le afectó profundamente y, por ese motivo, publicó en 1595 una obra justificando el cambio. El calendario juliano que se usó desde el año 45 a. C. hasta 1582, marcaba la duración de un año en 365,25 días, y en él la parte no entera se compensaba con años bisiestos: cada cuatro años hay un año con 366 días. Sin embargo, la duración del año trópico es de 365,242198 días, y esta diferencia de 0,007802 provocó que entre el Concilio de Nicea (325) y el de Trento (1545-1563) transcurrieran 1 220 años que produjeron una desviación en el calendario de casi 10 días, circunstancia que provocó el cambio de calendario. El nuevo calendario no fue aceptado de buen grado por todos y generó polémica; de hecho, Rusia adoptaría este calendario en 1918 y Grecia en 1923, casi cinco siglos después. El calendario gregoriano establece que los años bisiestos son los divisibles por 4 y que los años que acaban en 00 no son bisiestos, excepto los divisibles por 400. 13
ACTIVIDADES 1 ¿Es 17 un número primo? Justifícalo. 2 Si la cigarra periódica viviera al menos el doble de tiempo, sin dejar de ser primo el número de años que vive, ¿cuánto duraría como mínimo su ciclo vital? 3 ¿Cada cuántos años coincidiría la cigarra con su parásito si el ciclo de vida de este fuera de 5 años? ¿Y si fuera de 7 años? 4 ¿Cuánto debería durar el ciclo del parásito de la cigarra periódica para que coincidiera con su parásito cada 68 años? Cigarras y números primos El parásito, para contrarrestar esto, debería alargar también su ciclo vital, porque si no estaría muchos años sin poder parasitar a ningún animal. Ahora bien, debería estar 16 años sin alimento, lo cual es muy difícil. El largo ciclo vital de las cigarras y el que este sea un número primo las protege eficazmente. Existe un tipo de cigarras, las cigarras periódicas, que tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. En especial, una de ellas, la Magicicada septendecim, vive 17 años bajo tierra alimentándose de las raíces de los árboles, luego emerge a la superficie, pone los huevos y muere. ¿Por qué el ciclo vital de esta cigarra es tan largo? ¿Y por qué ese número de años es un número primo? Se cree que el ciclo vital coincide con un número primo para favorecer la supervivencia de la especie. Según algunas teorías, esta cigarra sufre el ataque de un parásito cuyo ciclo vital intenta evitar. Es decir, trata de no coincidir con él. Imaginemos que el parásito vive 2 años, entonces la cigarra no puede vivir un número de años que sea divisible por 2, porque el parásito y la cigarra coincidirían regularmente y eso la perjudicaría. Lo mismo ocurriría si el parásito tuviera un ciclo vital de 3 años. Así, para evitar encontrarse con su parásito, la cigarra alargó su ciclo vital y, además, lo hizo en un número primo para que las coincidencias fueran mínimas. Como la cigarra vive 17 años, si el parásito tiene un ciclo vital de 2 años, solo se encontrarían cada 34 años. Si el parásito viviera 3 años, se encontrarían cada 51 años. 8 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. CURIOSIDADES MATEMÁTICAS DIVISIBILIDAD 1 Lecturas matemáticas 14
ACTIVIDADES 1 ¿Cuál es el criterio de divisibilidad por 3? ¿Y por 9? 2 Investiga sobre el criterio de divisibilidad por 7 y por 13. 3 Halla un número que sea múltiplo de los cinco primeros números pares y otro que sea múltiplo de los cinco primeros números impares. Calcula su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. Euclides y Fermat Evolución histórica de la divisibilidad Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3, 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares. El matemático francés Blaise Pascal (siglo xvii) propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número. ACTIVIDADES 1 ¿Cuál es el menor número primo? ¿Existe un número primo mayor que los demás? 2 El pequeño teorema de Fermat dice que si p es un número primo, para cada número natural a > 0 que no es múltiplo de p, se cumple que el resto de dividir ap por p es a. Por ejemplo, para p = 13 y a = 2, se cumple que 213 = 8 192. Al dividir 8 192 entre 13 obtenemos resto 2. Comprueba el pequeño teorema de Fermat para los cinco primeros números primos tomando a = 1 y a = 2. Euclides descubrió la infinitud de los números primos. Gracias a él, la teoría de los números alcanzó su máximo desarrollo en Grecia. Hasta el siglo xvii, en que Fermat propuso sus teoremas (el último de ellos demostrado a finales del siglo xx), no hubo más progresos en esta área. 9 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. 15
s o lu c i o n a r i o 1. DIVISIBILIDAD 1 Div (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Div (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 2 Respuesta abierta. Por ejemplo: 165 y 330. 3 Respuesta abierta. Por ejemplo: 30, 60 y 90. 1 El verano finaliza el 22 de septiembre. El calendario juliano atrasaba 1 día cada 122 años. Del 22 de septiembre (último día del verano) al 4 de octubre hay 12 días. 12 ? 122 = 1464 1485 + 1440 = 2949 Habríamos celebrado la Navidad en verano en el año 2949. 2 Para que un año sea bisiesto debe ser divisible entre 4, pero no entre 100 o divisible entre 400. Cigarras y números primos 1 Sí, puesto que sus únicos divisores son 1 y él mismo. 2 Su ciclo vital duraría 37 años. 2 m. c. m. (5, 17) = 85 Si el ciclo vital del parásito fuera de 5 años, coincidirían cada 85 años. m. c. m. (7, 17) = 119 Si el ciclo vital del parásito fuera de 7 años, coincidirían cada 119 años. 2 68 : 17 = 4. El ciclo de parásito debería durar 4 años. Euclides y Fermat 1 El menor número primo. Existen infinitos número primos, por tanto, no hay un número primo mayor que los demás. 2 Para a = 1: p = 2 12 = 1 " 1 : 2 = 0 y resto 1. p = 3 13 = 1 " 1 : 3 = 0 y resto 1. L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S H I S T O R I A D E L A S M A T E M Á T I C A S C U R I O S I D A D E S M A T E M Á T I C A S p = 5 15 = 1 " 1 : 5 = 0 y resto 1. p = 7 17 = 1 " 1 : 7 = 0 y resto 1. p = 11 111 = 1 " 1 : 11 = 0 y resto 1. Para a = 2: p = 2 a es múltiplo de p. No se cumple el teorema. p = 3 23 = 8 " 8 : 3 = 2 y resto 2. p = 5 25 = 32 " 32 : 5 = 6 y resto 2. p = 7 27 = 128 " 128 : 7 = 18 y resto 2. p = 11 211 = 2048 " 2048 : 11 = 186 y resto 2. Evolución histórica de la divisibilidad 1 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es 3 o múltiplo de 3. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es 9 o múltiplo de 9. 2 Un número es divisible por 7 si al restar el número sin la cifra de las unidades menos el doble de la cifra de las unidades el resultado es 0 o múltiplo de 7. Un número es divisible por 13 si al restar el número sin la cifra de las unidades menos 9 veces la cifra de las unidades el resultado es 0 o múltiplo de 13. 3 Respuesta abierta. Por ejemplo: Número múltiplo de los cinco primeros números pares: 120. Número múltiplo de los cinco primeros números impares: 315. m. c. m. (120, 315) = 2 520 m. c. d. (120, 135) = 15 10 MATEMÁTICAS 1.° ESO Material cortesía de . Prohibida su redistribución física y/o comunicación a través de internet o redes sociales. Lecturas matemáticas 16
ANDALUCÍA 17
Resolver el DESAFÍO de la página inicial de la unidad + 1 Resolver un RETO de los contenidos + 0,25 Resolver la SITUACIÓN DE APRENDIZAJE de la unidad + 2 (para cada miembro del grupo) Traer a clase los deberes completamente hechos + 2 Contestar bien a una pregunta de clase + 1 Salir a la pizarra y hacerlo bien + 2 Salir a la pizarra y hacerlo mal + 1 SUMA PUNTOS Traer a clase los deberes hechos a medias Contestar mal a una pregunta de clase NI SUMA NI RESTA PUNTOS No traer los deberes hechos - 2 Contestar a una pregunta que se ha hecho a otro compañero - 1 Llegar tarde a clase - 1 Recibir dos llamadas de atención por comportamiento - 2 No prestar atención en clase - 1 RESTA PUNTOS Cuaderno de gamificación 18
NIVEL 1 10 Carta Permite pasar una pregunta o una actividad a otra persona. Si lo hace bien, sumáis los dos. NIVEL 2 20 Carta Permite pasar una pregunta o una actividad a otra persona. Si lo hace mal, restáis 1 los dos. NIVEL 3 30 Dos cartas de Multiplica tus puntos del día que elijas por 2. NIVEL 4 40 Carta Puedes salir a la pizarra a corregir dos veces seguidas cuando tú lo elijas. NIVEL 5 50 Carta Das 5 puntos al compañero o compañera que tú elijas. NIVEL 6 65 Carta Puedes no traer los deberes un día sin penalización. NIVEL 7 80 Carta Puedes hacer dos preguntas al profesor en el examen a las que te puede responder SÍ o NO. NIVEL 8 100 Carta El siguiente trimestre comenzarás con 10 puntos. PUNTOS NECESARIOS PREMIO PRIVILEGIOS NIVELES 19
Cuaderno de gamificación 20
¡Felicidades! Tienes tu primera carta. Esta carta te permite pasar una pregunta o actividad que te corresponda a ti a otra persona. Y lo mejor de todo: si lo hace bien, sumaréis puntos los dos. Creced y multiplicaos… Esta carta te permite multiplicar los puntos que has obtenido hoy por 2. Sin duda, ¡hoy es un gran día! plantéatelo así. Igual que hay magia blanca, hay magia negra… Esta carta te permite pasar una pregunta o actividad a otra persona. Si lo hace mal, restáis los dos 1 punto. ¡Elige bien! Esta es tu oportunidad… Utilizando bien la carta puedes obtener muchos puntos. Con esta carta podrás salir a la pizarra a corregir dos veces seguidas cuando tú lo elijas. 21
Cuaderno de gamificación 22
5 NIVEL Siempre te ha gustado ayudar a los demás… Esta carta te permite dar 5 puntos a otra persona. Utilízala con quien más lo necesite. Guarda esta carta, te valdrá para el examen. Esta carta te permite hacer dos preguntas a tu profesor en el examen. Recuerda que solo te puede contestar SÍ o NO. Has alcanzado un buen nivel… Por eso, si un día tienes un pequeño descuido y no traes las tareas de casa, no paaaaasa naaaaaaaaaaada… Esta carta te lo permite. Has llegado al máximo nivel y te mereces un buen premio. Con esta carta comenzarás el siguiente trimestre con 10 puntos. Te ayudará a subir de nivel rápidamente. 23
Cuaderno de gamificación 24
Mues t ra Solucionario del libro del alumnado 1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6 Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8 Estadística y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 I Rectas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 I I Triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 I I I Cuadriláteros y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 I V Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 25
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Creo que hoy no duermo ¿Cuánto tiempo crees que tardarías en contar en voz alta desde 1 hasta 100? ¿Y en contar desde 1 hasta 1 000 000? ¿Crees que si comienzas ahora mismo te dará tiempo a terminar antes de irte a acostar? Respuesta abierta. Por ejemplo: Se tarda unos 50 s en contar del 1 al 100. Cada vez los números son más largos, cada vez se tarda más en contar el número siguiente. 50 ? 10 000 = 500 000 Se tardaría bastante más de 500 000 s, es decir, bastante más de 138 horas. 1 Señala cuál de las siguientes divisiones es exacta. c) 54 : 6 R E T O 1 . ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir con tres cifras? 99 9 R E T O 2 . Si soy un número, ¿los divisores de mis divisores son mis divisores? También son mis divisores. R E T O 3 . ¿Cuál es el menor número que es múltiplo de tres números exactamente? Div(4) = {1, 2, 4} ¿ Q U É S A B E S YA ? R E T O S R E T O 4 . Después del 11, ¿cuáles son los siguientes tres números primos capicúas? 101, 131, 151 R E T O 5 . ¿Cuál es el menor número de dos cifras que solo tiene dos descomposiciones? 10 = 1 ? 10 = 2 ? 5 R E T O 6 . Si un número es múltiplo de otro, ¿cuál es el máximo común divisor de los dos números? Si b = a ? c, entonces m. c. d. (a, b) = a R E T O 7 . Si un número es divisor de otro, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de ambos? Si b = a ? c, entonces m. c. m. (a, b) = b 1 Escribe el resultado de estos productos en forma de una sola potencia. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 b) 3 ? 3 ? 3 d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 a) 45 b) 33 c) 104 d) 76 2 Calcula y escribe como una sola potencia. a) 25 ? 24 d) 106 : 102 b) 37 ? 36 e) 87 : 83 c) 103 ? 100 f ) 65 : 6 a) 29 b) 313 c) 103 d) 104 e) 84 f ) 64 3 Calcula las siguientes potencias. a) 30 b) 51 c) 01 a) 1 b) 5 c) 0 4 ¿Cuántos huevos hay en 12 cajas con 12 hueveras de una docena cada una? Escríbelo en forma de potencia. 12 ? 12 ? 12 = 123 = 1 728 huevos. A C T I V I D A D E S D E S A F Í O 5 s o lu c i o n a r i o 1 Solucionario 27
s o lu c i o n a r i o 5 R E F L E X I O N A . Calcula el valor del triángulo y del rombo para que se cumplan las igualdades. a) 5m ? (56 : 52) = 57 b) (37 : 3r) ? 33 = 3r a) 3 b) 5 6 Expresa en forma de una sola potencia. a) (32)6 d) (53)6 b) (75)3 e) (69)4 c) (412)2 f ) (123)0 a) 312 d) 518 b) 715 e) 636 c) 424 f ) 120 = 1 7 Da el resultado como una sola potencia. a) 22 ? 32 d) 59 ? 69 b) 53 ? 73 e) 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? 3 c) 312 ? 412 f ) (7 ? 4)6 : (7 ? 4)3 a) 62 d) 309 b) 353 e) 53 ? 33 = 153 c) 1212 f ) 286 : 283 = 283 8 Calcula para que se cumplan las igualdades. a) 5d ? 3d = 152 c) 76 ? 3d = d6 b) d3 : 43 = 3d d) 68 : dd = 28 a) 52 ? 32 = 152 c) 76 ? 36 = 216 b) 123 : 43 = 33 d) 68 : 38 = 28 9 REFLEXIONA. Completa para que sean ciertas las igualdades. a) (24)3 ? (33)d = d6 b) 34 ? d4 : d2 = 1 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) (24)3 ? (33)2 = (22)2 ? 3 ? 33 ? 2 = 126 b) 34 ? 24 : 362 = 1 10 Indica, si existe, la relación de divisibilidad entre estos números. a) 5 y 25 d) 14 y 88 g) 17 y 357 b) 6 y 36 e) 13 y 91 h) 12 y 150 c) 7 y 47 f ) 80 y 81 i) 22 y 220 a) 25 es divisible por 5. b) 36 es divisible por 6. c) No hay relación de divisibilidad. d) No hay relación de divisibilidad. e) 91 es divisible por 13. f ) No hay relación de divisibilidad. g) 357 es divisible por 17. h) No hay relación de divisibilidad. i ) 220 es divisible por 22. 11 El número 504 contiene a algunos de estos números un número exacto de veces. ¿Cuáles son? a) 28 c) 63 e) 36 b) 49 d) 34 f ) 42 a) Sí. b) No. c) Sí. d) No. e) Sí. f ) Sí. 12 Ordena de menor a mayor los números que tengan una relación de divisibilidad con 900. a) 75 d) 27 g) 24 b) 8 e) 50 h) 36 c) 45 f ) 12 i) 180 Tienen relación de divisibilidad con 900 los números 75, 45, 50, 12, 36, 180. 12 < 36 < 45 < 50 < 75 < 180 13 REFLEXIONA. Si un número a contiene b veces a otro número c, ¿cuál de las igualdades que hay a continuación es cierta? a) c = a ? b b) b = a ? c c) a = b ? c Es cierta la igualdad c) a = b ? c. 6 Solucionario 28
14 Copia y completa las frases para que sean ciertas. a) Como 48 : 3 es una división exacta, entonces 48 es … de 3. b) Como 102 : 8 no es una división exacta, entonces … c) Como 65 : 7 … d) Como 78 : 13 … e) Como 221 : 17 … a) Como 48 : 3 es una división exacta, entonces 48 es múltiplo de 3. b) Como 102 : 8 no es una división exacta, entonces 102 no es múltiplo de 8. c) Como 65 : 7 no es una división exacta, entonces 65 no es múltiplo de 7. d) Como 78 : 13 es una división exacta, entonces 78 es múltiplo de 13. e) Como 221 : 17 es una división exacta, entonces 221 es múltiplo de 17. 15 Calcula los cinco primeros múltiplos de 15. 15 ? 1 = 15 15 ? 4 = 60 15 ? 2 = 30 15 ? 5 = 75 15 ? 3 = 45 { , , , , , …} 15 15 30 45 60 75 = o 16 Copia los múltiplos de 9 y los múltiplos de 6. ¿Qué números son múltiplos de ambos? a) 12 d) 297 g) 72 b) 260 e) 212 h) 216 c) 153 f ) 198 i) 318 Son múltiplos de 9 los números 153, 297, 198, 72, 216. Son múltiplos de 6 los números 12, 198, 72, 216, 318. Son múltiplos de 6 y 9 los números 198, 72 y 216. 17 REFLEXIONA. Explica si es verdadero o falso. a) Los múltiplos de un número son divisibles entre sí. b) Cualquier número es divisible por uno de sus múltiplos. a) Falso. Por ejemplo: El 4 y el 6 son múltiplos de 2, pero 6 no es divisible por 4. b) Falso. Por ejemplo: El 4 es múltiplo de 2, pero 2 no es divisible por 4. 18 Calcula cuáles de estos números tienen a 12 como uno de sus divisores. a) 144 c) 184 e) 84 b) 56 d) 24 f ) 112 a) Sí. c) No. e) Sí. b) No. d) Sí. f ) No. 19 Observa el dividendo, el divisor y el cociente de estas divisiones y establece dos relaciones de divisibilidad en cada caso. a) 63 : 3 = 21 d) 72 : 4 = 18 b) 88 : 11 = 8 e) 375 : 15 = 25 c) 96 : 8 = 12 f ) 136 : 8 = 17 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 63 es múltiplo de 3. 3 es divisor de 63. b) 88 es múltiplo de 8. 11 es divisor de 88. c) 96 es múltiplo de 8. 8 es divisor de 96. d) 72 es múltiplo de 18. 18 es divisor de 72. e) 375 es múltiplo de 15. 15 es divisor de 375. f ) 136 es múltiplo de 8. 8 es divisor de 136. 7 1 29
s o lu c i o n a r i o 20 R E F L E X I O N A . Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Cualquier número es divisor de 1. b) 1 es divisor de cualquier número. c) 1 es múltiplo de cualquier número. d) Cualquier número par es divisor de 2. e) 2 es divisor de cualquier número par. f ) Cualquier número impar es múltiplo de 3. g) Cualquier número es divisor de su doble. h) Todo número tiene por lo menos 3 divisores. a) Falso. Cualquier número tiene al número 1 como divisor. b) Verdadero. Al dividir cualquier número entre 1 la división es exacta. c) Falso. Cualquier número, n, es múltiplo de 1. Se puede escribir como n = 1 ? n d) Falso. Cualquier número par es múltiplo de 2, se puede escribir como 2 ? n. e) Verdadero. Todo número par se obtiene como el producto de otro número por 2, se puede escribir como 2 ? n. f ) Falso. Por ejemplo: 7 es impar, pero no es múltiplo de 3. g) Verdadero. La división del doble de un número entre el mismo número es exacta y el resultado es 2. h) Falso. Por ejemplo: el número 2 solo tiene dos divisores, el 1 y el 2. 21 Copia y relaciona cada número con sus divisores. a) 6 b) 18 c) 30 d) 42 e) 50 1 6 14 25 2 7 15 30 3 9 18 42 5 10 21 50 a) 6 " 1, 2, 3, 6 b) 18 " 1, 2, 3, 6, 9, 18 c) 30 " 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 d) 42 " 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 e) 50 " 1, 2, 5, 10, 25, 50 22 Halla todos los divisores de estos números. a) 12 e) 49 b) 35 f ) 52 c) 18 g) 33 d) 28 h) 98 a) 1, 2, 3, 4, 6, 12 e) 1, 7, 49 b) 1, 5, 7, 35 f ) 1, 2, 4, 13, 26, 52 c) 1, 2, 3, 6, 9, 18 g) 1, 3, 11, 33 d) 1, 2, 4, 7, 14, 28 h) 1, 2, 7, 14, 49, 98 23 Calcula todos los divisores de estos números. a) 96 c) 441 e) 150 b) 100 d) 245 f ) 304 a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 b) 1, 2, 4, 5, 10, 25, 50, 100 c) 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 d) 1, 5, 7, 35, 49, 245 e) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 f ) 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 76, 152, 304 8 Solucionario 30
24 Rocío va a hacer piñatas con 48 gominolas para repartir entre los asistentes a su fiesta de despedida. a) ¿Cuántas piñatas de 8 gominolas puede hacer? b) Si solo invita a 3 personas a su fiesta, ¿cuántas gominolas habrá en cada piñata? a) 48 : 8 = 6 " Puede hacer 6 piñatas de 8 gominolas. b) 48 : 3 = 16 " Puede hacer 3 piñatas de 16 gominolas. 25 A partir de los divisores de 12, calcula los divisores de 24. ¿Qué relación encuentras? Div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Div(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Aparecen, además, los dobles de los divisores del 12. 26 Después de calcular los divisores de 18, indica cuáles son los divisores de: a) 36 b) 54 c) 90 Div(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} a) Div(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} " Se añaden los dobles de los divisores del 18. b) Div(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} " Se añaden los triples de los divisores del 18. c) Div(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} " Se añaden los divisores de 18 multiplicados por 5. 27 Halla todos los divisores de 10. A partir de ellos encuentra todos los divisores de los siguientes. a) 20 b) 40 c) 80 Div(10) = {1, 2, 5, 10} a) Div(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} " Se añaden los dobles de los divisores del 10. b) Div(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} " Se añaden los dobles de los divisores del 20. c) Div(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} " Se añaden los dobles de los divisores del 40. 28 Andrés tiene 45 pegatinas. Va a hacer montones con el mismo número de pegatinas y sin que sobre ninguna. a) ¿Cuántos tipos de montones puede hacer? b) ¿Cuántas pegatinas tendrían en cada caso? a) y b) Div(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45} Puede hacer 1 montón de 45 pegatinas, 3 de 15 pegatinas, 5 de 9 pegatinas, 9 de 5 pegatinas, 15 de 3 pegatinas o bien 45 de 1 pegatina. 29 Por la mañana, se reparten 60 tizas entre varias aulas, de manera que cada aula tiene el mismo número de tizas y no sobra ninguna. a) ¿Cuántas aulas puede haber? b) ¿Cuántas tizas se reparten por aula en cada caso? a) Div(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Puede haber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 o 60 aulas. b) Si hay 1 aula, 60 tizas en el aula. Si hay 2 aulas, 30 tizas en cada aula. Si hay 3 aulas, 20 tizas. Si hay 4, 15 tizas. Si hay 5, 12 tizas. Si hay 6, 10 tizas. Si hay 10, 6 tizas. Si hay 12, 5 tizas. Si hay 15, 4 tizas. Si hay 20, 3 tizas. Si hay 30, 2 tizas. Si hay 60, 1 tiza. 9 1 31
s o lu c i o n a r i o 30 Decide si estos números son primos o compuestos. a) 127 e) 261 b) 183 f ) 389 c) 109 g) 199 d) 217 h) 251 a) Primo. e) Compuesto. b) Compuesto. f ) Primo. c) Primo. g) Primo. d) Compuesto. h) Primo. 31 Indica algunos de los divisores de estos números utilizando los criterios de divisibilidad. a) 54 b) 729 c) 575 d) 444 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 54 es divisible por 3 porque 4 + 5 = 9 es múltiplo de 3. b) 729 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras, 7 + 2 + 9 = 18, es múltiplo de 3. c) 575 es divisible por 5 porque los números que terminan en 0 o en 5 lo son. d) 444 es divisible por 2 porque termina en cifra par. 32 Copia y completa la cifra que falta para que cada número sea divisible por 3. a) 62d d) 1 8d0 b) d15 e) 8 d88 c) 7d0 f ) 3 0d4 a) 621, 624, 627 b) 15, 315, 615, 915 c) 720, 750, 780 d) 1 800, 1 830, 1 860, 1 890 e) 8 088, 8 388, 8 688, 8 988 f ) 3 024, 3 054, 3 084 33 R E F L E X I O N A . ¿Hay algún número primo que acabe en 2? ¿Y en 3? Razona tu respuesta. El 2 es el único primo que acaba en 2. Hay números primos que acaban en 3, por ejemplo: 13, 23, 43… 34 Aplica los criterios de divisibilidad y explica si estos números son primos o compuestos. a) 42 c) 191 e) 291 b) 320 d) 286 f ) 7 007 a) 42 es compuesto porque es par. b) 320 es compuesto porque es par. c) 191 es un número primo. No es divisible por 2 porque no es par. No es divisible por 3 porque la suma de sus cifras no lo son. No es divisible por 5, ya que no termina en 0 ni 5. No es divisible por 7 ni por 13 porque la división no es exacta. No es divisible por 11 porque 9 - (1 + 1) no es 0 ni divisible por 11. d) 286 es compuesto porque es par. e) 291 es compuesto porque 2 + 9 + 1 = 12, que es múltiplo de 3. f ) 7 007 es compuesto porque es divisible por 11, ya que (7 + 0) - (0 + 7) = 0. 35 Justifica que estos números son compuestos escribiendo al menos 3 divisores de cada uno. a) 32 c) 270 e) 451 b) 72 d) 321 f ) 667 a) Div(32) = {1, 2, 4…} b) Div(72) = {1, 2, 3…} c) Div(270) = {1, 2, 3…} d) Div(321) = {1, 3, 107, 321} e) Div(451) = {1, 11, 41, 451} f ) Div(667) = {1, 23, 29, 667} 10 Solucionario 32
Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 40 = 2 ? 20 e) 560 = 16 ? 35 40 = 2 ? 5 ? 4 560 = 16 ? 5 ? 7 b) 84 = 2 ? 42 f ) 105 = 3 ? 35 84 = 2 ? 3 ? 14 105 = 3 ? 5 ? 7 c) 96 = 3 ? 32 g) 385 = 35 ? 11 96 = 3 ? 4 ? 8 385 = 5 ? 7 ? 11 d) 88 = 8 ? 11 h) 625 = 5 ? 125 88 = 2 ? 4 ? 11 625 = 5 ? 5 ? 25 Coinciden con su factorización: 105 = 3 ? 5 ? 7 385 = 5 ? 7 ? 11 41 Escribe dos descomposiciones diferentes para cada número en las que aparezca el factor 3. a) 90 b) 126 c) 156 d) 294 e) 273 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 90 = 3 ? 30 y 90 = 3 ? 2 ? 15 b) 126 = 3 ? 42 y 126 = 3 ? 6 ? 7 c) 156 = 3 ? 52 y 156 = 3 ? 4 ? 13 d) 294 = 3 ? 98 y 294 = 3 ? 49 ? 2 e) 273 = 3 ? 91 y 273 = 3 ? 7 ? 13 42 Calcula el número al que corresponden estas factorizaciones. a) 22 ? 33 ? 7 b) 24 ? 3 ? 5 c) 2 ? 7 ? 112 ¿Cómo escribirías la factorización del doble de cada uno de estos números? ¿Y de sus triples? a) 756 b) 240 c) 1 694 La factorización del doble de estos números se escribe sumando uno al exponente del factor 2: a) 23 ? 33 ? 7 b) 25 ? 3 ? 5 c) 22 ? 7 ? 112 La factorización del triple de estos números se escribe sumando uno al exponente del factor 3: a) 22 ? 34 ? 7 b) 24 ? 32 ? 5 c) 2 ? 7 ? 112 ? 3 36 ¿Puedes escribir un número primo de 23 cifras que acabe en 6? Razona tu respuesta. No se puede escribir un número primo que termine en 6 porque el número sería par y, por tanto, múltiplo de 2. 37 ¿En qué cifras puede terminar un número primo? ¿Son primos todos los números que acaban en esas cifras? Un número primo puede terminar en las cifras 1, 3, 7, 9, a menos que sean el número 2 o el número 5. No todos los números que acaban en esas cifras son primos. Por ejemplo: 21. 38 ¿Cuál es el menor número primo capicúa de 3 cifras? El menor número primo capicúa de tres cifras es 101. 39 ¿Hay algún número primo capicúa de 4 cifras? Un número capicúa de cuatro cifras sería de la forma abba. Teniendo en cuenta que (a + b) - (b + a) = 0, la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar es 0, por tanto, sería compuesto, ya que es múltiplo de 11. 40 Halla una descomposición en dos factores y otra en tres factores de cada uno de estos números. a) 40 e) 560 b) 84 f ) 105 c) 96 g) 385 d) 88 h) 625 ¿Coincide alguna con su factorización? 11 1 33
s o lu c i o n a r i o 47 Expresa como producto de factores primos. a) 8 ? 9 ? 25 d) 162 ? 63 b) 10 ? 15 ? 6 e) 153 ? 122 c) 27 ? 12 ? 24 f ) 352 ? 213 a) 23 ? 32 ? 52 b) 2 ? 5 ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 = 22 ? 32 ? 52 c) 33 ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 = 25 ? 35 d) (24)2 ? (2 ? 3)3 = 211 ? 33 e) (3 ? 5)3 ? (22 ? 3)2 = 24 ? 35 ? 53 f ) (5 ? 7)2 ? (3 ? 7)3 = 33 ? 52 ? 75 48 Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un número puede tener dos descomposiciones en factores primos diferentes. b) Al factorizar 500 aparecen los factores 2, 10 y 25. c) Cualquier número acabado en 0 tiene, al menos, dos factores primos en su descomposición. d) No existe un número de cuatro cifras con un solo factor primo en su descomposición. a) Falso. La descomposición en factores primos es única. b) Falso. Aparecen los factores primos 2 y 5. c) Verdadero. Exceptuando el número 0, sería un múltiplo de 10, por tanto, 2 y 5 aparecen en su descomposición. d) Falso. Por ejemplo: 2 401 = 74. 43 R E F L E X I O N A . La descomposición en factores de un número es 2 ? 3 ? 5. ¿Cuál sería la factorización si lo multiplicamos por 6? ¿Y por 10? ¿Y por 15? Si lo multiplicamos por 6, la factorización es 22 ? 32 ? 5. Si lo multiplicamos por 10, la factorización es 22 ? 3 ? 52. Si lo multiplicamos por 15, la factorización es 2 ? 32 ? 52. 44 Halla la descomposición factorial de estos números y escríbelos como producto de factores primos. a) 6 d) 54 g) 82 b) 20 e) 77 h) 91 c) 23 f ) 72 i) 99 a) 6 = 2 ? 3 f ) 72 = 23 ? 32 b) 20 = 22 ? 5 g) 82 = 2 ? 41 c) 23 h) 91 = 7 ? 13 d) 54 = 2 ? 33 i ) 99 = 32 ? 11 e) 77 = 7 ? 11 45 Halla la factorización de estos números. a) 102 c) 405 e) 391 b) 242 d) 675 f ) 2 431 a) 102 = 2 ? 3 ? 17 d) 675 = 33 ? 52 b) 242 = 2 ? 112 e) 391 = 17 ? 23 c) 405 = 34 ? 5 f ) 2 431 = 11 ? 13 ? 17 46 Factoriza el número 210. A partir de su descomposición factorial, descompón los siguientes números en factores primos. a) 105 b) 70 c) 30 d) 840 210 = 2 ? 3 ? 5 ? 7 a) 105 = 3 ? 5 ? 7 c) 30 = 2 ? 3 ? 5 b) 70 = 2 ? 5 ? 7 d) 840 = 23 ? 3 ? 5 ? 7 12 Solucionario 34
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