Unidad LITERATURA Y MATEMÁTICAS SABERES BÁSICOS 1 Divisibilidad 5 La fórmula preferida del profesor _ 5 1. P otencias. Operaciones con potencias _ 6 2. D ivisibilidad. Múltiplos y divisores _ 7 3. C riterios de divisibilidad. Números primos _ 9 2 Números enteros 17 El principito _ 17 1. N úmeros enteros. Comparación _ 18 2. S uma y resta de números enteros _ 19 3. M ultiplicación y división de números enteros _ 20 3 Fracciones 29 Las ratas _ 29 1. Fracciones. Representación _ 30 2. F racciones equivalentes. Fracción irreducible _ 31 3. R educción a común denominador. Comparación de fracciones _ 32 4 Números decimales 41 Castillos de cartón _ 41 1. N úmeros decimales. Comparación _ 42 2. O peraciones con números decimales _ 43 3. D ivisión de números decimales _ 44 5 Álgebra 51 El matemático del rey _ 51 1. E xpresión algebraica. Valor numérico _ 52 2. E cuaciones. Términos. Solución _ 53 3. R esolver ecuaciones de primer grado _ 54 6 Proporcionalidad y porcentajes 61 Amor se escribe sin hache _ 61 1. M agnitudes directamente proporcionales _ 62 2. P roblemas de proporcionalidad directa. Repartos proporcionales _ 63 7 Rectas y ángulos 71 La fórmula preferida del profesor _ 71 1. Rectas, semirrectas y segmentos. Mediatriz _ 72 2. Ángulos. Bisectriz _ 73 8 Triángulos 79 El último catón _ 79 1. Triángulos. Elementos. Relaciones _ 80 2. Construcción de triángulos _ 81 3. Puntos y rectas notables en un triángulo _ 82 9 Cuadriláteros y circunferencia 89 Método para escribir un cuento a vuelapluma _ 89 1. Paralelogramos. Propiedades _ 90 2. Polígono regular. Elementos _ 91 3. Circunferencia. Elementos _ 92 10 Perímetros y áreas 99 Amor y pedagogía _ 99 1. P erímetro de un polígono. Longitud de una circunferencia _ 100 2. Área de paralelogramos y trapecios _ 101 3. Área de triángulos y polígonos regulares _ 102 11 Funciones 109 El cazador _ 109 1. Función. Expresión de una función _ 110 2. Representación gráfica de una función _ 111 3. Interpretación de gráficas _ 112 12 Estadística 199 El escarabajo de oro _ 119 1. Variables aleatorias. Población y muestra _ 120 2. Gráficos estadísticos _ 121 3. Medidas estadísticas _ 122 Índice 2
SABERES BÁSICOS SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 4. Factorización de un número _ 10 5. M ínimo común múltiplo y máximo común divisor _ 11 6. Problemas de divisibilidad _ 12 ¿Qué hago con las salchichas que me sobran? _ 14 RETO: Organizar una cena para toda la familia _ 15 4. P otencias y raíces de números enteros _ 21 5. O peraciones combinadas con números enteros _ 22 6. Problemas con números enteros _ 24 ¡Canasta! _ 26 RETO: Conseguir que un equipo tenga la MVP _ 27 4. Operaciones con fracciones _ 33 5. O peraciones combinadas con fracciones _ 34 6. P roblemas con fracciones _ 36 ¡Si lo sé, hago puré! _ 38 RETO: Elaborar una receta de cocina _ 39 4. E xpresar una fracción como número decimal _ 45 5. Problemas con números decimales _ 46 ¿Un segundo dura siempre lo mismo? _ 48 RETO: Comparar resultados de competiciones deportivas _ 49 4. R esolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores _ 55 5. Resolver problemas con ecuaciones _ 56 ¡Tres piezas al día dan alegría! _ 58 RETO: Determinar una fórmula para calcular precios _ 59 3. Cálculo de porcentajes _ 65 4. Problemas con porcentajes _ 66 Espera o… desespera _ 68 RETO: Elaborar un estudio de audiencia _ 69 3. Polígonos. Elementos _ 74 4. Problemas de rectas, ángulos y polígonos _ 75 ¿Qué pinto yo aquí? _ 76 RETO: Crear una versión de un cuadro abstracto _ 77 4. Teorema de Pitágoras _ 83 5. Problemas utilizando el teorema de Pitágoras _ 84 Los triángulos del fútbol _ 86 RETO: Diseñar una estrategia de juego _ 87 4. Posiciones relativas de rectas y circunferencias _ 93 5. Problemas geométricos _ 94 Otra vuelta de tuerca _ 96 RETO: Diseñar una noria _ 97 4. Área de figuras circulares _ 103 5. Problemas con perímetros y áreas _ 104 La casa de las ventanas azules _ 106 RETO: Elaborar un presupuesto _ 107 4. Funciones de proporcionalidad directa _ 113 5. Problemas con funciones _ 114 ¡Quien mueve las piernas mueve el corazón! _ 116 RETO: Hacer un estudio comparativo entre varias ofertas _ 117 4. Experimentos aleatorios. Probabilidad _ 123 5. Problemas de estadística y probabilidad _ 124 Los mitos sobre la lotería de Navidad _ 126 RETO: Evaluar las posibilidades de un acontecimiento _ 127 3
La casa de las ventanas azules Cuando se hace una reforma hay que considerar las necesidades, establecer prioridades, investigar costos y contemplar posibles imprevistos. ¿Cómo se estima la cantidad de materiales necesaria? ¿Con qué otros costes adicionales hay que contar, además del de los materiales? 1 ¿Por qué dice Unamuno que las pajaritas «perfectas» pueden inscribirse en un cuadrado? 2 En la figura 2, señala los segmentos que, según Unamuno, miden 2. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE RETO Elaborar un presupuesto Amor y pedagogía Miguel de Unamuno La razón de ser de la pajarita de papel es su perfección geométrica, perfección a que todas ellas tienden, aunque no logren alcanzarla jamás. La perfecta pajarita ha de poder ser inscrita en un cuadrado perfecto, como vemos en la figura adjunta 1, y si recordamos que el óvulo de que salió era un cuadrado de papel, veremos que su perfección consiste en poder inscribirse en su propio óvulo-cuadrado, en mantenerse fiel a su origen. […] En las líneas de la pajarita, unas, como las que van de la coronilla al pico o de la rodilla al pie, son como lados del cuadrado, y otras, cual las tres líneas que partiendo del centro van a parar al pico y a los extremos de la pata y la cola, son como diagonales del mismo cuadrado, es decir, que tomando a aquellas, como se las debe tomar, de unidad, equivalen estas a 2, cantidad inconmensurable con la unidad. […] Otra maravillosa armonía es que la pajarita, vista en proyección, llena un área que equivale a la mitad del cuadrado en que se inscribe, ya que, como vemos en la figura 2, consta de ocho triángulos de los dieciséis de que el cuadrado consta. Es decir, que es su área la mitad del área del cuadrado en que se inscribe, lo mismo que el área de cada uno de los triángulos de que consta es la mitad del área de un cuadrado: ¡admirable armonía! LITERATURA Y MATEMÁTICAS Figura 1 Figura 2 Perímetros y áreas 10 99
1 Halla el perímetro de estos polígonos. a) 7,2 cm b) 6,7 cm 8,8 cm 4,8 cm c) 7,5 cm 2 Calcula el perímetro de estos polígonos. a) Un triángulo equilátero de lado 15 cm. b) Un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 7 cm y el lado desigual 3 cm menos que ellos. c) Un romboide de lado menor 10 cm y lado mayor 2 cm más largo que él. d) Un cuadrado cuya diagonal mide 9,9 cm. 3 Determina la longitud de las siguientes circunferencias. a) Circunferencia de diámetro 18 cm. b) Circunferencia de radio 7,9 cm. 4 Calcula el radio de una circunferencia con una longitud de 51,52 cm. 5 Una circunferencia tiene una longitud de 62,8 cm. Halla el perímetro del cuadrado: a) En el que está inscrita. b) Inscrito dentro de ella. Perímetro de un polígono. Longitud de una circunferencia 1 7,6 cm 100
6 Obtén el área de estos paralelogramos. a) 6 cm b) d = 4 cm D = 12 cm F F c) 7 cm 4,3 cm 7 Halla el área de los siguientes romboides. a) b) 8 Calcula el perímetro y el área de estas figuras. a) b) c) 9 Determina el área de estos trapecios isósceles. a) 24 cm 10 cm 6 cm 36 cm b) 22 cm 12 cm 38 cm 10 Calcula el área de esta figura partiendo del área del trapecio. 10 m 10 m 10 m 5 m 5 m 4 cm 10 cm 7 cm 15 cm 26 cm 24 cm 6,8 cm 13,5 cm 18 cm 5 cm 15 cm Área de paralelogramos y trapecios 2 10 101
11 Calcula y completa la tabla. Área del triángulo Base Altura 17 cm 9 cm 75 cm2 15 cm 12,25 cm2 7 cm 12 Un triángulo tiene de base 10 cm y de altura 12 cm. Describe un triángulo de base 15 cm que tenga la misma área que él. 13 Obtén el área de estos triángulos. a) 12 cm b) 20 cm 22 cm 14 Calcula la longitud de cada lado en un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su área es 32 cm2. 15 Halla el área de estos polígonos regulares. a) 17,01 cm 20 cm b) 2,5 cm 1,72 cm c) 12,67 cm 11,42 cm Área de triángulos y polígonos regulares 3 102
16 Calcula el área de un círculo de 5,2 cm de radio. 17 Halla el área de un sector circular perteneciente a un círculo de 7 dm de diámetro con cada amplitud. a) 40° b) 150° c) 210° 18 Obtén la longitud del arco de un sector circular de área 50 cm2 y ángulo 60°. 19 Calcula el área de la parte coloreada. a) 20 cm b) 8 cm 20 Dibuja dos circunferencias concéntricas de diámetros 3 y 5 cm, respectivamente. Colorea la zona que queda entre las dos circunferencias y determina su área. Área de figuras circulares 4 10 103
21 Petra da cada día 20 vueltas a una pista de carreras circular de 80 m de radio, mientras que Laura da 90 vueltas a una pista de 15 m de radio. ¿Quién recorre más distancia? Escribe una forma en la que las dos recorran la misma distancia en esas dos pistas. 22 Un establecimiento comercial tiene dos escaparates de cristal cuadrados cuya diagonal mide 2,5 m. Si el metro cuadrado de cristal vale 45 €, ¿cuánto cuesta el cristal de los escaparates? 23 Observa el dibujo de la montaña y resuelve. a) Si quiero ascender por la cara menos inclinada de la montaña, ¿cuántos metros recorreré si asciendo en línea recta? b) Llevo una hora subiendo la montaña y he recorrido 425 m. Continuando al mismo ritmo, ¿cuánto tiempo me costará llegar a la cima? c) ¿Qué distancia recorrería si ascendiera por la cara con mayor pendiente? 24 La luz de un faro describe un sector circular de 150º y radio 2 km. Se quiere sustituir por un haz de luz que tenga el doble de superficie que el actual pero sin cambiar su amplitud. ¿Cuánto debe aumentar el radio? 25 ¿ Cuánto costará cubrir de plástico un invernadero en forma de rombo, con diagonales de 68 m y 54 m, si cada metro cuadrado de plástico cuesta 30 €? 245 m 1 216 m 586 m Problemas con perímetros y áreas 5 104
26 Un vivero tiene forma trapezoidal con bases de 500 m y 300 m, respectivamente, y altura de 100 m. En él se han plantado 2000 árboles. Al pie de cada uno hay un aspersor de agua que riega un sector circular de radio 60 cm y amplitud 120°. Las zonas de riego no se tocan entre sí. ¿Qué área del vivero queda sin regar? 27 Una atleta entrena en un circuito con la forma y las dimensiones que se indican en la figura. ¿Qué distancia recorre en una vuelta? ¿Cuánta recorre al día si da 50 vueltas? 28 En un jardín se ha plantado un parterre con césped y con flores rojas y amarillas siguiendo este diseño. Calcula: a) El área donde hay flores rojas. b) El área con flores amarillas. c) El área que tiene césped. d) Se decide delimitar las diferentes zonas del parterre con vallas que separen unas de otras. Halla la longitud total de la valla. 120 m 28 m 10 4,33 m 5 m 105
La casa de las ventanas azules Mi madre, por fin, ha cumplido su sueño. Ha comprado una casita de madera prefabricada que ha instalado en una finca al lado de la sierra. Ya solo falta pintarla e impermeabilizarla. Mi madre ha pedido un presupuesto y hemos ido juntos a la casa para comprobarlo. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 17/09/2023 Presupuesto n.º 1902 Para María González Valdés Calle del Pino, 1 Mellín, 55324 Cantidad Descripción Precio unitario Total 76 m2 MATERIALES PARA BARNIZAR LAS PAREDES EXTERIORES (2 CAPAS) 4,68 €/m2 76 m2 MATERIALES PARA PROYECTADO PLÁSTICO DE LAS PAREDES EXTERIORES (1 CAPA) 6,23 €/m2 473,48 € 31,6 m MATERIALES PARA PINTAR LOS MARCOS DE ENTRADA Y VENTANAS EXTERIORES (3 CAPAS) 2,87 €/m 1 MANO DE OBRA (30% DEL MATERIAL) 437,08 € 437,08 € Subtotal 1 894 € IVA 21 % Total a pagar 2 291,74 € Yo también analizo el presupuesto que le han presentado a mi madre para los distintos trabajos. Faltan por completar algunos campos. Rellénalos y calcula. 4 m 3 m 3 m 2 m Pared cristalera derecha 3 m 3 m 3 m Pared cristalera izquierda 5 m 3 m 1 m Pared trasera 5 m 4 m 1 m Pared lateral 0,5 m 8 m 106
Completa la tabla con las medidas de tu casa. Amplíala si es necesario. Cantidad Medidas Superficie exterior de la casa/edificio Ventanas de tipo 1 Ventanas de tipo 2 Puertas al exterior de tipo 1 Puertas al exterior de tipo 2 Ten en cuenta la cantidad de capas de pintura que hay que aplicar y calcula el coste de cada material. Barniz para las paredes exteriores (2 capas). Cantidad × Precio × Capas = Total Proyectado plástico para las paredes exteriores (1 capa). Cantidad × Precio × Capas = Total Marcos de entrada y ventanas exteriores (3 capas). Halla primero la cantidad de material necesario. ¿Cuál es el coste de la mano de obra? Cantidad × % = Total Producto final Infórmate sobre el precio actual de los productos y calcula cuánto costaría hacer esta misma reforma en tu casa. Cantidad Descripción Precio unitario Total MATERIALES PARA BARNIZAR LAS PAREDES EXTERIORES (2 CAPAS) MATERIALES PARA PROYECTADO PLÁSTICO DE LAS PAREDES EXTERIORES (1 CAPA) MATERIALES PARA PINTAR LOS MARCOS DE ENTRADA Y VENTANAS EXTERIORES (3 CAPAS) 1 MANO DE OBRA (30 % DEL MATERIAL) Subtotal IVA 21 % Total a pagar Elaborar un presupuesto RETO 10 107
Repaso acumulativo 1 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos grupos de números. a) 10, 14 y 70 b) 5, 9 y 11 2 En las siguientes igualdades hay algunos errores. Encuéntralos y corrígelos. a) 26 3 4 9 5 26 4 5 9 + − = + − b) 17 2 7 4 8 3 17 7 8 2 4 3 − + = − + − + 3 Opera, respetando la jerarquía de las operaciones. a) 6,14 × (8,609 - 4,7) + 7,62 b) 30,6 - 2,709 : 3,5 - 0,48 c) 7,8 × 9,3 - 8,4 × 8,36 d) 5,36 + (20,7 - 8,9) : 0,05 4 Dibuja un triángulo acutángulo isósceles y traza sus medianas. ¿Qué nombre recibe el punto en el que se cortan? AUTOEVALUACIÓN Perímetro de un polígono. Longitud de una circunferencia 1. Indica el polígono cuyo perímetro no es 40 cm. Cuadrado de lado 10 cm. Rectángulo de base 15 cm y altura 5 cm. Rombo de lado 8 cm. Área de paralelogramos y trapecios 2. Calcula el área de este trapecio. 26 cm2 46 cm2 31 cm2 100 cm2 Área de triángulos y polígonos regulares 3. Halla el área aproximada de un hexágono regular de 5 cm de radio. 25 cm2 30 cm2 50 cm2 65 cm2 Área de figuras circulares 4. Calcula el área de la parte coloreada. 12,56 cm2 50,24 cm2 37,68 cm2 62,8 cm2 10 5 cm 5 cm 8 cm 4 cm 2 cm 108
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