Unidad LITERATURA Y MATEMÁTICAS SABERES BÁSICOS 1 Números enteros 5 El contable hindú _ 5 1. Representación de números enteros. Operaciones _ 6 2. Operaciones combinadas de suma y resta _ 7 3. Operaciones combinadas con números enteros _ 8 4. Múltiplos y divisores. Cálculo de todos los divisores _ 9 2 Fracciones y decimales 17 Perfume de hielo _ 17 1. Fracciones equivalentes. Fracción irreducible _ 18 2. Comparación de fracciones _ 19 3. Operaciones con fracciones negativas _ 20 4. Operaciones combinadas con fracciones _ 21 3 Potencias y raíz cuadrada 29 Raíces cuadradas _ 29 1. Potencia de un número _ 30 2. Números en notación científica _ 31 3. Operaciones con potencias _ 32 4 Expresiones algebraicas 41 Véase: amor _ 41 1. Polinomios. Valor numérico _ 42 2. Operaciones con polinomios _ 43 5 Ecuaciones de primer y segundo grado 49 Alféreces provisionales _ 49 1. Ecuaciones de primer grado. Resolución _ 50 2. Ecuaciones de primer grado con paréntesis _ 51 3. Ecuaciones de primer grado con denominadores _ 52 6 Sistemas de ecuaciones 59 El anillo de Rocamadour _ 59 1. Ecuaciones lineales. Solución _ 60 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Solución _ 61 7 Proporcionalidad numérica 69 El abuelo que saltó por la ventana y se largó _ 69 1. Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa _ 70 2. Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa _ 71 8 Proporcionalidad geométrica 79 Hypatia _ 79 1. Teorema de Tales _ 80 2. Semejanza de triángulos. Criterios _ 81 3. Polígonos semejantes _ 82 9 Figuras planas. Áreas 89 Los pilares de la Tierra _ 89 1. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones _ 90 2. Área de polígonos _ 91 10 Cuerpos geométricos. Áreas y volúmenes 99 La ciudad Rosa y Roja _ 109 1. Poliedros. Fórmula de Euler _ 100 2. Área de prismas y pirámides _ 101 3. Área de cuerpos de revolución _ 102 11 Funciones 109 El cazador _ 109 1. Función. Expresión de una función. Representación gráfica _ 110 2. Estudio de una función _ 111 12 Estadística y probabilidad 119 El curioso incidente del perro a medianoche _ 119 1. Variables estadísticas. Población y muestra _ 120 2. Tablas y gráficos estadísticos _ 121 3. Medidas estadísticas _ 122 Índice 2
SABERES BÁSICOS SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5. Factorización de un número _ 10 6. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor _ 11 7. Problemas de divisibilidad _ 12 ¡Te vas a quedar helado! _ 14 RETO: Utilizar correctamente el frigorífico _ 15 5. Expresión decimal de una fracción _ 22 6. Operaciones con números decimales _ 23 7. Problemas con fracciones y decimales _ 24 El secreto de la familia _ 26 RETO: Comparar una tarta casera y una industrial _ 27 4. Raíz cuadrada de un número _ 33 5. Operaciones combinadas con potencias y raíces _ 35 6. Problemas con potencias y raíces _ 36 Me faltan datos _ 38 RETO: Calcular el tiempo de descarga _ 39 3. Extraer factor común de un polinomio. Igualdades notables _ 44 4. Problemas con polinomios _ 45 Cuestión de imagen _ 46 RETO: Realizar un corto _ 47 4. Ecuaciones de segundo grado. Número de soluciones _ 53 5. Problemas con ecuaciones _ 54 La parábola del lanzador _ 56 RETO: Realizar un estudio del lanzamiento _ 57 3. Resolución de sistemas de ecuaciones _ 62 4. Problemas con sistemas de ecuaciones _ 64 El coche fantástico _ 66 RETO: Elegir un modelo de coche _ 67 3. Repartos proporcionales _ 72 4. Porcentajes _ 73 5. Problemas de proporcionalidad y porcentajes _ 74 Carga y descarga _ 76 RETO: Alargar la vida de una batería _ 77 4. Escalas _ 83 5. Problemas de semejanza _ 84 Naturaleza y diversión _ 86 RETO: Planificar una ruta de senderismo _ 87 3. Longitud de la circunferencia. Área de figuras circulares _ 93 4. Problemas de áreas _ 94 Más allá de las estrellas _ 96 RETO: Hacer un pódcast _ 97 4. Volumen de cuerpos geométricos _ 103 5. Problemas de áreas y volúmenes _ 104 ¡Una historia de la leche! _ 106 RETO: Diseñar un envase _ 107 3. Funciones de proporcionalidad directa. Función lineal _ 113 4. Problemas con funciones _ 114 Cada gota importa _ 116 RETO: Elaborar un informe sobre el consumo de agua _ 117 4. Experimentos aleatorios. Probabilidad _ 123 5. Problemas de estadística y probabilidad _ 124 Privacidad, seguridad, tranquilidad _ 126 RETO: Codificar mensajes con una clave propia _ 127 3
Alféreces provisionales Pedro Maestre Por más que subo la escalera no llego a tiempo para el examen, miro hacia arriba y todavía me quedan los mismos pisos que hace media hora, si me doy prisa a lo mejor no es demasiado tarde para que me dejen entrar, así podré hacer por lo menos un ejercicio, el de factorización de polinomios, y no sacaré un cero, subo de tres en tres peldaños pero no avanzo, la escalera cuando llego a la tercera planta se pone boca abajo, y otra vez estoy en el vestíbulo, voy a coger carrerilla y así a lo mejor corro más que la escalera, desde aquí no, un poco más atrás, voy a lograrlo, voy a lograrlo, allá voy…, lo he conseguido, ¿y ahora qué?, sí, iré a la sala de profesores, allí sabrán dónde es el examen, no la encuentro, sé dónde está pero no la encuentro, ¿la habrán cambiado de sitio este verano?, y no hay nadie a quien preguntar, ¿me habré equivocado de día o de hora?, bajaré a ver si el bedel sabe algo, ¿dónde estoy?, esto no es el vestíbulo, saldré por una ventana de un aula a la calle y volveré a entrar por la puerta principal, esta aula misma, ¡qué oscuro!, enciendo la luz y el profesor de Matemáticas está recogiendo los exámenes, solo quedo yo, pero voy a sacar un cero, el ejercicio de factorización de polinomios es el más difícil de todos, sacar el factor común de: 30a4b + 45a3b2 - 15a4 - 15x3 + + 20x4 - 25x18 + 20c5b + 3b3 - - 696x696 - 696x696 + 8c2 - 18c3b y ya es la hora, el profesor me dice que si no se lo entrego se va, yo lo sigo por el pasillo, salgo con él del colegio y subo a su coche, me quedan dos minutos, pondré una respuesta a boleo, no me da tiempo, el profesor me quita el examen de las manos y me pregunta dónde me deja, yo le digo que aquí mismo, en el cuartico. 5 Ecuaciones de primer y segundo grado La parábola del lanzador En el baloncesto, quienes juegan deben ser capaces de calcular de manera instintiva la fuerza y velocidad para lanzar a canasta. ¿Es posible hacer un cálculo exacto de la velocidad que se debe aplicar para encestar? ¿Cómo podemos hacerlo? ¿Te parece importante la velocidad a la que se lanza? 1 Saca factor común del polinomio del examen del texto, si es posible. 2 Resuelve: «En un bosque había 3 000 árboles. Se talaron la tercera y quinta parte. ¿Cuántos quedan?». LITERATURA Y MATEMÁTICAS SITUACIÓN DE APRENDIZAJE RETO Realizar un estudio del lanzamiento 49
1 Desarrolla e indica cuáles de estas ecuaciones son de primer grado. a) x + 2 = 3x(x + 4) b) x + 2 = 3x - (x + 4) c) 2(x + 3) - 4x = x + 5 d) 2(x + 3)x = x + 5 e) x - 7x + 5 = 3 - x(2 + 3x) - 1 f) (x - 7)x + 5 = 3 - 5(2 + 3x) - 1 2 Resuelve estas ecuaciones de primer grado, aplicando la transposición de términos. a) x + 2 = 5 b) x - 3 = 2 c) 2x + 1 = x d) 2x = 8 e) 3x = 12 f) x 5 3= g) 3 2 1 x = h) x = 2x i) 3x - 4 = 2x + 3 3 Halla el valor de x para que se cumpla cada igualdad. a) 3x - 4 + 2x = 6x - 7 + x b) 5 - x + 3x - 4x + 2x = 7 + 7 x - 2 c) x + 2x + 3x - 4x + 2 - 3 = 5 - 2x d) 9 - 8x + 5x - 4 = 3 + 7x - 8 + 2x 4 Escribe dos ecuaciones de primer grado cuya solución sea: a) x = 1 b) x = -1 c) x = 0 Ecuaciones de primer grado. Resolución 1 50
5 Elimina los paréntesis y resuelve las ecuaciones. a) 2 - (-x + 3) + 5 - x = 2(5 - x) b) 3(x + 2) - 2(1 - x) = 3(x + 6) - 4 c) 7 - (1 - x) - (-2 + 3x) - 8 = 4(1 - 2x) d) 9 - x - (8 - 7x) + 6 = 5 - 4(x - 3) + 2 6 Completa los huecos para que la solución de cada ecuación sea x = 5. a) 3x + - (x + 2) = 7 b) x - 5(2 - x) = 3(x + 2) - 1 c) 2( - 2x) + 6x = 7 - x d) 10 - x + (x - 3) = 3(x - 2) 7 Resuelve las ecuaciones de primer grado. a) 5(x - 2) - 2(3 - x) = -3(x + 7) - (1 - 4x) b) 8 - (3 - 2x) + 6(x - 4) = 3(x - 1) - 7 8 Escribe dos ecuaciones de primer grado con paréntesis que tengan como solución x = -2. Después, resuélvelas y comprueba que lo has hecho correctamente. Ecuaciones de primer grado con paréntesis 5 2 51
9 Resuelve estas ecuaciones con denominadores y comprueba su solución. a) x x 2 3 = b) x x + = + 1 2 2 3 c) x x + = 1 2 2 3 10 Halla el valor de x en cada caso y comprueba el resultado. a) 1 2 3 2 2 + = − − x x b) x x + = − − 3 5 1 2 4 c) 2 2 3 3 7 2 − − = − − x x x d) 2 4 3 3 2 5 1 1 2 − − − = − + x x x e) x x 2 1 1 5 1 − = − + f) − − + = + 3 7 2 4 1 5 x x x 11 Elimina los denominadores y los paréntesis para resolver las ecuaciones, y comprueba el resultado. a) − − + − − = + + 2 2 3 3 2 5 4 1 3 ( ( )) ( ) x x x x b) x x x x + − + = − − + 1 3 2 4 5 5 3 ( 2) Ecuaciones de primer grado con denominadores 3 52
12 Halla el discriminante de estas ecuaciones y averigua cuántas soluciones tienen. a) x2 + 6x - 7 = 0 b) x2 + 2x + 4 = 0 c) 9 4 6 4 0 2x x + + = d) x x 2 3 13 3 10 0 + − = e) x2 + 4x - 9 = 0 f) x x 2 2 5 12 0 + + = 13 Encuentra las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado, si las tienen. a) (x + 1)(x - 2) = 0 b) (x + 1)(x - 2) = 2(x - 2) c) 2(x - 1)2 = 18 d) x x3 4 3 3 + =− e) x(x + 10) = -26 f) 2x2 + 3x - 15 = x2 + 2x + 15 14 Encuentra los posibles valores del parámetro en cada caso. a) ax2 + 2x - 4 = 0, si sus soluciones son x = -2 y x = 1. b) x2 + bx + 4 = 0, si solo tiene una raíz. ¿Cuál es? c) x2 + 6x + c = 0, si no tiene ninguna raíz. Ecuaciones de segundo grado. Número de soluciones 5 4 53
15 Andrea fue al cine y compró entradas para ella y sus amigas. Cada entrada costaba 12 €. Si tenía 100 € y después de comprarlas le quedaron 4 €, ¿cuántas entradas compró? 16 Pablo tiene 4 años menos que su hermana. Si la suma de sus edades es 20, ¿cuántos años tiene cada uno? 17 Calcula las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que la base es el cuádruple de la altura y el perímetro es 30 cm. 18 Una empresa de alquiler de coches cobra una tarifa fija de 50 € más 0,25 € por kilómetro recorrido. Si Lorena ha pagado 80 € en total, ¿cuántos kilómetros recorrió? 19 Se quiere mezclar una solución de 30% de ácido con otra de 50% para obtener 100 litros de una solución de 45%. ¿Cuántos litros de cada solución hay que mezclar? Problemas con ecuaciones 5 54
20 Gabriela prestó dos tercios de sus ahorros a su hermano Gonzalo; después, gastó un quinto de lo que le quedaba en la compra de un cuaderno. Al final tenía 8 €. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Gabriela? ¿Cuánto dinero prestó a su hermano Gonzalo? 21 Hace 5 años el cuadrado de la edad de Lola era 100. ¿Qué edad tiene Lola ahora? 22 El producto de un número por el triple de ese número es 243. ¿Qué número es? Halla todas las posibles soluciones. 23 Se lanza una pelota desde el suelo siguiendo la trayectoria h(t) = -5t2 + 20t, donde h es la altura en metros, y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en volver al suelo? 24 La base de un triángulo es 3 cm mayor que su altura. Si el área del triángulo es 20 cm2, ¿cuáles son las medidas de la base y la altura? 5 55
La parábola del lanzador Me he apuntado a la liga de baloncesto de los recreos. Me gusta jugar, pero ¡no siempre meto canasta! Mi profesor de Matemáticas me ha dicho que puedo aplicar las matemáticas para mejorar mis tiros. Lo que tengo que saber es desde qué altura lanzo mejor, con qué ángulo de tiro encesto mejor y cuál es la velocidad que le doy al balón. La mecánica de tiro Teniendo en cuenta tu estatura, ¿desde qué altura lanzas la pelota cuando tiras a canasta? Si tiras la pelota con la velocidad usual en tu edad, ¿con qué velocidad tiras a canasta? Si lo que quieres es encestar, ¿a qué altura del suelo debe llegar la pelota? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Ángulo de tiro Distancia de la pelota al suelo Distancia a la que está el aro Altura del jugador 3,05 m y0 x Un estudiante de 13 a 15 años suele lanzar el balón a una velocidad de 8 m/s. El balón se suele lanzar desde 15 cm por encima de la cabeza. 15 cm Para alcanzar la máxima distancia, el ángulo de tiro es de 45º. 56
La trayectoria que describe el balón hasta llegar a la canasta depende de la distancia a la que se está del aro, x, de la altura del lanzador y del ángulo y la velocidad con que sale la pelota. La ecuación para calcular la altura a la que está la pelota del suelo cuando se lanza a canasta es esta: y x = + − altura desde la que se lanza la pelota gravedad velocidad2 ⋅ x2 Completa la fórmula con los datos que conoces para calcular la altura a la que está la pelota del suelo cuando se lanza a canasta y transfórmala en una ecuación de segundo grado. y x x = + − ⋅ 2 2 En la cancha de tu centro escolar o de un parque de tu zona, mide la distancia a la que se encuentran la línea de tiros libres y la de triples de la vertical de la canasta. Averigua también la altura del aro. Haz un dibujo e indica las medidas tomadas. Completa las siguientes frases, suponiendo que lanzas con el ángulo adecuado para que la pelota alcance la máxima distancia. Para encestar un tiro libre, debo lanzar el balón a m/s. Para encestar un triple, debo lanzar el balón a m/s. Producto final Cuando se tira a canasta durante un partido, se suele hacer en suspensión, es decir, el lanzador salta y lanza la pelota cuando está en el aire. Completa los huecos. Para encestar un tiro libre en suspensión, debo lanzar el balón a m/s. Para encestar un triple en suspensión, debo lanzar el balón a m/s. 5 Realizar un estudio del lanzamiento RETO ¡Soy capaz de saltar hasta cm! 57
Repaso acumulativo 1 Indica cuántas soluciones tienen estas ecuaciones y calcúlalas. a) (x + 3)(x - 3) = 42 b) 3x2 - 5x + 6 = 0 c) 9x2 = -3x 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x x x − − =− + + 2 3 1 3 3 2 b) x x x + − − = − − 3 8 3 10 5 4 1 3 Calcula y simplifica. a) 2 3 1 4 2 3 10 11 7 1 2 − ⋅ − ⋅ − b) 3 2 4 11 8 2 7 2 : − + ⋅ − 4 Representa en la recta numérica los siguientes números. Op (-5) |-8| (-2)2 -22 Op (|-3|) -1121 AUTOEVALUACIÓN Ecuaciones de primer grado. Resolución 1. Determina de qué ecuación es solución x = -2. 2x - 1 = 0 x + 3 = 2x + 1 2x + 3 = x + 1 2x - 2 = -x Ecuaciones de primer grado con paréntesis 2. Indica cuál es la solución de la ecuación. (2x - 3) - 3(x - 1) = -(x + 2) + x + 5 x = -3 x =− 5 3 x = -5 x =− 7 3 Ecuaciones de primer grado con denominadores 3. Elige el valor que es solución de esta ecuación. x x x x − + = − − + 5 1 3 4 3 3 3 2 ( ) - 11 25 9 5 27 5 - 11 19 Ecuaciones de segundo grado. Número de soluciones 4. Decide cuántas soluciones tiene la ecuación 3x2 + 12x + 25 = 0. Tiene tres soluciones. Tiene dos soluciones. Tiene una solución. No tiene solución. 5 58
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