Unidad LITERATURA Y MATEMÁTICAS SABERES BÁSICOS 1 Números racionales 5 El número de Dios _ 5 1. Fracciones equivalentes e irreducible. Comparación _ 6 2. Operaciones con fracciones _ 7 3. Fracciones y decimales _ 10 2 Potencias y raíces 17 El soldadito de Dios _ 17 1. Potencias de números racionales _ 18 2. Operaciones con potencias _ 19 3. Notación científica. Operaciones _ 20 4. Raíces. Operaciones _ 21 3 Progresiones 29 La medición del mundo _ 29 1. Progresiones aritméticas. Suma de términos _ 30 2. Progresiones geométricas. Suma de términos _ 32 4 Polinomios 39 Un tranvía en SP _ 39 1. Monomios y operaciones _ 40 2. Polinomios. Valor numérico _ 41 3. Operaciones con polinomios _ 42 4. Regla de Ruffini _ 43 5 Ecuaciones de primer y segundo grado 51 El curioso incidente del perro a medianoche _ 51 1. Ecuaciones. Elementos y soluciones _ 52 2. Resolver ecuaciones de primer grado _ 53 3. Resolver ecuaciones de segundo grado _ 55 6 Sistemas de ecuaciones 63 La fórmula preferida del profesor _ 63 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación _ 64 2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales _ 65 7 Lugares geométricos. Áreas y perímetros 73 Los viajes de Gulliver _ 73 1. Lugar geométrico. Mediatriz y bisectriz _ 74 2. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones _ 75 3. Cálculo de perímetros y áreas de polígonos _ 76 8 Movimientos y semejanzas 85 El joven Arquímedes _ 85 1. Vectores y traslaciones _ 86 2. Traslaciones y giros _ 87 3. Simetrías centrales y axiales _ 88 4. Frisos y mosaicos _ 89 9 Cuerpos geométricos 97 Vida y fugas de Fanto Fantini _ 97 1. Poliedros _ 98 2. Área de poliedros: prismas y pirámides _ 99 3. Cuerpos de revolución _ 100 10 Funciones 109 Tuya _ 109 1. Funciones. Expresión _ 110 2. Representación de funciones _ 111 3. Dominio y recorrido _ 112 4. Continuidad y puntos de corte _ 113 11 Funciones lineales y cuadráticas 121 El consuelo _ 121 1. Funciones lineales _ 122 2. Representación de funciones lineales _ 123 3. Ecuación de una recta _ 124 12 Estadística y probabilidad 133 La caverna _ 133 1. Variables estadísticas. Población y muestra _ 134 2. Tablas de frecuencias _ 135 3. Gráficos estadísticos _ 136 4. Medidas estadísticas _ 137 Índice 2
SABERES BÁSICOS SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 4. Clasificar números racionales _ 11 5. Problemas con números racionales _ 12 ¡No es magia, es industria! _ 14 RETO: Construir una estructura con un juego de construcción _ 15 5. Radicales. Operaciones _ 22 6. Intervalos _ 23 7. Problemas con números reales _ 24 ¡Socorro! ¡Me quedo sin batería! _ 26 RETO: Gestionar la batería y la memoria de un móvil _ 27 3. Problemas con progresiones _ 34 Tu propia vivienda: entre el miedo y la esperanza _ 36 RETO: Decidir la hipoteca más conveniente _ 37 5. Igualdades notables _ 44 6. Factorizar polinomios _ 45 7. Problemas con polinomios _ 46 Desciframos el recibo de la luz _ 48 RETO: Estimar el importe de la factura de la luz _ 49 4. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas _ 57 5. Problemas con ecuaciones _ 58 ¡Mamá, no quiero ser artista! Prefiero tener mi propia empresa _ 60 RETO: Elaborar un plan de empresa _ 61 3. Problemas con sistemas de ecuaciones _ 68 ¡Qué grande es el cine! _ 70 RETO: Calcular el consumo de datos _ 71 4. Cálculo de áreas de figuras circulares _ 79 5. Problemas de áreas _ 80 ¡Vamos a dar la nota! _ 82 RETO: Diseñar una camiseta _ 83 5. Teorema de Tales. Aplicaciones _ 90 6. Escalas _ 91 7. Problemas de semejanzas y escalas _ 92 ¿Todo el universo dentro de un mandala? _ 94 RETO: Crear un mandala _ 95 4. Áreas de cuerpos de revolución y figuras esféricas _ 101 5. Volumen de cuerpos geométricos _ 102 6. Problemas de áreas y volúmenes _ 104 Una imagen, ¿cien historias? _ 106 RETO: Elegir una mochila _ 107 5. Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos _ 114 6. Simetría y periodicidad _ 115 7. Problemas con funciones _ 116 Pero… ¿dónde se come aquí? _ 118 RETO: Proponer un programa de fidelización _ 119 4. Función cuadrática _ 126 5. Representación de una función cuadrática _ 127 6. Problemas con funciones lineales y cuadráticas _ 128 ¿Y si no tengo suficientes megas? _ 130 RETO: Elegir la mejor tarifa de móvil _ 131 5. Medidas estadísticas de datos agrupados _ 138 6. Experimentos aleatorios. Probabilidad _ 139 7. Problemas de estadística y probabilidad _ 140 ¡Había una vez… un patito chiquitito! _ 142 RETO: Inventar un juego de azar _ 143 3
El número de Dios José Luis Corral –La belleza, hijo, está en la proporción. Una catedral ha de ser como el cuerpo humano, sin duda la mejor obra de Dios: armónico en sus proporciones, elegante en sus medidas y de aspecto airoso pero sereno. »Tu tío te enseñó el número secreto de la proporción, y lo hizo demasiado pronto. En ese número se guarda todo el misterio de la belleza de este nuevo estilo, en el número de Dios. –La unidad por la unidad más dos tercios –repuso Enrique. –Así es. Esas proporciones expresan las medidas del rectángulo perfecto, y a partir de él se establecen todas las medidas, todas las relaciones y proporciones de una catedral. […] »Ese número ha estado siempre en las proporciones de las obras de la Biblia. […] El arca en la que Noé embarcó a una pareja de cada especie de animales tenía cincuenta codos de ancho por treinta de alto, y trescientos de largo. Fíjate en las proporciones: la relación entre la anchura y la altura es el número de Dios, es decir, la unidad más dos tercios. Y la relación entre la anchura y la longitud es la décima parte del número divino. »Mas eso no es todo, hijo. […] El arca de la alianza debería tener dos codos y medio de largo por uno y medio de ancho y uno y medio de alto. Fíjate: la altura y la anchura forman un cuadrado perfecto, pero la longitud y la anchura forman un rectángulo cuya proporción es de nuevo el número de Dios, la unidad más dos tercios. […] –Ese es el secreto de esta catedral: está construida siguiendo las proporciones del número divino, el que Dios eligió para construir el universo. […] Escucha bien: ese número es la unidad y su relación constante con dos tercios de la unidad más la unidad misma. Así ha construido Dios el mundo, y así nos ha encargado que construyamos sus templos. Somos la mano de Dios. 1 Números racionales ¡No es magia, es industria! Los juegos de construcción permiten experimentar, aprender y desarrollar la creatividad y la destreza manual. Además, ¡son muy divertidos! ¿Es posible construir cualquier estructura con piezas iguales? ¿Y diferentes? ¿Cómo podemos combinarlas? 1 El número de Dios es un número racional. Exprésalo en forma de fracción y en forma decimal. 2 Comprueba que las medidas del arca de Noé y del arca de la alianza se ajustan a la proporción del número de Dios. LITERATURA Y MATEMÁTICAS SITUACIÓN DE APRENDIZAJE RETO Construir una estructura 5
1 Escribe cada fracción. a) El numerador es 7 y el denominador es 3 unidades menor que él. b) El denominador es -5 y el numerador es 6 unidades mayor que él. 2 Calcula los valores de x e y para que las fracciones sean equivalentes. a) 18 5 72 = x b) 16 2 32 − = x c) 9 18 6 30 x y = − = 3 Obtén dos fracciones equivalentes a cada una por amplificación y otras dos por simplificación. a) 42 54 b) -30 90 c) 18 12 - d) 100 50 - 4 Indica qué fracciones no son irreducibles y, en esos casos, calcula su fracción irreducible. a) 40 6 b) 28 15 c) -9 18 5 Reduce a común denominador estas fracciones y ordena de menor a mayor. a) 2 5 , 5 4 y 3 8 b) 2 7 , 1 6 y 3 5 6 Ordena de mayor a menor. 4 5 10 4 21 6 15 9 1 3 7 9 - - - Fracciones equivalentes e irreducible. Comparación 1 6
7 Calcula estas sumas y restas. a) 18 5 7 5 8 5 + + c) - - - 3 10 9 10 7 30 b) 5 3 4 18 6 3 + + d) 25 6 11 8 1 3 − + 8 Realiza las siguientes operaciones. a) 1 3 2 1 2 + − c) 5 2 5 1 − + b) − + + 2 7 2 1 2 d) 1 6 3 4 2 − + 9 Encuentra el error y corrígelo. Recuerda que los números enteros podemos expresarlos como una fracción de denominador 1. a) 4 1 6 28 6 + = c) 4 3 4 36 8 + = b) 4 1 2 1 2 1 - + = d) 2 3 2 2 1 3 8 - - = 10 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. a) 3 2 3 1 4 1 + − + d) 5 2 5 2 3 1 − − + b) − − − + 3 4 1 6 1 3 1 e) 5 1 2 1 6 3 4 2 − + − − + c) 1 2 5 1 10 3 5 − − + f) 2 1 7 8 3 4 1 3 + − − + Operaciones con fracciones 1 2 7
11 Efectúa estas operaciones. a) − ⋅ 4 5 20 8 c) 15 6 2 4 : b) 9 10 8 14 : d) 6 17 6 27 : − 12 Calcula y simplifica el resultado. a) 9 12 4 21 7 33 × × c) ( ) : -5 26 38 b) 56 14 70 24 6 28 ⋅ − : d) − − 2 90 : ( 26) 13 Encuentra el error y corrígelo. a) 3 2 2 2 5 3 2 3 2 5 3 2 45 4 : : : ⋅ = ⋅ = c) ( ) : : − ⋅ ⋅ = = 2 3 7 1 7 5 6 5 7 7 6 5 b) 3 2 2 2 5 3 2 3 10 6 9 5 ⋅ ⋅ = ⋅ = : d) ( ) : : − ⋅ = − ⋅ = − 2 3 7 1 7 5 14 1 2 35 7 35 14 Determina el resultado de las siguientes operaciones. a) 3 5 2 3 3 5 2 ⋅ − ⋅ : ( ) c) 4 3 2 2 5 1 4 5 : : ( ) ⋅ ⋅ − b) 1 2 4 3 3 2 2 ⋅ ⋅ − − : ( ) d) 2 3 5 4 2 3 2 3 5 : ( ) : ⋅ − ⋅ ⋅ Operaciones con fracciones 2 8
15 Realiza estas operaciones. a) 3 2 4 5 5 4 − ⋅ c) 2 7 4 5 1 3 6 4 : : − + − b) 5 2 2 9 1 6 : + d) 2 5 4 5 1 3 6 4 : − + − − 16 Calcula y observa cómo varía el resultado con la posición de los paréntesis. a) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : c) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : b) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : d) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : 17 Detecta el error en cada caso y corrígelo. a) 1 3 4 7 4 2 3 4 2 3 2 3 3 1 7 4 8 4 4 − + ⋅ = + ⋅ = ⋅ = c) ( ) − ⋅ + ⋅ = − + = − 5 2 3 1 3 7 10 3 3 3 7 17 b) 3 2 2 1 4 2 5 3 3 1 4 4 3 10 23 6 : : − + = − + = d) 4 5 2 9 1 3 3 5 3 5 4 2 9 4 4 1 6 19 30 − + = − = − = : : 18 Halla el resultado de estas operaciones. a) 2 3 1 4 3 3 2 ⋅ + − − ( ) d) 1 3 7 1 2 3 5 2 + − + : b) 4 3 3 2 5 1 6 + − − : ( ) e) 2 5 3 1 3 1 2 5 2 5 : ( ) − − − ⋅ − + c) − ⋅ − + − 5 2 6 5 2 3 1 4 : ( 3) f) − + ⋅ − 3 5 4 1 2 3 2 3 4 : : 1 9
19 Determina los números decimales correspondientes a estas fracciones y di cuántas cifras decimales tienen. a) 56 10 c) 16 55 e) 1 20 b) 73 8 d) 8 88 f) 48 120 20 Indica las cifras que forman el periodo y el anteperiodo, cuando exista, de los números decimales correspondientes a estas fracciones. a) 1 3 c) 13 6 e) 49 18 b) 1 45 d) 1 90 f) 37 12 21 Encuentra la fracción generatriz que corresponde a estos números decimales. a) 0,6 e) 5,94 b) 2,08 f) 32,5 c) 12,5 g) 0,148 d) 28,542 h) 0,008 22 Piensa y escribe una fracción que se corresponda con cada número decimal. a) Un número decimal exacto con tres cifras decimales. b) Un número decimal periódico puro con periodo de dos cifras. c) Un número decimal periódico mixto con un anteperiodo de una cifra y un periodo de una cifra también. Fracciones y decimales 3 10
23 Clasifica estos números decimales y exprésalos, cuando sea posible, de forma abreviada. a) 9,090909… f ) 1,121122111222… b) 45,7 g) 5,24678678… c) 2,3333… h) -3,65 d) 0,0025 i) 1,11223344… e) 321,03333… j) 3,2458458… 24 Clasifica estos números, indicando todos los conjuntos a los que pertenecen. a) -4,562 e) 5,875 b) -4 9 f ) 10 5 c) 24,0923 g) -76,43333333… d) 1,23223222322223… h) 4,9 25 Escribe tres números racionales que cumplan cada característica. a) Son mayores que -1 y menores que 1. b) Su parte entera es 1 y tienen periodo. c) Son periódicos mixtos menores que 0. d) Son negativos y su periodo es 7. e) Son periódicos puros y están comprendidos entre 1,67 y 1,68 . Clasificar números racionales 1 4 11
Problemas con números racionales 5 26 De las 154 personas que han comprado hoy en una panadería, 7 4 eran hombres. ¿Cuántas eran mujeres? 27 Cuatro de cada cinco electrodomésticos que se venden en un establecimiento son de color blanco, y una décima parte son negros. Calcula cuántos electrodomésticos blancos y cuántos negros ha vendido un establecimiento de un total de 140 aparatos. ¿Vendieron electrodomésticos de otros colores? ¿Cuántos? 28 Un trozo de tela mide 5,4 m y representa las tres séptimas partes del total. ¿Cuál es la longitud total de la tela? ¿Cuánto mide un trozo igual a un sexto de la parte que queda? ¿Qué fracción del total es? 29 Unas amigas recorren 105 km en bicicleta. El primer día hacen un tercio del camino, y el segundo día, cuatro quinceavos, dejando el resto para el tercero. ¿Cuántos kilómetros recorren cada día? ¿Qué parte del camino recorren el tercer día? 30 El hijo de Isabel tiene la mitad de la séptima parte de la edad de su madre. Si Isabel tiene 42 años, ¿cuántos años tiene su hijo? 12
31 En la biblioteca hay 5 000 libros. De ellos, una quinta parte son novelas, y del resto, la mitad son literatura infantil. ¿Cuántos libros de literatura infantil hay? 32 En la clase de Marcos llevan gafas 16 estudiantes, que representan las cuatro novenas partes del total. ¿Cuántos estudiantes no llevan gafas? ¿Son más o menos de la mitad de la clase? 33 Una persona toma para desayunar 50 g de pan, 120 g de fruta y 200 g de leche. Si las cantidades recomendadas de consumo diario son 60 g de pan, 200 g de fruta y 250 g de leche, ¿qué fracción de la cantidad diaria recomendada de cada tipo de alimento le queda por consumir? 34 En un aparcamiento hay 540 vehículos, de los cuales 5 3 son turismos, 4 1 furgonetas y el resto son motocicletas. Son eléctricos la mitad de los turismos, 3 1 de las furgonetas y la novena parte de las motocicletas. ¿Cuántos vehículos eléctricos hay en total? 35 Asier le da la mitad de sus caramelos a Lola. Lola le da la mitad de los caramelos que ha recibido a Julia. Julia a su vez le da la tercera parte de los caramelos a Pablo y él decide repartirlos a partes iguales entre él y sus tres hermanos pequeños. ¿Qué fracción de los caramelos de Asier le ha correspondido a cada persona? 1 13
¡No es magia, es industria! Antes de que aparecieran los videojuegos como Clash Royale o Fortnite se jugaba con otros juegos para los que no se necesitaba cargar una batería. Incluso tú, no hace muchos años, seguro que jugabas con ellos. Son los juegos de construcción. Los juegos de construcción están compuestos por un conjunto de piezas que suelen tener forma rectangular, de tamaños iguales o diferentes. Estas piezas se pueden ensamblar con otras, pudiendo hacerse múltiples combinaciones y creando distintas construcciones. También existen relaciones entre las piezas. Por ejemplo, un bloque de 2 ◊ 4 contiene dos filas con cuatro salientes cada una, y un bloque de 1 ◊ 2 tiene una fila con dos salientes. Es decir, sobre un bloque de 2 ◊ 4 se pueden encajar hasta cuatro bloques de 1 ◊ 2. Piezas de construcción Todo está relacionado Me doy cuenta de que para poder ensamblar piezas tienen que estar relacionadas. ¿Cuál es el bloque más grande? ¿Y cuál le sigue en tamaño? ¿Qué fracción representa este segundo bloque con respecto al más grande? ¿Cuál es el bloque más pequeño? ¿Qué fracción del bloque más grande representa? Considerando el bloque más grande como la unidad, expresa la fracción que representa cada bloque con respecto al bloque más grande. Haz lo mismo con las placas. Considera la más grande como la unidad. SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Piezas especiales Bloques 2 ◊ 4 2 ◊ 2 4 ◊ 6 6 ◊ 6 2 ◊ 6 1 ◊ 6 1 ◊ 2 Placas 1 ◊ 1 7,8 mm 14
Vamos a planificar cómo construir una estructura en forma de ortoedro de aproximadamente 5 cm de ancho, 16 cm de largo y 2 cm de alto con las piezas de construcción del juego descrito. ¿Qué placas puedes unir para formar la base de la estructura? ¿Qué tipo de bloques puedes utilizar para levantar una pared de 1 unidad de ancho que cubra todo el borde de la placa? ¿Cuántas filas pueden tener? ¿Y cuántos salientes? ¿Cuántas piezas de cada tipo serán necesarias? Producto final Utiliza un juego de construcción que tengas en casa o busca uno en internet y apunta las medidas de sus piezas. Completa la tabla indicando las piezas de cada tipo que necesitarías para construir la estructura anterior con las piezas de ese juego. Dibujo de la pieza Medidas Número de piezas 1 Construir una estructura con un juego de construcción RETO 15
Repaso acumulativo 1 Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. a) 4 15 60 = x b) 24 12 8 = x c) − = 3 10 120 x 2 Halla la fracción irreducible. a) 52 72 b) -165 90 c) 105 126 3 Ordena de menor a mayor: 5 9 1 5 13 4 3 8 8 3 13 5 , , , , , - - . 4 Calcula. a) 1 2 2 5 1 3 1 8 − − ⋅ − b) 16 5 7 2 3 5 1 9 − − − ⋅ 5 Un granjero quiere vallar un terreno de 2275 m de perímetro. El primer día hace los 3 7 del trabajo y el segundo día los dos quintos. ¿Cuántos metros faltan por vallar? ¿Qué parte del total son? AUTOEVALUACIÓN Fracciones equivalentes e irreducible. Comparación 1. Indica cuál es la fracción equivalente a 36 5 . 12 15 72 10 7 1 366 55 2. Di cuál de esas fracciones es mayor que 6 5 . 9 7 20 25 4 3 15 13 Operaciones con fracciones 3. Resuelve 5 3 4 3 2 2 5 3 4 7 : + − ⋅ . 60 31 40 21 60 31 - 120 427 Fracciones y decimales 4. Determina la fracción generatriz del número decimal periódico mixto 2,135$. 2135 990 1057 495 2114 900 2135 900 Clasificar números racionales 5. Di cuál de los siguientes números es un decimal periódico puro. 12,5! 1,2345… 1,34! 7 1 16
RkJQdWJsaXNoZXIy