398468

1 APRÈN I PRACTICA Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO

Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO 1 APRÈN I PRACTICA

UNITAT SABERS BÀSICS 1 Divisibilitat 7 1. Potències de nombres naturals _ 8 2. Operacions amb potències _ 9 3. Múltiples d’un nombre _ 10 4. Divisors d’un nombre _ 11 5. Càlcul dels divisors d’un nombre _ 12 6. Nombres primers i nombres compostos _ 13 7. Criteris de divisibilitat _ 14 8 Factorització d'un nombre _ 15 9. Màxim comú divisor _ 16 10. Mínim comú múltiple _ 17 11. Problemes de m.c.d. i m.c.m. _ 18 2 Nombres enters 23 1. Nombres enters _ 24 2. Representació a la recta numèrica _ 25 3. Comparació de nombres enters _ 26 4. Com s’ordenen els nombres enters _ 27 5. Suma de dos nombres enters _ 28 6. Resta de dos nombres enters _ 29 7. Suma i resta de diversos nombres enters _ 30 8. Sumes i restes de nombres enters amb parèntesis _ 32 9. Multiplicació i divisió de nombres enters _ 33 10. Potències de nombres enters _ 34 11. Arrel quadrada de nombres enters _ 35 12. Càlcul de l’arrel quadrada d’un nombre enter _ 36 13. Operacions combinades amb nombres enters _ 37 14. Operacions combinades amb claudàtors _38 15. Problemes amb nombres enters _ 40 3 Fraccions 45 1. Fraccions _ 46 2. Fraccions pròpies, impròpies i iguals que la unitat _47 3. Fraccions equivalents _ 48 4. Obtenció de fraccions equivalents _49 5. Fracció irreductible d’una fracció _ 50 6. Reducció de fraccions a comú denominador _ 51 7. Comparació de fraccions _ 52 8. Suma i resta de fraccions _ 53 9. Operacions combinades de sumes i restes de fraccions _ 54 10. Multiplicació de fraccions _ 55 11. Divisió de fraccions _ 56 12. Operacions combinades amb fraccions _ 57 13. Problemes amb fraccions _ 58 4 Nombres decimals 63 1. Nombres decimals _ 64 2. Representació de nombres decimals a la recta numèrica _ 65 3. Comparació de nombres decimals _ 66 4. Aproximació de nombres decimals _ 67 5. Multiplicació i divisió d’un nombre decimal per la unitat seguida de zeros _ 68 6. Suma i resta de nombres decimals _ 69 7. Multiplicació de nombres decimals _ 70 8. Operacions combinades amb decimals _ 71 9. Divisió d’un nombre decimal entre un de natural _ 72 10. Divisió d’un nombre natural entre un de decimal _ 73 11. Divisió d’un nombre decimal entre un altre nombre decimal _ 74 12. Expressió d’una fracció en forma decimal _ 76 13. Classificació dels nombres decimals _ 77 14. Problemes amb nombres decimals _ 78 5 Àlgebra 83 1. Expressions algebraiques _ 84 2. Monomis _ 85 3. Suma i resta de monomis _ 86 4. Equacions _ 87 5. Elements d’una equació _ 88 6. Equacions equivalents _ 89 7. Transposició de termes _ 90 8. Resolució d’equacions de primer grau _ 91 9. Resolució d'equacions amb parèntesis _92 10. Resolució d'equacions amb denominadors _93 11. Problemes amb equacions _ 94 6 Proporcionalitat i percentatges 99 1. Raó i proporció _ 100 2. Càlcul del terme desconegut en una proporció _ 101 3. Magnituds directament proporcionals _ 102 4. Problemes de proporcionalitat directa _ 104 5. Resolució de problemes amb una regla de tres simple directa _ 105 6. Repartiments directament proporcionals _ 106 7. Percentatges _ 107 8. Càlcul de percentatges _ 108 9. Problemes de percentatges _ 109 10. Augments i disminucions percentuals _ 110 11. Problemes de proporcionalitat i percentatges _ 111 Índex 2

SITUACIÓ D'APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES Què en faig, de les salsitxes que em sobren? _ 20 REPTE: Organitzar un sopar per a tota la família _ 21 La fórmula preferida del professor _ 22 Bàsquet! _ 42 REPTE: Aconseguir que un equip tingui l’MVP _ 43 El petit Príncep _ 44 Si ho arribo a saber, faig puré _ 60 REPTE: Elaborar una recepta de cuina _ 61 Les rates _ 62 Un segon dura sempre el mateix? _ 80 REPTE: Comparar resultats de competicions esportives _ 81 Castells de cartó _ 82 Tres peces al dia fan alegria! _ 96 REPTE: Determinar una fórmula per calcular preus _ 97 El matemàtic del rei _ 98 Cadascú mira el que vol _ 112 REPTE: Elaborar un estudi d’audiència _ 113 Amor s'escriu sense hac _ 114 3

UNITAT SABERS BÀSICS 7 Rectes i angles. Polígons 115 1. Rectes. Posicions relatives de dues rectes en el pla _ 116 2. Com es dibuixen rectes paral·leles i perpendiculars _ 117 3. Semirectes i segments _ 118 4. Mediatriu d’un segment _ 119 5. Angles _ 120 6. Bisectriu d’un angle _ 121 7. Posicions relatives dels angles _ 122 8. Angles formats per dues rectes paral·leles i una secant _ 123 9. Polígons _ 124 10. Classificació dels polígons _ 125 11. Suma dels angles d’un polígon _ 126 12. Problemes de rectes, angles i polígons _ 127 8 Triangles 131 1. Triangles _ 132 2. Criteris d’igualtat de triangles _ 133 3. Relacions entre els elements d’un triangle _ 134 4. Com es dibuixa un triangle si en sabem la longitud dels costats _ 135 5. Com es dibuixa un triangle coneguts un costat i els angles contigus _ 136 6. Com es dibuixa un triangle coneguts dos costats i l’angle que formen _ 137 7. Rectes notables d’un triangle _ 138 8. Punts notables d’un triangle _ 139 9. Teorema de Pitàgores _ 140 10. Càlcul del costat desconegut en un triangle rectangle _ 141 11. Resolució de problemes amb el teorema de Pitàgores _ 142 9 Quadrilàters i circumferència 147 1. Quadrilàters _ 148 2. Com es dibuixen paral·lelograms _ 149 3. Propietats dels paral·lelograms _ 150 4. Càlcul dels elements d’un paral·lelogram amb el teorema de Pitàgores _ 151 5. Polígons regulars _ 152 6. Càlcul de l’apotema d’un polígon regular _ 153 7. Circumferència _ 154 8. Com es dibuixa una circumferència que passa per tres punts _ 155 9. Posicions relatives d’un punt i una circumferència _ 156 10. Posicions relatives d’una recta i una circumferència _ 157 11. Posicions relatives de dues circumferències _ 158 12. Com es dibuixen polígons regulars _ 159 13. El cercle i les figures circulars _ 160 14. Problemes geomètrics _ 161 10 Perímetres i àrees 165 1. Perímetre d’un polígon _ 166 2. Longitud d’una circumferència _ 167 3. Àrea dels paral·lelograms _ 168 4. Càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram amb el teorema de Pitàgores _ 169 5. Àrea d’un triangle _ 170 6. Càlcul de l’àrea d’un triangle isòsceles o equilàter _ 171 7. Àrea d’un trapezi _ 172 8. Àrea d’un polígon regular _ 173 9. Àrea d’un cercle i d’un sector circular _ 174 10. Càlcul de l’àrea d’una figura plana _ 175 11. Problemes amb perímetres i àrees _ 176 11 Funcions 181 1. Coordenades cartesianes _ 182 2. Càlcul de les coordenades d’un punt _ 183 3. Signe de les coordenades d’un punt _ 184 4. Coordenades dels punts sobre els eixos _ 185 5. Concepte de funció _ 186 6. Expressió d’una funció mitjançant una taula _ 187 7. Expressió d’una funció mitjançant una equació _ 188 8. Com es determina si un punt pertany a una funció _ 189 9. Expressió d’una funció mitjançant una gràfica _ 190 10. Representació gràfica d'una funció _ 191 11. Interpretació de gràfiques _ 192 12. Representació gràfica d'un enunciat _ 193 13. Funcions de proporcionalitat directa _ 194 14. Representació de funcions de proporcionalitat directa _ 195 12 Estadística i probabilitat 199 1. Població i mostra _ 200 2. Variables estadístiques _ 201 3. Freqüències _ 202 4. Taules de freqüències _ 203 5. Diagrama de barres _ 204 6. Diagrama de sectors _ 206 7. Mesures estadístiques _ 208 8. Experiments aleatoris _ 209 9. Probabilitat _ 210 10. Regla de Laplace _ 211 11. Problemes d’estadística i probabilitat _ 212 Índex 4

SITUACIÓ D'APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES I jo què hi pinto, aquí? _ 128 REPTE: Crear una versió d’un quadre abstracte _ 129 La fórmula preferida del professor _ 130 El triangles del futbol _ 144 REPTE: Dissenyar una estratègia de joc _ 145 L’últim cató _ 146 Hi donem una altra volta _ 162 REPTE: Dissenyar una roda de fira _ 163 Mètode per escriure un conte tal com raja _ 164 La casa de les finestres blaves _ 178 REPTE: Elaborar un pressupost _ 179 Amor i pedagogia _ 180 Qui mou les cames mou el cor! _ 196 REPTE: Fer un estudi comparatiu entre diverses ofertes _ 197 El caçador _ 198 Mites sobre la loteria de Nadal _ 214 REPTE: Avaluar les possibilitats d’un esdeveniment _ 215 L’escarabat d’or _ 216 5

1 Divisibilitat Què en faig, de les salsitxes que em sobren? La majoria dels productes del supermercat s’ofereixen en presentacions diferents, des d’envasos petits fins a paquets d’estalvi, amb opcions adaptades a les necessitats de la clientela. Com es decideix el nombre d’unitats que conté cada paquet? Comprar envasos amb més quantitat de producte suposa sempre un estalvi? REPTE Organitzar un sopar per a tota la família CAL QUE… Coneguis la diferència entre una divisió exacta i una divisió entera. PERQUÈ… Ens servirà per identificar els múltiples i els divisors d’un nombre. Divisió exacta i divisió entera Si el residu d’una divisió és zero, la divisió és exacta. Si el residu no és zero, la divisió no és exacta, és entera. Divisió exacta Divisió entera 12 3 0 4 17 2 1 8 CAL QUE… Recordis la prova de la divisió. PERQUÈ… La utilitzarem per establir la relació de divisibilitat. Prova de la divisió Dividend divisor residu quocient 35 16 3 2 En qualsevol divisió es compleix que: Dividend = divisor × quocient + residu D = d × q + r 35 = 16 × 2 + 3 AVALUACIÓ INICIAL Divisió exacta i divisió entera 1 Calcula aquestes divisions i encercla les exactes. a) 146 : 5 b) 630 : 3 c) 120 : 2 Prova de la divisió 2 Calcula les divisions i fes-ne la prova. a) 128 : 2 b) 910 : 4 c) 720 : 5 ABANS DE COMENÇAR LA UNITAT SITUACIÓ D’APRENENTATGE 7

1 Expressa cada producte en forma de potència. a) 2 × 2 × 2 × 2 = b) 6 × 6 × 6 = c) 3 × 3 × 3 × 3 = d) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = e) 4 × 4 × 4 = f) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = g) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = h) 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 = i) 8 × 8 × 8 × 8 = 2 Calcula el valor de cada potència. a) 25 = b) 34 = c) 53 = d) 50 = e) 131 = f) 84 = g) 106 = h) 108 = i) 95 = 3 Escriu com es llegeix o s’escriu cada potència. a) 42 " b) 9 a la cinquena " c) 63 " d) 3 a la sisena " e) 114 " f) 12 al cub " g) 105 " h) 15 a la vuitena " i) 77 " j) 6 a la novena " Una potència és una manera abreujada d’escriure una multiplicació de factors iguals. a a a a a a a n n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = … vegades 14424443 a ® És la base, el factor que es repeteix. n ® És l’exponent, el nombre de vegades que es repeteix la base. Les potències amb exponent 2 es llegeixen «al quadrat». 3 × 3 = 32 ® Es llegeix «3 al quadrat». Les potències amb exponent 3 es llegeixen «al cub». 7 × 7 × 7 = 7 3 ® Es llegeix «7 al cub». Si l’exponent és més gran que 3, es llegeixen «a la quarta», «a la cinquena»… 54 ® 5 a la quarta 7 5 ® 7 a la cinquena 126 ® 12 a la sisena 410 ® 4 a la desena Una potència d’exponent 1 és igual a la base. ® a1 = a Una potència d’exponent 0 és igual a 1. ® a0 = 1 Potències de nombres naturals 1 F G 34 base exponent 8

Operacions amb potències 1 2 4 Calcula aquests productes i quocients i escriu-los en forma de potència. a) 32 × 33 = b) 43 × 45 = c) 79 : 72 = d) 98 : 96 = e) 102 × 106 = f) 119 × 112 = g) 5211 : 528 = h) 7511 : 757 = 5 Fes aquestes operacions i expressa el resultat com una sola potència. a) (24)2 = b) (33)4 = c) (52)5 = d) (2 × 7)5 × (2 × 7)4 = e) (9 : 3)6 × (9 : 3)2 = f) (16 : 2)8 : (16 : 2)5 = 6 Calcula el nombre que falta en cada cas. a) 22 × 2 = 25 b) 47 : 4 = 43 c) 9 : 96 = 98 d) (3 )4 = 316 e) 32 × 3 = 38 f) (56) = 518 7 Pensa i escriu dues respostes possibles en cada cas. a) Un producte de potències que doni com a resultat nou elevat a la vuitena. b) Una potència d’una potència que doni com a resultat set elevat a la desena. Per multiplicar dues o més potències de la mateixa base, deixem la mateixa base i sumem els exponents. am × an = am + n Per dividir dues potències de la mateixa base, deixem la mateixa base i restem els exponents. am : an = am - n Per elevar una potència a una altra potència, deixem la mateixa base i multipliquem els exponents. (am)n = am × n La potència d’una multiplicació és igual al producte de les potències dels seus factors. (a × b)n = an × bn La potència d’una divisió és igual al quocient de les potències del dividend i el divisor. (a : b)n = an : bn 63 × 62 = 63 + 2 = 65 85 : 83 = 85 - 3 = 82 (74)3 = 74 × 3 = 712 (3 × 5)4 = 34 × 54 (8 : 2)3 = 83 : 23 9

8 Calcula els deu primers múltiples de cada nombre. a) Múltiples de 4 " b) Múltiples de 5 " c) Múltiples de 8 " d) Múltiples de 10 " 9 Calcula i respon. a) És 34 múltiple de 2? Per què? b) És 75 múltiple de 4? Per què? 10 Observa els nombres, calcula i respon. a) Quins nombres són múltiples de 2 i de 3? b) Quins nombres són múltiples de 3 i de 5? c) Quins nombres són múltiples de 2, de 3 i de 5? 11 Escriu dos nombres que siguin múltiples de 2, 3, 5 i 7. 120 180 342 735 516 75 Un nombre b és múltiple d’un nombre a si la divisió de b entre a és exacta. 28 és múltiple de 4 perquè la divisió 28 : 4 és exacta. Els múltiples d’un nombre, els obtenim si multipliquem el nombre pels successius nombres naturals. Múltiples de 3 3 31 332 633 934 12 =→⋅= ⋅= ⋅= ⋅=  , , , … El conjunt dels múltiples d’un nombre és il·limitat. Múltiples d’un nombre 3 a " Representa el conjunt de tots els múltiples del nombre a. 3 " Tots els múltiples de 3. 12 " Tots els múltiples de 12. 10

Divisors d’un nombre 1 4 Un nombre a és divisor de b si la divisió de b entre a és exacta. 4 és divisor de 32 perquè la divisió 32 : 4 és exacta. Si a és divisor de b, aleshores b es múltiple de a, i viceversa. Si 4 és divisor de 32, aleshores 32 és múltiple de 4, i a la inversa, 4 és divisor de 32. Quan a és divisor de b també es diu que b és divisible per a. 32 és divisible per 4 perquè 4 és divisor de 32. 12 Calcula i respon. a) És 6 divisor de 1 200? Per què? b) És 8 divisor de 3 500? Per què? 13 Observa els nombres i respon. 80 ‌ 340 ‌ 525 ‌ 669 ‌ 834 ‌ 919 a) Quins d’aquests nombres són divisibles per 2? b) Quins dels nombres són divisibles per 3? I per 5? 14 Raona i escriu cert o fals. a) Qualsevol nombre és divisible per 1. b) Qualsevol nombre és divisor d’1. c) Qualsevol nombre és múltiple d’ell mateix. d) Qualsevol nombre parell és múltiple de 4. e) Qualsevol nombre és divisor dels seus múltiples. f) Qualsevol nombre és divisible per ell mateix. 11

15 Calcula tots els divisors de cada nombre. a) 10 b) 18 c) 20 d) 26 e) 33 f) 45 16 Calcula tots els divisors de cada nombre i respon. a) 100 b) 240 c) 345 Quins nombres són divisors dels tres nombres? Per calcular tots els divisors de 45: 1r Dividim el nombre entre els nombres naturals: 1, 2, 3… fins que el quocient sigui més petit que el divisor. 2n De cada divisió exacta n’obtenim dos divisors: el divisor i el quocient. Càlcul dels divisors d’un nombre 5 45 1 0 45 45 2 1 22 45 3 0 15 45 4 1 11 45 5 0 9 45 6 3 7 45 7 3 6 ¬ El quocient, 6, és més petit que el divisor, 7. 45 : 1 = 45 ® 1 i 45 són divisors de 45. 45 : 3 = 15 ® 3 i 15 són divisors de 45. 45 : 5 = 9 ® 5 i 9 són divisors de 45. La resta de les divisions no són exactes. Els divisors de 45, els escrivim Div (45) i són: Div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45} 12

Nombres primers i nombres compostos 1 6 Un nombre és primer si només té dos divisors: ell mateix i la unitat. 5 és un nombre primer perquè els seus divisors són 1 i 5. Un nombre és compost si té més de dos divisors. 8 és un nombre compost perquè els seus divisors són 1, 2, 4 i 8. El nombre 1 no és ni primer ni compost. 17 Esbrina si aquests nombres són primers o compostos. a) 40 b) 100 c) 51 d) 103 e) 79 f) 161 18 Calcula i escriu els nombres primers compresos entre 30 i 60. 19 Raona si les afirmacions següents són certes o falses. a) Un nombre primer no és divisible per cap nombre. b) Un nombre primer només té dos divisors. c) Existeixen dos nombres primers consecutius. 13

20 Observa els nombres i encercla. Després, respon. Els nombres divisibles per 2. Els nombres divisibles per 3. Els nombres divisibles per 5. Els nombres divisibles per 10. a) Quins nombres són divisibles per 2 i per 3? Per quin altre nombre són divisibles? b) Quins nombres són divisibles per 3 i per 5? Per quin altre nombre són divisibles? c) Qualsevol nombre divisible per 5 és també divisible per 10? Per què? d) Qualsevol nombre divisible per 10 és també divisible per 5? Per què? 21 En cada cas, pensa i escriu tres nombres. a) De tres xifres que siguin divisibles per 2 i per 3. b) De quatre xifres que siguin divisibles per 2, per 3, per 5 i per 10. 75 84 90 963 2 100 145 5 763 8 160 828 Els criteris de divisibilitat són regles que ens permeten saber, sense fer la divisió, si un nombre és divisible per un altre. Divisible per Criteri de divisibilitat 2 Si l’última xifra és 0 o parell. 3 Si la suma de les seves xifres és divisible per 3. 5 Si l’última xifra és 0 o 5. 10 Si l’última xifra és 0. Criteris de divisibilitat 7 14

Factorizar un nombre és descompondre’l en producte de factors primers. Per descompondre el nombre 630 com a producte de factors primers: 1r Dividim el nombre entre els nombres primers successius (2, 3, 5, 7, 11…) tantes vegades com puguem, fins que obtenim la unitat. La descomposició acaba quan arribem a un nombre primer. Si el dividim per ell mateix, obtenim la unitat. 2n Escrivim el nombre com a producte de tots els factors primers obtinguts, i si hi ha factors repetits, els expressem com una potència. 630 és divisible per 2. 630 : 2 = 315 630 = 2 × 315 315 no és divisible per 2. 315 és divisible per 3. 315 : 3 = 105 315 = 3 × 105 105 no és divisible per 2. 105 és divisible per 3. 105 : 3 = 35 105 = 3 × 35 35 no és divisible per 2 ni per 3. 35 és divisible per 5. 35 : 5 = 7 35 = 5 × 7 7 és un nombre primer. 7 : 7 = 1 7 = 7 × 1 Podem escriure questa descomposició d’una manera abreviada així: 630 2 630 : 2 ® 315 3 315 : 3 ® 105 3 105 : 3 ® 35 5 35 : 5 ® 7 7 7 : 7 ® 1 La factorització de 630 és: 630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2 × 32 × 5 × 7 Com que està repetit, l’expressem com a potència. Factorització d’un nombre 1 8 22 A quin nombre corresponen aquestes factoritzacions? a) 24 × 3 × 5 = b) 22 × 33 × 5 = c) 23 × 3 × 52 = 23 Factoritza els nombres següents. a) 12 = b) 18 = c) 28 = d) 80 = e) 86 = f) 99 = 24 Descompon aquests nombres en producte de factors primers. a) 270 = b) 400 = c) 678 = La factorització d’un nombre és única. 15

25 Calcula el m.c.d. de cada grup de nombres trobant-ne tots els divisors comuns i triant el més gran de tots. a) 18 i 72 = b) 24, 40 i 86 = 26 Calcula. Hi ha cap parell de nombres primers entre ells? a) m.c.d. (9, 12) = b) m.c.d. (17, 20) = c) m.c.d. (10, 19) = d) m.c.d. (12, 18) = e) m.c.d. (14, 25) = f) m.c.d. (32, 40) = El màxim comú divisor de dos o més nombres és el seu divisor comú més gran. El màxim comú divisor dels nombres a, b, c…, s’escriu així: m.c.d. (a, b, c…). Per calcular el màxim comú divisor de 24, 84 i 132: 1r Descomponem els nombres en producte de factors primers. 2n Triem els factors comuns, elevats a l’exponent més petit. 3r El producte d’aquests factors és el m.c.d. dels nombres. Màxim comú divisor 9 24 2 84 2 132 2 12 2 42 2 66 2 6 2 21 3 33 3 3 3 7 7 11 11 1 1 1 24 = 23 × 3 84 = 22 × 3 × 7 132 = 22 × 3 × 11 Els factors comuns són 2 i 3. Elevats a l’exponent més petit són 22 i 3. m.c.d. (24, 84, 132) = 22 × 3 = 12 Si m.c.d. (a i b) = 1, els nombres a i b són primers entre ells. 16

Mínim comú múltiple 1 10 27 Calcula el m.c.m. de cada grup de nombres i escriu-ne els múltiples comuns a) 12 i 15 b) 10, 16 i 20 28 Calcula. a) m.c.m. (6, 12) b) m.c.m. (15, 20) c) m.c.m. (8, 9) d) m.c.m. (4, 10) e) m.c.m. (6, 14) f) m.c.m. (12, 21) Què hi observes? El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el seu múltiple comú més petit. El mínim comú múltiple dels nombres a, b, c…, s’escriu així: m.c.m. (a, b, c…). Per calcular el mínim comú múltiple de 135, 315 i 175: 1r Descomponem els nombres en producte de factors primers. 2n Triem els factors comuns i no comuns, elevats a l’exponent més gran. 3r El producte d’aquests factors és el m.c.m. dels nombres. 135 3 315 3 175 5 45 3 105 3 35 5 15 3 35 5 7 7 5 5 7 7 1 1 1 135 = 33 × 5 315 = 32 × 5 × 7 175 = 52 × 7 Els factors comuns i no comuns són 3, 5 i 7. Elevats a l’exponent més gran són 33, 52 i 7. m.c.m. (135, 315, 175) = 33 × 52 × 7 = 4 725 17

29 En una gimcana hi havia 21 adults i 15 joves. Van fer grups iguals del nombre de persones més gran possible. Ningú es va quedar sense equip i no hi havia adults i joves barrejats. Quants equips van obtenir? 30 En un establiment s’han de repartir en lots iguals 30 vaixelles, 18 jocs de coberts i 54 jocs de taula. Es vol aconseguir el màxim nombre de lots. Quantes vaixelles, jocs de coberts i de taula hi ha d’haver en cada lot? Com es resolen problemes de m.c.d. En una joieria tenen 96 brillants de color vermell i 144 de verds. Amb aquests brillants volen fer collarets d’un sol color i amb el mateix nombre de pedres tots. Si els collarets han de tenir el major nombre de brillants possible i no n’ha de sobrar cap, quants brillants han de posar a cada collaret? 1r Decidim si es tracta d’un problema de màxim comú divisor. Ho és si: Cal buscar un divisor comú. Ha de ser el divisor comú més gran. 2n Descomponem els nombres en factors primers. 3r Calculem el màxim comú divisor dels nombres. 4t Interpretem el resultat. Perquè no sobri cap brillant, el nombre de brillants de cada collaret ha de ser un divisor de 96 i de 144. Com que cada collaret ha de tenir el major nombre possible de brillants, ha de ser el divisor comú més gran de 96 i 144. Es tracta d’un problema de màxim comú divisor. 96 2 144 2 48 2 72 2 24 2 36 2 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 96 = 25 × 3 144 = 24 × 32 Factors comuns ® 2 i 3 Elevats a l’exponent més petit ® 24 i 3 m.c.d. (96, 144) = 24 × 3 = 48 Cada collaret ha de tenir 48 brillants. Així: 96 : 48 = 2 ® Es poden fer 2 collarets amb brillants vermells. 144 : 48 = 3 ® Es poden fer 3 collarets amb brillants verds. En total, es poden fer 5 collarets de 48 brillants cada un. Problemes de m.c.d. i m.c.m. 11 Els problemes de m.c.d. consisteixen a dividir en grups diversos tipus d'elements sense que en sobri cap. 18

31 L’Albert i en Màrius han coincidit avui a la perruqueria. L’Albert s’hi talla els cabells cada 42 dies, i en Màrius, cada 56 dies. Si avui és 1 de març, quin dia tornaran a coincidir a la perruqueria? 32 A la fira hi ha tres atraccions que funcionen alhora. El viatge a la roda dura 10 minuts, els cotxes elèctrics duren 12 minuts i el tren de la bruixa, 18 minuts. Si han començat a funcionar totes tres juntes a les 17:45, a quina hora tornaran a començar a funcionar a la vegada? Com es resolen problemes de m.c.m. En una parada d’autobusos coincideixen dues línies diferents. Els autobusos d’una de les línies passen cada 30 minuts, i els de l’altra, cada 24 minuts. Si hi han coincidit a les 12:00 h, a quina hora hi tornaran a coincidir? 1r Decidim si es tracta d’un problema de mínim comú múltiple. Cal buscar un múltiple comú. Ha de ser el múltiple comú més petit. 2n Descomponem els nombres en factors primers. 3r Calculem el mínim comú múltiple dels nombres. 4t Interpretem el resultat. Perquè els autobusos hi coincideixin, l’hora ha de ser un múltiple de 30 i de 24. Com que volem saber quan hi tornaran a coincidir per primera vegada, ha de ser el múltiple comú més petit. Es tracta d’un problema de mínim comú múltiple. 30 2 24 2 15 3 12 2 5 5 6 2 1 3 3 1 30 = 2 × 3 × 5 24 = 23 × 3 Factors comuns i no comuns ® 2, 3 i 5 Elevats a l’exponent més gran ® 23, 3 i 5 m.c.m. (30, 24) = 23 × 3 × 5 = 120 Hi tornaran a coincidir, per primera vegada, d’aquí a 120 minuts, a les 14:00 h. 1 Els problemes de m.c.m. consisteixen a trobar el primer nombre que és múltiple de diversos nombres alhora. 19

Què en faig, de les salsitxes que em sobren? De vegades vaig amb la família a fer la compra. El que em crida més l’atenció és la manera com estan empaquetats els productes. Quan descarreguem la compra, em fixo en la quantitat d’unitats que té cada paquet i en com estan distribuïdes en files i columnes. Per què es deu fer així i no d’una altra manera? He llegit que es fa així per poder transportar-los millor. Els paquets es fan amb forma de rectangle gran perquè és la manera més còmoda d’agafar-los amb les mans i de moure’ls. Per això mateix, perquè els paquets tinguin forma rectangular, sempre tenen més columnes que files. Les llaunes de refresc Solen anar en paquets de 24 llaunes, distribuïdes en 4 files i 6 columnes. Els envasos de llet Normalment es venen en paquets de 6 brics o 6 ampolles ordenades en 2 files de 3 ampolles. Les ampolles d’aigua S’empaqueten en 3 files i 4 columnes. Que difícil és portar això! Els paquets poden ser diferents. De quantes maneres es poden empaquetar les 24 llaunes de refresc? Quantes files i columnes tindria cada paquet? I si s’han d’empaquetar 25 llaunes? Quina forma tindria el paquet? Seria més senzill de transportar? Els 6 brics de llet, de quantes maneres diferents els podries empaquetar? I si volguessis empaquetar 9 brics? Se t’acut alguna manera diferent d’empaquetar les 12 ampolles d’aigua? Per què creus que no se solen fer paquets de 80 ampolles? SITUACIÓ D’APRENENTATGE 20

Si alguna vegada has preparat un entrepà de salsitxa de Frankfurt a casa, t’hauràs adonat que habitualment una bossa de panets no conté les mateixes unitats que les bosses de salsitxes envasades. Passa el mateix amb les hamburgueses, ja que el nombre d’hamburgueses que solen tenir els paquets no acostuma a ser el mateix que el de panets. Ves al teu supermercat habitual i anota les possibilitats que ofereixen els paquets d’aquests quatre productes i el preu que tenen. Paquet de salsitxes unitats Preu €. Paquet de panets d’entrepà de salsitxa de Frankfurt: unitats Preu €. Paquet d’hamburgueses: unitats Preu €. Paquet de panets d’hamburgueses: unitats Preu €. Calcula, per a un sopar amb la teva família, el nombre d’entrepans de salsitxa de Frankfurt i d’hamburgueses que necessites i quants paquets de cada producte hauries de comprar. Us sobraria alguna cosa? Nombre de persones de la teva família: Nombre de bosses de salsitxes que necessites comprar: Nombre de bosses de panets que necessites comprar: Preu total €. Nombre de bosses d’hamburgueses que necessites comprar: Nombre de bosses de panets que necessites comprar: Preu total €. Producte final Redacta un informe per explicar el procés que has seguit per calcular-ho i quina és l’opció més econòmica. Organitzar un sopar per a tota la família 1 REPTE 21

AUTOAVALUACIÓ Divisibilitat 1. Indica quins d’aquests nombres són múltiples de 8 i divisibles entre 12: 288 364 576 248 2. Tria el conjunt dels divisors de 75. 1,3 i 5 2 i 9 2 i 3 3 i 7 Nombres primers i compostos 3. Digues quin d’aquests nombres és primer. 133 153 179 184 Descomposició en factors 4. Quina és la factorització en primers de 240? 22 · 34 4 · 34 22 · 9² 2 · 3³ · 6 Màxim comú divisor i mínim comú múltiple 5. Indica de quins nombres és màxim comú divisor 15. 45 24 12 6 6. Quin és el mínim comú múltiple de 28, 48 i 60? 2³ · 3 ·7 · 11 2² · 7 · 11 2 · 3 ·7 · 11 1 La fórmula preferida del professor Yoko Ogawa –A veure, doncs; i no és hora de rentar plats. 220 i 284, no et diu res? El professor va estirar del meu davantal i va fer que segués a la taula del menjador, va treure un llapis del 4B, ja molt curt, de la butxaca interior de l’americana, i el va fer servir per escriure aquells dos nombres al dors d’un fullet publicitari. 220 284 […] –Saps què és un divisor? –Crec que sí. Em sembla que ho vaig estudiar, ja fa temps... –El 220 pot dividir-se per 1. I també per 220. No queda residu. Per tant, l’1 i el 220 són divisors de 220. Un nombre natural té, sempre, l’1 i ell mateix com a divisors. Ara bé, per quin altre nombre pot dividir-se? –Per 2, per exemple, o per 10... –Exactament. Veus com ho entens? Ara escriurem els divisors dels nombres naturals 220 i 284, excepte ells mateixos. A veure: Divisors de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110 Divisors de 284: 1, 2, 4, 71 i 142 […] –Ara fes la suma de tots. A poc a poc, tenim temps. […] –Ja ho tinc: Divisors de 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Divisors de 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = = 220 –Correcte. Mira quina meravellosa successió de nombres. La suma dels divisors del 220 és igual a 284. I la dels divisors de 284, igual a 220. Són nombres amics. Són una combinació molt infreqüent, saps? […] Aquests dos nombres estan units per la gràcia d’un vincle diví. No et sembla bonic? Que la data del teu aniversari i el nombre gravat al meu rellotge de polsera estiguin units per un llaç tan meravellós! 1 Escriu tots els divisors de 24 i de 36. Són nombres amics? 2 Busca dos nombres diferents que tinguin, almenys, els divisors següents: 1, 3, 5 i 11. LITERATURA I MATEMÀTIQUES 22

RkJQdWJsaXNoZXIy