2 APRÈN I PRACTICA Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO
Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO 2 APRÈN I PRACTICA
Índex Unitat SABERS BÀSICS 1 Nombres enters 7 1. R epresentació de nombres enters a la recta numèrica _ 8 2. Operacions de suma i resta amb parèntesis _ 9 3. O peracions combinades amb nombres enters _ 10 4. Múltiples i divisors d’un nombre enter _ 11 5. Divisors d’un nombre enter _ 12 6. Criteris de divisibilitat _ 13 7. Factorització d’un nombre enter _ 14 8. C àlcul del m. c. d. i el m. c. m. de diversos nombres enters _ 15 9. Problemes amb nombres enters _ 16 2 Fraccions i decimals 21 1. Fraccions equivalents _ 22 2. R educció de fraccions a comú denominador _ 23 3. Fracció irreductible d’una fracció _ 24 4. Comparació de fraccions _ 25 5. Suma i resta de fraccions _ 26 6. Multiplicació i divisió de fraccions _ 27 7. Operacions amb fraccions negatives _ 28 8. Operacions combinades amb fraccions _ 29 9. Aproximació i estimació de nombres decimals _ 30 10. Expressió decimal d’una fracció _ 31 11. Operacions amb nombres decimals _ 32 12. Divisió de nombres decimals _ 33 13. Problemes amb fraccions i nombres decimals _ 34 3 Potències i arrel quadrada 39 1. Potència d’un nombre enter _ 40 2. Notació científica _41 3. Potència d’una fracció _ 42 4. Operacions amb potències _ 43 5. Arrel quadrada d’un nombre _ 46 6. Aproximació decimal d’una arrel quadrada _ 47 7. Arrel quadrada d’una fracció _ 48 8. O peracions combinades amb potències i arrels _ 49 9. Problemes amb potències i arrels _ 50 4 Expressions algebraiques 55 1. Llenguatge algebraic _ 56 2. Valor numèric d’una expressió algebraica _ 57 3. Operacions amb monomis _ 58 4. Operacions combinades amb monomis _ 60 5. Polinomis. Operacions amb polinomis _ 61 6. Factor comú en un polinomi _ 63 7. Quadrat d’un binomi _ 64 8. Expressió d’un polinomi com a quadrat d’un binomi _ 65 9. Suma per diferència de dos monomis _ 66 10. Expressió d’un polinomi com una suma per una diferència _ 67 11. Problemes amb expressions algebraiques _ 68 5 Equacions de primer i segon grau 73 1. E lements d’una equació _ 74 2. Transposició de termes en una equació _ 75 3. Resolució d’equacions de primer grau _ 76 4. R esolució d’equacions de primer grau amb parèntesis _ 77 5. R esolució d’equacions de primer grau amb denominadors _ 78 6. Equacions de segon grau _ 79 7. Equacions de segon grau incompletes _ 80 8. Resolució d’equacions de segon grau _ 81 9. Problemes amb equacions _ 83 6 Sistemes d’equacions 89 1. Equacions lineals _ 90 2. C àlcul de les solucions d’una equació lineal amb dues incògnites _ 91 3. Sistemes d’equacions lineals _ 92 4. R esolució d’un sistema pel mètode de substitució _ 94 5. R esolució d’un sistema pel mètode d’igualació _ 96 6. Resolució d’un sistema pel mètode de reducció _ 98 7. Resolució d’un sistema d’equacions lineals _ 100 8. R esolució d’un sistema amb parèntesis i denominadors _ 102 9. Problemes amb sistemes d’equacions _ 103 2
SITUACIÓ D’APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES Et gelaràs! _ 18 REPTE: Utilitzar correctament el frigorífic _ 19 El comptable hindú _ 20 El secret de la família _ 36 REPTE: Comparar un pastís casolà i un d’industrial _ 37 Perfum de gel _ 28 Em falten dades _ 52 REPTE: Calcular el temps de descàrrega _ 53 Arrels quadrades _ 54 Qüestió d’imatge _ 70 REPTE: Fer un curt _ 71 Vegeu: amor _ 72 La paràbola del llançador _ 86 REPTE: Fer un estudi del llançament _ 87 Alferes provisionals _ 88 El cotxe fantàstic _ 106 REPTE: Escollir un model de cotxe _ 107 L’anell de Rocamadour _ 108 3
Unitat SABERS BÀSICS 7 Proporcionalitat numèrica 109 1. M agnituds directament proporcionals. Regla de tres directa _ 110 2. M agnituds inversament proporcionals. Regla de tres inversa _ 112 3. R educció a la unitat _ 114 4. Repartiments proporcionals _ 116 5. R esolució de problemes amb una regla de tres composta _ 119 6. Percentatges _ 120 7. Resolució de problemes amb percentatges _ 121 8. Augments i disminucions percentuals _ 122 9. Resolució de problemes amb percentatges encadenats _ 123 10. Problemes de proporcionalitat i percentatges _ 124 8 Proporcionalitat geomètrica 129 1. Segments proporcionals _ 130 2. Teorema de Tales _ 131 3. D ivisió de segments en parts iguals o proporcionals _132 4. R epresentació de fraccions a la recta numèrica _ 133 5. Criteris de semblança de triangles _ 134 6. Resolució de problemes amb semblança de triangles _ 135 7. Polígons semblants _ 136 8. Càlcul de perímetres i àrees de polígons semblants _ 137 9. Escales _ 138 10. Distàncies en un mapa _ 139 11. Problemes de proporcionalitat geomètrica _ 140 9 Figures planes. Àrees 145 1. Teorema de Pitàgores. Aplicacions _ 146 2. Càlcul d’elements d’un polígon _ 148 3. Àrees de figures planes _ 150 4. R esolució de problemes d’àrees de figures poligonals _ 153 5. Angles en els polígons _ 155 6. Longitud de la circumferència _ 156 7. Àrea del cercle i les figures circulars _ 157 8. Àrea de figures compostes _ 158 9. Angles en la circumferència _ 159 10. Problemes de figures planes i d’àrees de figures planes _ 160 10 Cossos geomètrics. Àrees i volums 165 1. Poliedres. Fórmula d’Euler _ 166 2. Prismes i piràmides. Àrees _ 167 3. Cossos de revolució. Àrees _ 168 4. Volum, capacitat i massa _ 169 5. Volum d’un ortoedre _ 170 6. Volum de prismes i cilindres _ 171 7. Volum de piràmides i cons _ 172 8. Volum de l’esfera _ 173 9. Volum de figures esfèriques _ 174 10. Volum d’un cos geomètric _ 175 11. Problemes d’àrees i volums de cossos geomètrics _ 176 11 Funcions 181 1. C oncepte de funció _ 182 2. Expressió d’una funció _ 183 3. R epresentació d’una funció a partir d’una taula de valors _ 185 4. R epresentació d’una funció a partir de la seva equació _ 186 5. Estudi d’una funció _ 187 6. Estudi i interpretació d’una funció _ 189 7. Funcions de proporcionalitat directa _ 190 8. Funcions lineals _ 191 9. Representació de funcions lineals _ 192 10. Problemes amb funcions _ 194 12 Estadística i probabilitat 199 1. Variables estadístiques _ 200 2. Freqüències. Taules de freqüències _ 201 3. E laboració de taules de freqüències _ 202 4. Gràfics estadístics _ 203 5. Interpretació de gràfics estadístics _ 205 6. Mesures estadístiques _ 206 7. Càlcul i interpretació de mesures estadístiques _ 207 8. Espai mostral d’un experiment aleatori _ 209 9. Probabilitat. Regla de Laplace _ 210 10. Càlcul de probabilitats amb la regla de Laplace _ 211 11. Problemes d’estadística i probabilitat _ 212 Índex 4
SITUACIÓ D’APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES Càrrega i descàrrega _ 126 REPTE: Allargar la vida d’una bateria _ 127 L’avi de cent anys que es va escapar per la finestra _ 128 Naturalesa i diversió _ 142 REPTE: Planificar una ruta de senderisme _ 143 Hipàtia _144 Més enllà de les estrelles _ 162 REPTE: Fer un pòdcast _ 163 Els pilars de la Terra _164 Una història de la llet _ 178 REPTE: Dissenyar un envàs _ 179 Les cendres d’Àngela _ 180 Cada gota compta _ 196 REPTE: Redactar un informe sobre el consum d’aigua _ 197 La Ciutat Rosa i Vermella _ 198 Privacitat, seguretat, tranquil·litat _ 214 REPTE: Codificar missatges amb una clau pròpia _ 215 El curiós incident del gos a mitjanit _ 216 5
1 Nombres enters Et gelaràs! És important conservar adequadament els aliments perquè estiguin en bon estat en el moment de consumir-los. A quina temperatura cal conservar cada tipus d’aliment? En quin lloc del frigorífic s’ha de desar cada aliment? Per què? AVALUACIÓ INICIAL Jerarquia de les operacions 1 Quin és el resultat de l’operació 7 + 6 × 5 : 3 - 3 + 8 : 2 18 17 15 20 Càlcul del m. c. d. 2 Quin és el màxim comú divisor de 9, 12, 42? 1 3 9 252 CAL QUE… Coneguis la jerarquia de les operacions. PERQUÈ… Hauràs d’aplicar-la a les operacions combinades amb nombres enters. En primer lloc, es resolen les multiplicacions i les divisions, d’esquerra a dreta. Després, les sumes i les restes en el mateix ordre. CAL QUE… Sàpigues calcular el m. c. m. i el m. c. d. de nombres naturals. PERQUÈ… Et serviran per resoldre problemes amb nombres enters. El mínim comú múltiple de dos nombres naturals és el més petit dels seus múltiples comuns. Es calcula multiplicant els factors primers comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. m. c. m. (18, 24) = m. c. m. (2 × 32, 23 × 3) = 23 × 32 = 72 El màxim comú divisor de dos nombres naturals és el més gran dels seus divisors comuns. Es calcula multiplicant els factors primers comuns elevats a l’exponent més petit. m. c. d. (18, 24) = m. c. d. (2 × 32, 23 × 3) = 2 × 3 = 6 14 - 8 × 3 : 4 - 1 + 18 : 3 + 5 = = 14 - 24 : 4 - 1 + 6 + 5 = = 14 - 6 - 1 + 6 + 5 = = 8 - 1 + 6 + 5 = 7 + 6 + 5 = = 13 + 5 = 18 F F F ABANS DE COMENÇAR LA UNITAT SITUACIÓ D’APRENENTATGE REPTE Utilitzar correctament el frigorífic 7
1 Indica el nombre enter que correspon a cada punt marcat a la recta numèrica. 2 Troba els nombres enters que estan situats a una distància igual o més petita de 4 unitats del nombre -2 i representa’ls en una recta numèrica. 3 Si tracem una circumferència amb centre a 0 i radi 5 unitats que talli la recta numèrica, quins nombres enters hi ha dins? 4 Representa a la recta numèrica. a) L’oposat de 4. b) Els nombres amb valor absolut 6. c) El valor absolut de -5. d) El nombre oposat del valor absolut de -1. 5 Representa els nombres -3, -5, 0, 2, -2, -1, 7 en una recta numèrica i ordena’ls de més gran a més petit, utilitzant el signe corresponent. Els nombres enters es representen ordenats a la recta numèrica. El zero, 0, divideix la recta en dues parts iguals. Els nombres enters positius se situen a la dreta del zero: +1, +2, +3, … Els nombres enters negatius se situen a l’esquerra del zero: -1, -2, -3, … Nombres enters negatius Nombres enters positius 0 - … 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 … F G Un nombre enter és més gran que un altre quan està situat més a la dreta que aquest a la recta numèrica. El valor absolut d’un nombre enter a és el nombre que resulta de prescindir del seu signe. S’escriu |a|. L’oposat d’un nombre enter és un altre nombre enter amb el mateix valor absolut, però de signe contrari. L’oposat de a s’escriu Op (a). Representació de nombres enters a la recta numèrica 1 0 8
Operacions de suma i resta amb parèntesis 1 2 6 Calcula aquestes operacions. a) (3 - 4) - (5 - 7) b) (6 + 1) + (7 - 9) c) -2 + (2 - 1 - 3) + 3 d) -4 - (-2 - 5 + 2 - 1) + 5 e) 7 - (3 - 6) + (1 - 3 - 2) - 2 - 1 f) 3 + (2 + 4 - 6 - 2) - 9 g) (-4 + 6) - (6 - 4) h) (-3 - 7) - (8 + 2) i) -1 - (-2 - 3 - 1) + (3 - 4) j) -2 - (-3 - 4 + 5) - (2 - 7) k) -5 + (-2 + 7) - (-3 + 2 - 4 + 6) + 7 l) 5 + (7 - 4) - (3 - 2) Calcula el resultat d’aquesta operació: -5 - (-3 + 2) + (4 - 6) 1r Eliminem els parèntesis. Si el parèntesi té un signe - al davant, els signes dels nombres de dins canvien. Si té un signe + al davant, els nombres mantenen el signe. 2n Calculem el resultat en forma abreviada com ja sabem. Per sumar i restar nombres enters sense parèntesis, es resolen les operacions en l’ordre en què apareixen. -5 -(-3 + 2) + (4 + 6) = = -5 + 3 - 2 + 4 - 6 Suma de positius: 3 + 4 = 7 Suma de negatius: 5 + 2 + 6 = 13 Resta: 7 - 13 = -6 -5 -(-3 + 2) + (4 - 6) = -6 F F F F Signe + Signe - -5 + 3 - 2 + 4 - 6 = = -2 - 2 + 4 - 6 = = -4 + 4 - 6 = -6 = -2 = -4 = 0 9
7 Calcula aquestes operacions. a) (+27) : (-3) : (-3) × (-5) b) (–10) × [-2 - 5 × (-3)] c) (-20) : (-4) + 6 : (-2) d) 3 + 4 × (-4) - (-6) + 3 × 7 - (-3) e) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) f) -2 × (-6) - 5 × (-3) g) [(-9) : 3] × [(-10) : (-5)] h) 3 × [(-3) - (-3) × 3] + (-3) : (-3) i) [(-25) : (-5) + 8] × (-2) - [7 : (-1) +12 - (-2)] j) 25 : [2 + (-7)] - 12 × [(-3) - 2 × (-4) + (-6)] Operacions combinades amb nombres enters 3 Calcula el resultat d’aquesta operació: (+12) : (-6) - [(-4) : (+2)] : (-2) + (-3) · (-2) - (-6 - 1) 1r Efectuem les operacions que hi ha entre parèntesis i claudàtors. 2n Calculem les multiplicacions i divisions en l’ordre en què apareixen. 3r Calculem les sumes i restes en l’ordre en què apareixen. Recorda que quan es resolen les operacions que hi ha entre parèntesis, el resultat queda entre parèntesis. 2 - (-6 - 1) = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9 (+12) : (-6) - [(-4) : (+2)] : (-2) + (-3) × (-2) - (-6 - 1) = = (+12) : (-6) - (-2) : (-2) + (-3) × (-2) - (-7) = = -2 - 1 + 6 - (-7) = = -3 + 6 + 7 = = 3 + 7 = = 10 F F F F F F F F F 10
Múltiples i divisors d’un nombre enter 1 4 8 Calcula els cinc primers múltiples de cada nombre. a) 3 b) 5 c) 19 9 Completa. a) = {3, 6, , 12, ...} b) Div ( ) = { , 7} c) Div ( ) = {1, 2, 4, 8} 10 Raona si aquestes afirmacions són certes. a) 5 és divisor de 35. b) 33 és divisible per 3. c) 8 és múltiple de 24. d) 56 és múltiple de 7. 11 Completa amb múltiple o divisor. a) 7 és de 49. b) 33 és de 132. c) 543 és de 3. d) 1 és de 51. Si la divisió a : b és exacta, es compleix que: a és múltiple de b. G F b és divisor de a. a és divisible per b. El conjunt de tots els múltiples d’un nombre s’obté multiplicant-lo pels successius nombres enters positius. Es representa per a. Un nombre té infinits múltiples. a = {a × 1, a × 2, a × 3, …} Calcula els cinc primers múltiples de 9. Múltiples de 9 ® 9 = {9 × 1, 9 × 2, 9 × 3, 9 × 4, 9 × 5, …} = {9, 18, 27, 36, 45...} El conjunt de tots els divisors d’un nombre s’obté efectuant les successives divisions entre els nombres positius menors que aquest nombre i seleccionant els que donen una divisió exacta. Es representa per Div (a). G F G F 8 és divisor de 12? I de 16? 8 no és divisor de 12 perquè la divisió 12 : 8 no és exacta. 8 sí que és divisor de 16 perquè 16 : 8 = 2 11
Troba tots els divisors de 48. 1r Dividim el nombre entre els nombres naturals (1, 2, 3…) fins a arribar a una divisió en la qual el quocient sigui més petit que el divisor. 2n De cada divisió exacta, obtenim dos divisors d’aquest nombre: el divisor i el quocient. 48 : 1 = 48 ® 1 i 48 són divisors de 48. 48 : 2 = 24 ® 2 i 24 són divisors de 48. 48 : 3 = 16 ® 3 i 16 són divisors de 48. 48 : 4 = 12 ® 4 i 12 són divisors de 48. 48 : 6 = 8 ® 6 i 8 són divisors de 48. La resta de divisions no són exactes. Els divisors de 48 són: Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 48 1 0 48 48 2 0 24 48 3 0 16 48 4 0 12 48 5 3 9 48 5 0 8 48 7 6 6 Deixem de dividir: el quocient és més petit que el divisor, 6 < 7. Divisors d’un nombre enter 5 12 Calcula tots els divisors d’aquests nombres i esbrina quins són primers. a) 16 b) 70 c) 45 d) 324 e) 88 f) 59 g) 90 h) 57 i) 455 j) 268 k) 53 l) 212 m) 105 n) 486 o) 284 p) 131 q) 270 r) 660 Un nombre és primer si és positiu i els seus únics divisors són ell mateix i la unitat. En cas contrari, és compost. Si ordenes els divisors d’un nombre i multipliques els que hi ha als seus extrems, obtens aquest nombre. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 48 48 48 48 48 12
Criteris de divisibilitat 1 6 13 Comprova si aquests nombres són divisibles per 2, 3, 5, 9, 10 o 11. a) 72 b) 147 c) 282 d) 331 e) 370 f) 267 14 Completa aquesta taula. Divisible per 2 Divisible per 3 Divisible per 5 Divisible per 10 300 1 025 9 312 5 262 15 Aplica els criteris de divisibilitat i escriu tres nombres en cada cas. a) Que siguin divisibles per 3. b) Que siguin divisibles per 11. c) Que siguin divisibles per 5 i 11. d) Que siguin divisibles per 2, 3 i 5. Els criteris de divisibilitat són regles que ens permeten esbrinar, sense dividir, si un nombre és divisible per un altre. Els criteris més útils són els associats als nombres primers: Divisible per Criteri de divisibilitat 2 Si l’última xifra és 0 o parell. 3 Si la suma de les seves xifres és divisible per 3. 5 Si l’última xifra és 0 o 5. 9 Si la suma de les seves xifres és divisible per 9. 10 Si l’última xifra és 0. 11 Si la diferència entre la suma de les xifres de lloc parell i la suma de les xifres de lloc senar és 0 o divisible per 11. 13
16 Troba la descomposició factorial d’aquests nombres. a) 83 b) 225 c) 48 d) 300 e) 43 f) 735 g) 60 h) 1300 17 Determina si els nombres següents estan ben factoritzats. En cas que no sigui així escriu la factorització correcta. a) 140 = 4 × 5 × 7 b) 300 =3 × 102 c) 72 = 23 × 7 d) 230 = 2 × 5 × 23 e) 144 = 24 × 32 f) 1089 = 32 × 112 Factorització d’un nombre enter 7 Descompon el nombre 702 com a producte de factors primers. 1r Dividim el nombre entre els successius nombres primers (2, 3, 5, 7, 11, 13…) tantes vegades com es pugui fins a obtenir la unitat. 2n Escrivim el nombre com a producte dels factors primers i, si n’hi ha de repetits, els expressem com a potències. 702 és divisible per 2. 700 : 2 = 351 702 = 2 × 351 351 no és divisible per 2. 351 és divisible per 3. 351 : 3 = 117 351 = 3 × 117 117 és divisible per 3. 117 : 3 = 39 117 = 3 × 39 39 és divisible per 3. 39 : 3 = 13 39 = 3 × 13 13 és un nombre primer. 13 : 13 = 1 13 = 13 × 1 Aquesta descomposició es pot escriure de forma abreviada d’aquesta manera: 702 2 702 : 2 ® 351 3 351 : 3 ® 117 3 117 : 3 ® 39 3 39 : 3 ® 13 13 13 : 13 ® 1 La factorització de 702 és: 702 = 2 × 3 × 3 × 3 × 13 = 2 × 33 × 13 FACTORS PRIMERS La factorització acaba quan s’arriba a un nombre primer. Quan es divideix aquest nombre per ell mateix, s’obté la unitat. 14
Càlcul del m. c. d. i el m. c. m. de diversos nombres enters 1 8 18 Esbrina quins parells de nombres són primers entre ells. a) 32 i 125 b) 81 i 87 c) 51 i 261 d) 27 i 108 19 Troba el m.c.d. i el m.c.m. dels nombres següents. a) 12 i 54 b) 42, 77 i 91 30 i 80 d) 18, 90 i 360 e) 63 i 105 f) 50, 60 i 75 g) 34 i 102 h) 49, 91 i 108 Per calcular el m.c.d. de diversos nombres, es descomponen en factors primers i es multipliquen els factors primers comuns elevats al més petit dels seus exponents. Per calcular el m.c.m. de diversos nombres, es descomponen en factors primers i es multipliquen els factors primers comuns i no comuns elevats al més gran dels seus exponents. Calcula el m.c.d. i el m.c.m. de 12, 16 i 20. 12 = 22 × 3 16 = 24 20 = 22 × 5 m. c. d. (12, 16, 20) = 22 = 4 m. c. m. (12, 16, 20) = 24 × 3 × 5 = 240 Quan el m.c.d. (a, b) = 1, els nombres a i b no tenen divisors comuns (excepte l’1). Diem que són primers entre ells. 15
20 La temperatura mínima de dissabte en un refugi de muntanya va ser d’11 °C sota zero. Al migdia el termòmetre va marcar el màxim amb ‒3 °C. Es van superar els 0 °C en algun moment? Quina temperatura va haver-hi la resta del dia? 21 Una ONG vol allotjar 315 persones sense sostre a diversos hotels i col·locar el mateix nombre de persones a cada hotel d’acollida. De quantes maneres possibles les poden distribuir? Quants hotels es necessiten en cada cas? 22 Un restaurant disposa de 250 plats a la vaixella. En Pau vol col·locar-los en prestatges, amb un mínim de 15 plats a cada prestatge. De quantes maneres diferents pot col·locar-los tots, si posa a cada prestatge el mateix nombre de plats? Quin és el nombre màxim de prestatges que es poden ocupar? 23 A una granja escola van 48 persones i fan les tasques en grups com mínim de 2 persones i com a màxim de 5. El monitor vol que els grups tinguin el mateix nombre de persones. Quin és el nombre més petit de grups que es poden formar? I el més gran? Problemes amb nombres enters 9 16
24 Un taller d’artesania fa braçalets amb grans del mateix color, disposen de 80 grans de vidre de color blau i 60 de color turquesa. Si tots els braçalets tenen el mateix nombre de grans i els fan servir tots, quants braçalets poden fer? Quants grans té cada braçalet? 25 En Víctor viatja cada 15 dies a Viena, la Camil·la cada 21 dies i l’Alexandra cada 24. Si han anat avui a l’aeroport, quantes vegades coincidiran en els pròxims sis mesos? 26 Volem posar rajoles quadrades al terra d’una habitació rectangular de 600 cm de llarg per 275 cm d’ample, i, amb aquesta finalitat, comprem les rajoles més grans i no en volem tallar cap. Quina mida de rajola hem de comprar? 27 A la fruiteria tenen caixes de dues mides, les grans fan 50 cm d’alt i les petites fan 30 cm d’alt. L’Elba apila les caixes buides una al damunt de l’altra en dues columnes, una per a les caixes grans i l’altra per a les petites. En un moment donat observa que l’alçària de les dues columnes coincideix, quantes caixes de cada classe ha apilat com a mínim? Com es resolen problemes de m.c.m. i m.c.d. a) La Laura té tres cintes de 9, 10 i 12 m, respectivament, que vol tallar en trossos iguals. Quina longitud tindran els trossos més llargs que poden fer? b) La Clàudia pot col·locar els llibres d’una prestatgeria en piles de 4, 6 o 8 llibres sense que li’n sobri cap. Quants llibres té com a mínim la Clàudia? 1r Analitzem cada problema i decidim si s’ha de trobar el màxim comú divisor o el mínim comú múltiple. 2n Descomponem els nombres en factors primers. 3r Calculem el m. c. d. o el m. c. m. segons que correspongui. 4t Interpretem el resultat. a) La longitud de cada tros ha de ser divisor de les longituds de les tres cintes i, a més, el màxim possible ® Problema de m. c. d. b) El nombre de llibres ha de ser múltiple de 4, 6 i 8 i, a més, ha de ser el mínim múltiple. ® Problema de m. c. m. 9 3 10 2 12 2 4 2 6 2 8 2 3 3 5 5 6 2 2 2 3 3 4 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 9 = 32 10 = 2 × 5 12 = 23 × 3 4 = 22 6 = 2 × 3 8 = 23 a) m. c. d. (9, 10, 12) = 1 b) m. c. m. (4, 6, 8) = 23 · 3 = 24 a) El tros més llarg fa 1 m. b) Té com a mínim 24 llibres. 1 Si dos nombres no tenen divisors, el seu m.c.d. és 1. a) b) 17
Et gelaràs! L’aparició del refrigerador marca un abans i un després en la conservació i el transport dels productes sensibles a la calor, no només dels aliments, sinó també dels medicaments, les vacunes, etc. Un dels electrodomèstics més utilitzats a qualsevol casa és la nevera, que ens ajuda a conservar els aliments en condicions òptimes de consum durant cert temps. Generalment, les neveres tenen dues zones diferenciades: frigorífic i congelador. Frigorífic Per conservar aliments frescos durant uns dies. Temperatura de funcionament entre 2 ºC i 8 ºC. Regulació de la temperatura de manera manual amb polsador. Congelador Per conservar aliments durant mesos (es recomana no superar 3 mesos d’emmagatzematge). Temperatura de funcionament entre -14 °C i -24 °C. Regulació de la temperatura manual amb polsador o automàtica amb mode de funcionament. Triga 45 minuts a baixar un grau la temperatura. Posada en marxa Quan s’engega el frigorífic, la nevera està a 5 °C i el congelador a ‒19 °C. Es recomana que la primera vegada que es posa en marxa, la nevera es mantingui a 4 °C i el congelador a ‒24 °C. Les neveres tenen un polsador que quan es prem fa que la temperatura seleccionada sigui un grau menys. Quan aquesta temperatura arriba al mínim, salta a la temperatura màxima. -14 °C ‒ -15 °C ‒ … -24 °C ‒ -23 °C 8 °C ‒ 7 °C ‒ 6 °C ‒ 5 °C 2 °C ‒ 3 °C ‒ 4 °C Quantes vegades he de prémer cada polsador per seleccionar la temperatura recomanada? Quina és la diferència de temperatura recomanada entre el frigorífic i el congelador? SITUACIÓ D’APRENENTATGE 18
Utilitzar correctament el frigorífic 1 REPTE No refrigerar Busca informació sobre les recomanacions de l’Agència Espanyola de Seguretat Alimentària i Nutrició (AESAN) per a la conservació d’aliments. Investiga quins aliments no s’han de congelar i quins no s’han d’emmagatzemar al frigorífic. Anota entre quins valors ha d’estar la temperatura de les diferents zones del teu frigorífic i regula-la si és necessari. Producte final Dibuixa a la foto cada tipus d’aliment al lloc on s’ha de col·locar i la temperatura adequada per conservar-lo. Comprova el teu frigorífic i escriu una llista dels aliments que estan mal col·locats i una altra dels que estan on toca. Parla amb els membres de la teva família perquè totes i tots feu un ús més eficient del frigorífic. No congelar Temperatura de la nevera Mínima: °C Màxima: °C. Temperatura del congelador Mínima: °C Màxima: °C. 19
AUTOAVALUACIÓ Representació de nombres enters. Operacions 1. Indica els nombres representats. B A 0 A = -2, B = 2 A = -2, B = 3 A = -3, B = 2 A = 3, B = 2 Operacions combinades amb nombres enters 2. Resol -3 · (-5) + 3 - (-6) : 3. 8 16 20 -10 Múltiples i divisors 3. Quin és el conjunt dels divisors de 52? {2, 4, 13, 26} {1, 2, 4, 13, 26, 52} {2, 4, 3, 4, 13, 26} {1, 2, 3, 4, 13, 26, 52} Factorització d’un nombre 4. Determina la factorització de 525. 3 × 52 × 7 32 × 52 × 7 3 × 53 3 × 52 × 11 Mínim comú múltiple i màxim comú divisor 5. Decideix quins nombres compleixen m. c. m. (a, b) = 24 i m. c. d. (a, b) = 6. 16 i 24 3 i 12 6 i 12 18 i 24 1 El comptable hindú David Leavitt Totes les escoles, una darrere de l’altra, van ser un fracàs per a en Ramanujan perquè, en una darrere de l’altra, va ignorar totes les matèries excepte les matemàtiques. Fins i tot en matemàtiques era de vegades mediocre, perquè les matemàtiques que li ensenyaven l’avorrien i l’irritaven. Des de la infància (quan tenia set o vuit anys) havia seguit els indicadors de la seva pròpia imaginació. […] El 1904, en Ramanujan acabava de sortir de l’institut i havia guanyat una beca per al Government College. […] Va començar a descuidar les altres matèries. Ignorant la història, entretenia els seus amics fent el que ell anomenava «quadrats màgics»: 1 2 -3 -4 0 4 3 -2 -1 O bé: 9 10 5 4 8 12 11 6 7 Jocs de nens. Cada columna suma la mateixa quantitat, verticalment, horitzontalment i diagonalment. Allò increïble és que en Ramanujan podia construir els quadrats màgics en qüestió de segons. Durant la classe d’història grega seia al pupitre, fingint que prenia apunts quan en realitat feia els quadrats màgics. (No cal dir que havia deduït un teorema molt més general sense ni tan sols adonar-se’n). O feia una llista dels successius nombres primers, tractant fins i tot de trobar un ordre en aquests. 1 Comprova que els quadrats del text són quadrats màgics. 2 Explica què és un nombre primer i posa’n tres exemples. LITERATURA I MATEMÀTIQUES 20
RkJQdWJsaXNoZXIy