PRIMARIA 6. º El cuaderno Solución de Problemas para 6.º de Primaria es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Antonio Brandi Fernández. Autora Nuria Carazo Torres Ilustración Miguel Robledo Edición Angélica Escoredo García Edición ejecutiva José Antonio Almodóvar Herráiz Dirección del proyecto Domingo Sánchez Figueroa Dirección y coordinación editorial de Primaria Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero Solución de problemas Método DECA
Lee y comprende Piensa y decide El método DECA para la solución de problemas permite al alumno, a través de numerosas actividades, adquirir DEstrezas que lo ayudarán a comprender qué es un problema, cuáles son sus partes y las relaciones existentes entre ellas y le aporta las CApacidades necesarias para decidir la mejor manera de plantear su resolución. Actividades para trabajar con las distintas partes del enunciado de un problema: situación que se plantea, pregunta e identificación de los datos. Actividades para trabajar la comprensión de la situación que se plantea. • Reconocer situaciones problemáticas. • Vocabulario (sustituir palabras, completar enunciados, redacción distinta del enunciado…). • Secuenciación lógica de acontecimientos (enunciados desordenados, varios enunciados mezclados...). • Invención de problemas. Construcción de enunciados. Actividades para trabajar con la pregunta del problema. • Identificar preguntas correspondientes a situaciones. • Reconocer enunciados correspondientes a preguntas. • Identificar la pregunta de un enunciado (redacción distinta). • Invención de preguntas. Formular preguntas referentes a un enunciado. Actividades para aprender a extraer y organizar la información. • Lectura, interpretación y búsqueda de información en diferentes representaciones. • Organización de datos en tablas y gráficos. • Detectar datos en un enunciado. • Lectura comprensiva de enunciados. Actividades en las que se reflexiona sobre los elementos necesarios para la resolución de un problema y sus relaciones. Actividades para trabajar con los datos del problema. • Selección de información. Datos útiles/datos no útiles. • Determinar preguntas que se pueden resolver a partir de ciertos datos. • Determinar los datos que faltan para contestar una pregunta. Actividades para trabajar el planteamiento. • Ordenar las etapas de cálculo necesarias para resolver un problema. • Seleccionar las operaciones apropiadas. Actividades para trabajar la resolución. • Distinguir problemas que se resuelven con una determinada operación. • Elegir la operación que resuelve un problema. • Explicar la operación que resuelve un problema. • Intercalar preguntas que permitan resolver un problema. • Modificar un enunciado y resolver el problema. Actividades para trabajar la relación entre los datos, la pregunta y el resultado. • Datos erróneos (posible o imposible). • Verificación de resultados. • Redacción de la respuesta a partir de los datos aportados (utilización de unidades…).
Y ahora… Resuelve Solución de problemas Resolución completa de problemas aplicando las técnicas estudiadas. Problemas para resolver de una o varias operaciones. Invención y resolución de problemas. • A partir de una serie de datos. • A partir de una serie de datos y una pregunta. • A partir de una situación en la que aparecen los datos. • A partir de su solución. Problemas de lógica. Situaciones a matematizar. Investigaciones. Unidad 1. .............................. 4 Números de hasta 9 cifras Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones Unidad 2. ............................ 10 Operaciones combinadas Problemas de varias operaciones Raíz cuadrada Unidad 3. ............................ 16 Números naturales Problemas de medidas horarias Problemas de varias operaciones Unidad 4. ............................ 22 Múltiplos y divisores Problemas de m.c.d. y m.c.m. Problemas de varias operaciones Unidad 5. ............................ 28 Operaciones con ángulos Ángulos complementarios y suplementarios Problemas de varias operaciones Unidad 6. ............................ 34 Fracciones. Fracciones equivalentes Fracción de una cantidad Problemas de varias operaciones Unidad 7. ............................ 40 Fracciones Operaciones con fracciones Problemas de varias operaciones Unidad 8. ............................ 46 Números decimales Suma, resta y multiplicación de decimales Problemas de varias operaciones Unidad 9. ............................ 52 Fracciones y números decimales Operaciones con números decimales Problemas de varias operaciones Unidad 10. .......................... 58 Proporcionalidad Porcentajes Problemas de varias operaciones Unidad 11. .......................... 64 Medidas de masa, longitud, capacidad y superficie Problemas de varias operaciones Unidad 12. .......................... 70 Números decimales y porcentajes Figuras planas Problemas de varias operaciones Unidad 13. .......................... 76 Problemas con áreas y perímetros Medidas de superficie Problemas de varias operaciones Unidad 14. .......................... 82 Cuerpos geométricos Volumen y capacidad Problemas de varias operaciones Unidad 15. .......................... 88 Representación gráfica de datos Frecuencias y media Problemas de varias operaciones
4 Lee y comprende 1 1. Lee atentamente estos problemas y marca la opción correcta. • Calcula el ancho de un rectángulo que mide 18 cm de largo y cuyo ancho es la tercera parte de su largo. No se puede resolver, faltan datos. Se puede resolver haciendo cálculos. Se puede resolver sin hacer cálculos, la respuesta está en el texto. • Un grupo de pescadores ha cogido varios peces que pesan 1 kilo y medio cada uno. ¿Cuántos kilos han pescado? No se puede resolver, faltan datos. Se puede resolver haciendo cálculos. Se puede resolver sin hacer cálculos, la respuesta está en el texto. • Una cadena de televisión emite 4 horas diarias de programación infantil. Ahora hay una serie de dibujos animados. ¿Cuántas horas diarias de emisión dedican a los niños? No se puede resolver, faltan datos. Se puede resolver haciendo cálculos. Se puede resolver sin hacer cálculos, la respuesta está en el texto. • El año pasado gasté en gasolina para mi coche 2.160 €. ¿Cuánto gasté la primera semana de septiembre? No se puede resolver, faltan datos. Se puede resolver haciendo cálculos. Se puede resolver sin hacer cálculos, la respuesta está en el texto. • Un motorista debe recorrer 36 km para ir a su trabajo. Ha recorrido ya la cuarta parte del trayecto. ¿Cuántos kilómetros le quedan para llegar a su trabajo? No se puede resolver, faltan datos. Se puede resolver haciendo cálculos. Se puede resolver sin hacer cálculos, la respuesta está en el texto.
5 1 2. Lee atentamente estos enunciados y escribe preguntas que se puedan resolver con los datos que te dan. • En un juego de mesa, por cada pregunta acertada se obtienen 15 puntos y por cada error se pierden 5 puntos. Cada participante debe contestar 15 preguntas. Juan ha respondido 12 preguntas correctamente. Pedro ha fallado dos preguntas y Ricardo ha acertado nueve. Pregunta 1 Pregunta 2 • Cada día bebo 30 cl de leche. Esta semana he comprado tres botellas de un litro y medio. Pregunta 1 Pregunta 2 • En un centro de aguas termales una fuente echa, en una hora, 96 ℓ de agua caliente. Otra fuente de agua templada echa 52 ℓ cada media hora. Pregunta 1 Pregunta 2 • Un equipo de fútbol compra 24 docenas de pares de calcetines para sus jugadores. Cada par de calcetines vale 3 €. Pregunta 1 Pregunta 2
6 Piensa y decide 3. Lee los siguientes problemas y marca la operación que los resuelve. • Carlota, que tiene 9 años, es 5 años menor que yo. ¿Qué edad tengo yo? Suma Multiplicación Resta División • Denise, que tiene 24 años, es cuatro veces más joven que Eduardo. ¿Qué edad tiene Eduardo? Suma Multiplicación Resta División • Tengo 8 años, y mi padre es cinco veces mayor que yo. Calcula los años que tiene. Suma Multiplicación Resta División • Luis tiene 60 años. Su primo Roberto la mitad, y su prima Tamara una quinta parte. ¿Qué edades tienen los primos de Luis? Suma Multiplicación Resta División • Guillermo y Hugo nacieron el mismo año. Guillermo nació el 9 de enero y Hugo el 15 de enero. ¿Cuál es su diferencia de edad? Suma Multiplicación Resta División • Dentro de dos semanas será mi cumpleaños. ¿Cuántos días faltan? Suma Multiplicación Resta División • Tengo 23 años. ¿En qué año nací? Suma Multiplicación Resta División ENERO ENERO
7 1 4. Lee estos enunciados, observa los datos que te dan e indica lo que significa el resultado de las operaciones que aparecen debajo de ellos. • Para envolver los regalos de cumpleaños de mi hermana necesito: ¿Cuánto dinero me he gastado? 2 3 1,75 3 3 0,70 0,85 1 1,20 4 3 0,65 • Durante el mes de octubre, una familia de 5 miembros consume 80 panes de 0,5 kg y 52 ℓ de leche que compran en botellas de dos litros. ¿Cuánto pan y cuánta leche consume una persona al mes? 80 3 0,5 52 : 2 2 rollos de 1,5 m de papel de regalo. 4 m de cinta de 80 cm de ancho y de color naranja. 3 m de cinta de 40 cm de ancho y de color verde. 1 rollo de celo. 1 tubo de pegamento. Papel regalo 1,5 m 1,75 € Cinta verde 40 cm ancho 0,70 €/m Cinta naranja 80 cm ancho 0,65 €/m Pegamento 1,20 € Celo 0,85 €
8 Y ahora… Resuelve 5. Resuelve los siguientes problemas. • Un vendedor de electrodomésticos ha realizado una venta por un valor total de 3.191 €. Ha vendido tres neveras que cuestan 655 € cada una, dos lavadoras de 482 € cada lavadora, una mesa de cocina de 124 € y 6 pequeños electrodomésticos que cuestan lo mismo cada uno de ellos. ¿Cuánto cuesta uno de esos pequeños electrodomésticos? Solución • El sábado por la noche se celebra un concierto de mi grupo favorito. Mi hermano se encargará de comprar las entradas. Tendrá que comprar entradas para mis padres, para él y para mí, para mis dos abuelos y mis dos abuelas, y para mi tío y mi tía con sus cuatro hijos. Además, también le han encargado entradas seis amigos míos, y los vecinos del cuarto piso que, junto con sus hijos, son ocho personas. El precio por entrada es de 26,50 €, pero si se compran más de 15 entradas descuentan 2,65 € por entrada, y si se compran más de 25 entradas, el descuento es de 5,30 € por entrada. ¿Cuánto hay que pagar por todas las entradas? Solución
9 1 6. Esta es la pregunta de un problema. Marca dos situaciones a las que puede corresponder, después inventa un problema diferente con cada situación y la pregunta, y resuélvelos. ¿Qué distancia le queda por recorrer? La señora Carmen quiere pintar la pared de su jardín. Un grupo de deportistas corre la maratón. La familia Martínez realiza un viaje con su coche. Un grupo de amigos va de cena. Luisa va al colegio en su bicicleta. Problema 1 Solución Problema 2 Solución
10 Lee y comprende 2 1. Observa estas facturas de compra, complétalas y contesta a las preguntas. • Esta es la factura de una ferretería. Cantidad Descripción Precio total 2 Cable telefónico 4,50 € 3 Bombillas de bajo consumo 7,50 € 1 Caja de herramientas 87,20 € 5 Tablas de madera Alquiler de maquinaria (8 h) 80,80 € TOTAL 190,00 € ¿Cuál es el precio de un cable telefónico? ¿Cuál es el precio de una bombilla de bajo consumo? ¿Cuál es el precio de una hora de alquiler de la maquinaria? ¿Cuánto vale una tabla de madera? • Este es el resumen de las compras realizadas en unos grandes almacenes. ALMACENES «LA MONTAÑA BLANCA» Fecha Sección Importe 8 de junio Papelería 60,10 € 12 de junio Ropa 18 de junio Hogar 40,10 € 17 de julio Hogar 35,10 € 21 de julio Papelería 35,10 € 2 de agosto Ropa 100,10 € 9 de agosto Ropa 30,10 € TOTAL 320,70 € ¿Cuánto se ha gastado en ropa el 12 de junio? ¿Cuánto se ha gastado en total en papelería? ¿En qué sección se ha gastado más? ¿En qué mes se ha comprado más veces?
11 2 kW 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Enero Marzo Mayo Julio Sept. Noviem. 2. En este gráfico se muestra el consumo eléctrico de una casa durante un año. Completa el gráfico con las pistas que se dan y contesta a las preguntas. • ¿En qué mes el consumo fue menor? • ¿En qué mes hubo mayor consumo? • ¿Cuál crees que fue la estación del año en la que hubo un mayor consumo eléctrico? • ¿Y la estación en la que hubo menos consumo? • ¿En qué meses hubo el mismo consumo eléctrico? • ¿En qué mes hubo el doble de consumo que en julio? • ¿En qué meses hubo más consumo que en junio? • ¿Cuánto se pagó en el mes de febrero si 1 kW cuesta 0,10 €? • ¿Y en el mes de julio? Pistas En el mes de marzo, el consumo fue de 75 kW. En el mes de julio, el consumo fue la mitad que en el mes de febrero. En el mes de diciembre, el consumo fue el triple que en el mes de mayo.
12 Piensa y decide 3. Encuentra en cada problema el dato o los datos que no necesitas utilizar para resolverlo. Después, escribe una pregunta en la que necesites esos datos. • Para hacer un bizcocho para cuatro personas necesito: 3 huevos, 150 g de harina, media cucharada de sal, 3 vasos de leche, 250 g de azúcar y 50 g de mantequilla. En la cocina tengo media docena de huevos, medio paquete de 500 g de azúcar y dos sobres de levadura. ¿Qué ingredientes necesito para hacer un bizcocho para ocho personas? Datos que no tengo que utilizar Pregunta para utilizar esos datos • Del 7 al 11 de noviembre se celebra la feria de otoño. En esta feria se suelen poner puestos que venden comida típica de la zona. Un grupo de amigos decide poner un puesto para vender los frutos secos que se cultivan en la región. Han comprado 150 kg de cacahuetes, 50 kg de castañas, 50 kg de pistachos y 75 kg de avellanas. Envasarán cada tipo de fruto en bolsas de 100 g para venderlas. ¿Cuántas bolsas obtendrán de cacahuetes? Datos que no tengo que utilizar Pregunta para utilizar esos datos • Los jueves a las 16:00 h, Teresa ve su teleserie preferida. Cada episodio dura 45 minutos. Hoy ha visto el último capítulo, el número 60, que, por ser el último, ha durado 90 minutos. ¿A qué hora ha terminado el capítulo de hoy? Datos que no tengo que utilizar Pregunta para utilizar esos datos
13 2 4. Indica qué datos faltan para poder resolver cada problema. • El 14 de octubre, a las 9:30 h, Dolores utiliza el termómetro para tomar la temperatura del exterior de su clase. A las 16:00 h vuelve a tomar la temperatura. ¿Qué diferencia de temperatura hay entre la mañana y la tarde? Para resolver el problema necesito saber • Seis pantalones valen 196 €; 5 camisas, 125 €, y 12 pares de calcetines, 120 €. ¿Cuánto valen 11 camisetas? Para resolver el problema necesito saber • En una clase hay 7 niñas más que niños. ¿Cuántas niñas hay? Para resolver el problema necesito saber • María ha comprado 5 bandejas con 12 tomates cada una, 7 barras de pan de 500 g y embutido. Si cada semana utiliza 5 tomates, 250 g de pan y 100 g de embutido para hacer bocadillos, ¿cuánto tiempo le durará lo que ha comprado? Para resolver el problema necesito saber • El museo del cómic recibió durante el fin de semana 231 visitantes. El lunes visitaron el museo 45 personas, el miércoles el doble que el viernes, y el jueves fue festivo y, por tanto, el museo estuvo cerrado. Si la entrada al museo cuesta 11 €, calcula la recaudación de la semana. Para resolver el problema necesito saber • Andrés y Carlos observan el dinero que han guardado en sus huchas. Andrés tiene 5 billetes de 20 €, 2 de 50 € y 12 monedas de 2 €. ¿Cuánto dinero tiene más Carlos que Andrés? Para resolver el problema necesito saber
14 Y ahora… Resuelve 5. Lee los problemas y escribe una sola operación que los resuelva, calcúlala y escribe la solución. • Para hacer un ramo de flores compramos 7 claveles, 9 tulipanes y 14 rosas. Calcula el dinero que hemos gastado en confeccionar el ramo. Operación Solución • Mi colección de minerales está distribuida en 3 cajas grandes con 12 minerales en cada caja, 5 cajas más pequeñas con 6 por caja y 11 cajas de tamaño medio con 8 minerales en cada caja. Calcula el número total de minerales que tengo. Operación Solución Flores Precios Unidad Docena Claveles 0,80 € 8,80 € Tulipanes 0,95 € 10,45 € Rosas 1,50 € 16,50 €
15 2 6. Pon atención y resuelve estos problemas. • Estamos jugando a un juego en el que hay que colocar 36 cartas formando un cuadrado. ¿Cuántas cartas hay que colocar en cada fila y en cada columna? Solución • Elena quiere comprar una caja cuadrada que tenga compartimentos para colocar sus 25 miniaturas. ¿Cuántas filas de compartimentos ha de tener? Solución 7. Inventa un problema en el que la pregunta sea «¿Quién ha ganado?» y que se resuelva con dos operaciones, una de suma y otra de multiplicación. Problema Solución
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