Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 1 Números reales 9 1. Números racionales _ 10 2. Números irracionales _ 11 3. Números reales _ 12 4. Potencias de exponente entero _ 14 5. Aproximación de números reales _ 16 6. Errores de aproximación _ 17 7. Intervalos _ 18 2 Matemáticas financieras 29 1. Proporcionalidad simple _ 30 2. Proporcionalidad compuesta _ 32 3. Repartos proporcionales _ 34 4. Porcentajes _ 36 5. Interés _ 38 3 Ecuaciones e inecuaciones 49 1. Ecuaciones _ 50 2. Ecuaciones de primer y segundo grado _ 51 3. O tros tipos de ecuaciones _ 53 4. Inecuaciones _ 56 4 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 65 1. Sistemas de ecuaciones lineales _ 66 2. Resolución de sistemas de ecuaciones _ 68 3. S istemas de inecuaciones con una incógnita _ 70 4. S istemas de inecuaciones con dos incógnitas _ 72 5 Movimientos y semejanzas 83 1. Movimientos en el plano _ 84 2. Traslaciones _ 85 3. Giros _ 86 4. Simetrías _ 88 5. Semejanzas _ 90 6. S emejanza en áreas y volúmenes _ 92 6 Funciones 101 1. Concepto de función _ 102 2. Dominio y recorrido de una función _ 104 3. Continuidad y puntos de corte con los ejes _ 106 4. Crecimiento y decrecimiento _ 108 5. Simetría y periodicidad _ 110 6. Funciones definidas a trozos _ 112 2
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se halla el conjunto numérico al que pertenece un número • Cómo se calcula la unión y la intersección de intervalos • Cómo se representa una raíz cuadrada con el teorema de Pitágoras sucesivas veces • Cómo se resuelven operaciones con potencias factorizando las bases MATEMÁTICAS Y… • Historia • Astronomía • Ciencia • Sociedad FAKE NEWS. Búsqueda de contradicciones en textos literarios Precisión y salud (Estudio de las constantes vitales en una persona) • Cómo se resuelven problemas mediante una regla de tres simple • Cómo se resuelven problemas mediante una regla de tres compuesta • Cómo se realizan repartos proporcionales • Cómo se resuelven problemas de porcentajes encadenados • Cómo se resuelven problemas de mezclas • Cómo se resuelven problemas de móviles MATEMÁTICAS Y… • Cuerpo humano • Salud • Historia • Gasto energético FAKE NEWS. Reflexión sobre porcentajes encadenados El tiempo es oro (Análisis de productos bancarios) • Cómo se resuelve una ecuación bicuadrada • Cómo se resuelve una ecuación mediante factorización • Cómo se resuelven inecuaciones con dos incógnitas MATEMÁTICAS Y… • Consumo • Atletismo • Medioambiente • Deporte FAKE NEWS. Estrategias para minimizar costes Bueno, ecológico y de verdad (Análisis de costes y beneficios de una cosecha) • Cómo se determina gráficamente el número de soluciones de un sistema de ecuaciones • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales • Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones con una y dos incógnitas • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones en función de un parámetro • Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado MATEMÁTICAS Y… • Sanidad • Divisas • Tecnología FAKE NEWS. Variación en los coeficientes de un sistema Escapada low cost (Elección de un viaje considerando ofertas y descuentos) • Cómo se realizan traslaciones y giros • Cómo se realizan simetrías de figuras geométricas • Cómo se calculan distancias en un mapa • Cómo se calculan el área y el volumen de figuras semejantes MATEMÁTICAS Y… • Geografía • Arte • Alimentación FAKE NEWS. Análisis de figuras semejantes A todo tren (Cálculos de medidas reales a partir de maquetas) • Cómo se representa gráficamente una función • Cómo se calcula el dominio de una función • Cómo se calculan los puntos de corte con los ejes de una función • Cómo se estudia el crecimiento y el decrecimiento de una función • Cómo se estudia una función • Cómo se representa una función definida a trozos • Cómo se calcula la tasa de variación relativa de una función • Cómo se representa una función conociendo algunas de sus características MATEMÁTICAS Y… • Física • Automovilismo • Medicina • Videojuegos • Circulación FAKE NEWS. Obtención de resultados sorprendentes Distintos países, distintas monedas (Investigación sobre la fluctuación del valor de las divisas) 3
Índice Un i dad Const ruye tu conoc imi ento Saberes bás i cos 7 Representación de funciones elementales 123 1. Funciones polinómicas de primer grado _ 124 2. Funciones polinómicas de segundo grado _ 126 3. Funciones racionales _ 128 4. Funciones exponenciales _ 130 8 Estadística 143 1. Muestras y frecuencias _ 144 2. Gráficos estadísticos _ 145 3. Medidas de centralización _ 146 4. Medidas de posición _ 148 5. M edidas de dispersión _ 150 6. Variable estadística bidimensional _ 152 7. D iagramas de dispersión _ 153 8. Correlación _ 154 9 Probabilidad 165 1. Métodos de conteo _ 166 2. Números combinatorios _ 167 3. Variaciones y permutaciones _ 168 4. Combinaciones _ 169 5. Experimentos aleatorios. Sucesos _ 170 6. Operaciones con sucesos _ 171 7. Frecuencia y probabilidad _ 172 8. Regla de Laplace _ 173 9. Propiedades de la probabilidad _ 174 10. Probabilidad condicionada _ 176 4
Pract i ca l as competenc i as espec í f i cas Procedimi entos bás i cos Matemát i cas en e l mundo rea l S i tuac i ón de aprendi za j e • Cómo se representan funciones polinómicas de primer grado • Cómo se representan funciones cuadráticas • Cómo se representan funciones racionales • Cómo se representan funciones exponenciales • Cómo se hallan los puntos de intersección de las gráficas de dos funciones • Cómo se transforma una función del tipo y = x + a x + b en otra y = k x + c + d MATEMÁTICAS Y… • Videojuegos • Biología • Química • Circulación • Ayuda humanitaria FAKE NEWS. Búsqueda de la oferta más barata ¡Acelera! (Estudio sobre los factores que influyen en las marcas de los atletas) • Cómo se calculan e interpretan las medidas de centralización • Cómo se calculan e interpretan las medidas de posición • Cómo se calculan e interpretan conjuntamente las medidas de centralización y dispersión • Cómo se representa y se interpreta una nube de puntos • Cómo se añaden o se suprimen datos para obtener una media o una mediana determinadas MATEMÁTICAS Y… • Inclusión • Transporte público • Finanzas • Agricultura • Sanidad • Oposiciones FAKE NEWS. Estudio de relaciones entre variables Enredos sociales (Interpretación de gráficos relativos a estudios sociológicos) • Cómo se calculan probabilidades utilizando sus propiedades • Cómo se calculan probabilidades en experimentos compuestos • Cómo se calcula la probabilidad de algunos sucesos no equiprobables MATEMÁTICAS Y… • Circulación • Juegos • Biología • Sociedad FAKE NEWS. Análisis combinatorio Televisión a la carta (Estudio sobre hábitos de consumo) 5
6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se resuelve una inecuación Utilizamos las propiedades de las inecuaciones hasta dejar la incógnita en un miembro y un número en el otro. • Al sumar o restar en los dos miembros de una inecuación la misma cantidad, la desigualdad no varía. • Al multiplicar o dividir los dos miembros por un número: − Positivo, la desigualdad no varía. – Negativo, la desigualdad cambia de sentido. E J E M P LO Resuelve la inecuación 3(x + 4) - 2(x - 5) > 11. 3x + 12 - 2x + 10 > 11 " 3x - 2x > 11 - 12 - 10 " x > -11 La solución es el intervalo (-11, +3). A C T I V I D A D E S 2 Resuelve 5(x - 3) - 2x # 4(x + 2) - 3(x - 1). a) (13, +3) c) (-3, 13] b) (-3, 13) d) [13, +3) Cómo se representan gráficamente las soluciones de una ecuación lineal Las soluciones de una ecuación lineal forman una recta. Para representarla basta encontrar dos soluciones, representarlas como puntos y unirlos con una recta. E J E M P LO Representa las soluciones de -2x + y = 3. Si x = 0 " y = 3 Si x = -1 " y = 1 x 0 -1 y 3 1 A C T I V I D A D E S 1 Dado el punto (a, a - 2), indica el valor de a para que pertenezca a la recta 4x = 2y + 10. a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 3 1 1 Y X ¿Qué sabes ya? Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 4 El extraño número Toma un número de cuatro cifras. Ordena las cifras de mayor a menor y de menor a mayor, y resta ambos números. Repite este proceso cuatro veces más. Obtendrás el número 6 174. ¿Cómo puede ser? D E SA F Í O 65 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 65 12/7/23 10:26 1. Movimientos en el plano 1 ¿Cuáles de las figuras resultan al aplicar un movimiento a esta figura? 2 Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas. a) Una transformación es un movimiento. b) Un movimiento conserva siempre la forma. c) Una transformación mantiene el tamaño. d) Un movimiento mantiene el tamaño. e) Una transformación no mantiene nunca el tamaño de las figuras. 3 R E F L E X I O N A . Dibuja una letra E y aplícale distintas transformaciones geométricas. A C T I V I D A D E S Una transformación geométrica en el plano nos permite obtener un punto Pl, a partir de otro punto P, mediante una regla precisa . Un movimiento es una transformación geométrica que conser va las distancias y los ángulos. Es decir , si dos puntos P1 y P2 están a una distancia d, sus transformados Pl 1 y Pl 2 estarán también a una distancia d; y, si dos rectas r y s forman un ángulo a, sus transformadas rl y sl también formarán un ángulo a. En una transformación, un punto se llama doble cuando su transformado es él mismo. Una recta es doble si su transformada es ella misma. E J E M P LO 1. Debajo puedes ver varias transformaciones de esta figura. Determina cuáles son movimientos. Las figuras 1, 2 y 3 se obtienen aplicando movimientos a la figura original. En todas ellas se conservan la forma y el tamaño. La figura 1 es idéntica a la figura inicial. La figura 2 se obtiene girando 45º la figura inicial. En la figura 3 se han intercambiado los elementos del lado derecho por los del izquierdo. La figura 4 no conserva la forma ni el tamaño, no es un movimiento. La figura 5 conserva la forma, pero no el tamaño; por tanto, no es un movimiento. Figura 1 Figura 2 Figura 5 Figura 4 Figura 3 a) c) b) d) Trasladamos una silla 2 m hacia la derecha y 1 m hacia delante. ¿Cuál el módulo del vector de esa traslación? 84 ES0000000095173 934547_05_083_100_153059.indd 84 12/7/23 10:40 2. Traslaciones 5 4 Obtén la figura trasladada mediante el vector v. 5 Un cuadrado tiene como vértices A(-1, 1), B(1, 1), C(1, -1) y D(-1, -1). Calcula su trasladado mediante la traslación de vector v= (4, -2). 6 R E F L E X I O N A . Determina la traslación que transforma el punto A(-1, 4) en Al(5, 2). A C T I V I D A D E S Una traslación es un movimiento que transforma una figura en otra figura igual pero desplazada. Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto Pl, de forma que PPl tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v. Se representa por tv. G E O G E B R A Dados un punto A(a, b) y un vector v = (v1, v2), el punto trasladado de A, es otro punto Al, con coordenadas Al(a + v1, b + v2). E J E M P LO 2. Realiza una traslación de vector v al triángulo ABC &. Partiendo de cada vértice, colocamos vectores iguales en módulo, dirección y sentido que v . Uniendo los extremos de los vectores, Al, Bl y Cl, obtenemos la figura transformada de la inicial. Decimos que el triángulo A B C l l l & es el transformado de ABC & mediante la traslación de vector v. La traslación conserva los ángulos y las distancias y, por tanto, es un movimiento. X A B Y C v Y X A B C Al Bl Cl v E J E M P LO 3. Dados el punto A(2, 1) y el vector v = (5, 2), determina las coordenadas del punto Al, transformado de A mediante la traslación tv. A(2, 1) Traslación " v(5, 2) Al(2 + 5, 1 + 2) " " Al(7, 3) A Al Y X 1 1 v En una traslación: No existen puntos dobles. Las únicas rectas dobles son las que contienen el vector. Y X v R E T O r l il i l r i l t . l l l l t r tr l i 1 1 1 1 1 1 85 ES0000000095173 934547_05_083_100_153059.indd 85 12/7/23 10:41 a c t i v i da d e s f i n a l e s 43 Halla el número de soluciones que tiene cada uno de estos sistemas en función de los valores que tomen a y b. a) x ay x y b 3 5 6 2 - = - = 4 b) ax y x by 5 1 2 6 + = - - - = 4 c) ax by x by 5 6 2 10 - - = - = 4 44 I N V E S T I G A . Averigua qué número cumple cada condición. a) La suma de las dos cifras de un número coincide con su diferencia. b) La suma de las dos cifras de un número es 2a y su diferencia es a. 45 R E T O . Resuelve este sistema de ecuaciones. a b a b 2 2 2 2 + = + = 4 Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado 46 Encuentra las soluciones de este sistema. x y x y 3 2 3 6 6 4 - = - + = - 3 primero. Se expresan las ecuaciones dejando los términos independientes en el segundo miembro y se resuelve el sistema por el método más adecuado. x y x y 3 2 3 6 4 6 - = - = 3 ? 2 $ - x y x y 6 6 4 6 0 0 6 4 - = - = = 2 segundo. Se analiza la solución. Como 0 = 0, se cumple para infinitos valores de x e y, el sistema es compatible indeterminado. Fijamos el valor de x y expresamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones. Para x = m hallamos el valor de y despejando en la primera ecuación: x y y x y 3 2 3 2 3 3 2 3 3 m - = = - = - $ x " =m Las soluciones son los pares ( , ) , x y 2 3 3 m m = - e o. 47 Resuelve estos sistemas de ecuaciones. a) x y x y 5 2 6 1 + = + = -3 b) x y x y 4 2 6 2 3 + = + = 3 48 I N V E N TA . Escribe dos sistemas de ecuaciones en cada caso y resuélvelos. a) Compatibles determinados. b) Compatibles indeterminados. c) Incompatibles. 49 R E T O . Si despejando la misma incógnita en dos ecuaciones, y una vez igualadas, no se puede resolver la ecuación con una incógnita que resulta, ¿el sistema es compatible o incompatible? Razónalo. 2. Determina e interpreta las soluciones de un sistema de inecuaciones 50 Relaciona cada sistema con sus soluciones. a) x x x 3 8 2 5 1 $ - - -2 b) x x x x 5 2 4 3 1 $ - - + 2 c) x x x 2 7 2 2 1 $ + - 2 -3 2 -1 4 0 5 A C T I V I D A D E S F L A S H 51 Halla la solución de estos sistemas de inecuaciones. a) ( ) ( ) x x x 2 3 4 3 5 1 $ - - 3 c) ( ) ( ) x x x 5 2 10 0 3 2 1 0 1 # - - - + + 3 b) x x x 3 5 9 3 4 15 1 # - + + - 2 d) ( ) ( ) x x x 3 1 8 11 4 2 2 2 # - - + + - 3 52 Resuelve el sudoku. Ayúdate del valor máximo que puede tomar x en estos sistemas de inecuaciones. a) x x x 2 6 12 4 5 2 # $ + - + 2 b) x x x x 2 11 1 2 3 4 1 1 $ - - + + 2 c) x x x 3 2 10 2 6 4 2 # - - - 2 d) ( ) x x x x 2 4 1 7 2 4 1 $ + + + + 3 c) 1 a) d) 1 2 b) 76 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 76 12/7/23 10:30 4 53 Resuelve estos sistemas de inecuaciones. a) x x x 3 2 4 7 5 4 1 1 $ + - 4 c) x x x 5 4 2 3 3 1 - - x 1 $ + 4 b) x x x x 2 3 5 1 1 3 2 1 4 2 $ + - - + + 3 2 + 4 d) x x x x x 4 5 2 3 6 2 3 $ - + + x 0 # - - 4 54 I N V E N TA . Escribe un sistema de inecuaciones con una incógnita que tenga estas soluciones. a) [-2, 1) c) [0, +3) b) (-3, 0) d) {2} 55 Halla la solución en cada caso. a) x x x 0 2 1 2 2 # - 3 b) x x x 3 0 1 0 2 2 # + - 3 c) x x x 4 3 2 # $ - 3 56 J U E G O . Quien comienza debe utilizar la segunda inecuación de este sistema para generar un nuevo sistema de forma que (1, 1) sea solución. x y x y 2 3 5 7 2 1 - - + 3 La siguiente persona utiliza la inecuación del primero para generar otro sistema con la misma solución, y así sucesivamente. Pierde quien no forme el sistema o repita alguna inecuación. ¿Cómo podrías ganar siempre? 57 Resuelve estos sistemas de inecuaciones. a) x y x y 0 2 2 # + - 3 c) y x y 3 0 $ $ - + 3 b) x y x y 1 2 1 1 $ + - 3 d) x y x y 3 3 2 $ # - - + -3 58 Determina la región solución de estos sistemas. a) y x y x y x 2 2 1 3 $ # $ + - - -4 b) y x y y x 3 1 5 2 $ # $ - + 4 59 R E T O . Resuelve siendo a y b números naturales. ( ) ( ) ax a y a bx b y b 1 2 1 2 1 1 + + + + + + 4 60 Expresa con un sistema de inecuaciones cada región del plano señalada en la figura. 61 I N V E S T I G A . Sea a un número positivo. Considera el conjunto S de todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) satisfacen estas condiciones. a x a 2 2 # # a y a 2 2 # # y a x $ + x a y $ + x y a $ + ¿Qué tipo de polígono representa la frontera de S? 3. Resuelve problemas con sistemas 62 En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas hay de cada clase si en total tienen 125 cajas? 63 A un congreso acuden 60 personas. Si se van 3 hombres y vienen 3 mujeres, el número de mujeres sería 3 1 del número de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en el congreso? 64 Por el desierto va una caravana formada por camellos y dromedarios, con un total de 440 patas y 160 jorobas. ¿Cuántos camellos y dromedarios hay en la caravana? (Recuerda que los camellos tienen dos jorobas y los dromedarios tienen una). 2 1 6 3 4 5 x + 2y = 4 1 1 77 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 77 12/7/23 10:30 21 Resuelve. a) x y x y 4 1 2 2 # $ + - 3 e) x y x y 4 1 2 2 # # + - 3 b) x y x y 2 1 4 3 $ $ + - - -3 f ) x y x y 2 1 4 3 # $ + - - -3 c) x y x y 2 3 4 3 # $ + + -3 g ) x y x y 2 3 4 3 $ $ + + -3 d) x y x y 2 2 3 # # + + 3 h) x y y x x y 3 2 6 2 5 3 7 # $ - - + + - 3 22 Determina la región solución de estos sistemas de tres inecuaciones con dos incógnitas y represéntala en un eje de coordenadas. a) ( ) y x y y x 2 4 3 3 1 0 2 # $ - - + - 4 b) y x y x 5 2 1 1 $ $ - - -4 23 Escribe los sistemas de inecuaciones que determinan cada uno de los cuatro cuadrantes. A C T I V I D A D E S 4 Cómo se resuelven sistemas de inecuaciones con dos incógnitas Resuelve este sistema de inecuaciones: x y x y 2 2 4 2 # - - + 3. G E O G E B R A 1 R esolvemos cada inecuación por separado y determinamos la región del plano que es solución de cada una. x - y > -2. Representamos la recta correspondiente a su igualdad. x - y = -2 x = 0 " y = 2 " Pasa por el punto (0, 2). x = 1 " y = 3 " Pasa por el punto (1, 3). Analizamos si (0, 0) es solución de la inecuación. x - y > -2 x = 0, y = 0 " 0 > -2 " Es solución. Por tanto, la solución es la región a la que pertenece este punto. x + 2y # 4. Representamos la recta correspondiente a su igualdad. x + 2y = 4 x = 0 " y = 2 " Pasa por el punto (0, 2). x = 2 " y = 1 " Pasa por el punto (2, 1). Analizamos si (0, 0) es la solución de la inecuación. x + 2y # 4 x = 0, y = 0 " 0 # 4 " Es solución. La solución es la región a la que pertenece este punto. Y X x - y > -2 3 1 Y X x + 2y # 4 3 1 2 R epresentamos en los mismos ejes la región del plano que es solución de cada inecuación y seleccionamos la región que cumple ambas inecuaciones a la vez. Y X x - y > -2 x + 2y # 4 1 3 Y X 1 3 Para calcular la región solución de una inecuación no debemos tomar puntos situados sobre las rectas, ya que no aportan información sobre la región que buscamos. Para representar una recta basta con dos puntos. Tomamos (0, 0) para facilitar los cálculos. La inecuación contiene el signo =. La solución del sistema es la región coloreada de verde. La recta no pertenece porque la inecuación no contiene el signo =. 73 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 73 12/7/23 10:30 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
7 a c t i v i da d e s f i n a l e s P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 76 Resuelve. x(x +10) = 5 600 77 Un jardín rectangular tiene 5 600 m2 de superficie y mide 10 m más de largo que de ancho. ¿Cuál es el ancho del jardín? 78 Halla el valor de x. ? ? x x x 2 2 1 18 - = 79 El recipiente que se usa para mezclar la pintura es de base rectangular, cuyo largo es el doble que el ancho, y de alto 1 dm menos que el ancho. Llenado hasta la mitad tiene una capacidad de 18 litros. ¿Qué dimensiones tiene el recipiente? 80 Resuelve las inecuaciones.. 0 < x - 3 < 18 81 Alfonso es menor de edad y tiene tres años menos que su hermana Magdalena. ¿Cuál es la posible edad de Magdalena? 59 Opera y resuelve. a) ? ( ) ( ) x x 1 2 2 4 9 # - + - b) ( ) ( ) x x x 6 5 3 4 2 + + - c) ( ) ( ) x x 7 4 1 5 2 1 - + + - d) ( ) ( ) ( ) x x 5 4 1 3 4 $ - + - e) ( ) ( ) x x x 2 3 9 7 $ - - - - + f ) ? ( ) ( ) x x x x 7 3 4 5 3 1 + - - + 60 Soluciona las siguientes inecuaciones. a) x y 2 4 $ + c) x y 2 8 # + b) x y 2 2 1 - d) x y 3 2 6 2 - 4. Resuelve situaciones de la vida cotidiana utilizando ecuaciones e inecuaciones 61 M AT E M ÁT I C A S Y. . . C O N S U M O . Estas son las tarifas de agua en mi pueblo. Si he pagado 50,83 €, ¿cuántos metros cúbicos he consumido? 62 M AT E M ÁT I C A S Y. . . AT L E T I S M O . En la modalidad de triatlón esprint, se recorren 37 1 nadando, 9 7 del resto en bicicleta y los últimos 6 km corriendo. Halla la distancia total y la recorrida a nado y en bicicleta. 63 I N V E S T I G A . Lee y contesta. ¿Cuántos hermanos y hermanas tienes sabiendo que por Navidad cada persona le hace un regalo a las demás personas y entre todas tenéis un total de 36 regalos? 64 Un matrimonio y sus tres hijos viajan en tren por 29,40 €. Sabiendo que el billete de adulto vale el doble que el de niño, ¿cuánto cuesta cada billete? 65 Claudia se ha gastado el 25 % de sus ahorros en un regalo y todavía le quedan 120 €. ¿Cuánto dinero tenía? 66 En una tienda hay unos pantalones que están rebajados un 20 % y cuestan 18 €. ¿Cuánto valían los pantalones antes de efectuar el descuento? 67 Martín reparte entre sus nietos su colección de relojes. Al mayor le da la mitad más tres, al mediano la tercera parte de lo que queda y el resto, 26 relojes, al menor. Calcula el número de relojes de la colección de Martín. 68 M AT E M ÁT I C A S Y. . . M E D I O A M B I E N T E . Una placa solar produce aproximadamente 550 kWh al año. Su instalación cuesta de media 680 €. Plantea una inecuación que exprese el presupuesto necesario para cubrir las necesidades de tu casa. 69 M AT E M ÁT I C A S Y. . . D E P O R T E . En los Juegos Olímpicos de Londres 2012, en la prueba de natación de 100 m estilo libre, el ganador fue Nathan Adrian con 47,52 segundos; seguido de James Magnussen con 47,53 segundos. ¿Qué distancia separó al segundo del primero cuando este llegó a la meta? 70 R E T O . Un paseante hace un recorrido de 2 horas, consistente en dos partes llanas, una subida, una bajada y otra vez dos partes llanas, todas de la misma longitud. Su velocidad es de 4 km/h en la parte llana, 3 km/h cuando sube y 6 km/h cuando baja. ¿Cuál es la longitud del recorrido? Suministro de agua Cuota fija: 3,31 € Cuota variable: – Tarifa 1, de 0 a 20 m3: 0,30 €/m3 – Tarifa 2, de 20 a 40 m3: 0,54 €/m3 – Tarifa 3, de 40 a 60 m3: 1,08 €/m3 – Tarifa 4, más de 60 m3: 1,32 €/m3 Consumo medio de electricidad en España • 1 persona: 2 198 kWh/año • 2 personas: 2 450 kWh/año • 3 personas: 2 703 kWh/año • 4 personas: 2 956 kWh/año • 5 personas: 3 208 kWh/año 60 ES0000000095173 934547_03_049_064_151687.indd 60 12/7/23 10:16 3 Cada uno en su papel Cuentan que, ante la subida de la inflación, los fabricantes de pósits, papeletas adhesivas cuadradas de 5 cm de lado, se plantearon reducir su tamaño para no subir el precio. Según sus cálculos, reduciendo la superficie de cada pósit en 1 cm2, el margen de beneficios, a pesar de la subida del papel y los costes de fabricación, se podría mantener. El problema era reducir ese centímetro cuadrado de tal manera que el pósit siguiera siendo un cuadrado, que es la seña de identidad del producto. Entre sus propuestas estaban eliminar una tira de 1 cm de uno de sus lados, eliminar 0,5 cm de cada lado… Pero al final llegaron a la conclusión de que era imposible. Y tú, ¿qué opinas? 71 Se han empleado 70 m de cable para cercar un huerto rectangular. Si el ancho es tres cuartas partes del largo, ¿qué superficie tiene el huerto? 72 En una excursión, a las 10 de la mañana había completado la tercera parte del recorrido, y a las 12, las tres cuartas partes. ¿A qué hora comencé a andar si siempre mantuve el mismo ritmo? 73 En una playa alquilan sillas y tumbonas. Por una silla cobran 3 € cada hora, y por una tumbona cobran 5 € fijos más 2 € cada hora. ¿A partir de cuántas horas es más económico alquilar una tumbona que una silla? 74 Un peregrino camina a una velocidad de entre 4 y 6 km/h. Halla entre qué valores se encuentra la distancia recorrida cuando hayan transcurrido: a) 4 horas. b) 5 horas y media. c) 2 días, si camina 7 horas diarias. 75 Carlos tiene entre 16 y 20 años, Javier tiene 14 años menos que Carlos y Andrés tiene 16 años más que Javier. Determina los intervalos en los que se encuentran las edades de Javier y Andrés. NE WS FAKE ? Dare to dream! P R O B L E M A S A P A R E N T E M E N T E D I S T I N T O S 76 Resuelve. x( +10) = 5 60 7 Un jardín rectangular tiene 5 60 m2 de superfic e y mide 10 m más de largo que de ancho. ¿Cuál es el ancho del jardín? 78 Halla el valor de x. ? ? x x x 2 2 1 18 - = 79 El recipiente que se usa par mezclar la pintura es de base rectangular, cuyo largo es el doble que l ancho, y de alto 1 dm menos que l ancho. Llenado hasta la mitad tiene una capacidad e 18 litros. ¿Qué dimensiones tiene l recipiente? 80 Resuelve las inecuaciones.. 0 < x - 3 < 18 81 Alfonso es menor de dad y tiene tres años menos que su hermana Magdalena. ¿Cuál es la posible dad e Magdalena? 61 ES0000000095173 934547_03_049_064_151687.indd 61 12/7/23 10:17 Mi familia y yo, cuatro personas en total , vamos a aprovechar el próximo puente para viajar y pasar tiempo juntos. ¡Qué divertido! Ya hemos elegido el destino. Ahora tenemos que comprar los billetes de avión , reser var el hotel , hacer la maleta ... ¿Seremos capaces de no pasarnos de presupuesto? S I T U A C I Ó N D E A P R E N D I Z A J E Escapada low cost OFERTA DEL HOTEL DOWNTOWN Pagando 3 noches o más, ¡1 noche GRATIS! Avión de ida Duración del trayecto: 5 h y media. Dos vuelos, uno a las 23:50 h y otro a las 18:35 h. El vuelo de la noche vale 35 € más que el de la tarde. Avión de vuelta Varios vuelos. Todos cuestan 50 € por persona. Tarjeta de transporte público de grupo Para 4 personas durante una semana ............................ 64 € Promoción Ahora con un 20 % de descuento. Presupuesto por persona: 80 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 80 12/7/23 10:31 1 Más cerca, mejor En total vamos a estar de viaje 5 días. Eso significa que dormiremos 4 noches en el hotel. Si nos alojamos en el hotel Downtown, que está en el centro, podremos ir andando a todas partes y nos ahorraremos el dinero del transporte público. Siendo x el precio del vuelo de la tarde, expresa cuánto valdría el vuelo de la noche. Siendo y el precio del hotel Downtown por persona y noche, expresa el precio por persona de 3 noches y de 4 noches teniendo en cuenta la oferta. Escribe la inecuación correspondiente a la siguiente situación: coger el vuelo de la mañana y alojarnos 4 noches en el hotel Downtown es más caro que alojarnos 3 noches si tomamos el vuelo de la noche. 3 ¿Lo barato sale caro? Estamos considerando coger el hotel de las afueras, pero tendremos que desplazarnos al centro de la ciudad cogiendo dos veces al día el transporte público. Hemos calculado que la tarjeta de transporte público se amortiza a partir de 20 billetes individuales. Si vamos a estar 4 días, ¿nos compensa comprar la tarjeta de transporte público o es mejor adquirir billetes individuales? ¿Qué vuelo y hotel hay que elegir para que el viaje sea más económico contando con el gasto de transporte? ¿Cuál elegirías tú? ¿Cuánto te costaría hacer este viaje con tu familia? 4 2 Check in/check out Hay otro hotel a las afueras que cuesta 20 € menos por persona que el hotel Downtown. Al hacer la reserva del paquete turístico, vemos que, si cogemos el vuelo de la tarde y nos alojamos en el hotel de las afueras, el viaje nos costará 175 € por persona. Plantea la ecuación correspondiente a esta situación. Nos hemos dado cuenta de que, si nos alojamos en el Downtown, pagaríamos lo mismo en total tanto si cogemos el vuelo de la tarde como el de la noche. Escribe una ecuación que corresponda a esta situación. ¿Cuánto cuesta la noche en cada hotel? ¿Cuánto cuesta cada uno de los vuelos? ¿Qué opción es la más barata? ¿Y la más cara? 81 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 81 12/7/23 10:31 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 5 10 20 30 F F F F F F : 2 : 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 5 1 10 2 20 4 30 6 0 2 = = = = F Constante de proporcionalidad directa MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 24 12 6 4 F F F F F F : 2 ? 2 ? 2 : 2 ? 3 : 3 1 ? 2 4 = 2 ? 1 2 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 2 4 F Constante de proporcionalidad inversa REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES a b c N + + REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES N a b c 1 1 1 + + PORCENTAJES % de a C C a 100 $ = Aumentos: (100 + a) % de C Disminuciones: (100 - a) % de C Porcentajes encadenados: si aplicamos los porcentajes de aumento o disminución t1 , t2, …, tn a C, la cantidad resultante es … t t t C 100 100 100 n 1 2 $ $ $ $ e o . INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO I C r t 100 = $ $ C C r 1 100 f i t = + $d n R E S U M E N D E U N I D A D 2 A U T O E V A L U A C I Ó N 1. Utiliza la proporcionalidad numérica para resolver problemas cotidianos 1 Una cafetera industrial gasta 1,32 kW durante 9 horas. ¿Cuántos kW gastará en 14 horas? a) 1,4 b) 2,05 c) 4,59 d) 0,85 2 Dieciocho programadores, trabajando 8 horas diarias, han desarrollado una nueva aplicación. ¿Cuántas personas se necesitarían si trabajasen 6 horas diarias? a) 14 b) 25 c) 30 d) 24 3 Si dos agricultoras siembran 4 kg de semillas por hectárea en 2 horas, ¿cuánto tiempo tardarían 5 agricultoras en sembrar 15 kg de semillas? a) 18 h y 45 min b) 2 h c) 2 h y 40 min d) 3 h 4 Julia y Carmen han trabajado en un proyecto por el que les han pagado 960 €. Julia ha trabajado 12 h y Carmen 18 h. ¿Cuánto debe cobrar cada una? a) 32 € y 928 € c) 384 € y 576 € b) 320 € y 640 € d) 407 € y 462 € 2. Aplica porcentajes a la resolución de problemas cotidianos y financieros 5 Si al precio de un artículo se le aplica un impuesto del 20 % y, después, una rebaja del 20 %, el porcentaje que se paga es: a) 100 % b) 96 % c) 104 % d) 32 % 6 ¿Cuánto tiempo debo mantener 2 000 € en un depósito a interés simple con un rédito del 2 % para obtener unos intereses de 100 €? a) 18 meses c) 30 meses b) 2 años d) 3 años • ¿Consideras que lo importante es adquirir conocimientos aunque no sea a la primera? • ¿Contribuyes a que todo el mundo se sienta bien? V A L O R A T U A P R E N D I Z A J E 48 ES0000000095173 934547_02_029_048_151278.indd 48 12/7/23 10:11 PASA A LA ACCIÓN: SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 5 EVALÚA LO QUE HAS APRENDIDO: AUTOEVALUACIÓN 6 PRACTICA TUS DESTREZAS: RESUELVE PROBLEMAS REALES 4 Aplica los contenidos que has estudiado a situaciones de tu vida cotidiana relacionadas con los ODS y con distintos ámbitos del saber: MATEMÁTICAS Y… NATURALEZA, ARQUITECTURA, CONSUMO, VIDA SALUDABLE… Enfréntate a las FAKE NEWS. Utiliza los contenidos aprendidos para analizar la veracidad de noticias, comentarios y opiniones generalizadas en nuestro mundo. Repasa los saberes básicos de la unidad. Evalúa lo que has aprendido resolviendo las actividades que se proponen en la AUTOEVALUACIÓN. Identifica y gestiona tus emociones aceptando el error como parte de tu aprendizaje. Comprende y analiza con sentido crítico situaciones reales en los contenidos que has aprendido para abordarlas de manera global.
Cómo se pasa de decimal a fracción • Número decimal exacto: F F Parte entera y decimal sin coma Tantos ceros como cifras decimales 3,71 100 371 = • Número decimal periódico puro: Tantos nueves como cifras tiene el periodo F F Parte entera 6,21 99 621 6 = - # Parte entera y decimal sin coma F • Número decimal periódico mixto: 1,432 990 1 432 14 = - # Tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo Parte entera y decimal no periódica F F G Parte entera y decimal sin coma A C T I V I D A D E S 2 Representa 1,029 # en forma de fracción. a) 100 1 029 b) 99 1 028 c) 99 1 019 d) 990 1 019 Calcular potencias de números enteros ? ? ? 2 2 2 2 2 4 = 4 veces > ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 - = - - - - - 5 veces 1 2 3 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 E J E M P LO • Si la base es un número entero positivo, la potencia es siempre positiva. 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64 • Si la base es un número entero negativo, la potencia es positiva si el exponente es par y negativa si es impar. (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8 (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = 16 A C T I V I D A D E S 1 ¿Cuál de las siguientes potencias tiene como resultado un número negativo? a) (+5)2 b) (-5)2 c) (+5)3 d) (-5)3 ¿Qué sabes ya? Números reales 1 De cajas Coloca las cajas para que haya una entre los unos, dos entre los doses y tres entre los treses. ¿Sabes cómo hacerlo? 1 2 3 1 2 3 D E SA F Í O 9
El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todos los números que se pueden expresar en forma de fracción b a , donde a y b son números enteros y b ! 0. Todos los números naturales, enteros, decimales exactos y periódicos son números racionales. Números racionales Números decimales Números enteros Exactos: 0,2; 0,34; … Periódicos: 0,6; 2,263; … ! # Naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: -1, -2, -3, … 64748 64444744448 64748 Todos los números racionales se pueden representar de manera exacta en la recta numérica . E J E M P LO 1. Indica si estos números son racionales y, si lo son, represéntalos. a) -3 1 3 = - " Se puede expresar como fracción. Es un número racional. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b) 2,3 10 23 = " Se puede expresar como fracción. Es un número racional. 3 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 c) 3,6 9 36 3 9 33 3 11 = - = = ! " Se puede expresar como fracción. Es un número racional. 3 11 3 3 2 = + -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 11 1. Números racionales Los números naturales y enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1. 1 Empareja los números que tengan el mismo valor e indica a qué conjunto numérico pertenece cada uno. 2 Ordena y representa. a) 2,33 2,3 ! 2,3 2,36 # b) -4,2 4,2 - ! -4,22 4,27 - # 3 R E F L E X I O N A . Representa estos números racionales. a) 3 5 b) 16 48 c) 7 15 40 3 3,6 ! 0,01 3,666 0,075 500 5 3 11 A C T I V I D A D E S 10
El conjunto de los números irracionales, I, está formado por los números que no se pueden expresar en forma de fracción . Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras decimales que no se repiten de forma periódica . Existen infinitos números irracionales, por ejemplo: Cualquier raíz no exacta : 5 , 7 - , 24, … Determinados números obtenidos combinando sus cifras decimales, por ejemplo: 0,010010001…; 0,1234567891011…; … Algunos números especiales: r, e, {, … Los números irracionales r = 3,141592…, e = 2,71828… y { = 1,61803… tienen un papel fundamental en geometría , arquitectura , estudios sobre poblaciones, estructuras naturales… E J E M P LO 2. Decide si estos números son racionales o irracionales. a) r = 3,1415926535… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. b) -2 = 1 2 - Se puede expresar en forma de fracción. Es racional. c) 3 2r = 2,094395102… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. d) 5 = 2,236067977… Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica. Es irracional. e) 2 3 4 9 = Se puede expresar en forma de fracción. Es racional. 2. Números irracionales 1 4 Considera las raíces cuadradas de los números naturales desde 1 hasta 20 e indica cuáles de ellas son números racionales y cuáles son números irracionales. 5 Indica de qué tipo son los números. a) 1,232323… c) 13 b) -0,246810 d) 0,135791113 6 Escribe cuatro números irracionales, explicando por qué lo son. 7 R E F L E X I O N A . Clasifica en racionales e irracionales. 3,121122111222... 3,444... 3,123123123... 3,12121212... 3,48163264... 2 r A C T I V I D A D E S R E T O Si sumamos un número irracional y un número racional, ¿a qué conjunto numérico pertenece el resultado? 11
3. Números reales El conjunto de los números reales, R, está formado por todos los números racionales y todos los irracionales. Naturales (N) El número 0 Enteros negativos Enteros (Z) Racionales (Q) Irracionales (I) Números reales (R) Decimales exactos y periódicos 64444744448 64444744448 6447448 Recta real La recta numérica en la que se representan los números reales se denomina recta real. E J E M P LO 3. Representa estos números en la recta real. a) 5 a) Si a es un número natural, los números del tipo a se pueden representar de forma exacta sobre la recta real. Escribimos el radicando como suma de dos cuadrados: 5 = 22 + 12. Construimos sobre la recta el triángulo rectángulo correspondiente y trasladamos la hipotenusa sobre la recta con el compás. b) r b) Generalmente los números irracionales no se pueden representar de forma exacta en la recta real. Los números irracionales que no son del tipo a los representamos de forma aproximada a partir del cálculo previo de su expresión decimal: r = 3,141592… G E O G E B R A 5 3 2 1 0 1 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 F r 8 Representa los siguientes números reales. a) 10 d) -2,334445555... b) 1,3 e) 2r c) 13 f ) 1,25 9 Halla con la calculadora los números 6 , 7 y 8 , y represéntalos de manera aproximada en la recta. 10 R E F L E X I O N A . Observa esta recta real y escribe. -2 -1 0 1 2 3 A B C D a) Dos números enteros entre A y C. b) Tres números racionales no enteros entre B y C. c) Tres números irracionales entre C y D. ! A C T I V I D A D E S Todos los números reales se pueden representar de manera exacta o aproximada en la recta real . 12
1 11 Indica el conjunto numérico al que pertenece cada número. 12 Decide el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno de los números que aparecen a continuación. a) -5 e) 3 r b) 2 f ) -37 c) 5 3 g) 5 1125 d) 625 h) 21,463 # a) 8,0999... d) 5 1 - g) 15 b) -11 e) 6,126 h) 7 8 c) 2,5 f ) 1,223334444... i ) r # A C T I V I D A D E S Cómo se halla el conjunto numérico al que pertenece un número Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen estos números: 25 9 - 9 16 - 7 2,37 ! 1,1223334444… 9 18 - 4 3 - 19 -5 1 S i el número es entero: S i es positivo, es natural. S i es negativo, es entero. 19 " Es un número natural, entero, racional y real. -5 " Es un número entero, racional y real. 2 S i el número es una fracción: Cuando el numerador es múltiplo del denominador, si la fracción es positiva, es natural, y si es negativa, entero. En caso contrario, es racional. 9 18 2 - = - " Es un número entero, racional y real. 4 3 - " Es un número racional y real. 4 S i el número es decimal: S i es exacto o periódico, es racional. En otro caso, es irracional. 2,37 ! " Es un número racional y real. 1,1223334444… " Es un número irracional y real. Cuando operamos con raíces, solo tomamos su valor positivo. 4 2 = 4 2 - = - 3 S i el número contiene una raíz cuadrada: S i el radicando es un cuadrado perfecto, se calcula la raíz. – S i el resultado es un número entero, es natural si es positivo y entero si es negativo. – S i el resultado es una fracción, es racional cuando el numerador no es múltiplo del denominador. S i el radicando no es un cuadrado perfecto, es irracional. 25 = 5 " Es natural, entero, racional y real. 9 3 " - = - Es entero, racional y real. 9 16 3 4 - = - " Es un número racional y real. 7 = 2,64575131… " Es un número irracional y real. Se mantiene el signo. 13
4. Potencias de exponente entero Si a es un número real y n es un número natural: … ? ? a a a n = nveces > a … ? ? a a a 1 1 n n = = - n veces >, con a ! 0 G E O G E B R A Además, para cualquier valor de a ! 0 y b ! 0, se tiene que: a0 = 1 a1 = a a a a 1 1 1 1 = = - b a a b 1 = - d n 13 Indica el signo de estas potencias. a) 5-2 e) (-1)-4 b) (-3)3 f ) 5-2 c) 2-1 g) (-5)-2 d) -2-1 h) 2-4 14 Calcula las siguientes potencias. a) 3 4 1 - e o b) 4 2 4 - - e o c) 7 4 1 - - e o d) 2 7 10 e o 15 Resuelve estas potencias atendiendo al signo y a la paridad del exponente. a) 3 1 2 c) (-3) 2 b) -52 d) (-1)5 16 R E F L E X I O N A . Expresa como un producto de potencias de exponente negativo. a) 9 4 b) 27 8 - c) 243 16 - A C T I V I D A D E S R E T O Calcula el valor de ( 1) 1 1 1 - g - - - ca_ i k m . S i a > 0 y n > 0: ( ) a 0 > n - si n es par. ( ) a 0 < n - si n es impar. a 0 < n - para cualquier valor de n. E J E M P LO S 4. Resuelve estas potencias. a) 2 2 1 8 1 3 3 = = - g) 7 7 1 1 = - b) ? ? ( ) ( ) ( ) ( 5) 5 5 5 125 3 = - - - = - - h) (-5)0 = 1 c) ( ) ( 3) 3 1 9 1 2 2 = - = - - i ) 3 2 2 3 2 3 1 = - = - - - e o d) ( ) ( ) 5 1 125 1 125 1 5 3 3 = - = - = - - - j ) 3 3 1 9 1 2 2 = - = - - - e) (-3)4 = (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3) = 81 k) -40 = -1 f ) ( ) ( 2) 2 1 8 1 8 1 3 3 = - - = - - = - - - l ) 4 4 1 16 1 2 2 = - = - - - 5. Expresa las fracciones que aparecen a continuación como potencias de exponente negativo. a) 3 1 3 3 3 = - e o c) ( ) 5 1 1 5 1 5 5 10 10 10 10 = - = - = - - - - - e e e o o o b) 4 1 4 2 2 = - e o d) 7 2 2 7 2 7 5 5 5 = - = - - - - e e e o o o 14
1 17 Aplica las propiedades de las potencias y expresa el resultado con una potencia de exponente positivo. Indica qué propiedad has utilizado en cada caso. 18 Simplifica expresando como una única potencia. a) 2-5 ? 23 ? 2-4 c) (-4)-4 : (-4)5 : (-4)-6 b) (-3)-6 : (-3)5 ? (-3)-7 d) 7-2 ? 7-3 : 7-5 19 Efectúa las operaciones. a) 46 : 24 e) 2-3 : (-2-3) b) (-3)4 ? (-34) f ) ? ( 5) 5 3 2 4 - - 8 B c) (-26) : (-2-6) g) ? ( ) 2 2 4 8 1 4 - - - 8 B d) (-23)4 ? (-24)-7 h) : ( ) ( ) 2 2 3 4 - - - A C T I V I D A D E S Propiedades de las potencias Si a y b son dos números reales, y m y n son dos números enteros: Producto y cociente de potencias de la misma base. an ? am = an + m ? a a a a a m n n m n m = = - - , con a ! 0 Potencia de un producto y potencia de un cociente. (a ? b)n = an ? bn ? b a b a a b n n n n n = = - d n , con b ! 0 Potencia de una potencia. (an)m = an ? m b a b a b a ? ? ? n m n m n m n m = = d d n n = G , con b ! 0 E J E M P LO 6. Opera y expresa en forma de potencia de exponente positivo. a) (-2)2 ? (-2)3 = (-2)2+3 = (-2)5 = -32 b) (-2)2 ? (-2)-3 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 3 1 = - = - = - = - + - - c) ? 5 2 5 2 4 3 - f p f p 5 2 5 2 2 5 4 3 1 = = = - + - f f p p d) (-3)4 : (-3)-2 = (-3)4 - (-2) = (-3)6 = 729 e) : 4 3 4 3 2 3 - f p f p 4 3 4 3 3 4 243 1 024 2 3 5 5 = = = = - - - f f f p p p f ) ? 2 3 4 3 2 2 1 - - f p f p > H ? ? ? 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 3 4 2 4 2 4 2 4 ? ? ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = - - - - f f e f f o p p p p Una fracción se puede expresar como un producto de potencias. b a = a ? b-1 5 3 = 3 ? 5-1 S i a > 0 y n > 0: ( ) ( ) a a 1 n n - = - - S i n es par ( ) a 0 > n - - " S i n es impar ( ) a 0 < n - - " a a 1 n n - = - - Para cualquier n a 0 < n - - " a) 8-3 ? 8-6 d) 72 15 3 - f p b) 5 5 2 8 2 - - - f p e) 2 5 1 - - f p c) (8 ? 4)-4 f ) (24-21 )2 15
E J E M P LO 7. Aproxima a las centésimas por el método de truncamiento y determina si la aproximación que has hecho es por exceso o por defecto. a) 13,2754 " Truncamiento: 13,27 " Aproximación por defecto b) -21,4785 " Truncamiento: -21,47 " Aproximación por exceso c) 2 = 1,414213… " Truncamiento: 1,41 " Aproximación por defecto E J E M P LO 8. Aproxima estos números a las décimas mediante truncamiento y redondeo. a) 57,423 " Truncamiento: 57,4 Redondeo: 57,4 b) 3,578 " Truncamiento: 3,5 Redondeo: 3,6 c) -2,357 " Truncamiento: -2,3 Redondeo: -2,4 d) 9,971 " Truncamiento: 9,9 Redondeo: 10,0 e) 3 = 1,7320508… " Truncamiento: 1,7 Redondeo: 1,7 El truncamiento y el redondeo coinciden cuando la primera cifra eliminada es menor que 5. 20 Trunca y redondea a las centésimas. a) 24,1587 c) 24,9215 e) 24,1617 b) 24,1507 d) 24,1582 f ) 24,1627 21 Una profesora decide redondear las notas de 10 estudiantes. ¿Qué notas les pondrá? 3,8 6,4 9,7 4,3 5,8 8,4 9,7 2,3 3,8 6,4 22 Aproxima 0,121212…; 5,23888… y 9 11 por redondeo y por truncamiento con dos cifras decimales. 23 R E F L E X I O N A . Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 10 cm. ¿Qué clase de número se obtiene? Redondea el resultado a las milésimas. A C T I V I D A D E S 5. Aproximación de números reales Aproximar números decimales resulta útil a la hora de simplificar los datos para realizar algunos cálculos. El redondeo es una aproximación que consiste en eliminar las cifras a partir de un cierto orden , aumentando una unidad a la última cifra si la primera eliminada es mayor o igual que 5. Aproximar un número decimal consiste en sustituirlo por otro número con menos cifras decimales. El valor de la aproximación puede ser tan cercano al número como queramos. Decimos que una aproximación se realiza por exceso si la aproximación es mayor que el número original y decimos que se realiza por defecto si la aproximación es menor que él . El truncamiento es una aproximación que consiste en eliminar todas las cifras a partir de un orden establecido. R E T O Redondea 1,9 ! a las centésimas. 16
1 E J E M P LO 9. Calcula el error absoluto cometido al aproximar 5 por 2,23. ¿Qué tipo de aproximación se ha realizado? 5 = 2,236067977… " Ea = | 2,236067977… - 2,23 | = 0,006067977… Se ha realizado un truncamiento. Es una aproximación por defecto. E J E M P LO 10. Obtén el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como la longitud de un listón que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes situados a 59,91 m. a) Ea = | 3,59 - 3,5 | = 0,09 m , , , , E V E 3 59 3 59 3 5 25 2 5 0,0 Real r a " = = - = % b) Ea = | 59,91 - 60 | = 0,09 m Real , , , , E V E 59 91 59 91 60 0 0015 0 15 r a " = = - = % El error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa. G E O G E B R A 6. Errores de aproximación A veces damos por buena cualquier aproximación cuyo error sea menor que una cierta cantidad; esa cantidad se llama cota de error. 24 Obtén el error absoluto y relativo cometidos: a) Al redondear 3,125 a las centésimas. b) Al truncar 1,65 a las diezmilésimas. c) Al redondear 13 a las centésimas. d) Al truncar 3 2 a las décimas. e) A l aproximar por defecto 1,3476 a las milésimas. f ) Al redondear 7 11 a las milésimas. # 25 La cantidad de antibiótico en una cápsula es de 1,5 g ! 0,2 %. a) ¿Qué significa esta afirmación? b) ¿ Entre qué valores oscila la cantidad de antibiótico en cada cápsula? 26 R E F L E X I O N A . ¿Qué error absoluto y relativo cometemos al aproximar 1,468 por 1,5? ¿Y por 1,4? ¿Cuál es la mejor aproximación? A C T I V I D A D E S El error relativo puede expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por 100. En este caso, recib e el nombre de porcentaje de error. El error absoluto de una aproximación es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor de la aproximación . Ea = |VReal - VAproximación | El error relativo de una aproximación es el valor absoluto del cociente entre el error absoluto y el valor real . Real Real Real E V E V V V r a Aproximación ; ; ; ; = = - 17
Las semirrectas son cerradas o abiertas según si contienen o no a su extremo. Semirrecta abierta (a, +3) { x ! R / a > x } a Semirrecta cerrada [a, +3) { x ! R / a $ x } a Semirrecta abierta (-3, b) { x ! R / x < b } b Semirrecta cerrada (-3, b] { x ! R / x # b } b E J E M P LO 11. Escribe en forma de intervalos y semirrectas, y representa. a) -3 # x < 2 " [-3, 2) b) x # -4 " (-3, -4] c) 5 $ x > 0 " (0, 5] -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 27 Expresa como intervalos los números reales que: a) Son menores que 4 3 . b) Son menores o iguales que 5 2 - . c) Son mayores que 0. d) Son mayores o iguales que 5 2 - . 28 Escribe y representa sobre la recta real. a) R { / } x x 3 ! # c) R { / } x x 4 7 < ! # b) R { / } x x 1 > ! d) R { / } x x 6 9 < < ! 29 R E F L E X I O N A . Expresa como intervalos. a) |x| < 3 b) |x| < -3 c) |x| $ -3 A C T I V I D A D E S En la expresión de una semirrecta, uno de los extremos es siempre +3 o -3. 7. Intervalos 7.1. Intervalos Un inter valo de extremos a y b es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, siendo a < b. Los intervalos se clasifican según contengan o no a sus extremos. Intervalo abierto (a, b) { x ! R / a < x < b } b a Intervalo cerrado [a, b] { x ! R / a # x # b} b a Intervalo semiabierto (a, b] { x ! R / a < x # b } b a Intervalo semiabierto [a, b) { x ! R / a # x < b } b a 7.2. Semirrectas Una semirrecta de extremo a es el conjunto de todos los números reales entre -3 y a, o bien entre a y +3. (a, b] ABIERTO El extremo no pertenece al intervalo. CERRADO El extremo pertenece al intervalo. a b G G G G G E O G E B R A 18
30 Halla la unión y la intersección de estos intervalos. a) (-5, 1] y [0, 2] c) [2, 4] y (3, 5) b) (-1, 5) y [1, 2] d) (-3, 0] y (-1, 4) 31 Indica si lo siguiente es verdadero o falso. a) (-2, 3) + [-1, 4) = [-1, 4) b) (-2, 3) , (-1, 4) = [-2, 3] A C T I V I D A D E S Cómo se calcula la unión y la intersección de intervalos Halla la unión y la intersección de los siguientes pares de intervalos. a) A = [-4, 2], B = (-2, 4] c) A = (-3, -4], B = [-4, 2) b) A = [-3, 5], B = (-3, +3) d) A = (-3, 2], B = (2, 4] 1 R epresentamos los intervalos sobre la misma recta real. 2 La unión de los intervalos será toda la parte de la recta que ocupan los intervalos. La intersección está formada tan solo por la parte de la recta en la que los intervalos coinciden. 3 Expresamos en forma numérica el resultado obtenido gráficamente. Cuando el extremo pertenece, lo indicamos con un punto. Cuando el extremo no pertenece, lo indicamos con un punto hueco. a) b) c) d) a) A , B = [-4, 4] A + B = (-2, 2] b) A , B = [-3, +3) A + B = (-3, 5] c) A , B = (-3, 2) A + B = {-4} d) A , B = (-3, 4] A + B = Q a) A , B " A + B " b) A , B " A + B " c) A , B " A + B " d) A , B " A + B " La intersección de intervalos puede ser vacía, un punto o un intervalo. La unión de intervalos distintos no puede ser un punto y solo es el vacío si todos los intervalos lo son. 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 19
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