6 Aprender es un camino de largo recorrido que durará toda tu vida. Analizar el mundo que te rodea, comprenderlo e interpretarlo te permitirá intervenir en él para recorrer ese camino CONSTRUYENDO MUNDOS más equitativos, más justos y más sostenibles. Por ello, hemos pensado en: Itinerario didáctico Cómo se resuelve una inecuación Utilizamos las propiedades de las inecuaciones hasta dejar la incógnita en un miembro y un número en el otro. • Al sumar o restar en los dos miembros de una inecuación la misma cantidad, la desigualdad no varía. • Al multiplicar o dividir los dos miembros por un número: − Positivo, la desigualdad no varía. – Negativo, la desigualdad cambia de sentido. E J E M P LO Resuelve la inecuación 3(x + 4) - 2(x - 5) > 11. 3x + 12 - 2x + 10 > 11 " 3x - 2x > 11 - 12 - 10 " x > -11 La solución es el intervalo (-11, +3). A C T I V I D A D E S 2 Resuelve 5(x - 3) - 2x # 4(x + 2) - 3(x - 1). a) (13, +3) c) (-3, 13] b) (-3, 13) d) [13, +3) Cómo se representan gráficamente las soluciones de una ecuación lineal Las soluciones de una ecuación lineal forman una recta. Para representarla basta encontrar dos soluciones, representarlas como puntos y unirlos con una recta. E J E M P LO Representa las soluciones de -2x + y = 3. Si x = 0 " y = 3 Si x = -1 " y = 1 x 0 -1 y 3 1 A C T I V I D A D E S 1 Dado el punto (a, a - 2), indica el valor de a para que pertenezca a la recta 4x = 2y + 10. a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 3 1 1 Y X ¿Qué sabes ya? Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 4 El extraño número Toma un número de cuatro cifras. Ordena las cifras de mayor a menor y de menor a mayor, y resta ambos números. Repite este proceso cuatro veces más. Obtendrás el número 6 174. ¿Cómo puede ser? D E SA F Í O 65 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 65 12/7/23 10:26 1. Movimientos en el plano 1 ¿Cuáles de las figuras resultan al aplicar un movimiento a esta figura? 2 Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas. a) Una transformación es un movimiento. b) Un movimiento conserva siempre la forma. c) Una transformación mantiene el tamaño. d) Un movimiento mantiene el tamaño. e) Una transformación no mantiene nunca el tamaño de las figuras. 3 R E F L E X I O N A . Dibuja una letra E y aplícale distintas transformaciones geométricas. A C T I V I D A D E S Una transformación geométrica en el plano nos permite obtener un punto Pl, a partir de otro punto P, mediante una regla precisa . Un movimiento es una transformación geométrica que conser va las distancias y los ángulos. Es decir , si dos puntos P1 y P2 están a una distancia d, sus transformados Pl 1 y Pl 2 estarán también a una distancia d; y, si dos rectas r y s forman un ángulo a, sus transformadas rl y sl también formarán un ángulo a. En una transformación, un punto se llama doble cuando su transformado es él mismo. Una recta es doble si su transformada es ella misma. E J E M P LO 1. Debajo puedes ver varias transformaciones de esta figura. Determina cuáles son movimientos. Las figuras 1, 2 y 3 se obtienen aplicando movimientos a la figura original. En todas ellas se conservan la forma y el tamaño. La figura 1 es idéntica a la figura inicial. La figura 2 se obtiene girando 45º la figura inicial. En la figura 3 se han intercambiado los elementos del lado derecho por los del izquierdo. La figura 4 no conserva la forma ni el tamaño, no es un movimiento. La figura 5 conserva la forma, pero no el tamaño; por tanto, no es un movimiento. Figura 1 Figura 2 Figura 5 Figura 4 Figura 3 a) c) b) d) Trasladamos una silla 2 m hacia la derecha y 1 m hacia delante. ¿Cuál el módulo del vector de esa traslación? 84 ES0000000095173 934547_05_083_100_153059.indd 84 12/7/23 10:40 2. Traslaciones 5 4 Obtén la figura trasladada mediante el vector v. 5 Un cuadrado tiene como vértices A(-1, 1), B(1, 1), C(1, -1) y D(-1, -1). Calcula su trasladado mediante la traslación de vector v= (4, -2). 6 R E F L E X I O N A . Determina la traslación que transforma el punto A(-1, 4) en Al(5, 2). A C T I V I D A D E S Una traslación es un movimiento que transforma una figura en otra figura igual pero desplazada. Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto Pl, de forma que PPl tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v. Se representa por tv. G E O G E B R A Dados un punto A(a, b) y un vector v = (v1, v2), el punto trasladado de A, es otro punto Al, con coordenadas Al(a + v1, b + v2). E J E M P LO 2. Realiza una traslación de vector v al triángulo ABC &. Partiendo de cada vértice, colocamos vectores iguales en módulo, dirección y sentido que v . Uniendo los extremos de los vectores, Al, Bl y Cl, obtenemos la figura transformada de la inicial. Decimos que el triángulo A B C l l l & es el transformado de ABC & mediante la traslación de vector v. La traslación conserva los ángulos y las distancias y, por tanto, es un movimiento. X A B Y C v Y X A B C Al Bl Cl v E J E M P LO 3. Dados el punto A(2, 1) y el vector v = (5, 2), determina las coordenadas del punto Al, transformado de A mediante la traslación tv. A(2, 1) Traslación " v(5, 2) Al(2 + 5, 1 + 2) " " Al(7, 3) A Al Y X 1 1 v En una traslación: No existen puntos dobles. Las únicas rectas dobles son las que contienen el vector. Y X v R E T O r l il i l r i l t . l l l l t r tr l i 1 1 1 1 1 1 85 ES0000000095173 934547_05_083_100_153059.indd 85 12/7/23 10:41 a c t i v i da d e s f i n a l e s 43 Halla el número de soluciones que tiene cada uno de estos sistemas en función de los valores que tomen a y b. a) x ay x y b 3 5 6 2 - = - = 4 b) ax y x by 5 1 2 6 + = - - - = 4 c) ax by x by 5 6 2 10 - - = - = 4 44 I N V E S T I G A . Averigua qué número cumple cada condición. a) La suma de las dos cifras de un número coincide con su diferencia. b) La suma de las dos cifras de un número es 2a y su diferencia es a. 45 R E T O . Resuelve este sistema de ecuaciones. a b a b 2 2 2 2 + = + = 4 Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado 46 Encuentra las soluciones de este sistema. x y x y 3 2 3 6 6 4 - = - + = - 3 primero. Se expresan las ecuaciones dejando los términos independientes en el segundo miembro y se resuelve el sistema por el método más adecuado. x y x y 3 2 3 6 4 6 - = - = 3 ? 2 $ - x y x y 6 6 4 6 0 0 6 4 - = - = = 2 segundo. Se analiza la solución. Como 0 = 0, se cumple para infinitos valores de x e y, el sistema es compatible indeterminado. Fijamos el valor de x y expresamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones. Para x = m hallamos el valor de y despejando en la primera ecuación: x y y x y 3 2 3 2 3 3 2 3 3 m - = = - = - $ x " =m Las soluciones son los pares ( , ) , x y 2 3 3 m m = - e o. 47 Resuelve estos sistemas de ecuaciones. a) x y x y 5 2 6 1 + = + = -3 b) x y x y 4 2 6 2 3 + = + = 3 48 I N V E N TA . Escribe dos sistemas de ecuaciones en cada caso y resuélvelos. a) Compatibles determinados. b) Compatibles indeterminados. c) Incompatibles. 49 R E T O . Si despejando la misma incógnita en dos ecuaciones, y una vez igualadas, no se puede resolver la ecuación con una incógnita que resulta, ¿el sistema es compatible o incompatible? Razónalo. 2. Determina e interpreta las soluciones de un sistema de inecuaciones 50 Relaciona cada sistema con sus soluciones. a) x x x 3 8 2 5 1 $ - - -2 b) x x x x 5 2 4 3 1 $ - - + 2 c) x x x 2 7 2 2 1 $ + - 2 -3 2 -1 4 0 5 A C T I V I D A D E S F L A S H 51 Halla la solución de estos sistemas de inecuaciones. a) ( ) ( ) x x x 2 3 4 3 5 1 $ - - 3 c) ( ) ( ) x x x 5 2 10 0 3 2 1 0 1 # - - - + + 3 b) x x x 3 5 9 3 4 15 1 # - + + - 2 d) ( ) ( ) x x x 3 1 8 11 4 2 2 2 # - - + + - 3 52 Resuelve el sudoku. Ayúdate del valor máximo que puede tomar x en estos sistemas de inecuaciones. a) x x x 2 6 12 4 5 2 # $ + - + 2 b) x x x x 2 11 1 2 3 4 1 1 $ - - + + 2 c) x x x 3 2 10 2 6 4 2 # - - - 2 d) ( ) x x x x 2 4 1 7 2 4 1 $ + + + + 3 c) 1 a) d) 1 2 b) 76 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 76 12/7/23 10:30 4 53 Resuelve estos sistemas de inecuaciones. a) x x x 3 2 4 7 5 4 1 1 $ + - 4 c) x x x 5 4 2 3 3 1 - - x 1 $ + 4 b) x x x x 2 3 5 1 1 3 2 1 4 2 $ + - - + + 3 2 + 4 d) x x x x x 4 5 2 3 6 2 3 $ - + + x 0 # - - 4 54 I N V E N TA . Escribe un sistema de inecuaciones con una incógnita que tenga estas soluciones. a) [-2, 1) c) [0, +3) b) (-3, 0) d) {2} 55 Halla la solución en cada caso. a) x x x 0 2 1 2 2 # - 3 b) x x x 3 0 1 0 2 2 # + - 3 c) x x x 4 3 2 # $ - 3 56 J U E G O . Quien comienza debe utilizar la segunda inecuación de este sistema para generar un nuevo sistema de forma que (1, 1) sea solución. x y x y 2 3 5 7 2 1 - - + 3 La siguiente persona utiliza la inecuación del primero para generar otro sistema con la misma solución, y así sucesivamente. Pierde quien no forme el sistema o repita alguna inecuación. ¿Cómo podrías ganar siempre? 57 Resuelve estos sistemas de inecuaciones. a) x y x y 0 2 2 # + - 3 c) y x y 3 0 $ $ - + 3 b) x y x y 1 2 1 1 $ + - 3 d) x y x y 3 3 2 $ # - - + -3 58 Determina la región solución de estos sistemas. a) y x y x y x 2 2 1 3 $ # $ + - - -4 b) y x y y x 3 1 5 2 $ # $ - + 4 59 R E T O . Resuelve siendo a y b números naturales. ( ) ( ) ax a y a bx b y b 1 2 1 2 1 1 + + + + + + 4 60 Expresa con un sistema de inecuaciones cada región del plano señalada en la figura. 61 I N V E S T I G A . Sea a un número positivo. Considera el conjunto S de todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) satisfacen estas condiciones. a x a 2 2 # # a y a 2 2 # # y a x $ + x a y $ + x y a $ + ¿Qué tipo de polígono representa la frontera de S? 3. Resuelve problemas con sistemas 62 En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas hay de cada clase si en total tienen 125 cajas? 63 A un congreso acuden 60 personas. Si se van 3 hombres y vienen 3 mujeres, el número de mujeres sería 3 1 del número de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en el congreso? 64 Por el desierto va una caravana formada por camellos y dromedarios, con un total de 440 patas y 160 jorobas. ¿Cuántos camellos y dromedarios hay en la caravana? (Recuerda que los camellos tienen dos jorobas y los dromedarios tienen una). 2 1 6 3 4 5 x + 2y = 4 1 1 77 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 77 12/7/23 10:30 21 Resuelve. a) x y x y 4 1 2 2 # $ + - 3 e) x y x y 4 1 2 2 # # + - 3 b) x y x y 2 1 4 3 $ $ + - - -3 f ) x y x y 2 1 4 3 # $ + - - -3 c) x y x y 2 3 4 3 # $ + + -3 g ) x y x y 2 3 4 3 $ $ + + -3 d) x y x y 2 2 3 # # + + 3 h) x y y x x y 3 2 6 2 5 3 7 # $ - - + + - 3 22 Determina la región solución de estos sistemas de tres inecuaciones con dos incógnitas y represéntala en un eje de coordenadas. a) ( ) y x y y x 2 4 3 3 1 0 2 # $ - - + - 4 b) y x y x 5 2 1 1 $ $ - - -4 23 Escribe los sistemas de inecuaciones que determinan cada uno de los cuatro cuadrantes. A C T I V I D A D E S 4 Cómo se resuelven sistemas de inecuaciones con dos incógnitas Resuelve este sistema de inecuaciones: x y x y 2 2 4 2 # - - + 3. G E O G E B R A 1 R esolvemos cada inecuación por separado y determinamos la región del plano que es solución de cada una. x - y > -2. Representamos la recta correspondiente a su igualdad. x - y = -2 x = 0 " y = 2 " Pasa por el punto (0, 2). x = 1 " y = 3 " Pasa por el punto (1, 3). Analizamos si (0, 0) es solución de la inecuación. x - y > -2 x = 0, y = 0 " 0 > -2 " Es solución. Por tanto, la solución es la región a la que pertenece este punto. x + 2y # 4. Representamos la recta correspondiente a su igualdad. x + 2y = 4 x = 0 " y = 2 " Pasa por el punto (0, 2). x = 2 " y = 1 " Pasa por el punto (2, 1). Analizamos si (0, 0) es la solución de la inecuación. x + 2y # 4 x = 0, y = 0 " 0 # 4 " Es solución. La solución es la región a la que pertenece este punto. Y X x - y > -2 3 1 Y X x + 2y # 4 3 1 2 R epresentamos en los mismos ejes la región del plano que es solución de cada inecuación y seleccionamos la región que cumple ambas inecuaciones a la vez. Y X x - y > -2 x + 2y # 4 1 3 Y X 1 3 Para calcular la región solución de una inecuación no debemos tomar puntos situados sobre las rectas, ya que no aportan información sobre la región que buscamos. Para representar una recta basta con dos puntos. Tomamos (0, 0) para facilitar los cálculos. La inecuación contiene el signo =. La solución del sistema es la región coloreada de verde. La recta no pertenece porque la inecuación no contiene el signo =. 73 ES0000000095173 934547_04_065_082_154654.indd 73 12/7/23 10:30 EL PUNTO DE PARTIDA: EL DESAFÍO MATEMÁTICO 1 CONSOLIDA LO APRENDIDO: ACTIVIDADES FINALES 3 CONSTRUYE TU CONOCIMIENTO: LOS SABERES BÁSICOS 2 Acepta el DESAFÍO, utiliza tu ingenio y tu razonamiento para resolver el DESAFÍO MATEMÁTICO que te proponemos al inicio de la unidad. Afianza esos saberes mediante los EJEMPLOS incluidos para cada contenido. Desarrolla tu PENSAMIENTO COMPUTACIONAL aprendiendo, paso a paso, las destrezas básicas. Practica, aplica y reflexiona sobre los conocimientos que has adquirido realizando las ACTIVIDADES. Pon a prueba tus conocimientos y ayúdate de tu razonamiento matemático para resolver el RETO. ¡Llegarás a resultados inesperados! Trabaja los contenidos que has aprendido resolviendo actividades de todo tipo: JUEGOS, INVENTA, INVESTIGA, RETOS, ACTIVIDADES FLASH… Puedes resolver estas actividades mediante CÁLCULO MENTAL, utilizando GEOGEBRA, buscando algún tipo de información en INTERNET… Aprende a partir de textos claros y estructurados. Recuerda los contenidos que ya sabes y que te serán útiles para la unidad. Evalúa esos conocimientos resolviendo las actividades propuestas.
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