Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda , dissenyada i creada al Depar tament d ’ Edicions de Grup Promotor / Santillana , dirigit per Teresa Grence Ruiz i Anna Sagristà Mas. En l ’elaboració ha par ticipat l ’equip següent: Mª Encarnación Almécija Mar tínez Silvia Marín García Alber to César Barbero María Magdalena Moyano de la Cruz José Emilio Bascuñana Fernández Carlos Pérez Saavedra María Isabel Bascuñana Gallego Juan Miguel Ribera Puchades José Carlos Gámez Pérez Federico Rodríguez Merinero Ana Gaztelu Villorria Domingo Sánchez Figueroa Queralt Gonfaus Saumell José María Vázquez de la Torre EDICIÓ Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García EDICIÓ EXECUTIVA Núria Grinyó Mar torell Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa Les activitats d’aquest llibre no s’han de fer mai al llibre mateix. Les taules, els esquemes i altres recursos que s’hi inclouen són models perquè l ’alumnat els traslladi a la llibreta. 1 E S O Matema` tiques
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 1 Divisibilitat 9 1. Potencies. Operacions amb potencies _ 10 2. Divisibilitat de nombres naturals _ 12 3. Múltiples d ’un nombre _ 13 4. Divisors d ’un nombre _ 14 5. Nombres primers i compostos _ 16 6. D escomposició en factors _ 18 7. Màxim comú divisor _ 20 8. Mínim comú múltiple _ 22 2 Nombres enters 33 1. Nombres enters _ 34 2. Comparació de nombres enters _ 36 3. Suma i resta de dos nombres enters _ 38 4. Suma i resta de diversos nombres enters _ 39 5. Multiplicació i divisió de nombres enters _ 42 6. Potències de nombres enters _ 44 7. Arrel quadrada de nombres enters _ 46 8. O peracions combinades de nombres enters _ 48 3 Fraccions 59 1. Fraccions _ 60 2. Fraccions pròpies i impròpies _ 61 3. Fraccions equivalents _ 62 4. Comparació de fraccions _ 66 5. Suma i resta de fraccions _ 68 6. Multiplicació de fraccions _ 70 7. Divisió de fraccions _ 71 8. Operacions combinades amb fraccions _ 72 4 Nombres decimals 83 1. Nombres decimals _ 84 2. Comparació de nombres decimals _ 86 3. Aproximació de nombres decimals _ 88 4. M ultiplicació i divisió per la unitat seguida de zeros _ 89 5. S uma, resta i multiplicació de nombres decimals _ 90 6. D ivisió de nombres decimals _ 92 7. E xpressió d ’una fracció com a nombre decimal _ 96 8. C lassificació de nombres decimals _ 97 5 Àlgebra 105 1. Expressions algebraiques _ 106 2. Monomis _ 108 3. Polinomis. Operacions _ 110 4. Equacions _ 112 5. Elements d ’una equació _ 113 6. Equacions equivalents _ 114 7. Resolució d ’equacions de primer grau _ 115 8. Resolució de problemes amb equacions _ 118 6 Proporcionalitat i percentatges 129 1. Raó i proporció _ 130 2. Magnituds directament proporcionals _ 132 3. Problemes de proporcionalitat directa _ 134 4. Repartiments directament proporcionals _ 136 5. Percentatges _ 138 6. Problemes amb percentatges _ 139 7. Augments i disminucions percentuals _ 142 2
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ’aprenentatge • Com es calculen tots els divisors d ’un nombre • Com es determina si un nombre és primer • Com es factoritzen nombres naturals • Com es resolen problemes de màxim comú divisor • Com es resolen problemes de mínim comú múltiple • Com es calcula una xifra d ’un nombre perquè sigui divisible per un altre MATEMÀTIQUES I… • Biologia • Xarxes socials • Futbol • Consum • Construcció FAKE NEWS. Anàlisi de notícies Què en faig, amb les salsitxes que em sobren? (Comparació de l’empaquetatge d ’alguns productes que comprem als supermercats) • Com s’ordenen els nombres enters • Com se sumen i es resten diversos nombres enters • Com es resolen sumes i restes amb parèntesis • Com es multipliquen i divideixen diversos nombres enters • Com es calcula el valor de la potència d ’un nombre enter • Com es calcula l’arrel quadrada d ’un nombre enter • Com es fan operacions combinades amb claudàtors • Com es resolen sumes i restes de nombres enters eliminant parèntesis MATEMÀTIQUES I… • Climatologia • Història • Electrodomèstics • Medicina • Finances FAKE NEWS. Anàlisi de dades Cistella! (Estudi sobre l’efectivitat en les puntuacions del bàsquet) • Com es redueixen fraccions a comú denominador • Com es calcula la fracció irreductible • Com es comparen fraccions • Com es resolen operacions combinades de suma i resta de fraccions • Com es resolen operacions combinades amb fraccions • Com es representa una fracció a la recta numèrica • Com es calcula una part del total MATEMÀTIQUES I… • Esport • Natura • Música • Videojocs • Cuina FAKE NEWS. Reflexió crítica sobre la població mundial Si ho arribo a saber, faig puré! (Càlcul de quantitats per elaborar receptes de cuina) • Com es representen els nombres decimals a la recta numèrica • Com s’ordenen nombres decimals • Com es resolen operacions combinades de suma, resta i multiplicació amb nombres decimals • Com s’obtenen xifres decimals en un quocient MATEMÀTIQUES I… • Construcció • Esport • Medi ambient • Astronomia • Consum FAKE NEWS. Cerca de dades incoherents Un segon dura sempre el mateix? (Investigació sobre la utilitat relativa de la mesura del temps en diversos esports) • Com es calcula el valor numèric d ’una expressió algebraica • Com se sumen i es resten monomis • Com se sumen i es resten polinomis • Com es resolen equacions amb parèntesis • Com es resolen equacions amb denominadors • Com es resolen problemes mitjançant equacions • Com es resolen equacions amb un únic denominador MATEMÀTIQUES I… • Esports • Nutrició • Natura FAKE NEWS. Anàlisi d ’ofertes. Educació financera Tres peces al dia, quina alegria! (Resolució de problemes de consum) • Com es calcula el terme desconegut en una proporció • Com s’esbrina si dues magnituds són directament proporcionals • Com es resolen problemes de proporcionalitat directa amb una regla de tres • Com es fan repartiments directament proporcionals • Com es resolen problemes de percentatges amb una regla de tres • Com es calculen augments i disminucions percentuals • Com es calcula la quantitat repartida si se’n sap una part MATEMÀTIQUES I… • Economia • Consum • Biologia • Vida sana • Societat • Monedes • Medi ambient • Nutrició FAKE NEWS. Anàlisi d ’ofertes. Educació financera Espera o… desespera (Estudi del funcionament d ’alguns mitjans de comunicació) 3
Índex Un i t a t Const rue i x cone i xement Sabers bàs i cs 7 Rectes i angles 153 1. Rectes _ 154 2. Semirectes i segments _ 156 3. Angles _ 158 4. Posicions relatives d ’angles _ 160 5. Polígons _ 162 6. Angles en els polígons _ 164 8 Triangles 173 1. Triangles _ 174 2. R elacions entre els elements d ’un triangle _ 176 3. Rectes i punts notables en el triangle _ 180 4. Teorema de Pitàgores _ 182 9 Quadrilàters i circumferència 195 1. Quadrilàters _ 196 2. Propietats dels paral·lelograms _ 198 3. Polígons regulars _ 200 4. Circumferència _ 202 5. Posicions relatives de la circumferència _ 204 6. Cercle _ 207 10 Perímetres i àrees 215 1. Perímetre d ’un polígon _ 216 2. Longitud de la circumferència _ 217 3. Àrea dels paral·lelograms _ 218 4. Àrea del triangle _ 221 5. Àrea del trapezi _ 224 6. Àrea d ’un polígon regular _ 226 7. Àrea del cercle _ 228 11 Funcions 239 1. Coordenades cartesianes _ 240 2. Concepte de funció _ 244 3. Expressió d ’una funció mitjançant una taula _ 245 4. E xpressió d ’una funció mitjançant una equació _ 246 5. E xpressió d ’una funció mitjançant una gràfica _ 248 6. Interpretació de gràfiques _ 250 7. Funcions de proporcionalitat directa _ 252 12 Estadística i probabilitat 263 1. Població i mostra _ 264 2. Variables estadístiques _ 265 3. Freqüències. Taules de freqüències _ 266 4. Gràfics estadístics _ 268 5. Mesures estadístiques _ 272 6. Experiments aleatoris _ 273 7. Probabilitat _ 274 4
Pract i ca l es competènc i es espec í f iques Procediment s bàs i cs Matemàt iques en e l món rea l S i tuac i ó d ’aprenentatge • Com es tracen rectes paral·leles i perpendiculars a una recta que passen per un punt • Com es traça la mediatriu d ’un segment • Com es traça la bisectriu d ’un angle • Com es calcula la mesura dels angles d ’un polígon • Com es determinen els eixos de simetria d ’un polígon MATEMÀTIQUES I… • Ioga • Videojocs • Televisió • Arquitectura • Tecnologia FAKE NEWS. Anàlisi de gràfiques Què hi pinto, jo, aquí? (Anàlisi d ’obres artístiques i ús de formes geomètriques) • Com es dibuixa un triangle coneguda la mesura dels costats • Com es construeix un triangle coneguts un costat i els seus angles contigus • Com es construeix un triangle coneguts dos dels costats i l’angle que formen • Com es determina si un triangle és rectangle • Com es determina un costat desconegut en un triangle rectangle • Com es resolen problemes amb el teorema de Pitàgores • Com es dibuixa un triangle coneixent-ne un dels costats i dos angles, un dels quals no contigu MATEMÀTIQUES I… • Telefonia • Construcció • Tecnologia • Esport FAKE NEWS. Estudi d ’algunes propietats dels triangles Triangles futbolístics (Anàlisi de diverses estratègies per jugar a futbol ) • Com es construeixen paral·lelograms • Com es calculen elements d ’un paral·lelogram amb el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’apotema d ’un polígon regular aplicant el teorema de Pitàgores • Com es dibuixa una circumferència que passa per tres punts • Com es construeixen polígons regulars MATEMÀTIQUES I… • Tecnologia FAKE NEWS. Anàlisi de les dades necessàries per determinar quadrilàters Collem-ho ben fort (Estudi de les propietats de la circumferència) • Com es calcula l’àrea d ’un paral·lelogram mitjançant el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’àrea d ’un triangle rectangle • Com es calcula l’àrea d ’un triangle equilàter o isòsceles • Com es calcula l’àrea d ’un trapezi mitjançant el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’àrea d ’un polígon regular mitjançant el teorema de Pitàgores • Com es calcula l’àrea d ’una figura plana • Com es calcula l’altura d ’un triangle coneixent-ne la base i l’àrea MATEMÀTIQUES I… • Escacs • Arquitectura • Automobilisme • Tecnologia • Monedes FAKE NEWS. Càlcul d’àrees en representacions gràfiques La casa de les finestres blaves (Elaboració d ’un pressupost a partir del càlcul d ’àrees) • Com es calculen les coordenades d ’un punt • Com es determina si un punt pertany a una funció • Com es representa gràficament una funció • Com es representa gràficament un enunciat • Com es representen funcions de proporcionalitat directa • Com s’elabora una taula de valors a partir de l’expressió algebraica • Com es determina si una gràfica correspon a una funció MATEMÀTIQUES I… • Medicina • Economia • Telèfons mòbils FAKE NEWS. Educació financiera Qui belluga les cames belluga el cor! (Estudi gràfic de preus) • Com es construeixen taules de freqüències • Com es construeix diagrama de barres i el seu polígon de freqüències • Com es construeixen diagrames de sectors • Com es calculen probabilitats utilitzant la regla de Laplace • Com es calcula el tant per cent que representa una dada MATEMÀTIQUES I… • Ecologia • Nutrició • Seguretat viària FAKE NEWS. Anàlisis estadístiques en mitjans de comunicació Els mites de la loteria de Nadal (Investigació de la veracitat d ’algunes opinions sobre la loteria) 5
6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es fa la prova de la divisió En una divisió, sempre es compleix que: Dividend divisor residu quocient F Dividend = divisor ? quocient + residu D = d · q + r i que r < d E X E M P L E Comprova si la prova d’aquestes divisions es compleix. 57 5 2 11 F D = 57, d = 5, c = 11, r = 2 57 = 5 ? 11 + 2 = 55 + 2 = 57 i 2 < 5. 89 17 21 4 F D = 89, d = 17, c = 4, r = 21 89 = 17 ? 4 + 21 No es compleix, perquè 21 > 17 A C T I V I T A T S 2 Localitza la divisió que té algun error. a) 75 9 3 8 b) 43 5 3 8 c) 92 12 8 7 d) 61 6 7 9 Quan una divisió és exacta • Una divisió és exacta si el residu de la divisió és zero. • Una divisió és entera si el residu de la divisió és diferent de zero. E X E M P L E Decideix si aquestes divisions són exactes o no. a) 27 3 0 9 El residu de la divisió és zero. La divisió és exacta. b) 29 3 2 9 El residu de la divisió és diferent de zero. La divisió és entera. A C T I V I T A T S 1 Indica quina d’aquestes divisions és exacta. a) 35 : 4 b) 93 : 9 c) 54 : 6 d) 62 : 7 Què en saps , ja? Divisibilitat 1 Em sembla que avui no dormiré Quant temps creus que trigaries a comptar en veu alta de l’1 al 100? I a comptar de l’1 a 1 000 000? Creus que si comences ara mateix tindràs temps d ’acabar abans d ’anar-te’n a dormir? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9 Una potència és una manera d’escriure una multiplicació de factors iguals. La base és el factor que es repeteix i l’exponent és el nombre de vegades que es repeteix la base. an = a ? a ? a ? a ? ... ? a 1444442444443 n vegades 1.1. Producte i quocient de potències amb la mateixa base 1.2. Potències d’exponent 1 i 0 Una potència d’exponent 1 és igual a la base: a1 = a. Una potència d’exponent 0 i base diferent de 0 és igual a 1: a0 = 1. E X E M P L E 1. Calcula aquestes operacions. a) 63 ? 65 = (6 ? 6 ? 6) ? (6 ? 6 ? 6 ? 6 · 6) = 63 + 5 = 68 c) 54 ? 52 = (5 ? 5 ? 5 · 5) ? (5 ? 5) = 54 + 2 = 56 1442443 144444424444443 14444244443 123 3 vegades 5 vegades 4 vegades 2 vegades b) 45 : 42 = (4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4) : (4 ? 4) = 45 - 2 = 43 d) 75 : 73 = (7 ? 7 ? 7 ? 7 · 7) : (7 ? 7 ? 7) = 75 - 3 = 72 144444424444443 123 144444424444443 1442443 5 vegades 2 vegades 5 vegades 3 vegades E X E M P L E 2. Calcula. a) 61 = 6 c) 171 = 17 b) 50 = 1 d) 240 = 1 1. Potències. Operacions amb potències 1 Escriu el resultat d’aquests productes en forma d’una sola potència. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 b) 3 ? 3 ? 3 d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 2 Calcula i escriu com una sola potència. a) 25 ? 24 d) 106 : 102 b) 37 ? 36 e) 87 : 83 c) 103 ? 100 f ) 65 : 6 3 Calcula les potències següents. a) 30 b) 51 c) 01 4 Quants ous hi ha en 12 caixes amb 12 oueres d’una dotzena d’ous cadascuna? Escriu-ho en forma de potència. 5 R E F L E X I O N A . Calcula el valor del triangle i del rombe perquè es compleixin les igualtats. a) 5m ? (56 : 52) = 57 b) (37 : 3r) ? 33 = 3r A C T I V I T A T S Per multiplicar dues o més potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i se sumen els exponents. am ? an = am + n Per dividir dues potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i es resten els exponents. am : an = am - n Abans d’operar, no t’oblidis de comprovar si les dues potències tenen la mateixa base. F G 34 base exponent 10 1.3. Potència d’una potència Per elevar una potència a una altra potència, es manté la mateixa base i es multipliquen els exponents. (am)n = am ? n E X E M P L E 3. Calcula. a) (54)2 = 54 ? 54 = 54 + 4 = 54 ? 2 = 58 b) (72)3 = 72 ? 72 ? 72 = 72 + 2 + 2 = 72 ? 3 = 76 1.4. Potència d’un producte i d’un quocient La potència d’una multiplicació és igual al producte de les potències dels seus factors. (a ? b)n = an ? bn La potència d’una divisió és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor. (a : b)n = an : bn 1 6 Expressa en forma d’una sola potència. a) (32)6 c) (412)2 e) (69)4 b) (75)3 d) (53)6 f ) (123)0 7 Dona’n el resultat com una sola potència. a) 22 ? 32 c) 312 ? 412 e) 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? 3 b) 53 ? 73 d) 59 ? 69 f ) (7 ? 4)6 : (7 ? 4)3 8 Calcula per tal que es compleixin les igualtats. a) 5d ? 3d = 152 c) 76 ? 3d = d6 b) d3 : 43 = 3d d) 88 : dd = 28 9 REFLEXIONA. Completa perquè les igualtats siguin certes. a) (24)3 ? (33)d = d6 b) 34 ? d4 : d2 = 1 A C T I V I T A T S E X E M P L E S 4. Expressa com a producte o quocient de dues potències. a) (6 ? 5)2 = (6 ? 5) ? (6 ? 5) = 6 ? 6 ? 5 ? 5 = 62 ? 52 b) (15 : 2)4 = (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) = (15 ? 15 ? 15 ? 15) : (2 ? 2 ? 2 ? 2) = 154 : 24 5. Escriu com una sola potència. a) 83 ? 53 = 8 ? 8 ? 8 ? 5 ? 5 ? 5 = (8 ? 5) ? (8 ? 5) ? (8 ? 5) = (8 ? 5)3 = 403 b) 165 : 85 = (16 ? 16 ? 16 ? 16 ? 16) : (8 ? 8 ? 8 ? 8 ? 8) = (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) = (16 : 8)5 = 25 Si es fan servir aquestes propietats es poden simplificar els càlculs. 54 ? 24 = (5 ? 2)4 = 104 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 R E P T E Quin és el nombre més gran que es pot escriure amb tres xifres? 11 Representa i interpreta informació amb nombres decimals 63 Resol els encreuats de nombres. Compte! La coma decimal hi ocupa una casella. E A F B C D HORITZONTAL A. Tres desenes, cinc unitats i dos centèsims. B. Quatre desenes, sis unitats i vuit mil·lèsims. C. Quaranta-set centèsims. D. Nou desenes i dos dècims. VERTICAL E. Tres centenes i seixanta-quatre centèsims. F. Vuit unitats i cent cinc mil·lèsims. 64 Quants metres ha recorregut el caragol en cada cas? a) b) c) 5,12 m 5,13 m 3,7 m 3,8 m 0 m 1 m A C T I V I T A T S F L A I X 65 Representa els nombres a la recta numèrica. a) 1,2 b) 3,5 c) 2,35 d) 1,27 e) 3,57 66 I N V E S T I G A . Hem resolt un problema i el resultat és que hem de comprar 6,21 barres de pa. a) Té sentit, aquesta solució? b) De quina manera es pot interpretar? c) Hi ha alguna altra situació en què també passi això? 67 I N V E S T I G A . De vegades, a l’hora de pagar una compra, ens n’indiquen l’import d’aquesta manera: «Són tres euros amb cinc, si us plau». a) A quina quantitat de diners es refereixen? b) Es pot confondre aquesta expressió amb una altra quantitat? 68 Com es deia l’autora de Feliçment, jo soc una dona? Ordena els nombres de més gran a més petit i respon. N A C P M A Y 4,025 4,205 4,502 4,25 4,225 4,255 4,008 69 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C O N S T R U C C I Ó . Alguns dels túnels més famosos d’Europa són: Sant Gotard (Suïssa): 16 km i 918 metres. Frejús (França-Itàlia): 12 895 metres. Mont Blanc: 11,6 km. Gran Sasso: 2 728 metres menys que el de Frejús. Arlberg (Àustria): 139,72 hm. Ordena les longituds en quilòmetres de més gran a més petita. 70 R E P T E . Considera els nombres 3,1 i 3,2. Podries escriure 100 nombres compresos entre aquests dos? I 1 000? I 1 000 000? Com ho faries? Resol operacions d’arrodoniment i truncament 71 Trunca i arrodoneix als dècims i als centèsims. a) 3,21 b) 4,893 c) 9,732 d) 3,99 e) 5,453 72 Escriu dos nombres decimals tals que en arrodonir-los als mil·lèsims donin 8,678. A C T I V I T A T S F L A I X 73 Resol de dues maneres diferents. Què hi observes? Arrodoneix els sumands als dècims i, després, opera. Opera i, després, arrodoneix als dècims. a) 4,56 + 3,65 b) 3,93 + 3,88 74 I N V E S T I G A . El nombre r té infinites xifres decimals. Esbrina quines són les 10 primeres i estudia’n els arrodoniments i truncaments possibles. a) Quants n’hi ha que coincideixin? b) És raonable que coincideixin aproximadament la meitat dels truncaments? Per què? I N T E R N E T a c t i v i tat s f i n a l s 98 Opera amb nombres decimals 75 Calcula. a) 5,43 ? 10 d) 7,224 ? 1 000 g) 4,23 : 1 000 b) 18,91 : 10 000 e) 63,02 ? 0,01 h) 0,542 : 0,001 c) 0,01 : 1 000 f ) 18,319 : 0,01 i) 754,6 ? 0,001 A C T I V I T A T S F L A I X 76 Copia i completa aquest quadrat màgic en què les sumes de cada fila, columna i diagonal coincideixen. 77 Troba el nombre que representa cada símbol. a) 5,427 ? = 542,7 d) 96,7 : = 0,967 b) 62,31 : = 6,231 e) 0,042 ? = 42 c) 54,2 : = 0,0542 f ) 6,54 ? = 65,4 78 Copia la diana a la llibreta i escriu el resultat de les operacions a la casella corresponent. Després, emplena les caselles buides amb una operació, de manera que el resultat compleixi aquestes condicions: Suma 100. Suma 200. Suma 300. Cada sector circular suma 100. 79 Sense resoldre les operacions, escriu el signe que hi correspon: <, = o >. Com l’has trobat? a) 38 ? 1,5 4 40 d) 160 : 2,5 4 80 b) 42 ? 0,75 4 40,5 e) 140 : 1,8 4 70 c) 98 ? 1,25 4 100 f ) 326 : 2,5 4 130,4 Operacions combinades 80 Completa el quadrat amb els nombres que hi falten. 10,52 8,72 3,32 6,92 Xina Antic Egipte 5,04 2,7 2,1 : 8,4 = = = = = - - # + + = 81 J O C . Cada participant té 2 minuts per escriure una operació combinada, amb parèntesis o sense, i amb tots o alguns dels nombres que es proposen en cada apartat. Guanya qui escriu l’operació que té com a resultat el nombre que es busca, o la que s’hi acosti més. a) Nombres proposats: 10,03; 2,36; 3,1; 0,5; 6,78. Nombre buscat: 4,365. b) Nombres proposats: 6,3; 3; 15,9; 4,2; 3; 1,05; 2,6. Nombre buscat: 7,53. 82 I N V E N TA . Algunes operacions amb nombres decimals donen com a resultat un nombre enter, encara que a simple vista no ho sembli. a) Quina d’aquestes operacions dona com a resultat un nombre enter? b) Inventa tres operacions amb decimals i amb resultat enter. Converteix nombres decimals en fraccions 83 Busca aquests nombres a la taula. a) El més gran. b) El més petit. c) El més pròxim a 2,8. d) El decimal exacte més petit. e) El que es repeteix. 2,7281… 2,73 2,7 ! 2,71 # 2,7172 # 2,87 ! 2,8 ! 2,77 2,871 # 2,78 2,771 % 2,855 ! 2,743 2,78 # 2,85 ! 2,86 # A C T I V I T A T S F L A I X 84 Calcula una fracció equivalent a aquests nombres: a) 6,3 b) 7,98 c) 12,518 d) 12,071 e) 62,433 85 I N V E S T I G A . Si la teva calculadora no tingués la tecla ? , com ho faries per obtenir aquests nombres? a) 0,9 b) 2,02 c) 0,007 86 Resol la suma 5 9 15 7 + i troba’n el nombre decimal equivalent. Després, resol aquesta mateixa suma amb els nombres decimals que equivalen a cadascuna de les fraccions. Obtens el mateix resultat? 87 R E P T E . Expressa en forma de fracció la zona de color. Si l’àrea del quadrat és 1 m2, quin decimal representa la zona de color? 3,46 + 2,64 0,25 ? 42 5 ? (2,4 - 1,2) 5 - 0,75 : 0,5 I N T E R N E T 4 126,4 : 8 28,4 : 2 61,03 : 1,7 109,2 : 6 121,1 : 7 47,1 : 3 6,5 : 0,2 0,334 : 0,01 80,64 : 2,4 501 : 10 99 21 Copia i relaciona cada nombre amb els seus divisors. 22 Troba tots els divisors d’aquests nombres. a) 12 c) 18 e) 49 g) 33 b) 35 d) 28 f ) 52 h) 98 23 Calcula tots els divisors d’aquests nombres. a) 96 c) 441 e) 150 b) 100 d) 245 f ) 304 24 La Raquel vol fer bossetes de 48 llaminadures per repartir-les entre els assistents a la seva festa de comiat. a) Quantes bossetes de 8 llaminadures pot fer? b) Si només convida 3 persones a la festa, quantes llaminadures hi haurà dins cada bosseta? 25 A partir dels divisors de 12, calcula els divisors de 24. Quina relació hi trobes? 26 Després de calcular els divisors de 18, indica quins són els divisors de: a) 36 b) 54 c) 90 27 Troba tots els divisors de 10. A partir d’aquests, troba tots els divisors dels nombres següents. a) 20 b) 40 c) 80 28 L’Andreu té 45 adhesius. En vol fer munts amb el mateix nombre d’adhesius, i que no en sobri cap. a) Quants tipus de munts en pot fer? b) Quants adhesius tindrien, en cada cas? 29 Al matí, repartim 60 guixos entre diverses aules, de manera que cada una tingui el mateix nombre de guixos i no en sobri cap. a) Quantes aules hi podria haver? b) Quants guixos per aula repartiríem, en cada cas? A C T I V I T A T S Com es calculen tots els divisors d’un nombre Calcula tots els divisors de 50. 1 Dividim el nombre entre 1, 2, 3... fins que el quocient sigui més petit o igual que el divisor. 2 De cada divisió exacta extraiem dos divisors: el divisor i el quocient. El quocient és més petit o igual que el divisor. Parem de dividir. Si multipliquem els divisors d’un nombre que estan situats al extrems, el resultat és el nombre del qual hem calculat els divisors. Div (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 } 45 45 45 1 50 1 0 50 50 4 10 12 2 50 2 10 25 0 50 5 0 10 50 6 2 8 50 3 20 16 2 50 7 1 7 50 : 1 = 50 " 1 i 50 són divisors de 50. 50 : 2 = 25 " 2 i 25 són divisors de 50. 50 : 5 = 10 " 5 i 10 són divisors de 50. La resta de les divisions no són exactes. Els divisors de 50 són: Div (50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}. a) 6 b) 18 c) 30 d) 42 e) 50 1 6 14 25 2 7 15 30 3 9 18 42 5 10 21 50 15 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem a l’inici de la unitat. Reforça aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades.
7 a c t i v i da d e s f i n a l e s Resol problemes en contextos de la vida real 111 M AT E M ÀT I Q U E S I … E S C A C S . En un tauler d’escacs hi ha 64 quadrats disposats en vuit files i vuit columnes alternats en dos colors: blanc i negre. a) Calcula l’àrea de cada quadrat del tauler sabent que el seu costat fa 52 mm. b) Troba el costat del tauler i l’àrea que ocupa. c) Sabent que els peons tenen una base circular d’1,5 cm de radi i la resta de peces tenen una base circular d’1,8 cm, quina àrea queda ocupada per les 32 peces? 112 L’Andreu ha decidit ampliar el jardí, allargant-ne 10 m cada costat i construint-hi aquest camí. Quina superfície hi ocupa el camí? 113 Quina és l’àrea de la taula? 114 M AT E M ÀT I Q U E S I … A R Q U I T E C T U R A . A Palma, a l’illa de Mallorca, hi ha el castell de Bellver. Té dues plantes i un pati interior de forma circular. El radi del pati és d’11 m i el diàmetre de l’edifici és de 54 m. Calcula l’àrea que ocupen les dependències de la planta baixa del castell. I N T E R N E T 115 M AT E M ÀT I Q U E S I … T E C N O L O G I A . L’autonomia d’una bicicleta elèctrica sol ser de 32 km. Quantes voltes han de fer les rodes fins que se n’esgoti la bateria? 116 I N V E S T I G A . En una pizzeria fan aquestes pizzes: Petites Mitjanes Familiars Diàmetre (cm) 23 30 40 Preu (€) 6,95 7,95 14,95 Quina mida ofereix una relació quantitat-preu més bona? 117 Calcula la longitud de les cadenes que sostenen el seient del gronxador. 118 M AT E M ÀT I Q U E S I … A U T O M O B I L I S M E . Els pneumàtics dels vehicles porten inscrit el diàmetre interior, que s’expressa en polzades. Calcula els perímetres de les rodes cada vehicle tenint en compte que una polzada equival a 2,54 cm. Cotxe: 16" Camió: 22,5" Ciclomotor: 14" 119 La claror que fa un far forma un angle de 150°. a) Esbrina a quants metres equival una milla marina i calcula la longitud de l’arc que descriu la claror del far a una distància de 6 milles marines. b) Quina és l’àrea de la secció en què un vaixell veuria la claror suposant que l’abast màxim d’il·luminació fos de 7 milles marines? I N T E R N E T 10 m 60 m 40 m 10 m t t s f i n a l s 1 m 1 m G F 30 cm 125° 4,36 m 234 120 La Marta es vol fer una corona perquè és el seu aniversari. Quanta cartolina necessita? 121 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . M O N E D E S . A les monedes d’1 i 2 euros de Malta es pot veure l’emblema que utilitzava l’orde de Malta; es tracta d’una creu de vuit puntes que es coneix avui dia com a creu de Malta. Calcula la superfície que hi ocupa la creu. 36 cm 10 Més gris que verd I tu, què en penses? NE WS FAKE ? P R O B L E M E S A P A R E N T M E N T D I F E R E N T S 122 Calcula el perímetre d’aquestes figures geomètriques. a) b) 123 La joieria Set Safirs ha dissenyat un fermall amb 8 pedres de colors, 1 peça central i 7 de semicirculars encastades en or. Quina és la longitud necessària d’or per encastar-hi les pedres? 124 Observa la figura i respon. a) Quant mesura x? b) Quant mesura y? c) Quines són les dimensions del rectangle taronja? d) Quina és l’àrea del rectangle taronja? e) Calcula l’àrea de la zona verda i explica com ho fas. 125 En una zona circular de 10 m de radi sembrada de gespa hi ha inscrita una piscina de forma rectangular. Per no trepitjar la gespa, un camí surt des del punt mitjà del costat més llarg de la piscina, que fa 4 m de longitud. Quant fa la piscina de llarg i d’ample? Quina és la superfície del jardí si el camí fa 1 m d’amplada? 126 Calcula les àrees d’aquestes figures. a) b) 127 En la rehabilitació d’un palau s’ha encarregat una porta de fusta per a l’entrada d’un passadís amb una volta de canó que fa 3 m d’alt i 2 d’ample. Quina superfície hi ocupa la porta? 10 m 4 m x y Urbanització Mont-Roquer 40 hectàrees de terreny 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 1 000 m 100 m 100 m 100 m 400 m 153 600 m2 per a carrers i serveis. I més de la meitat del terreny en zones verdes! G F G FG F G F G F 4,75 mm 3,5 mm 8,75 mm F F F 235 S I T U A C I Ó D ’ A P R E N E N T A T G E La Paula és una gran ciclista i a mi m’encanta patinar. Quant als esports que seguim per televisió i Internet, el meu esport preferit és el motociclisme: no em perdo cap cursa de MotoGP. Aquest any m’ ha agradat especialment la cursa d’Assen del Gran Premi d’Holanda . La Paula , en canvi , és una apassionada del ciclisme: sobretot del Tour de França . Una de les que li han agradat més va ser la victòria d’Omar Fraile en la 14a etapa del Tour de França del 2018. Resultats de l’etapa 14. Resultats de la cursa Posició Pilot Temps 1r M. Márquez 0:41:13,863 2n A. Rins +2,269 s 3r M. Viñales +2,308 s 4t A. Dovizioso +2,422 s 5è V. Rossi +2,963 s 6è C. Crutchlow +3,876 s 7è J. Lorenzo +4,462 s Posició Ciclista Temps 1r O. Fraile 04:41:57 2n J. Alaphilippe +00:00:06 3r J. Stuyven +00:00:06 4t P. Sagan +00:00:12 5è D. Caruso +00:00:17 6è S. Geschke +00:00:19 7è N. Edet +00:00:19 Un segon dura sempre el mateix? TOUR DE FRANÇA 2018 CIRCUIT D’ASSEN 2018 102 4 1 Cada esport amb el seu temps! En ciclisme, el temps s’aproxima als segons. En canvi, en motociclisme s’ajusta fins als mil·lèsims de segon. En quantes hores, minuts i segons va acabar la cursa d’Assen Marc Márquez? Calcula el temps que van trigar la resta dels corredors de la taula. Fes aquests mateixos càlculs amb els set primers classificats de l’etapa de ciclisme. Andrea Dovizioso i Jorge Lorenzo corren en el mateix equip, Ducati. I Maverick Viñales i Valentino Rossi també comparteixen equip a Yamaha. Quant de temps d’avantatge va aconseguir Dovizioso respecte de Lorenzo? Quant de temps va guanyar Viñales a Rossi? Si sumem els temps dels dos integrants dels equips Ducati i Yamaha, quin dels dos equips va trigar menys? Quant de temps menys? 3 El temps és relatiu Els analistes esportius, quan parlen del triomf en una cursa, diuen que és més o menys significatiu segons el temps que el primer classificat tingui d’avantatge respecte del segon. Si el temps de diferència entre el guanyador i el segon classificat és molt gran, diuen que ha estat una victòria molt significativa. Però... com podem comparar, la Paula i jo, si la victòria ha estat més significativa en ciclisme o en motociclisme? He tingut una idea. Divideix el temps final del segon classificat, en segons, entre el temps del primer, també en segons, en els dos esports. Quins valors obtens? Pots obtenir un valor més gran que 1? A partir dels resultats, quina victòria creus que es pot considerar més significativa? Per què? Passa el mateix amb la diferència entre el primer i el setè? 2 Com més velocitat, més precisió La Paula i jo discutim sobre els nostres esports preferits. Jo li dic que 10 m de diferència entre dues motos no és res, i que, en canvi, en ciclisme és una diferència substancial. Una ciclista, a una velocitat de 20 km/h, quant triga a recórrer 10 m? I quant triga una motociclista a 160 km/h? Què passaria si en MotoGP aproximessin el temps com si fos una etapa ciclista? Quants corredors farien el mateix temps? En aquest cas, si dos corredors aconseguissin el mateix temps, voldria dir que han arribat junts a la meta? 103 PER Í METRE ÀREA 10 Resol problemes relacionats amb distàncies i perímetres 1 Quin és el perímetre d’un rectangle de 3 cm i 4 cm de costat? a) 7 cm b) 10 cm c) 12 cm d) 14 cm 2 Troba el perímetre d’un romboide de 7 cm i 2 cm de costat. a) 9 cm b) 14 cm c) 18 cm d) 20 cm 3 Calcula el perímetre d’un hexàgon regular amb un radi de 4 cm. a) 3,46 cm b) 4 cm c) 24 cm d) 42 cm Calcula longituds en la circumferència 4 Quina és la longitud d’una semicircumferència de 6 cm de radi? a) 12 cm b) 18,84 cm c) 37,68 cm d) 113 cm 5 Calcula la longitud d’un arc de 200° en una circumferència de 5 cm de diàmetre. a) 8,72 cm b) 15,7 cm c) 17,4 cm d) 31,4 cm Resol problemes relacionats amb superfícies 6 Tria el polígon regular que tingui una àrea més gran. a) Un pentàgon de 4 cm de costat i 3,4 cm de radi. b) Un hexàgon de 3 cm de radi. c) Un heptàgon de 3 cm d’apotema i 3,3 cm de radi. d) Un quadrat de 6 cm de diagonal. Calcula superfícies en la circumferència 7 Troba l’àrea de la zona pintada. a) 2,36 cm2 b) 6,86 cm2 c) 7 cm2 d) 68,26 cm2 30° 3 cm Resol problemes en contextos de la vida real 8 En un pati en forma d’hexàgon regular de 7 m de costat, hi ha una piscina circular de 4 m de radi, com es mostra a la figura. B A Calcula la superfície que ocupa la gespa. a) 25 m2 b) 50 m2 c) 77 m2 d) 127 m2 Una nena recorre les zones A i B per la vora de la piscina. Quina distància camina? a) 7 m b) 8,4 m c) 25,12 m d) 42 m a r e d c b A = r ? r2 A = b ? h h b r P = a + b + c + d + e L = 2 ? r ? r A = c2 h b c B ? ( ) A B b h 2 = + A = a ? b a b h b ? A b h 2 = d D a l ? A D d 2 = ? A P a 2 = F F R E S U M D E L A U N I T A T A U T O A V A L U A C I Ó • Et motiven els reptes nous? • Assumeixes les teves obligacions en el grup? V A L O R A E L T E U A P R E N E N T A G E 238 PASSA A L’ACCIÓ: SITUACIÓ D’APRENENTATGE 5 AVALUA EL QUE HAS APRÈS: AUTOAVALUACIÓ 6 PRACTICA LES DESTRESES: RESOL PROBLEMES REALS 4 Aplica els continguts que has estudiat a situacions de la vida quotidiana relacionades amb els ODS i amb diversos àmbits del saber: MATEMÀTIQUES I… NATURA, ARQUITECTURA, CONSUM, VIDA SALUDABLE… Enfronta’t a les FAKE NEWS. Utilitza els continguts apresos per analitzar la veracitat de notícies, comentaris i opinions generalitzades en el nostre món. Repassa els sabers bàsics de la unitat. Avalua el que has après resolent les activitats que es proposen a l’AUTOAVALUACIÓ. Identifica i gestiona les teves emocions acceptant l’error com a part del teu aprenentatge. Comprèn i analitza amb sentit crític situacions reals amb els continguts que has après per tractar-les de manera global.
Com es fa la prova de la divisió En una divisió, sempre es compleix que: Dividend divisor residu quocient F Dividend = divisor ? quocient + residu D = d · q + r i que r < d E X E M P L E Comprova si la prova d’aquestes divisions es compleix. 57 5 2 11 F D = 57, d = 5, c = 11, r = 2 57 = 5 ? 11 + 2 = 55 + 2 = 57 i 2 < 5. 89 17 21 4 F D = 89, d = 17, c = 4, r = 21 89 = 17 ? 4 + 21 No es compleix, perquè 21 > 17 A C T I V I T A T S 2 Localitza la divisió que té algun error. a) 75 9 3 8 b) 43 5 3 8 c) 92 12 8 7 d) 61 6 7 9 Quan una divisió és exacta • Una divisió és exacta si el residu de la divisió és zero. • Una divisió és entera si el residu de la divisió és diferent de zero. E X E M P L E Decideix si aquestes divisions són exactes o no. a) 27 3 0 9 El residu de la divisió és zero. La divisió és exacta. b) 29 3 2 9 El residu de la divisió és diferent de zero. La divisió és entera. A C T I V I T A T S 1 Indica quina d’aquestes divisions és exacta. a) 35 : 4 b) 93 : 9 c) 54 : 6 d) 62 : 7 Què en saps , ja? Divisibilitat 1 Em sembla que avui no dormiré Quant temps creus que trigaries a comptar en veu alta de l’1 al 100? I a comptar de l’1 a 1 000 000? Creus que si comences ara mateix tindràs temps d ’acabar abans d ’anar-te’n a dormir? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9
Una potència és una manera d’escriure una multiplicació de factors iguals. La base és el factor que es repeteix i l’exponent és el nombre de vegades que es repeteix la base. an = a ? a ? a ? a ? ... ? a 1444442444443 n vegades 1.1. Producte i quocient de potències amb la mateixa base 1.2. Potències d’exponent 1 i 0 Una potència d’exponent 1 és igual a la base: a1 = a. Una potència d’exponent 0 i base diferent de 0 és igual a 1: a0 = 1. E X E M P L E 1. Calcula aquestes operacions. a) 63 ? 65 = (6 ? 6 ? 6) ? (6 ? 6 ? 6 ? 6 · 6) = 63 + 5 = 68 c) 54 ? 52 = (5 ? 5 ? 5 · 5) ? (5 ? 5) = 54 + 2 = 56 1442443 144444424444443 14444244443 123 3 vegades 5 vegades 4 vegades 2 vegades b) 45 : 42 = (4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4) : (4 ? 4) = 45 - 2 = 43 d) 75 : 73 = (7 ? 7 ? 7 ? 7 · 7) : (7 ? 7 ? 7) = 75 - 3 = 72 144444424444443 123 144444424444443 1442443 5 vegades 2 vegades 5 vegades 3 vegades E X E M P L E 2. Calcula. a) 61 = 6 c) 171 = 17 b) 50 = 1 d) 240 = 1 1. Potències. Operacions amb potències 1 Escriu el resultat d’aquests productes en forma d’una sola potència. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 b) 3 ? 3 ? 3 d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 2 Calcula i escriu com una sola potència. a) 25 ? 24 d) 106 : 102 b) 37 ? 36 e) 87 : 83 c) 103 ? 100 f ) 65 : 6 3 Calcula les potències següents. a) 30 b) 51 c) 01 4 Quants ous hi ha en 12 caixes amb 12 oueres d’una dotzena d’ous cadascuna? Escriu-ho en forma de potència. 5 R E F L E X I O N A . Calcula el valor del triangle i del rombe perquè es compleixin les igualtats. a) 5m ? (56 : 52) = 57 b) (37 : 3r) ? 33 = 3r A C T I V I T A T S Per multiplicar dues o més potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i se sumen els exponents. am ? an = am + n Per dividir dues potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i es resten els exponents. am : an = am - n Abans d’operar, no t’oblidis de comprovar si les dues potències tenen la mateixa base. F G 34 base exponent 10
1.3. Potència d’una potència Per elevar una potència a una altra potència, es manté la mateixa base i es multipliquen els exponents. (am)n = am ? n E X E M P L E 3. Calcula. a) (54)2 = 54 ? 54 = 54 + 4 = 54 ? 2 = 58 b) (72)3 = 72 ? 72 ? 72 = 72 + 2 + 2 = 72 ? 3 = 76 1.4. Potència d’un producte i d’un quocient La potència d’una multiplicació és igual al producte de les potències dels seus factors. (a ? b)n = an ? bn La potència d’una divisió és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor. (a : b)n = an : bn 1 6 Expressa en forma d’una sola potència. a) (32)6 c) (412)2 e) (69)4 b) (75)3 d) (53)6 f ) (123)0 7 Dona’n el resultat com una sola potència. a) 22 ? 32 c) 312 ? 412 e) 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? 3 b) 53 ? 73 d) 59 ? 69 f ) (7 ? 4)6 : (7 ? 4)3 8 Calcula per tal que es compleixin les igualtats. a) 5d ? 3d = 152 c) 76 ? 3d = d6 b) d3 : 43 = 3d d) 88 : dd = 28 9 REFLEXIONA. Completa perquè les igualtats siguin certes. a) (24)3 ? (33)d = d6 b) 34 ? d4 : d2 = 1 A C T I V I T A T S E X E M P L E S 4. Expressa com a producte o quocient de dues potències. a) (6 ? 5)2 = (6 ? 5) ? (6 ? 5) = 6 ? 6 ? 5 ? 5 = 62 ? 52 b) (15 : 2)4 = (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) = (15 ? 15 ? 15 ? 15) : (2 ? 2 ? 2 ? 2) = 154 : 24 5. Escriu com una sola potència. a) 83 ? 53 = 8 ? 8 ? 8 ? 5 ? 5 ? 5 = (8 ? 5) ? (8 ? 5) ? (8 ? 5) = (8 ? 5)3 = 403 b) 165 : 85 = (16 ? 16 ? 16 ? 16 ? 16) : (8 ? 8 ? 8 ? 8 ? 8) = (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) = (16 : 8)5 = 25 Si es fan servir aquestes propietats es poden simplificar els càlculs. 54 ? 24 = (5 ? 2)4 = 104 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 R E P T E Quin és el nombre més gran que es pot escriure amb tres xifres? 11
2. Divisibilitat de nombres naturals E X E M P L E 6. Comprova si hi ha alguna relació de divisibilitat entre aquests nombres. a) Entre 204 i 6. 204 6 24 34 0 La divisió és exacta perquè el residu és 0. Dividend = divisor ? quocient 204 = 6 ? 34 Diem que: – 204 és divisible per 6. – 204 conté exactament 34 vegades 6. – Com que 204 és divisible per 6, entre 204 i 6 hi ha relació de divisibilitat. b) Entre 87 i 5. 87 5 37 17 2 La divisió no és exacta perquè el residu és diferent de 0. Diem que: – 87 no és divisible per 5. – 87 no conté un nombre exacte de vegades 5. – Com que 87 no és divisible per 5, entre 87 i 5 no hi ha relació de divisibilitat. 10 Indica, si n’hi ha, la relació de divisibilitat entre aquests nombres. a) 5 i 25 d) 14 i 88 g) 17 i 357 b) 6 i 36 e) 13 i 91 h) 12 i 150 c) 7 i 47 f ) 80 i 81 i) 22 i 220 11 El nombre 504 conté alguns d’aquests nombres una quantitat exacta de vegades. Quins són? a) 28 c) 63 e) 36 b) 49 d) 34 f ) 42 12 Ordena de més petit a més gran els nombres que tinguin una relació de divisibilitat amb 900. a) 75 d) 27 g) 24 b) 8 e) 50 h) 36 c) 45 f ) 12 i) 180 13 REFLEXIONA. Si un nombre a conté b vegades un altre nombre c, quina d’aquestes igualtats és certa? a) c = a ? b b) b = a ? c c) a = b ? c A C T I V I T A T S Quan el nombre més gran de dos nombres no és divisible pel més petit, no hi ha relació de divisibilitat entre els dos. Un nombre és divisible per un altre quan la divisió és exacta , és a dir, el residu és 0. D és divisible per d. D conté exactament q vegades d. Si D és divisible per d, diem que entre D i d hi ha una relació de divisibilitat. D d 0 q Dividend divisor residu quocient R E P T E Si soc un nombre, els divisors dels meus divisors són els meus divisors? 12
E X E M P L E 7. Comprova si 56 és múltiple de 7. I de 6? 56 7 0 8 La divisió 56 : 7 és exacta. 56 és múltiple de 7. " 56 és divisible per 7. 56 6 2 9 La divisió 56 : 6 no és exacta. 56 no és múltiple de 6. " 56 no és divisible per 6. E X E M P L E S 8. Escriu els vuit primers múltiples de 7. {7 ? 1 , 7 ? 2, 7 ? 3, 7 ? 4, 7 ? 5, 7 ? 6, 7 ? 7, 7 ? 8} = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56} 9. Comprova que 3 és múltiple de si mateix i de la unitat. 3 3 0 1 La divisió 3 : 3 és exacta. 3 és múltiple de 3. 3 1 0 3 La divisió 3 : 1 és exacta. 3 és múltiple d’1. 14 Copia aquestes frases i completa-les perquè siguin certes. a) Com que 48 : 3 és una divisió exacta, aleshores 48 és ... de 3. b) Com que 102 : 8 no és una divisió exacta, aleshores... c) Com que 65 : 7... d) Com que 78 : 13... e) Com que 221 : 17... 15 Calcula els cinc primers múltiples de 15. 16 Copia els múltiples de 9 i els múltiples de 6. Quins nombres són múltiples de tots dos? a) 12 d) 297 g) 72 b) 260 e) 212 h) 216 c) 153 f ) 198 i) 318 17 REFLEXIONA. Explica si és cert o fals. a) Els múltiples d’un nombre són divisibles entre si. b) Qualsevol nombre és divisible per un dels seus múltiples. A C T I V I T A T S Un nombre b és múltiple d’un altre nombre a si la divisió de b entre a és exacta . Si b és múltiple de a, aleshores b és divisible per a. El s múltiples d’un nombre s’obt enen multiplicant-lo pel s successius nombres natural s. Múltiples de a " a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7... Això ho escrivim així: a o = {a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4, a ? 5, a ? 6, a ? 7...} És a dir, el nombre de múltiples de a és il·limitat. A més, qualsevol nombre és múltiple de si mateix i de la unitat: a ? 1 = a. 3. Múltiples d’un nombre 1 R E P T E Quin és el nombre més petit que és múltiple de tres nombres exactament? H O E S C R I V I M A I X Í a o " Representa el conjunt de tots els múltiples del nombre a. 3 o " Tots els múltiples de 3. 12 o " Tots els múltiples de 12. 13
Els divisors d’un nombre s’obtenen dividint aquest nombre entre els successius nombres naturals fins que el quocient de la divisió sigui més petit o igual que el divisor. És a dir, el nombre de divisors de a és limitat. A més, qualsevol nombre té com a divisors si mateix i la unitat. Un nombre a és divisor d’un altre nombre b si la divisió de b entre a és exacta . Si a és divisor de b, aleshores b és divisible per a. E X E M P L E S 10. Comprova si 5 i 7 són divisors de 65. 65 5 15 13 0 La divisió 65 : 5 és exacta. 5 és divisor de 65. " 65 és divisible per 5. 65 7 2 9 La divisió 65 : 7 és entera. 7 no és divisor de 65. " 65 no és divisible per 7. 11. Decideix si 4 i 6 són divisors de 36. 36 4 0 9 36 6 0 6 Les dues divisions són exactes; per tant, 4 i 6 són divisors de 36. E X E M P L E 12. Determina si 14 i 1 són divisors de 14. 14 14 0 1 La divisió 14 : 14 és exacta. 14 1 0 14 La divisió 14 : 1 és exacta. 14 és divisor de 14. 1 és divisor de 14. 18 Calcula de quins d’aquests nombres és divisor 12. a) 144 d) 24 b) 56 e) 84 c) 184 f ) 112 19 Observa el dividend, el divisor i el quocient d’aquestes divisions i estableix dues relacions de divisibilitat en cada cas. a) 63 : 3 = 21 d) 72 : 4 = 18 b) 88 : 11 = 8 e) 375 : 15 = 25 c) 96 : 8 = 12 f ) 136 : 8 = 17 20 R E F L E X I O N A . Raona si les afirmacions següents són certes o falses. a) Qualsevol nombre és divisor d’1. b) 1 és divisor de qualsevol nombre. c) 1 és múltiple de qualsevol nombre. d) Qualsevol nombre parell és divisor de 2. e) 2 és divisor de qualsevol nombre parell. f ) Qualsevol nombre senar és múltiple de 3. g) Qualsevol nombre és divisor del seu doble. h) Qualsevol nombre té com a mínim 3 divisors. A C T I V I T A T S 4. Divisors d’un nombre H O E S C R I V I M A I X Í Div (a) " Representa el conjunt de tots els divisors del nombre a. Div (8) " Tots els divisors de 8. Div (12) " Tots els divisors de 12. 24 és divisible per 3. 3 és divisor de 24. 24 és múltiple de 3. G F G F G F 14
21 Copia i relaciona cada nombre amb els seus divisors. 22 Troba tots els divisors d’aquests nombres. a) 12 c) 18 e) 49 g) 33 b) 35 d) 28 f ) 52 h) 98 23 Calcula tots els divisors d’aquests nombres. a) 96 c) 441 e) 150 b) 100 d) 245 f ) 304 24 La Raquel vol fer bossetes de 48 llaminadures per repartir-les entre els assistents a la seva festa de comiat. a) Quantes bossetes de 8 llaminadures pot fer? b) Si només convida 3 persones a la festa, quantes llaminadures hi haurà dins cada bosseta? 25 A partir dels divisors de 12, calcula els divisors de 24. Quina relació hi trobes? 26 Després de calcular els divisors de 18, indica quins són els divisors de: a) 36 b) 54 c) 90 27 Troba tots els divisors de 10. A partir d’aquests, troba tots els divisors dels nombres següents. a) 20 b) 40 c) 80 28 L’Andreu té 45 adhesius. En vol fer munts amb el mateix nombre d’adhesius, i que no en sobri cap. a) Quants tipus de munts en pot fer? b) Quants adhesius tindrien, en cada cas? 29 Al matí, repartim 60 guixos entre diverses aules, de manera que cada una tingui el mateix nombre de guixos i no en sobri cap. a) Quantes aules hi podria haver? b) Quants guixos per aula repartiríem, en cada cas? A C T I V I T A T S Com es calculen tots els divisors d’un nombre Calcula tots els divisors de 50. 1 Dividim el nombre entre 1, 2, 3... fins que el quocient sigui més petit o igual que el divisor. 2 De cada divisió exacta extraiem dos divisors: el divisor i el quocient. El quocient és més petit o igual que el divisor. Parem de dividir. Si multipliquem els divisors d’un nombre que estan situats als extrems, el resultat és el nombre del qual hem calculat els divisors. Div (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 } 45 45 45 1 50 1 0 50 50 4 10 12 2 50 2 10 25 0 50 5 0 10 50 6 2 8 50 3 20 16 2 50 7 1 7 50 : 1 = 50 " 1 i 50 són divisors de 50. 50 : 2 = 25 " 2 i 25 són divisors de 50. 50 : 5 = 10 " 5 i 10 són divisors de 50. La resta de les divisions no són exactes. Els divisors de 50 són: Div (50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}. a) 6 b) 18 c) 30 d) 42 e) 50 1 6 14 25 2 7 15 30 3 9 18 42 5 10 21 50 15
Criteris de divisibilitat Els criteris de divisibilitat són regles que ens permeten reconèixer, sense fer la divisió, si un nombre és divisible per un altre. Els criteris de divisibilitat més importants són : Divisible per Criteri de divisibilitat 2 Si l’última xifra és 0 o parell. 3 Si la suma de les seves xifres és divisible per 3. 5 Si l’última xifra és 0 o 5. 10 Si l’última xifra és 0. 11 Si la diferència entre la suma de les xifres de lloc parell i la suma de les xifres de lloc senar és 0 o divisible per 11. E X E M P L E 13. Esbrina si 19 i 91 són nombres primers o compostos. En calculem els divisors i comprovem quants en tenen. Div (19) = {1, 19} " 19 només té dos divisors. 19 és un nombre primer. Div (91) = {1, 7, 13, 91} " 91 té més de dos divisors. 91 és un nombre compost. 30 Dedueix si aquests nombres són primers o compostos. a) 127 c) 109 e) 261 g) 199 b) 183 d) 217 f ) 389 h) 251 31 Indica alguns dels divisors d’aquests nombres utilitzant els criteris de divisibilitat. a) 54 b) 729 c) 575 d) 444 32 Copia els nombres i completa la xifra que hi falta perquè siguin divisibles per 3. a) 62d c) 7d0 e) 8 d88 b) d15 d) 1 8d0 f ) 3 0d4 33 R E F L E X I O N A . Hi ha cap nombre primer que acabi en 2? I en 3? Raona la resposta. A C T I V I T A T S Un nombre és primer si només té dos divisors: ell mateix i la unitat. a és primer " Div (a) = {1, a} Un nombre és compost si té més de dos divisors. El nombre 1 no és primer ni compost. 5. Nombres primers i nombres compostos 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Nombres primers fins al 100 R E P T E Després de l’11, quins són els tres nombres primers capicues següents? 16
34 Aplica els criteris de divisibilitat i explica si aquests nombres són primers o compostos. a) 42 c) 191 e) 291 b) 320 d) 286 f ) 7 007 35 Justifica que aquests nombres són compostos escrivint com a mínim 3 divisors de cada un. a) 32 c) 270 e) 451 b) 72 d) 321 f ) 667 36 Pots escriure un nombre primer de 23 xifres que acabi en 6? Raona la resposta. 37 En quines xifres pot acabar un nombre primer? Són primers tots els nombres que acaben en aquestes xifres? 38 Quin és el nombre primer capicua de 3 xifres més petit? 39 Hi ha cap nombre primer capicua de 4 xifres? A C T I V I T A T S Com es determina si un nombre és primer Determina si aquests nombres són primers o compostos. a) 51 b) 85 c) 119 d) 59 1 Apliquem els criteris de divisibilitat que coneixem per trobar divisors del nombre. S i no en trob em, el dividim entre els nombres primers per als quals no coneixem criteris: 7, 13, 17..., fins que el quocient sigui més petit o igual que el divisor. 2 S i el nombre és divisible per algun d’ells, és un nombre compost. 3 S i no és divisible per cap d’aquests nombres, és un nombre primer. Els nombres primers per als quals no tenim un criteri de divisibilitat són: 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47... 1 a) 51 no és divisible per 2, perquè no acaba en 0 ni en xifra parell. 51 és divisible per 3, perquè la suma de les seves xifres ho és: 5 + 1 = 6. Per tant, 51 és un nombre compost. b) 85 no és divisible per 2, perquè no acaba en 0 ni en xifra parell. 85 no és divisible per 3, perquè la suma de les seves xifres no ho és. 85 és divisible per 5, perquè acaba en 5. Per tant, 85 és un nombre compost. c) 119 no és divisible per 2, perquè no acaba en 0 ni en xifra parell. 119 no és divisible per 3, perquè la suma de les seves xifres no ho és. 119 no és divisible per 5, perquè no acaba en 0 ni en 5. 119 no és divisible per 11, perquè (1 + 9) - 1 = 9 no és 0 ni divisible per 11. 119 7 49 17 0 " 119 és un nombre compost. d) 59 no és divisible per 2, perquè no acaba en 0 ni en xifra parell. 59 no és divisible per 3, perquè la suma de les seves xifres no ho és. 59 no és divisible per 5, perquè no acaba en 0 ni en 5. 59 no és divisible per 11, perquè 9 - 5 = 4 no és 0 ni divisible per 11. 59 7 3 8 59 11 4 5 59 és un nombre primer. 119 és divisible per 7. El quocient és més petit que el divisor. Parem de dividir. 17
RkJQdWJsaXNoZXIy