6 Aprendre és un camí de llarg recorregut que et durarà tota la vida. Analitzar el món que t’envolta, comprendre’l i interpretar-lo et permetrà intervenir-hi per recórrer aquest camí CONSTRUINT MONS més equitatius, més justos i més sostenibles. Per això, hem pensat en: Itinerari didàctic Com es fa la prova de la divisió En una divisió, sempre es compleix que: Dividend divisor residu quocient F Dividend = divisor ? quocient + residu D = d · q + r i que r < d E X E M P L E Comprova si la prova d’aquestes divisions es compleix. 57 5 2 11 F D = 57, d = 5, c = 11, r = 2 57 = 5 ? 11 + 2 = 55 + 2 = 57 i 2 < 5. 89 17 21 4 F D = 89, d = 17, c = 4, r = 21 89 = 17 ? 4 + 21 No es compleix, perquè 21 > 17 A C T I V I T A T S 2 Localitza la divisió que té algun error. a) 75 9 3 8 b) 43 5 3 8 c) 92 12 8 7 d) 61 6 7 9 Quan una divisió és exacta • Una divisió és exacta si el residu de la divisió és zero. • Una divisió és entera si el residu de la divisió és diferent de zero. E X E M P L E Decideix si aquestes divisions són exactes o no. a) 27 3 0 9 El residu de la divisió és zero. La divisió és exacta. b) 29 3 2 9 El residu de la divisió és diferent de zero. La divisió és entera. A C T I V I T A T S 1 Indica quina d’aquestes divisions és exacta. a) 35 : 4 b) 93 : 9 c) 54 : 6 d) 62 : 7 Què en saps , ja? Divisibilitat 1 Em sembla que avui no dormiré Quant temps creus que trigaries a comptar en veu alta de l’1 al 100? I a comptar de l’1 a 1 000 000? Creus que si comences ara mateix tindràs temps d ’acabar abans d ’anar-te’n a dormir? T ’ H I AT R E V E I X E S ? 9 Una potència és una manera d’escriure una multiplicació de factors iguals. La base és el factor que es repeteix i l’exponent és el nombre de vegades que es repeteix la base. an = a ? a ? a ? a ? ... ? a 1444442444443 n vegades 1.1. Producte i quocient de potències amb la mateixa base 1.2. Potències d’exponent 1 i 0 Una potència d’exponent 1 és igual a la base: a1 = a. Una potència d’exponent 0 i base diferent de 0 és igual a 1: a0 = 1. E X E M P L E 1. Calcula aquestes operacions. a) 63 ? 65 = (6 ? 6 ? 6) ? (6 ? 6 ? 6 ? 6 · 6) = 63 + 5 = 68 c) 54 ? 52 = (5 ? 5 ? 5 · 5) ? (5 ? 5) = 54 + 2 = 56 1442443 144444424444443 14444244443 123 3 vegades 5 vegades 4 vegades 2 vegades b) 45 : 42 = (4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4) : (4 ? 4) = 45 - 2 = 43 d) 75 : 73 = (7 ? 7 ? 7 ? 7 · 7) : (7 ? 7 ? 7) = 75 - 3 = 72 144444424444443 123 144444424444443 1442443 5 vegades 2 vegades 5 vegades 3 vegades E X E M P L E 2. Calcula. a) 61 = 6 c) 171 = 17 b) 50 = 1 d) 240 = 1 1. Potències. Operacions amb potències 1 Escriu el resultat d’aquests productes en forma d’una sola potència. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 b) 3 ? 3 ? 3 d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 2 Calcula i escriu com una sola potència. a) 25 ? 24 d) 106 : 102 b) 37 ? 36 e) 87 : 83 c) 103 ? 100 f ) 65 : 6 3 Calcula les potències següents. a) 30 b) 51 c) 01 4 Quants ous hi ha en 12 caixes amb 12 oueres d’una dotzena d’ous cadascuna? Escriu-ho en forma de potència. 5 R E F L E X I O N A . Calcula el valor del triangle i del rombe perquè es compleixin les igualtats. a) 5m ? (56 : 52) = 57 b) (37 : 3r) ? 33 = 3r A C T I V I T A T S Per multiplicar dues o més potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i se sumen els exponents. am ? an = am + n Per dividir dues potències amb la mateixa base, es manté la mateixa base i es resten els exponents. am : an = am - n Abans d’operar, no t’oblidis de comprovar si les dues potències tenen la mateixa base. F G 34 base exponent 10 1.3. Potència d’una potència Per elevar una potència a una altra potència, es manté la mateixa base i es multipliquen els exponents. (am)n = am ? n E X E M P L E 3. Calcula. a) (54)2 = 54 ? 54 = 54 + 4 = 54 ? 2 = 58 b) (72)3 = 72 ? 72 ? 72 = 72 + 2 + 2 = 72 ? 3 = 76 1.4. Potència d’un producte i d’un quocient La potència d’una multiplicació és igual al producte de les potències dels seus factors. (a ? b)n = an ? bn La potència d’una divisió és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor. (a : b)n = an : bn 1 6 Expressa en forma d’una sola potència. a) (32)6 c) (412)2 e) (69)4 b) (75)3 d) (53)6 f ) (123)0 7 Dona’n el resultat com una sola potència. a) 22 ? 32 c) 312 ? 412 e) 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? 3 b) 53 ? 73 d) 59 ? 69 f ) (7 ? 4)6 : (7 ? 4)3 8 Calcula per tal que es compleixin les igualtats. a) 5d ? 3d = 152 c) 76 ? 3d = d6 b) d3 : 43 = 3d d) 88 : dd = 28 9 REFLEXIONA. Completa perquè les igualtats siguin certes. a) (24)3 ? (33)d = d6 b) 34 ? d4 : d2 = 1 A C T I V I T A T S E X E M P L E S 4. Expressa com a producte o quocient de dues potències. a) (6 ? 5)2 = (6 ? 5) ? (6 ? 5) = 6 ? 6 ? 5 ? 5 = 62 ? 52 b) (15 : 2)4 = (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) ? (15 : 2) = (15 ? 15 ? 15 ? 15) : (2 ? 2 ? 2 ? 2) = 154 : 24 5. Escriu com una sola potència. a) 83 ? 53 = 8 ? 8 ? 8 ? 5 ? 5 ? 5 = (8 ? 5) ? (8 ? 5) ? (8 ? 5) = (8 ? 5)3 = 403 b) 165 : 85 = (16 ? 16 ? 16 ? 16 ? 16) : (8 ? 8 ? 8 ? 8 ? 8) = (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) ? (16 : 8) = (16 : 8)5 = 25 Si es fan servir aquestes propietats es poden simplificar els càlculs. 54 ? 24 = (5 ? 2)4 = 104 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 R E P T E Quin és el nombre més gran que es pot escriure amb tres xifres? 11 Representa i interpreta informació amb nombres decimals 63 Resol els encreuats de nombres. Compte! La coma decimal hi ocupa una casella. E A F B C D HORITZONTAL A. Tres desenes, cinc unitats i dos centèsims. B. Quatre desenes, sis unitats i vuit mil·lèsims. C. Quaranta-set centèsims. D. Nou desenes i dos dècims. VERTICAL E. Tres centenes i seixanta-quatre centèsims. F. Vuit unitats i cent cinc mil·lèsims. 64 Quants metres ha recorregut el caragol en cada cas? a) b) c) 5,12 m 5,13 m 3,7 m 3,8 m 0 m 1 m A C T I V I T A T S F L A I X 65 Representa els nombres a la recta numèrica. a) 1,2 b) 3,5 c) 2,35 d) 1,27 e) 3,57 66 I N V E S T I G A . Hem resolt un problema i el resultat és que hem de comprar 6,21 barres de pa. a) Té sentit, aquesta solució? b) De quina manera es pot interpretar? c) Hi ha alguna altra situació en què també passi això? 67 I N V E S T I G A . De vegades, a l’hora de pagar una compra, ens n’indiquen l’import d’aquesta manera: «Són tres euros amb cinc, si us plau». a) A quina quantitat de diners es refereixen? b) Es pot confondre aquesta expressió amb una altra quantitat? 68 Com es deia l’autora de Feliçment, jo soc una dona? Ordena els nombres de més gran a més petit i respon. N A C P M A Y 4,025 4,205 4,502 4,25 4,225 4,255 4,008 69 M AT E M ÀT I Q U E S I . . . C O N S T R U C C I Ó . Alguns dels túnels més famosos d’Europa són: Sant Gotard (Suïssa): 16 km i 918 metres. Frejús (França-Itàlia): 12 895 metres. Mont Blanc: 11,6 km. Gran Sasso: 2 728 metres menys que el de Frejús. Arlberg (Àustria): 139,72 hm. Ordena les longituds en quilòmetres de més gran a més petita. 70 R E P T E . Considera els nombres 3,1 i 3,2. Podries escriure 100 nombres compresos entre aquests dos? I 1 000? I 1 000 000? Com ho faries? Resol operacions d’arrodoniment i truncament 71 Trunca i arrodoneix als dècims i als centèsims. a) 3,21 b) 4,893 c) 9,732 d) 3,99 e) 5,453 72 Escriu dos nombres decimals tals que en arrodonir-los als mil·lèsims donin 8,678. A C T I V I T A T S F L A I X 73 Resol de dues maneres diferents. Què hi observes? Arrodoneix els sumands als dècims i, després, opera. Opera i, després, arrodoneix als dècims. a) 4,56 + 3,65 b) 3,93 + 3,88 74 I N V E S T I G A . El nombre r té infinites xifres decimals. Esbrina quines són les 10 primeres i estudia’n els arrodoniments i truncaments possibles. a) Quants n’hi ha que coincideixin? b) És raonable que coincideixin aproximadament la meitat dels truncaments? Per què? I N T E R N E T a c t i v i tat s f i n a l s 98 Opera amb nombres decimals 75 Calcula. a) 5,43 ? 10 d) 7,224 ? 1 000 g) 4,23 : 1 000 b) 18,91 : 10 000 e) 63,02 ? 0,01 h) 0,542 : 0,001 c) 0,01 : 1 000 f ) 18,319 : 0,01 i) 754,6 ? 0,001 A C T I V I T A T S F L A I X 76 Copia i completa aquest quadrat màgic en què les sumes de cada fila, columna i diagonal coincideixen. 77 Troba el nombre que representa cada símbol. a) 5,427 ? = 542,7 d) 96,7 : = 0,967 b) 62,31 : = 6,231 e) 0,042 ? = 42 c) 54,2 : = 0,0542 f ) 6,54 ? = 65,4 78 Copia la diana a la llibreta i escriu el resultat de les operacions a la casella corresponent. Després, emplena les caselles buides amb una operació, de manera que el resultat compleixi aquestes condicions: Suma 100. Suma 200. Suma 300. Cada sector circular suma 100. 79 Sense resoldre les operacions, escriu el signe que hi correspon: <, = o >. Com l’has trobat? a) 38 ? 1,5 4 40 d) 160 : 2,5 4 80 b) 42 ? 0,75 4 40,5 e) 140 : 1,8 4 70 c) 98 ? 1,25 4 100 f ) 326 : 2,5 4 130,4 Operacions combinades 80 Completa el quadrat amb els nombres que hi falten. 10,52 8,72 3,32 6,92 Xina Antic Egipte 5,04 2,7 2,1 : 8,4 = = = = = - - # + + = 81 J O C . Cada participant té 2 minuts per escriure una operació combinada, amb parèntesis o sense, i amb tots o alguns dels nombres que es proposen en cada apartat. Guanya qui escriu l’operació que té com a resultat el nombre que es busca, o la que s’hi acosti més. a) Nombres proposats: 10,03; 2,36; 3,1; 0,5; 6,78. Nombre buscat: 4,365. b) Nombres proposats: 6,3; 3; 15,9; 4,2; 3; 1,05; 2,6. Nombre buscat: 7,53. 82 I N V E N TA . Algunes operacions amb nombres decimals donen com a resultat un nombre enter, encara que a simple vista no ho sembli. a) Quina d’aquestes operacions dona com a resultat un nombre enter? b) Inventa tres operacions amb decimals i amb resultat enter. Converteix nombres decimals en fraccions 83 Busca aquests nombres a la taula. a) El més gran. b) El més petit. c) El més pròxim a 2,8. d) El decimal exacte més petit. e) El que es repeteix. 2,7281… 2,73 2,7 ! 2,71 # 2,7172 # 2,87 ! 2,8 ! 2,77 2,871 # 2,78 2,771 % 2,855 ! 2,743 2,78 # 2,85 ! 2,86 # A C T I V I T A T S F L A I X 84 Calcula una fracció equivalent a aquests nombres: a) 6,3 b) 7,98 c) 12,518 d) 12,071 e) 62,433 85 I N V E S T I G A . Si la teva calculadora no tingués la tecla ? , com ho faries per obtenir aquests nombres? a) 0,9 b) 2,02 c) 0,007 86 Resol la suma 5 9 15 7 + i troba’n el nombre decimal equivalent. Després, resol aquesta mateixa suma amb els nombres decimals que equivalen a cadascuna de les fraccions. Obtens el mateix resultat? 87 R E P T E . Expressa en forma de fracció la zona de color. Si l’àrea del quadrat és 1 m2, quin decimal representa la zona de color? 3,46 + 2,64 0,25 ? 42 5 ? (2,4 - 1,2) 5 - 0,75 : 0,5 I N T E R N E T 4 126,4 : 8 28,4 : 2 61,03 : 1,7 109,2 : 6 121,1 : 7 47,1 : 3 6,5 : 0,2 0,334 : 0,01 80,64 : 2,4 501 : 10 99 21 Copia i relaciona cada nombre amb els seus divisors. 22 Troba tots els divisors d’aquests nombres. a) 12 c) 18 e) 49 g) 33 b) 35 d) 28 f ) 52 h) 98 23 Calcula tots els divisors d’aquests nombres. a) 96 c) 441 e) 150 b) 100 d) 245 f ) 304 24 La Raquel vol fer bossetes de 48 llaminadures per repartir-les entre els assistents a la seva festa de comiat. a) Quantes bossetes de 8 llaminadures pot fer? b) Si només convida 3 persones a la festa, quantes llaminadures hi haurà dins cada bosseta? 25 A partir dels divisors de 12, calcula els divisors de 24. Quina relació hi trobes? 26 Després de calcular els divisors de 18, indica quins són els divisors de: a) 36 b) 54 c) 90 27 Troba tots els divisors de 10. A partir d’aquests, troba tots els divisors dels nombres següents. a) 20 b) 40 c) 80 28 L’Andreu té 45 adhesius. En vol fer munts amb el mateix nombre d’adhesius, i que no en sobri cap. a) Quants tipus de munts en pot fer? b) Quants adhesius tindrien, en cada cas? 29 Al matí, repartim 60 guixos entre diverses aules, de manera que cada una tingui el mateix nombre de guixos i no en sobri cap. a) Quantes aules hi podria haver? b) Quants guixos per aula repartiríem, en cada cas? A C T I V I T A T S Com es calculen tots els divisors d’un nombre Calcula tots els divisors de 50. 1 Dividim el nombre entre 1, 2, 3... fins que el quocient sigui més petit o igual que el divisor. 2 De cada divisió exacta extraiem dos divisors: el divisor i el quocient. El quocient és més petit o igual que el divisor. Parem de dividir. Si multipliquem els divisors d’un nombre que estan situats al extrems, el resultat és el nombre del qual hem calculat els divisors. Div (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 } 45 45 45 1 50 1 0 50 50 4 10 12 2 50 2 10 25 0 50 5 0 10 50 6 2 8 50 3 20 16 2 50 7 1 7 50 : 1 = 50 " 1 i 50 són divisors de 50. 50 : 2 = 25 " 2 i 25 són divisors de 50. 50 : 5 = 10 " 5 i 10 són divisors de 50. La resta de les divisions no són exactes. Els divisors de 50 són: Div (50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}. a) 6 b) 18 c) 30 d) 42 e) 50 1 6 14 25 2 7 15 30 3 9 18 42 5 10 21 50 15 EL PUNT DE PARTIDA: T’HI ATREVEIXES? 1 CONSOLIDA EL QUE HAS APRÈS: ACTIVITATS FINALS 3 CONSTRUEIX CONEIXEMENT: ELS SABERS BÀSICS 2 Accepta el REPTE, utilitza l’enginy i el raonament per resoldre el REPTE MATEMÀTIC que et proposem a l’inici de la unitat. Reforça aquests sabers mitjançant els EXEMPLES inclosos per a cada contingut. Desenvolupa el PENSAMENT COMPUTACIONAL aprenent, pas a pas, les destreses bàsiques. Practica, aplica i reflexiona sobre els coneixements que has adquirit fent les ACTIVITATS. Posa a prova els teus coneixements i ajuda’t del raonament matemàtic per resoldre el REPTE. Arribaràs a resultats inesperats! Treballa els continguts que has après resolent activitats de tota mena: JOCS, INVENTA, INVESTIGA, REPTES, ACTIVITATS FLAIX… Pots resoldre aquestes activitats mitjançant CÀLCUL MENTAL, utilitzant GEOGEBRA, buscant informació a INTERNET… Aprèn a partir de textos clars i estructurats. Recorda els continguts que ja saps i que et seran útils per la unitat. Avalua aquests coneixements resolent les activitats proposades.
RkJQdWJsaXNoZXIy