3 APRÈN I PRACTICA Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO
Matema` tiques L’ESSENCIAL ESO 3 APRÈN I PRACTICA
UNITAT SABERS BÀSICS 1 Nombres racionals 7 1. Fraccions equivalents _ 8 2. Fracció irreductible _ 9 3. Comparació de fraccions _ 10 4. Suma i resta de fraccions _ 11 5. Multiplicació i divisió de fraccions _ 12 6. Operacions combinades amb fraccions _ 13 7. Nombres decimals _ 14 8. Expressió d’una fracció com un nombre decimal _ 15 9. Expressió d’un decimal amb una fracció _ 16 10. Nombres racionals _ 17 11. Problemes amb fraccions _ 18 2 Potències i arrels 23 1. Potències de nombres racionals _ 24 2. Operacions amb potències de la mateixa base _ 25 3. Operacions amb potències de bases diferents _ 26 4. Notació científica _ 27 5. Operacions en notació científica _ 28 6. Arrels. Operacions _ 29 7. Extreure factors d’una arrel _ 30 8. Arrel n-èsima d’un nombre racional _ 31 9. Operacions amb radicals _ 32 10. Extreure factors d’un radical _ 33 11. Suma i resta de radicals extraient factors _ 34 12. Nombres reals _ 35 13. Aproximacions i errors _ 36 14. Intervals _ 37 15. Problemes amb potències i arrels _ 38 3 Progressions 43 1. Successions _ 44 2. Progressions aritmètiques _45 3. Diferència i terme general d’una progressió aritmètica _ 46 4. Suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica _47 5. Progressions geomètriques _ 48 6. Càlcul de la raó i del terme general d’una progressió geomètrica _ 49 7. Suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica _ 50 8. Suma dels termes d’una progressió geomètrica amb |r| < 1 _ 51 9. Interès compost _ 52 10.Problemes d’interès compost _ 53 11. Problemes amb progressions _ 54 4 Polinomis 59 1. Monomis _ 60 2. Operacions amb monomis _ 61 3. Polinomis _ 62 4. Valor numèric i arrels d’un polinomi _ 63 5. Suma, resta i multiplicació de polinomis _ 64 6. Divisió de polinomis _ 65 7. Divisió d’un polinomi entre (x - a) (regla de Ruffini) _ 66 8. Igualtats notables _ 67 9. Expressió d’un polinomi mitjançant una igualtat notable _ 68 10.Factor comú d’un polinomi _ 69 11. Divisors d’un polinomi _ 70 12. Factorització d’un polinomi _ 71 13. Problemes amb polinomis _ 72 5 Equacions de primer i de segon grau 77 1. Equacions. Elements _ 78 2. Solucions d’una equació_ 79 3. Equacions de primer grau i transposició de termes _ 80 4. Resolució d’una equació de primer grau _ 81 5. Equacions de segon grau _ 82 6. Nombre de solucions d’una equació de segon grau _ 83 7. Equacions de segon grau incompletes _ 84 8. Resolució d’equacions de segon grau _ 85 9. Equacions biquadrades _86 10. Resolució d’equacions mitjançant factorització _87 11. Problemes amb equacions _ 88 6 Sistemes d’equacions 93 1. Equacions lineals _ 94 2. Representació gràfica de les solucions d’una equació lineal _ 95 3. Sistemes d’equacions lineals _ 96 4. Determinació gràfica del nombre de solucions d’un sistema _ 97 5. Resolució d’un sistema per substitució _ 98 6. Resolució d’un sistema per igualació _ 99 7. Resolució d’un sistema per reducció _ 100 8. Resolució d’un sistema d’equacions lineals _ 101 9. Resolució de problemes mitjançant sistemes _ 102 Índex 2
SITUACIÓ D’APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES No és màgia, és indústria _ 20 REPTE: Construir una estructura _ 21 El nombre de Déu _ 22 Auxili! Em quedo sense bateria! _ 40 REPTE: Gestionar la bateria i la memòria d’un mòbil _ 41 El soldadet de Déu _ 42 Comprar-se una casa: entre la por i l’esperança _ 56 REPTE: Decidir la hipoteca més convenient _ 57 El mesurament del món _ 58 Desxifrem el rebut de la llum _ 74 REPTE: Estimar l’import de la factura de la llum _ 75 Un tramvia a SP _ 76 No vull ser artista, prefereixo ser empresària _ 90 REPTE: Elaborar un pla d’empresa _ 91 El curiós incident del gos a mitjanit _ 92 Que gran que és el cine! _ 104 REPTE: Calcular el consum de dades d’un dispositiu _ 105 La fórmula preferida del professor _ 106 3
UNITAT SABERS BÀSICS 7 Llocs geomètrics. Àrees i perímetres 107 1. Llocs geomètrics _ 108 2. Mediatriu i bisectriu _ 109 3. Angles _ 110 4. Teorema de Pitàgores _ 111 5. Àrea i perímetre de triangles i quadrilàters _ 112 6. Càlcul de l’àrea d’un quadrilàter amb el teorema de Pitàgores _ 113 7. Àrea i perímetre d’un polígon regular _ 114 8. Càlcul de l’àrea d’un polígon regular amb el teorema de Pitàgores _ 115 9. Àrea i perímetre de figures circulars _ 116 10. Càlcul de l’àrea de figures planes _ 117 11. Problemes d’àrees i perímetres _ 118 8 Moviments i semblances 123 1. Vectors _ 124 2. Moviments en el pla _ 125 3. Translacions i girs _ 126 4. Simetries centrals i axials _ 128 5. Frisos i mosaics _ 130 6. Homotècies i semblances _ 131 7. Teorema de Tales _ 132 8. Divisió d’un segment en parts iguals o proporcionals _ 133 9. Determinar distàncies amb el teorema de Tales _ 134 10. Determinar distàncies amb triangles oposats pel vèrtex _ 135 11. Escales i mapes _ 136 12. Resolució de problemes amb escales _ 137 13. Problemes de semblances i escales _ 138 9 Cossos geomètrics 143 1. Poliedres _ 144 2. Prismes. Àrea _ 145 3. Piràmides. Àrea _ 146 4. Càlcul de l’àrea d’un poliedre _ 147 5. Plans i eixos de simetria en poliedres _ 148 6. Àrea de cilindres i cons _ 149 7. Àrea d’esferes i figures esfèriques _ 150 8. Càlcul de l’àrea d’un cos de revolució _ 151 9. Volum de prismes i cilindres _ 152 10. Volum de piràmides i cons _ 153 11. Volum de l’esfera _ 154 12. Càlcul del volum d’un cos geomètric _ 155 13. Coordenades geogràfiques _ 156 14. Resolució de problemes de diferències horàries _ 157 15. Problemes d’àrees i volums _ 158 10 Funcions 163 1. Funcions _ 164 2. Expressió d’una funció amb un enunciat o una equació _ 165 3. Expressió d’una funció amb una taula de valors o una gràfica _ 166 4. Representació gràfica d’una funció _ 167 5. Domini i recorregut d’una funció _ 168 6. Continuïtat i punts de tall amb els eixos _ 170 7. Creixement i màxims i mínims d’una funció _ 172 8. Interpretació del creixement i el decreixement d’una funció _ 173 9. Periodicitat i simetria d’una funció _ 174 10.Estudi d’una funció _ 175 11. Problemes amb funcions _ 176 11 Funcions lineals i quadràtiques 181 1. Funcions lineals _ 182 2. Funcions de proporcionalitat directa _ 183 3. Funcions constants _ 184 4. Representació gràfica d’una funció lineal _ 185 5. Equació d’una recta a partir de la seva gràfica _ 186 6. Equació punt-pendent i equació de la recta que passa per dos punts _ 187 7. Equació general d’una recta _ 188 8. Funció quadràtica _ 189 9. Estudi de les funcions quadràtiques _ 190 10. Representació gràfica d’una funció quadràtica _ 191 11. Problemes amb funcions lineals _ 192 12. Problemes amb funcions quadràtiques _ 193 12 Estadística i probabilitat 197 1. Variables estadístiques _ 198 2. Recompte de dades _ 199 3. Freqüències. Taules de freqüències _ 200 4. Taules de freqüències per a dades agrupades _ 201 5. Diagrames de barres _ 202 6. Diagrames de sectors _ 203 7. Histogrames _ 204 8. Elaboració d’un histograma i el seu polígon de freqüències _ 205 9. Mesures de centralització _ 206 10. Mesures de posició _ 207 11. Mesures de dispersió_ 208 12. Mesures estadístiques en dades agrupades _ 209 13. Experiments aleatoris. Esdeveniments _ 210 14. Diagrama d’arbre _ 211 15. Probabilitat d’un esdeveniment. Regla de Laplace _ 212 16. Permutacions _213 Índex 4
SITUACIÓ D’APRENENTATGE LITERATURA I MATEMÀTIQUES Ens farem veure! _ 120 REPTE: Dissenyar una samarreta _ 121 Els viatges de Gulliver _ 122 Tot l’univers en un mandala? _ 140 REPTE: Crear un mandala _ 141 El jove Arquimedes _ 142 Una imatge, cent històries? _ 160 REPTE: Triar una motxilla _ 161 Vida i fugues d’en Fanto Fantini _ 162 On puc dinar? _ 178 REPTE: Proposar un programa de fidelització _ 179 Teva _ 180 I si no tinc prou megues? _ 194 REPTE: Triar la millor tarifa de mòbil _ 195 El consol _ 196 Hi havia una vegada... un aneguet petitonet! _ 214 REPTE: Inventar un joc d’atzar _ 215 La Caverna _ 216 5
1 Nombres racionals No és màgia, és indústria Els jocs de construcció permeten experimentar, aprendre i desenvolupar la creativitat i la destresa manual. A més, són molt divertits! És possible construir qualsevol estructura amb peces iguals? I diferents? Com podem combinar-les? REPTE Construir una estructura CAL QUE… Repassis els tipus de nombres que ja coneixes: naturals, enters, decimals i fraccions. PERQUÈ… Ens serviran per construir el conjunt dels nombres racionals. Tipus de nombres NATURALS ® 1, 2, 3... ENTERS ® …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Exactes: -0,2; 1,34; 6,243; ... DECIMALS ® Periòdics: -1,3; 0,62; 56,345; 5,3287; ... 56,345;5,3287#;... No periòdics: p; ; , ... 2 7 12345 FRACCIONS ® -1 2 4 5 12 4 , , ,... CAL QUE… Sàpigues calcular el m.c.d. i el m.c.m. de diversos nombres. PERQUÈ… Ens ajudarà a treballar amb les fraccions. m.c.d. i m.c.m. de diversos nombres Calcula el m .c.d. i el m.c.m. de 18 i 27. 18 = 2 × 32 m .c.d. (18, 27) = 32 = 9 27 = 33 m.c.m. (18, 27) = 2 × 33 = 54 & ABANS DE COMENÇAR LA UNITAT SITUACIÓ D’APRENENTATGE AVALUACIÓ INICIAL Tipus de nombres 1 Classifica aquests nombres segons el tipus de nombre que són. 0,7 -16 685,0091# 67 27 44 -456,89 Càlcul del m.c.m. 2 Quin és el màxim comú divisor de 9, 12, 42? 1 3 9 252 7
1 Escriu aquestes fraccions. a) El numerador és 7 i el denominador és 3 unitats més petit que el numerador. b) El denominador és -5 i el numerador és 6 unitats més gran que el denominador. c) És una fracció positiva i el numerador és -5. d) És una fracció negativa i el denominador és 4. 2 Determina si aquestes fraccions són equivalents. a) 8 7 i 4 17 b) -6 5 i -18 15 c) 5 3- i 20 12 3 Calcula els valors de x i y perquè les fraccions siguin equivalents. a) 18 5 72 = x b) 16 2 32 − = x c) 9 18 6 30 x y = − = Una fracció és una expressió a b , en què a i b són nombres enters i b ¹ 0. El nombre a s’anomena numerador, i el nombre b, denominador. Les fraccions 2 3- i -2 3 s’escriuen - 2 3 . Són fraccions negatives. Les fraccions 2 3 i - - 2 3 s’escriuen 2 3 . Són fraccions positives. Dues fraccions a b i c d són equivalents, i s’escriu a b c d = , si es compleix que a × d = b × c. Fraccions equivalents 1 Calcula el terme que falta en aquesta igualtat: 3 5 12 = − x 1r Apliquem la propietat que han de complir les fraccions equivalents. 2n Fem les operacions i aïllem el valor desconegut. 3 × x = 5 × (-12) 3 × x = -60 x = − =− 60 3 20 8
Fracció irreductible 1 2 4 Troba dues fraccions equivalents a cada una per amplificació, i dues més per simplificació. a) 42 54 b) -30 90 c) 18 12 - d) 100 50 - 5 Indica quines fraccions no són irreductibles i, en aquests casos, calcula’n la fracció irreductible. a) 40 6 c) 28 15 e) -9 18 b) 7 2 d) -25 16 f ) -50 3 Per obtenir fraccions equivalents a una fracció donada hi ha dos mètodes: – Amplificar. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre que no sigui zero. – Simplificar. Consisteix a dividir el numerador i el denominador de la fracció entre un mateix divisor comú que no sigui la unitat. Amplificar " 12 16 12 3 16 3 36 48 = ⋅ ⋅ = Simplificar " 12 16 12 2 16 2 6 8 = = : : La fracció irreductible d’una fracció donada és una fracció equivalent a aquesta en què el numerador i el denominador no tenen divisors comuns que no siguin la unitat. Per trobar la fracció irreductible d’aquestes fraccions: a) 16 40 b) - 28 56 1r Calculem el m.c.d. del numerador i del denominador de la fracció, sense tenir en compte el signe. 2n Dividim el numerador i el denominador de la fracció entre el m.c.d. que hem calculat. a) 16 2 40 2 5 4 3 = = ⋅ b) 28 2 7 56 2 7 2 3 = ⋅ = ⋅ m.c.d. (16, 40) = 23 = 8 m.c.d. (28, 56) = 22 ? 7 = 28 a) 16 40 16 8 40 8 2 5 = = : : b) − =− = − 28 56 28 28 56 28 1 2 : : F Fracció irreductible F Fracció irreductible a b a n b n = ⋅ ⋅ a b a n b n = : : 9
6 Redueix a comú denominador aquestes fraccions i ordena-les de més petita a més gran. a) 2 5 , 5 4 i 3 8 c) 2 7 , 1 6 i 3 5 b) 1 2 , 2 9 i 6 4 d) 4 15 , 6 8 i 3 16 7 Ordena aquestes fraccions de més gran a més petita. 4 5 10 4 21 6 15 9 1 3 7 9 - - - Reduir a comú denominador dues fraccions o més consisteix a obtenir unes altres fraccions equivalents a aquestes que tinguin totes el mateix denominador. Per comparar fraccions, primer les reduïm a comú denominador. La fracció més gran serà la que tingui el numerador més gran. Comparació de fraccions 3 Per reduir a comú denominador les fraccions -2 15 i 3 10 : 1r Trobem el mínim comú múltiple dels denominadors. 2n Per trobar el numerador, dividim el m.c.m. entre el denominador i el resultat el multipliquem pel numerador. Per ordenar de més petita a més gran les fraccions 7 12 5 16 i 3 8 , : 1r Les reduïm a comú denominador: m.c.m. (8, 12, 16) = 48. 2n Comparem les fraccions obtingudes: ? ? 15 3 5 10 2 5 = = 3 " m .c.m. (10, 15) = 2 ? 3 ? 5 = 30 és el denominador comú. − = − ⋅ = − 2 15 2 2 30 4 30 ( ) 3 10 3 3 30 9 30 = ⋅ = 7 12 7 4 48 28 48 = ⋅ = 5 16 5 3 48 15 48 = ⋅ = 3 8 3 6 48 18 48 = ⋅ = 15 48 18 48 28 48 5 16 3 8 7 12 < < → < < 10
Suma i resta de fraccions 1 4 Per sumar fraccions amb el mateix denominador, sumem els numeradors i deixem el mateix denominador. Per sumar fraccions amb diferent denominador, primer reduïm les fraccions a comú denominador i, després, sumem els numeradors. m.c.m. (1, 12) = 12 5 12 2+ = + = + = + = 5 12 2 1 5 12 24 12 5 24 12 29 12 F Per restar fraccions amb el mateix denominador, restem els numeradors i deixem el mateix denominador. Per restar fraccions amb diferent denominador, primer reduïm les fraccions a comú denominador i, després, restem els numeradors. m.c.m. (10, 14) = 70 Simplifiquem - - 8 14 6 10 = − − = − − = − = − =− 40 70 42 70 40 42 70 82 70 41 35 41 35 F F 8 Calcula aquestes sumes i restes. a) 18 5 7 5 8 5 + + = c) − − − = 3 10 9 10 7 30 b) 5 3 4 18 6 3 + + = d) 25 6 11 8 1 3 − + = 9 Troba l’error i corregeix-lo. Recorda que els nombres enters es poden expressar com una fracció amb denominador 1. a) 4 1 6 28 6 + = b) 4 3 4 36 8 + = Quan operem amb fraccions, simplifiquem el resultat fins que n’obtenim la fracció irreductible. 11
10 Fes aquestes operacions. a) − ⋅ 4 5 20 8 = c) 15 6 2 4 : = b) 9 10 8 14 : = d) 6 17 6 27 : − = 11 Calcula i simplifica’n el resultat. a) 9 12 4 21 7 33 × × = c) ( ) : -5 26 38 = b) 56 14 70 24 6 28 ⋅ − : = d) − − 2 90 : ( 26) = Multiplicació i divisió de fraccions 5 El producte de dues fraccions o més és una altra fracció que té com a numerador el producte dels numeradors i com a denominador, el producte dels denominadors. − ⋅ ⋅ 2 3 4 5 6 10 = ( ) − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = − =− 2 4 6 3 5 10 48 150 8 25 8 25 S’anomena fracció inversa d’una fracció a b , la fracció b a . Per dividir dues fraccions, multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona. − 4 5 6 3 : = − = − ⋅ = − ⋅ = − = − =− ⋅ 4 5 6 3 4 5 3 6 4 3 5 6 12 30 2 5 2 5 : ( ) a b c d a c b d · · · = a b c d a b d c a d b c : = ⋅ = ⋅ ⋅ 12
Operacions combinades amb fraccions 1 6 12 Fes aquestes operacions. a) 3 2 4 5 5 6 − ⋅ = c) 2 7 4 5 8 3 6 4 : − + ⋅ − = b) 5 3 1 9 1 6 : + = d) 2 7 4 5 8 3 6 4 : − + ⋅ − = 13 Calcula i observa com varien els resultats segons la posició dels parèntesis. a) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : = c) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : = b) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : = d) 2 9 5 3 2 1 4 2 5 ⋅ − + : = Per efectuar aquesta operació combinada: − − + − + 1 3 2 5 3 10 4 7 12 : 1r Transformem les fraccions negatives en fraccions amb el numerador negatiu i afegim el denominador 1 als nombres enters. 2n Fem les operacions que hi ha entre parèntesis. 3r Calculem les multiplicacions i divisions d’esquerra a dreta. 4t Resolem les sumes i les restes, també d’esquerra a dreta. − − + − + = 1 3 2 5 3 10 4 7 12 : = − − + − + = 1 3 2 5 3 10 4 1 7 12 : = − − + − + = 1 3 4 10 3 10 4 1 7 12 : = − − 1 3 1 10 4 1 7 12 : + = = − − 1 3 1 1 10 4 7 12 ⋅ ⋅ + = = − − 1 3 1 40 7 12 + = 120 40 = - - 120 3 120 70 120 40 3 70 120 27 40 9 + = - - + = = m.c.m. (5, 10) = 10 F F F m.c.m. (3, 12, 40) = 120 F Expressem els nombres enters com una fracció amb denominador . Simplifiquem el resultat. 13
14 Classifica aquests nombres decimals i expressa’ls, quan sigui possible, de manera abreujada. a) 9,090909… f ) 1,121122111222… b) 45,7 g) 5,24678678… c) 2,3333… h) -3,65 d) 0,0025 i) 1,11223344… e) 321,03333… j) 3,2458458… 15 Escriu, en cada cas, dos exemples de nombres decimals de cada tipus. Exactes amb 4 xifres decimals Periòdics purs amb dues xifres al període Periòdics mixtos amb dues xifres a l’anteperíode No periòdics amb infinites xifres decimals Periòdics purs amb tres xifres al període Periòdics mixtos amb una xifra al període Nombres decimals 7 Els nombres decimals expressen quantitats amb unitats incompletes. Un nombre decimal té una part entera, que està situada a l’esquerra de la coma, i una part decimal, que està situada a la dreta. Un nombre decimal és exacte si té un nombre limitat de xifres decimals. 3,75 0,0006 2,7 4,12758 Un nombre decimal és periòdic si té un nombre il·limitat de xifres decimals i, a més, una o diverses xifres es repeteixen indefinidament. Aquestes xifres s’anomenen període. Si les xifres es repeteixen indefinidament a partir de la coma, diem que és periòdic pur. En el cas contrari, és periòdic mixt i les xifres que no es repeteixen formen l’anteperíode. Periòdics purs " 4,66666… = 4,6 2,757575… = 2,75 0,816816816… = 0,816 Periòdic mixt " 4,296666… = 4,296 Anteperíode: 29. Període: 66666… Un nombre decimal és no exacte i no periòdic si té un nombre il·limitat de xifres decimals i cap d’aquestes xifres es repeteix indefinidament. 0,123456… 29,12131415… 7,00112233… 2,7134985… 14
Expressió d’una fracció com un nombre decimal 1 8 16 Determina els nombres decimals corresponents a aquestes fraccions i digues quantes xifres decimals tenen. a) 56 10 c) 16 55 e) 1 20 b) 73 8 d) 8 88 f) 48 120 17 Indica les xifres que formen el període i l’anteperíode, quan en tinguin, dels nombres decimals corresponents a aquestes fraccions. a) 1 3 c) 13 6 e) 49 18 b) 1 45 d) 1 90 f) 37 12 Per trobar el nombre decimal que correspon a cada fracció: a) - 28 7 b) 34 40 c) - 11 15 1r Si el numerador és múltiple del denominador, l’expressió decimal és un nombre enter. 2n En cas contrari, calculem la fracció irreductible i descomponem el denominador en factors primers. 3r Si només hi apareixen els factors 2 i 5, és un decimal exacte. 4t Si hi apareixen altres factors, és un decimal periòdic. a) -28 7 -28 és múltiple de 7 Nombre enter -28 : 7 = -4 " − =− 28 7 4 b) 34 40 17 20 = ! Fracció irreductible 20 = 22 ? 5 c) -11 15 ! Fracció irreductible 15 = 3 ? 5 b) 34 40 17 20 = 20 = 22 ? 5 Només factors 2 i 5 Decimal exacte 17 : 20 = 0,85 " 34 40 =0,85 c) -11 15 15 = 3 ? 5 " Factors diferents de 2 i 5 Decimal periòdic -11 : 15 = -0,7333… " − =− 11 15 0,73 15
18 Troba la fracció generatriu que correspon a aquests nombres decimals. a) 0,6 f) 5,94 b) 2,08 g) 32,5 c) 12,5 h) 0,148& d) 42,06# i) 0,471# e) 28,542 j) 0,008 19 Pensa i escriu una fracció que es correspongui amb cada nombre decimal. a) Un nombre decimal exacte amb tres xifres decimals. b) Un nombre decimal periòdic pur amb un període de dues xifres. c) Un nombre decimal periòdic mixt amb un anteperíode d’una xifra i un període d’una xifra. Expressió d’un decimal amb una fracció 9 Per expressar amb una fracció aquests nombres decimals: a) 4,37 b) 6,1 c) 2,781# 1r Anomenem A el nombre decimal que volem expressar com una fracció. 2n Si és un decimal exacte, multipliquem la igualtat per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals té. Per obtenir la fracció que busquem, aïllem A. 3r Si és periòdic pur, multipliquem la igualtat per la unitat seguida de tants zeros com xifres té el període. Després, restem a aquesta expressió l’expressió inicial i aïllem A. 4t Si és periòdic mixt, multipliquem la igualtat: • Per la unitat seguida de tants zeros com xifres té la part periòdica i no periòdica. • I per la unitat seguida de tants zeros com té l’anteperíode. Restem les expressions i aïllem A. a) A = 4,37 b) A = 6,1! c) A = 2,781# a) A = 4,37 " 100 ? A = 100 ? 4,37 " 100A = 437 " A= 437 100 b) A = 6,1! " 10 ? A = 10 ? 6,1! " 10A = 61,1! 10 A = 61,1 - A = 6,1 9A = 55 ® A = 55 9 c) A = 2,781# " 1 000 ? A = 1 000 ? 2,781#" 1 000A = 2781,81# 10 ? A = 10 ? 2,781#" 10A = 2781# 1 000 A = 2 781,81# - 10A = 27,81# 990A = 2 754 " A = 2754 990 153 55 = La fracció generatriu d’un nombre decimal és la fracció irreductible tal que, en dividir el numerador entre el denominador, el resultat és aquest nombre decimal. 16
Nombres racionals 1 10 20 Classifica aquests nombres, i indica tots els conjunts als quals pertanyen. a) -4,562 e) 5,875' b) -4 9 f ) 10 5 c) 24,0923$ g) -76,43333333… d) 1,23223222322223… h) 4,9 21 Escriu tres nombres racionals que compleixin cada característica. a) Són més grans que -1 i més petits que 1. b) La seva part entera és 1 i tenen període. c) Són periòdics mixtos més petits que 0. d) Són negatius i el seu període és 7. e) Són periòdics purs i estan compresos entre 1,67 i 1,68 . El conjunt de tots els nombres que es poden expressar mitjançant fraccions s’anomena conjunt dels nombres racionals i es representa amb Q. Els nombres naturals, els enters, els decimals exactes i els decimals periòdics els podem expressar mitjançant fraccions. 644444474444448 Nombres racionals Nombres enters Nombres decimals 6447448 64748 Nombres naturals: 1, 2, 3… El nombre zero: 0 Enters negatius: -1, -2, -3… Decimals exactes: 1,35; 0,079… Decimals periòdics: 9,64#; 8,123!… Un mateix nombre pot pertànyer a diversos conjunts: per exemple, el 4 és un nombre natural, enter i racional. Els nombres decimals no exactes i no periòdics no els podem expressar mitjançant una fracció i, per tant, no són racionals. S’anomenen nombres irracionals. 17
22 Quatre de cada cinc electrodomèstics que es venen en una botiga són de color blanc, i una desena part són negres. Calcula quants electrodomèstics blancs i quants de negres ha venut una botiga d’un total de 140 aparells. Han venut electrodomèstics d’altres colors? Quants? 23 Un tros de roba fa 5,4 m i representa les tres setenes parts del total. Quina és la longitud total de la roba? Quant mesura un tros igual a un sisè de la part que en queda? Quina fracció del total és? Problemes amb fraccions 11 Resol aquest problema. Avui, una taxista ha portat 40 persones. D’aquestes, 5 8 han estat dones. Quantes persones han estat homes? 1r Calculem la part del total de persones que han estat homes. 2n Trobem el que representa aquesta part. Del total de persones, 15 han estat homes. 1 5 8 8 8 5 8 3 8 − = − = 3 8 40 3 8 40 3 40 8 120 8 15 de = ⋅ = ⋅ = = 18
24 Unes amigues recorren 105 km en bicicleta. El primer dia fan un terç del camí, el segon dia, quatre quinzens, i deixen la resta per al tercer dia. Quants kilòmetres recorren cada dia? Quina part del camí recorren el tercer dia? 25 La vuitena part de l’hort d’en Pere està sembrada de tomaqueres. Si la superfície que no n’està és de 987 m2, quina és la superfície total de l’hort? 26 El fill de la Isabel té la meitat de la setena part de l’edat de la seva mare. Si la Isabel té 42 anys, quants anys té el seu fill? 27 A la biblioteca hi ha 5 000 llibres. D’aquests, una cinquena part són novel·les, i de la resta, la meitat són de literatura infantil. Quants llibres de literatura infantil hi ha? 28 A la classe d’en Marc porten ulleres 16 estudiants, que representen les quatre novenes parts del total. Quants estudiants no porten ulleres? Són més o menys de la meitat de la classe? 1 19
No és màgia, és indústria Abans de l’aparició dels videojocs, com Clash Royale o Fortnite, es jugava amb jocs que no necessitaven cap bateria per funcionar. Fins i tot tu, no fa gaires anys, segur que hi vas jugar. Són els jocs de construcció. Els jocs de construcció es componen d’un conjunt de peces que acostumen a tenir forma rectangular, de mides iguals o diferents. Aquestes peces es poden unir amb d’altres i, així, se’n poden fer múltiples combinacions i crear construccions diferents. També hi ha relacions entre les peces. Per exemple, un bloc de 2 3 4 conté dues files amb quatre sortints cada una, i un bloc d’1 3 2 té una fila amb dos sortints. És a dir, sobre un bloc de 2 3 4 es poden encaixar fins a quatre blocs d’1 3 2. SITUACIÓ D’APRENENTATGE Peces de construcció Tot està relacionat M’adono que, per poder-les unir, les peces han d’estar relacionades. Quin és el bloc més gros? Quin el segueix de mida? Quina fracció representa aquest segon bloc respecte del més gros? Quin és el bloc més petit? Quina fracció del bloc més gros representa? Considerant el bloc més gros com la unitat, expressa la fracció que representa cada bloc respecte del bloc més gros. Fes el mateix amb les planxes. Considera el més gros com la unitat. Peces especials Blocs 2 ´ 4 2 ´ 2 4 ´ 6 6 ◊ 6 2 ´ 6 1 ´ 6 1 ´ 2 Planxes 1 ´ 1 7,8 mm 20
Construir una estructura 1 REPTE Planificarem com construir una estructura rectangular d’aproximadament 5 cm d’ample, 16 cm de llarg i 2 cm d’alt amb les peces de construcció del joc descrit. Quines planxes pots unir per formar la base de l’estructura? Quin tipus de blocs pots utilitzar per aixecar una paret d’1 unitat d’ample que cobreixi tota la vora de la planxa? Quantes files poden tenir? I quants sortints? Quantes peces de cada tipus són necessàries? Producte final Utilitza un joc de construcció que tinguis a casa o busca’n un a internet i apunta’n les mides de les peces. Completa la taula indicant les peces de cada tipus que necessitaries per construir l’estructura anterior amb les peces d’aquest joc. Dibuix de la peça Mides Nombre de peces 21
AUTOAVALUACIÓ 1 Fraccions equivalents i irreductibles. Comparació 1. Indica quina és la fracció equivalent a 5 36 . 15 20 10 72 1 7 55 366 2. Digues quina d’aquestes fraccions és més gran que 5 6 . 7 9 20 25 3 4 13 15 Operacions amb fraccions 3. Resol 5 4 3 2 2 5 3 4 7 3 : + − ⋅ . 31 60 21 40 - 31 60 427 120 Fraccions i decimals 4. Determina la fracció generatriu de 2,135#. 2135 990 1057 495 2114 900 2135 900 Classificar nombres racionals 5. Digues quin dels nombres següents és un decimal periòdic pur. 12,5! 1,2345… 1,34! 7 1 El nombre de Déu és un nombre racional. Expressa’l en forma de fracció i en forma decimal. 2 Comprova que les mides de l’arca de Noè i de l’Arca de l’Aliança s’ajusten a la proporció del nombre de Déu. El nombre de Déu José Luis Corral –La bellesa, fill, està en la proporció. Una catedral ha de ser com el cos humà, sens dubte la millor obra de Déu: harmònic en les proporcions, elegant en les mesures i d’aspecte airós però serè. »El teu oncle et va ensenyar el nombre secret de la proporció, i ho va fer massa aviat. En aquest nombre es guarda tot el misteri de la bellesa d’aquest nou estil, en el nombre de Déu. –La unitat per la unitat més dos terços –va replicar Enrique. –Així és. Aquestes proporcions expressen les mides del rectangle perfecte, i a partir d’aquí s’estableixen totes les mides, totes les relacions i proporcions d’una catedral. […] »Aquest nombre ha estat sempre en les proporcions de les obres de la Bíblia. […] L’arca en la qual Noè va embarcar una parella de cada espècie d’animals tenia cinquanta colzes d’ample per trenta d’alt, i tres-cents de llarg. Fixa’t en les proporcions: la relació entre l’amplària i l’altura és el nombre de Déu, és a dir, la unitat més dos terços. I la relació entre l’amplària i la longitud és la desena part del nombre diví. »Però això no és tot, fill […]. L’Arca de l’Aliança hauria de tenir dos colzes i mig de llarg per un i mig d’ample i un i mig d’alt. Fixa-t’hi: l’altura i l’amplària formen un quadrat perfecte, però la longitud i l’amplària formen un rectangle la proporció del qual és de nou el nombre de Déu, la unitat més dos terços. […] »Aquest és el secret d’aquesta catedral: està construïda seguint les proporcions del nombre diví, el que Déu va triar per construir l’univers. […] Escolta bé: aquest nombre és la unitat i la seva relació constant amb dos terços de la unitat més la unitat mateixa. Així ha construït Déu el món, i així ens ha encarregat que construïm els seus temples. Som la mà de Déu. LITERATURA I MATEMÀTIQUES 22
RkJQdWJsaXNoZXIy